Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

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1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere V1 Geometrische Grundbegriffe V2 Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze, Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V4 Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke, Haus der Vierecke, Symmetrien) V5 Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit) V6 Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis) V7 Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V8 Kongruenzabbildungen - Symmetrie V9 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen V10 Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische Körper, Kugel) V11 Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern, Rauminhalt und Oberfläche der Kugel) V12 Zusammenfassung (Freitag) Uhr, Klausur (HS 1, HS 2) 1

2 V3 Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien 1 Grundkonstruktionen 2 Bestimmungslinien geometrische Örter 3 Praxiskurs Achsenkreuz 2

3 1 Grundkonstruktionen In der Geometrie kann man die Begriffe Zeichnen und Konstruieren unterscheiden. 3

4 Konstruieren Unter Konstruktion wird in der Geometrie in der Regel die Zeichnung einer Figur allein mit Zirkel und Lineal (ohne Messskala) verstanden. Es ist erlaubt mit dem Lineal eine Gerade durch zwei gegebene Punkte zu legen; mit dem Zirkel einen Kreis um einen gegebenen Punkt mit gegebenem Radius zu ziehen. Konstruiert man eine Figur, dann gewinnt man die gesuchten Punkte aus den gegebenen als Schnittpunkte von Gerade und Gerade, Gerade und Kreis, Kreis und Kreis. 4

5 Beim Zeichnen sind im Unterschied zum Konstruieren die verschiedensten Hilfsmittel erlaubt (Augenmaß, Winkelmesser, Geodreieck,...). 5

6 Grundkonstruktionen sind besonders einfache Konstruktionen, die als Bausteine in schwierigeren Konstruktionen immer wiederkehren Zeichengeräte: Zirkel, Lineal ohne Skala 6

7 System von Grundkonstruktionen Elementarkonstruktionen Abtragen einer Strecke auf einer Geraden Antragen eines Winkels an einen Punkt auf einer Geraden Grundkonstruktionen erster Stufe Halbieren einer Strecke (Mittelsenkrechte) Halbieren eines Winkels Grundkonstruktionen zweiter Stufe Spiegelung eines Punktes an einer Geraden (Fällen des Lotes) Errichten einer Senkrechten zu einer Geraden (Errichten des Lotes) Parallele in vorgegebenem Abstand Parallele durch einen vorgegebenen Punkt 7

8 Konstruieren von Senkrechten zu gegebenen Geraden (Strecken, Strahlen) durch einen Punkt auf einer Geraden durch die Mitte einer Strecke (Mittelsenkrechte, Halbieren einer Strecke) durch einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt (Fällen eines Lotes) 8

9 Bei den Konstruktionen zur Bestimmung von Punkten werden Kreise als Konstruktionselemente verwendet. Diese werden in der Regel nicht als Vollkreise gezeichnet, sondern nur die Teile der Kreisbögen, welche die Schnittpunkte liefern (s. folgende Folien). Beispiel: Errichten einer Senkrechten 1. Schritt: Kreis um P Sonderfall: Errichten einer Senkrechten im Anfangspunkt einer Strecke 2. Schritt: Kreise um A und B 9

10 Beispiel für eine Konstruktionsbeschreibung Errichten einer Senkrechten Man zeichnet einen Kreis K um P, der g in den Punkten A und B schneidet. Um A und B zeichnet man die Kreise K A und K B, deren Radien gleich sind und größer als ½ AB. Diese schneiden sich in den Punkten C 1 und C 2. Die Gerade, welche die Punkte P und C 1 oder P und C 2 oder C 1 mit C 2 verbindet, ist die gesuchte Senkrechte zu g durch P. 10

11 Die Senkrechte zu einer Strecke AB, die durch die Mitte von AB geht, heißt Mittelsenkrechte zu AB. Auf ihr liegen alle Punkte, die von den Endpunkten A und B jeweils den gleichen Abstand haben. Matheprofis Kl. 4 11

12 Beispiel für eine Konstruktionsbeschreibung Konstruktion der Mittelsenkrechten Man zeichnet die Kreise K A um A und K B um B mit einem gleichen, genügend großen Radius so, dass sie sich schneiden. Man erhält C 1 und C 2. Deren Verbindungsgerade ist die gesuchte Mittelsenkrechte, denn sie schneidet die Strecke AB in ihrem Mittelpunkt M und steht senkrecht auf AB. 12

13 Lot von einem Punkt auf eine Gerade Eine Gerade h, die auf einer Geraden g senkrecht steht und durch einen Punkt P außerhalb von g geht, heißt Lot von P auf g. 13

14 Beispiel für eine Konstruktionsbeschreibung Fällen eines Lotes Man zeichnet um P einen Kreis, der g in A und B schneidet. Dann werden um A und B die Kreise K A und K B gezeichnet, die beide durch P gehen. Sie schneiden sich außerdem in Q. Die Gerade durch PQ ist das Lot von P auf g. 14

15 Errichten von Senkrechten ohne Zirkel: Die Ägypter benutzten dazu zwei Pfosten, an denen je ein Seil der gleichen Länge befestigt war (dabei mussten die Seile etwas länger als die Hälfte der Entfernung der Pfosten sein). Nun konnte mit jedem der Seile ein Halbkreis gezogen werden. An den beiden Punkten, an denen sich die Seile schnitten, wurde eine Senkrechte gezogen, die zur Verbindungslinie einen rechten Winkel bildete und diese Strecke in zwei gleiche Teile teilte. 15

16 Winkelhalbierende Ein Strahl aus dem Scheitel eines Winkels, der den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt, heißt Winkelhalbierende. Die Lote von einem Punkt der Winkelhalbierenden auf die beiden Winkelschenkel sind immer gleich lang. 16

17 Konstruieren einer Winkelhalbierenden Dritteln eines rechten Winkels 17

18 Konstruieren von Parallelen zu einer Geraden (Strecke, Strahl) zu einer Geraden durch einen Punkt außerhalb dieser Geraden Schritt 1: Konstruieren einer Senkrechten h auf g bzw. auf g durch Q (Lot von Q auf g) Schritt 2: Konstruieren einer Senkrechten zu h bzw. Errichten einer Senkrechten zu h in Q. 18

19 Zeichnen von Parallelen mit Lineal und Dreieck (Parallelverschiebung) Zeichnen Sie Parallelogramme und Rechtecke mit Hilfe von Parallelverschiebung. 19

20 Planfigur Quelle: Kusch/Glocke. Geometrie und Trigonometrie

21 Anwenden von Grundkonstruktionen bei Linien im Dreieck, Tangente am Kreis, Mittelpunkt des Kreises 21

22 2 Bestimmungslinien geometrische Örter Bestimmungslinien (auch geometrische Örter genannt) können sowohl gerade als auch gekrümmte Linien sein. Alle ihre Punkte haben eine bestimmte Eigenschaft, die sonst keinem weiteren Punkt der Ebene zukommt. 22

23 Einige wichtige geometrische Örter sind der Kreis die Mittelsenkrechte die Winkelhalbierende die Mittelparallele der Halbkreis 23

24 Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt M die gleiche Entfernung r haben, ist der Kreis um M mit dem Radius r. 24

25 Der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten A und B den gleichen Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte der Strecke AB. 25

26 Der geometrische Ort aller Punkte, die von den Schenkeln eines Winkels gleichen Abstand haben, ist die Winkelhalbierende des Winkels. 26

27 Der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei Parallelen g und h den gleichen Abstand haben, ist die Mittelparallele zu g und h. Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Strecken, deren Anfangsund Endpunkt auf parallelen Geraden g und h liegen, ist die Mittelparallele zu g und h. 27

28 Der geometrische Ort aller Punkte, deren Verbindungsstrecken mit zwei festen Punkten A und B einen rechten Winkel bilden, ist der Halbkreis über AB. 28

29 Anwendung Die Orte A und B liegen auf verschiedenen Seiten einer Busroute. Eine Bushaltestelle P soll so eingerichtet werden, dass die Wege zu ihr für die Bewohner beider Orte gleich lang sind. Wir suchen Punkte, die sowohl auf der Busroute als auch auf der Mittelsenkrechten von AB liegen. Sollte es mehrere solche Punkte geben, wählen wir sicherlich den Punkt, der die kürzeste Entfernung zu A und B hat. Quelle: Kusch/Glocke. Geometrie und Trigonometrie

30 Praxiskurs Achsenkreuz 30

31 Aufgabe zur Vorbereitung auf die Übung vom bis Trainieren Sie geometrische Grundkonstruktionen. Führen Sie jede Grundkonstruktion mindestens einmal aus. Schreiben Sie eine Konstruktionsbeschreibung zur Konstruktion von Parallelen oder Winkelhalbierenden. 31

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