4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen

Save this PDF as:
Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen"

Transkript

1 ... Eonenialfunkionen Definiion:.. Eonenial- und Logarihmusfunkionen Die Funkion f() = c a mi D = R, c und a R + \{}heiß Eonenialfunkion zur Basis a. Die Eonenialfunkion zur Basis a = e mi der Eulerschen Zahl e =,... heiß naürliche Eonenial-funkion und wird auch als e() geschrieben: e = e(). Beisiele: Eigenschafen der Eonenialfunkionen Werebereich: W = R + Waagreche Asmoen: a für und a > bzw. für + und a < Smmerie: Siegel man das Schaubild von = a an der -Achse, so erhäl man das Schaubild von = a = a Gemeinsamer Punk: Die Schaubilder aller Eonenialfunkionen gehen durch den Punk P( ) Wachsum: Jede Eonenialfunkion wächs schließlich särker als alle Poenzfunkionen: a > b n > n log b log a - Beisiel zur Besimmung einer Funkionsgleichung Besimme die Gleichung der Eonenialfunkion f() = c a, deren Schaubild durch P( ) und Q( ) geh. Lösung Durch Einsezen der Koordinaen der beiden Punke in den Ansaz = c a erhäl man zwei Gleichungen für zwei Unbekanne c und a: P( ): = c a Q( ): = c a Dieses nichlineare Gleichungsssem lös man am besen mi dem Gleichsezungsverfahren: c = a c = a a = a a = c = a = 6 Die gesuche Funkion ha die Gleichung f() = 6,.

2 Übungen: Aufgaben zu eoneniellen Änderungen Nr Logarihmusfunkionen Wereabelle und Schaubilder von Logarihmusfunkionen: log log Eigenschafen: f () = log a () is die Umkehrfunkion zu f() = a, d.h., man erhäl das Schaubild von f aus dem Schaubild von f durch Siegelung an der. Winkelhalbierenden und die Funkionsgleichung von f aus der Funkionsgleichung = f() durch Auflösen nach und Verauschung von und. Insbesondere gil: Die negaive -Achse is senkreche Asmoe Alle Schaubilder gehen durch den Punk ( ) Übungen: Aufgaben zu eoneniellen Änderungen Nr. und... Lineare Änderungen (siehe auch..) Beisiel:.. Aufgaben zu linearen Funkionen Nr. e log () ln() log () Lineare Änderung (siehe auch...). Eine Größe B änder sich linear, wenn nach Zeischrien gil B() = B() + k mi dem konsanen Änderungsfakor k R\{} und dem Anfangswer B() R.. Ihre Änderung is konsan: B( + ) B() = k.. Für k > is es eine lineare Zunahme und für k < eine lineare Abnahme.. Ihr Schaubild is eine Gerade mi der Seigung k, die die -Achse bei B() schneide. B( + ) B() = B() = + k. Achung: Der Änderungsfakor k häng von der gewählen Zeieinhei ab! C() = = + =

3 ... Eonenielle Änderungen Beisiel: Aufgaben zu eonenielle Änderungen Nr. 6 Eonenielle Änderung. Eine Größe B änder sich eoneniell, wenn nach Zeischrien gil B() = B() ( + ) mi der rozenualen Änderungsrae R\{} und dem Anfangswer B() R. B() =,. Für > is es eine eonenielle Zunahme und für < eine eonenielle Abnahme. B( + ). Ihre Änderung is roorional zum Besand: B( + ) B() = k B().. Der Änderungsfakor is k =. B() k B(). Ihr Schaubild is eine Kurve, die die -Achse bei B() schneide: 6. Achung: Die rozenuale Änderungsrae häng von der gewählen Zeieinhei ab! C() =, + Beisiel zur Umrechnung der Änderungsrae auf andere Zeieinheien: Eine Anlage wird mi % monalich verzins. Berechne die Zinsrae bezogen auf a) ein Jahr b) einen Tag. Hinweis: Banken rechnen mi Monaen zu Tagen. Lösung: Der Wachsumsfakor is ( + ) =, bezogen auf Mona. a) Bezogen auf Jahr = Monae is ( + ) =, =, jährliche Zinsrae % Bezogen auf Tag = Mona is ( + ) / =, / =,6 ägliche Zinsrae,6 % Übungen: Aufgaben zu eoneniellen Änderungen Nr. -

4 ... Beschränke Änderungen Beisiel: Aufgaben zu beschränken Änderungen Nr. Beschränke Änderung. Eine Größe B() änder sich beschränk mi der Säigungsgrenze S R, wenn das Säigungsmanko S B() eoneniell abnimm: S B() = [S B()] ( ) bzw. B() = S [S B()] ( ) mi > (!). Ihre Änderung is roorional zum Säigungsmanko: B( + ) B() = k [S B()] mi k =. B( + ) = 6 B() S = k [S B()] B() =,. Sie läss sich auch als Kombinaion einer linearen Zunahme und einer eoneniellen Abnahme beschreiben: B( + ) B() = k S k B().. Für S > B() ergib sich ein Wachsum, für S < B() eine Abnahme.. Ihr Schaubild is eine Kurve, die die -Achse bei B() schneide und sich der Säigungsgrenze S asmoisch näher: C() = +, S = 6 + Beisiel für den Nachweis eines beschränken Wachsums und Berechnung von S und k: Für die zeiliche Enwicklung eines Besandes B() nach Zeischrien wurde die Beziehung B( + ) =, B() + mi ermiel. Zeige, dass es sich um beschränkes Wachsum handel und berechne S sowie k. Lösung: Die Gleichung läss sich folgendermaßen umformen: B( + ) =, B() + B( + ) B() =, B() =, [, B()] =, [ B()] = k [S B()] S = und k =, B() =, B() Änderungsfakor ausklammern Übungen: Aufgaben zu beschränken Änderungen Nr. -

5 ..6. Logisische Änderungen Beisiel: Aufgaben zum logisischen Wachsum Nr. Logisische Änderungen. Eine Größe B() änder sich logisisch mi der Säigungsgrenze S R, wenn B() = S B() B() S B() ( k S).. Ihre Änderung is roorional zum Besand B() und zum Säigungsmanko S B(): B( + ) B() = k B() [S B()]. Für S > B() erhäl man eine Zunahme und für S < B() eine Abnahme.. Ihr Schaubild is eine S-Kurve, die die -Achse bei B() schneide und sich der Säigungsgrenze S asmoisch näher. S = säer beschränkes Wachsum B( + ) B() k B() [S B()] B() = zunächs eonenielles Wachsum + Übungen: Aufgaben zu logisischen Wachsum Aufgaben -

Übungen zur Klausur 11M1 21/05/2008 Seite 1 von 5

Übungen zur Klausur 11M1 21/05/2008 Seite 1 von 5 Seie von 5 Aufgabe : Eine ganzraionale Funkion. Grades habe die Nullsellen ; ;. Ihr Schaubild gehe durch P( 6). Besimme die Exremsellen. Skizziere den Graphen der Funkion. allgemeine Form einer Funkion.

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktionen . ) Personen, Personen bzw. Personen ) Ewas weniger als Minuen. (Nach,... Minuen sind genau Personen informier.) ) Ja. Bereis um : Uhr sind (heoreisch) Personen informier. ) Informiere Miarbeierinnen und

Mehr

Wiederholung Exponentialfunktion

Wiederholung Exponentialfunktion SEITE 1 VON 9 Wiederholung Eponenialfunkion VON HEINZ BÖER 1. Regeln und Beispiele Der Funkionserm Eponenialfunkionen haben die Form f() = b a. Die y-achse wird bei b geschnien, denn f(0) = 0 b a = b 1

Mehr

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h)

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h) Aufgabe 6 (Enwicklung einer Populaion): (Anforderungen: Inerpreaion von Schaubildern; Inegralfunkion in der Praxis) Von einer Populaion wird - jeweils in Abhängigkei von der Zei - die Geburenrae (in Individuen

Mehr

Fit für die Q-Phase? Mathematiktraining für die Schüler und Schülerinnen des Beruflichen Gymnasiums Gelnhausen

Fit für die Q-Phase? Mathematiktraining für die Schüler und Schülerinnen des Beruflichen Gymnasiums Gelnhausen Fi für die Q-Phase? Mahemaikraining für die Schüler und Schülerinnen des. Gleichungen (mi und ohne Parameer) Löse folgende Gleichungen:. 4 7.6 e ( e )..7 4 4 k k. 6.8 6 0.4 4 4 4 49.9 cos..0 4.6. e e.7

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion)

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion) R. Brinkmann hp://brinkmann-du.de Seie.. Tangene und Normale Tangenenseigung Die Seigung eines Funkionsgraphen in einem Punk P ( f ( ) ) is gleichbedeuend mi der Seigung der Tangene in diesem Punk. Nachfolgend

Mehr

Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen

Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen 454 Erforderliche Kennnisse: Höhere Analysis Elemenare Lösungsmehoden für gewöhnliche Differenialgleichungen Was is eigenlich eine Differenialgleichung? Eine Differenialgleichung is eine Gleichung, in

Mehr

BESCHREIBUNG VON ZERFALLSPROZESSEN

BESCHREIBUNG VON ZERFALLSPROZESSEN BESCHREIBUNG VON ZERFALLSPROZESSEN ab Ende der 1. Schulsufe Kreuze zu jedem angeführen Beispiel das richige mahemaische Modell an, begründe deine Enscheidung und beschreibe die Bedeuung der in den Modellen

Mehr

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus

Mehr

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Ein einfaches Modell (Domar) Im Domar Wachsumsmodell reffen wir die folgenden Annahmen: Kapiel Differenialgleichungen () Erhöhung der Invesiionsrae I() erhöh das Einkommen Y(): dy d = s di (s = konsan)

Mehr

Ganzrationale Funktionenscharen. 4. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr.

Ganzrationale Funktionenscharen. 4. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr. Ganzraionale Funkionenscharen. Grades Umfangreiche Aufgaben Lösungen ohne CAS und GTR Alle Mehoden ganz ausführlich Daei Nr. 7 Sand 3. Sepember 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion

Mehr

Analysis 3.

Analysis 3. Analysis 3 www.schulmahe.npage.de Aufgaben. Ermieln Sie die erse Ableiung. Vereinfachen Sie. a) fx) = e x x 3) b) fx) = ln x x + 4. Ermieln Sie die folgenden unbesimmen Inegrale. e x 5 a) e x dx b) dx

Mehr

Aufgabensammlung Teil 2a. Auch mit Verwendung von Methoden aus der Analysis: Wachstumsraten Differentialgleichungen. Auch mit CAS-Einsatz

Aufgabensammlung Teil 2a. Auch mit Verwendung von Methoden aus der Analysis: Wachstumsraten Differentialgleichungen. Auch mit CAS-Einsatz Wachsum Exponenielles Wachsum Aufgabensammlung Teil 2a Auch mi Verwendung von Mehoden aus der Analysis: Wachsumsraen Differenialgleichungen Auch mi CAS-Einsaz Sand: 23. Februar 2012 Daei Nr. 45811 INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmetrie und Verschiebung

4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmetrie und Verschiebung 4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmerie und Verschiebung Aufgabe : Symmerie (6) Unersuche die folgenden Funkionen auf Punk- oder Achsensymmerie: a) f() = 6 6 + 4 + 8 + 7 b) f() = 8 5 5 + 5 c) f() = (a 5 b +

Mehr

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis www.mahe-aufgaben.com Analysis: Eponenialfunkionen Analysis Übungsaufgaben u Eponenialfunkionen Pflich- und Wahleil gesames Soffgebie (insbesondere Funkionsscharen) ohne Wachsum Gymnasium ab J Aleander

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2011

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2011 Karlsruher Insiu für Technologie KIT) Insiu für Analysis Dr. A. Müller-Rekowski Dipl.-Mah. M. Uhl Sommersemeser Höhere Mahemaik II für die Fachrichungen Elekroingenieurwesen und Physik inklusive Komplee

Mehr

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat Fachag Mahemaik: Kurvenscharen Ablauf: 1. Sunde Gemeinsame Einsiegsaufgabe. Sunde Sammgruppenaufgaben Sammgruppen (a bis 6 Schüler) Jedes Gruppenmiglied erhäl eine unerschiedliche Aufgabe A, B, C, D in

Mehr

Kurven in der Ebene und im Raum

Kurven in der Ebene und im Raum Kapiel 9 Kurven in der Ebene und im Raum 9. Parameerdarsellung von Kurven Aufgabe 9. : Skizzieren Sie die folgenden Mengen und beureilen Sie jeweils, ob es sich um eine abgeschlossene oder offene Menge

Mehr

(x) 2tx t 2 1, x R, t R 0.

(x) 2tx t 2 1, x R, t R 0. Aufgaben zu Geradenscharen. Folgende Funkionen beschreiben Geradenscharen. Sellen Sie diese Scharen dar, inde sie die Geraden für k = -, k = 0, k = und k = 3 zeichnen. a) f k (x) (k )x, x R, k R b) f k

Mehr

5.5. Abstrakte Abituraufgaben zu Exponentialfunktionen

5.5. Abstrakte Abituraufgaben zu Exponentialfunktionen 5.5. Absrake Abiuraufgaben zu Eponenialfunkionen Aufgabe : Kurvenunersuchung, Inegraion, Opimierungsaufgabe Gegeben is die Funkion f() ( ) e,5. a) Unersuchen Sie das Schaubild von f auf Achsenschnipunke,

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion

Mehr

Kapitel : Exponentiell-beschränktes Wachstum

Kapitel : Exponentiell-beschränktes Wachstum Wachsumsprozesse Kapiel : Exponeniell-beschränkes Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden nun eine Angabe aus der Biologie und in einem weieren Beispiel eines

Mehr

Mathematikaufgaben > Analysis > Funktionenscharen

Mathematikaufgaben > Analysis > Funktionenscharen Michael Buhlmann Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen Augabe: Unersuche die ganz raionale Funkionenschar + 8 mi Parameer > 0 au: Nullsellen, Hoch- und Tiepunke, Monoonie, Wendepunke, Krümmung,

Mehr

Aufgaben zu Geradenscharen

Aufgaben zu Geradenscharen Aufgaben zu Geradenscharen. Folgende Funkionen beschreiben Geradenscharen. Sellen Sie diese Scharen dar, inde sie die Geraden für k = -, k = 0, k = und k = 3 zeichnen. a) f k (x) = (k )x, x R, k R b) f

Mehr

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp://www.windelberg.de/agq 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und

Mehr

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN Skrium zum Fach Mechanik 5Jahrgang HTL-Eisensad DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN DilIngDrGüner Hackmüller 5 DilIngDrGüner Hackmüller Alle Reche vorbehalen

Mehr

Demo-Text für Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel.

Demo-Text für  Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel. Funkionen und Kurven Differenialgeomerie Tex Nummer: 5 Sand: 9. März 6 Demo-Tex für www.mahe-cd.de INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mahe-cd.de 5 Differenialgeomerie Vorwor Das Thema Kurven is

Mehr

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 9: Radioakiver Zerfall Beim radioakiven Zerfall einer Subsanz S 1 beschreib m 1 () die Masse der noch nich zerfallenen Subsanz zum Zeipunk mi

Mehr

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) =

Mehr

Kapitel : Exponentielles Wachstum

Kapitel : Exponentielles Wachstum Wachsumsprozesse Kapiel : Exponenielles Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum 1.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden im Beispiel 2 auch fas die gleiche Angabe wie in Beispiel 1 - lediglich eine

Mehr

Regelungstechnik. Steuerung. Regelung. Beim Steuern bewirkt eine Eingangsgröße eine gewünschte Ausgangsgröße (Die nicht auf den Eingang zurückwirkt.

Regelungstechnik. Steuerung. Regelung. Beim Steuern bewirkt eine Eingangsgröße eine gewünschte Ausgangsgröße (Die nicht auf den Eingang zurückwirkt. Regelungsechnik Seuerung Beim Seuern bewirk eine Eingangsgröße eine gewünsche Ausgangsgröße (Die nich auf den Eingang zurückwirk. Seuern is eine Wirkungskee Seuerkee (Eingahnsraße) Bsp. Boiler Regelung

Mehr

4.6. Aufgaben zu rationalen Funktionen

4.6. Aufgaben zu rationalen Funktionen Aufgabe : Raionale Funkionen Formuliere jeweils ein Beispiel für eine a) ganzraionale Funkion 0. Grades b) ganzraionale Funkion. Grades c) ganzraionale Funkion. Grades d) raionale Funkion mi Nennergrad

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 5. Semester ARBEITSBLATT 6 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 5. Semester ARBEITSBLATT 6 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN ARBEITSBLATT PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Eine Gerade sell man im R ensprechend zum R auf, nur daß eine z-koordinae hinzukomm: Definiion: Parameerdarsellung einer Gerade durch die Punke A und B:

Mehr

ZUU AUUFFGGAABBEE :: Die Wann läuft zunächst voll. Nach einiger Zeit wird etwas Wasser abgelassen und dann wird etwas zugeführt.

ZUU AUUFFGGAABBEE :: Die Wann läuft zunächst voll. Nach einiger Zeit wird etwas Wasser abgelassen und dann wird etwas zugeführt. Lineare Funkionen. Lösungen Lö LÖÖSSUUNNGGEENN ZZUUM.. KPPI IITTEELL ZZUU UUFFGGEE..: : a) as Pfeildiagramm zeig keine Funkion, da von h kein Pfeil ausgeh und von a zwei Pfeile. b) Is eine Funkion, denn

Mehr

um (x + X) 4 auszurechnen verwenden wir den Binomischen Lehrsatz (a+b) n = a n + ( n 1 )a n-1* b 1 + + b n ( n k ) = in Gleichung einsetzen

um (x + X) 4 auszurechnen verwenden wir den Binomischen Lehrsatz (a+b) n = a n + ( n 1 )a n-1* b 1 + + b n ( n k ) = in Gleichung einsetzen Mahemaik I Übungsaufgaben 8 Lösungsorschläge on T. Meyer Era-Mahemaik-Übung: 005--06 Aufgabe Berechnen Sie die Ableiung der Funkion f an einer beliebigen Selle 0 ohne Verwendung irgendwelcher Vorkennnisse

Mehr

Analysis: Exp. und beschränktes Wachstum Analysis Übungsaufgaben zum exponentiellen und beschränkten Wachstum

Analysis: Exp. und beschränktes Wachstum Analysis Übungsaufgaben zum exponentiellen und beschränkten Wachstum www.mahe-aufgaben.com Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum Analysis Übungsaufgaben zum exponeniellen und beschränken Wachsum Gymnasium Klasse 10 Alexander Schwarz www.mahe-aufgaben.com Februar 2014 1

Mehr

3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) AR(p)-Prozesse

3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) AR(p)-Prozesse 3. Auoregressive Prozesse (AR-Modelle 3.. AR(-Prozesse Definiion: Ein sochasischer Prozess ( heiß auoregressiver Prozess der Ordnung [AR(-Prozess], wenn er der Beziehung (3.. genüg. ( is darin ein reiner

Mehr

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 2

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 2 Flugzeugaerodynamik I Lösungsbla 2 Lösung Aufgabe Bei der vorliegenden Aufgabe handel es sich um die Nachrechenaufgabe der Skele Theorie. a) Der Koeffizien A 1 is durch die Wölbung des gegebenen Skeles

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Gewöhnliche Differenialgleichungen (DGL) Einführende Beispiele und Definiion einer DGL Beispiel 1: 1. Die lineare Pendelbewegung eines Federschwingers führ uner Zuhilfenahme des Newonschen Krafgesezes

Mehr

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R. Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P(

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986 c 001 by Rainer Müller - www.emah.de 1 Lösng Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR a Asympoen Senkreche Asympoen Es

Mehr

Teil 2. Hier: Verwendung von Methoden aus der Analysis: Wachstumsraten Differenzialgleichungen. Auch mit CAS-Einsatz. Stand: 1.

Teil 2. Hier: Verwendung von Methoden aus der Analysis: Wachstumsraten Differenzialgleichungen. Auch mit CAS-Einsatz. Stand: 1. Themenhef Begrenzes Wachsum Teil 2 Hier: Verwendung von Mehoden aus der Analysis: Wachsumsraen Differenzialgleichungen Auch mi CAS-Einsaz Sand: 1. Augus 2012 Daei Nr. 45820 Gaisex für www.mahe-cd.de INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K

Abiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K Abiurprüfung Mhemik (Bden-Würemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe. Für jedes * is die Funkion f gegeben durch f (x) = x x + x +, x Ds Schubild von f is K. ( )( ).. (4 Punke) Zeichnen Sie K und K

Mehr

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung Schülerbuchseie Lösungen vorläufig I Inegralrechnung Lokale Änderungsrae und Gesamänderung S. S. b h = m s ( s) + m s s + m s ( s) = 7 m Fläche = 7 FE a) s =, h km h +, h km h +, h km h +, h km h +,, h

Mehr

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen N.BORGHINI Version vom 5. November 14, 13:57 Kernphysik III. Radioakive Zerfallsreihen Das Produk eines radioakiven Zerfalls kann selbs insabil sein und späer zerfallen, und so weier, sodass ganze Zerfallsreihen

Mehr

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals 1/8 Grundidee der Inegralrechnung Inegralrechnung Die Inegralrechnung is neben der Differenialrechnung der wichigse Zweig der Analysis. Sie is aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung ensanden.

Mehr

Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen

Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen 13. Großübung Anfangswerprobleme gewöhnlicher Differenialgleichungen gesuch: mi T und y () = f(, ), y( ) = y (1) y( j+1 ) = y( j ) + j+1 j f(s, y(s)) ds () Idee: Erseze Inegral durch Quadraurformel Näherungen

Mehr

Hörsaalübung 3 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Hörsaalübung 3 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mahemaik der Universiä Hamburg WiSe 26/27 Dr. Hanna Peywand Kiani Hörsaalübung 3 Differenialgleichungen I für Sudierende der Ingenieurwissenschafen Lineare Differenialgleichungssyseme Die ins

Mehr

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte www.mahe-aufgaben.com Analysis: Ganzraionale Funkionen Analysis Ganzraionale Funkionen Differenzialrechnung, Exrem- und Wendepunke Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mahe-aufgaben.com Juni 0 www.mahe-aufgaben.com

Mehr

Struktur und Verhalten I

Struktur und Verhalten I Kapiel 9 Srukur und Verhalen I Ganz allgemein gesag is das Thema dieses Kurses die Ersellung, Simulaion und Unersuchung von Modellen räumlich homogener dynamischer Syseme aus Naur und Technik. Wir haben

Mehr

2. Grundlagen Schwingungslehre

2. Grundlagen Schwingungslehre Zusammenfassung Harmonische Anregung (5) Zusammenfassung Harmonische Anregung (6) .4 Akive Schwingungsisolaion (1) a) Schuz der Umgebung von Maschinen, die Schwingungen erzeugen (akiv) b) Schuz eines Geräes,

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof. Dr. Guido Sweers WS 08/09 Jan Gerdung, M.Sc. Gewöhnliche Differenialgleichungen Übungsbla Die Lösungen müssen in den Übungsbriefkasen Gewöhnliche Differenialgleichungen (Raum 0 im MI) geworfen werden.

Mehr

A.24 Funktionsscharen 1

A.24 Funktionsscharen 1 A.4 Funkionsscharen A.4 Funkionsscharen ( ) Bemerkung: Im Buch Kurvenprobleme gib es viel Aufgaben zu Funkionen, die einen Parameer enhalen. Falls Sie hier also nich genug kriegen... A.4.0 Orskurven (

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986 001 - hp://www.emah.de 1 Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR Ihr Schabild sei K. a Unersche K af Asympoen, Schnipnke

Mehr

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 151 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7 5. Semester ARBEITSBLATT 7 PARAMETERDARSTELLUNG EINER EBENE

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7 5. Semester ARBEITSBLATT 7 PARAMETERDARSTELLUNG EINER EBENE Mahemaik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeibla 7. Semeer ARBEITSBLATT 7 PARAMETERDARSTELLUNG EINER EBENE Im Raum möche man naürlich nich nur Geraden ondern auch Flächen darellen. Diee Flächen bezeichne man al

Mehr

Mathematik III DGL der Technik

Mathematik III DGL der Technik Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und

Mehr

Wachstum und Abnahme, beschreibende Statistik

Wachstum und Abnahme, beschreibende Statistik Name: Mahemaik 4. Klassenarbei Klasse 10e- -Grp. A 30. April 2008 Wachsum und Abnahme, beschreibende Saisik Aufgabe I: bearbeie auf dem Bla durch ausfüllen oder ankreuzen (unersreichen) 1.1) Rechne die

Mehr

Lösungen Test 2 Büro: Semester: 2

Lösungen Test 2 Büro: Semester: 2 Fachhochschule Nordwesschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Insiu für Geises- und Naurwissenschaf Dozen: Roger Burkhard Klasse: Sudiengang ST Lösungen Tes Büro: 4.613 Semeser: Modul: MDS Daum: FS1 Bemerkungen:

Mehr

Aufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann

Aufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann Aufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann Aufgabe Im abgelaufenen Jahr haen einige große deusche Firmen hohe prozenuale Gewinnzuwächse. Gleichzeiig wurden eilweise massiv

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppiz, Dr. I. Rbak 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mahemaik Sommersemeser 9 Prof. Dr. M. Sroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Konvergenzverhalen

Mehr

MATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

MATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik Fachabiuiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichung Technik Diensag, 4. Juni 2013, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler

Mehr

5.5. Konkrete Abituraufgaben zu rationalen Funktionen

5.5. Konkrete Abituraufgaben zu rationalen Funktionen 5.5. Konkree Abiuraufgaben zu raionalen Funkionen Aufgabe 1: Kurvenunersuchung, Modellbildung, Inegraion (18) Auf kleine, gleich große Versuchsflächen wird jeweils eine besimme Menge Aussaa ausgebrach.

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner Sysemheorie eil A - Zeikoninuierliche Signale und Syseme - Muserlösungen Manfred Srohrmann Urban Brunner Inhal 3 Muserlösungen - Zeikoninuierliche Syseme im Zeibereich 3 3. Nachweis der ineariä... 3 3.

Mehr

A.24 Funktionsscharen 1

A.24 Funktionsscharen 1 A.24 Funkionsscharen Das Buch: Dieses Kapiel is Teil eines Buches. Das vollsändige Buch können Sie uner www.mahe-laden.de besellen (falls Sie das möchen). Sie werden in diesem Buch ein paar Sachen finden,

Mehr

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach)

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach) Übungen zur Einführung in ie Physik Nebenfach --- Muserlösung --- Aufgabe: Konensaorenlaung Ein mi Glimmer ε r = 8 gefüller Plaenkonensaor mi er Fläche A=6 cm un einem Plaenabsan = 5 μm enlä sich wegen

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 310 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

Universität Ulm Samstag,

Universität Ulm Samstag, Universiä Ulm Samsag, 5.6. Prof. Dr. W. Arend Robin Nika Sommersemeser Punkzahl: Lösungen Gewöhnliche Differenialgleichungen: Klausur. Besimmen Sie die Lösung (in möglichs einfacher Darsellung) folgender

Mehr

Strömung im Rohr. Versuch: Inhaltsverzeichnis. Fachrichtung Physik. Physikalisches Grundpraktikum. 1 Aufgabenstellung 2

Strömung im Rohr. Versuch: Inhaltsverzeichnis. Fachrichtung Physik. Physikalisches Grundpraktikum. 1 Aufgabenstellung 2 Fachrichung Physik Physikalisches Grundprakikum Ersell: Bearbeie: Versuch: L. Jahn SR M. Kreller J. Kelling F. Lemke S. Majewsky i. A. Dr. Escher Akualisier: am 29. 03. 2010 Srömung im Rohr Inhalsverzeichnis

Mehr

Lösung Abiturprüfung 2000 Grundkurs (Baden-Württemberg)

Lösung Abiturprüfung 2000 Grundkurs (Baden-Württemberg) Lösung Abiurprüfung 2 Grundkurs (Baden-Würemberg) Analysis, Aufgabe I.1. a) ( x) = 1 [( x)3 9 ( x)]= 1 ( x3 + 9x)= 1 ( x3 9x) = ( x) Somi is (x ) punksymmerisch zum Ursprung. ( x) = 1 (x3 9x)= x(x 2 9)=

Mehr

Aufgabensammlung Teil 2: Funktionen mit Parametern Funktionenscharen. Aufgaben im Abiturstil

Aufgabensammlung Teil 2: Funktionen mit Parametern Funktionenscharen. Aufgaben im Abiturstil ANALYSIS Gebrochen raionale Funkionen Aufgabensammlung Teil : Funkionen mi Parameern Funkionenscharen Aufgaben im Abiursil Die Lösungen aller verwendeen Abiuraufgaben sammen von mir Neu eingerichee Sammlung

Mehr

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung in gewöhnliche Differenialgleichungen Jonahan Zinsl 25. Mai 202 Definiionen Definiion.(Gewöhnliche Differenialgleichung. Ordnung) Uner einer gewöhnlichen Differenialgleichung. Ordnung verseh

Mehr

Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen

Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen Aufgaben zu den verschiedenen Wachsumsmodellen 1. Beispiel: Spezialdünger Durch den Einsaz von Spezialdünger kann der Errag von Feldfrüchen verbesser werden. Erräge können aber nich grenzenlos geseiger

Mehr

t,t Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase l von 6 Mathematik 'f(x) f '(x) zkm (mit CAS) \ ro Aufgabenstellung

t,t Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase l von 6 Mathematik 'f(x) f '(x) zkm (mit CAS) \ ro Aufgabenstellung zkm (mi CAS) Miniserium für Landes Nordrhein-Wesfalen Seie 'les l von 6 Zenrale Klausur am Ende der Einführungsphase 202 Mahemaik Aufgabensellung Aufgabe : Unersuchung ganzraionaler Funkionen Gegeben is

Mehr

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION 9.. Eponenialfunkion (a) Definiion Im Abschni Zinseszinsrechnung konne die Berechnung eines Kapials K n nach n Perioden der

Mehr

1. Schularbeit (6R) 24. Okt. 1997

1. Schularbeit (6R) 24. Okt. 1997 . Schularbei (6R). Ok. 997. Vereinfache und selle das Ergebnis mi posiiven Hochzahlen dar. Es sind dabei alle Rechenschrie anzugeben: 7 x x y 8 : x x y. Löse die folgende Wurzelgleichung ohne Verwendung

Mehr

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum Exponenielles Wachsum Teil 1 Prozenuales Wachsum wird mi Exponenialfunkionen berechne Themenhef für die Grundlagen ab Klasse 10 Viel Theorie mi Muserbeispielen Aber auch gründliche Besprechung aller Grundaufgaben

Mehr

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten!

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten! Universiä Regensburg, Winersemeser 3/4 Examenskurs Analysis (LGy) Dr. Farid Madani Probeklausur Thema Nr. (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeien! Aufgabe (5 Punke). Man

Mehr

Die Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion Die Eponenilunkion Deiniion Es sei eine posiive reelle Zhl,,. Eine Funkion R + R R : heiß Eponenilunkion. Die posiive reelle Zhl heiß Bsis und die reele Zhl R Eponen der Funkion. Mnchml heiß uch Wchsumskor.

Mehr

Abiurprüfung Mahemaik 007 Baden-Würemberg (ohne CAS) Pflicheil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erse Ableiung der Funkion f mi f () + = ( sin ). Aufgabe : ( VP) ln Berechnen Sie das Inegral e

Mehr

Lösung Abiturprüfung 1994 Leistungskurs (Baden-Württemberg)

Lösung Abiturprüfung 1994 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Lösung Abiurprüfung 1994 Leisungskurs (Baden-Würemberg) Analysis I.1. a) D f = IR / { 1 } f x= = K besiz keine Nullsellen 1x f ' x= 8 1x = 8 K besiz keine Exremsellen senkreche Asymoe : x= 1 waagereche

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. Übungen zur Ingenieur-Mahemaik III WS 9/ Bla 3 7.. Aufgabe 59: Berechnen Sie die Bogenlänge der Schraubenlinie r γ() := r h mi π und inerpreieren Sie das Ergebnis geomerisch. Lösung: Der Tangenialvekor

Mehr

Grundlagenfach Mathematik. Prüfende Lehrpersonen Alitiloh Essodinam

Grundlagenfach Mathematik. Prüfende Lehrpersonen Alitiloh Essodinam Schrifliche Mauriäsprüfung 017 Fach Grundlagenfach Mahemaik Prüfende Lehrpersonen Aliiloh Essodinam essodinam.aliiloh@edulu.ch Mikova Teodora eodora.mikova@edulu.ch Zuidema Roel roel.zuidema@edulu.ch Klassen

Mehr

matheskript Analysis GEBROCHENRATIONALE GANZRATIONALE E-FUNKTIONEN Ballon H Klasse H 1 Ballon W 1 W 2 ABI 2018 Jens Möller

matheskript Analysis GEBROCHENRATIONALE GANZRATIONALE E-FUNKTIONEN Ballon H Klasse H 1 Ballon W 1 W 2 ABI 2018 Jens Möller 6 y 5 4 3 maheskrip 3 4 5 4 Analysis 6 GEBROCHENRATIONALE GANZRATIONALE E-FUNKTIONEN Ballon y Ballon 4 H 3. Klasse H 3 W W S S ABI 08 3 5 4 4 6 Jens Möller Auor: Jens Möller Owingen Tel. 0755-6889 jmoellerowingen@aol.com

Mehr

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs Seie von 9 Unerlagen für die Lehrkraf Abiurprüfung 9 Mahemaik, Leisungskurs. Aufgabenar Lineare Algebra/Geomerie ohne Alernaive. Aufgabensellung siehe Prüfungsaufgabe. Maerialgrundlage 4. Bezüge zu den

Mehr

Fourier-Transformation Linearität, Symmetrie, Verschiebung, Skalierung, Faltung, Modulation

Fourier-Transformation Linearität, Symmetrie, Verschiebung, Skalierung, Faltung, Modulation Übung 3 Fourier-Transformaion Lineariä, Symmerie, Verschiebung, Skalierung, Falung, Modulaion Lernziele - wissen und versehen, dass der Berag der Fourier-Transformieren einer reellen Funkion gerade is.

Mehr

4. Quadratische Funktionen.

4. Quadratische Funktionen. 4-1 Funkionen 4 Quadraische Funkionen 41 Skalierung, Nullsellen Eine quadraische Funkion is von der Form f() = c 2 + b + a mi reellen Zahlen a, b, c; is c 0, so sprechen wir von einer echen quadraischen

Mehr

Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) - Berechnung von Nullstellen, Gleichungen höheren Grades -

Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) - Berechnung von Nullstellen, Gleichungen höheren Grades - GS - 3.0.05 - gara_0_berechnenns.mcd Ganzraionale Funkionen (Polynomfunkionen) - Berechnung von, Gleichungen höheren Grades -. Gleichungen höheren Grades Gegeben is der Funkionserm f( ) a n n + a n n +...

Mehr

7. Vorlesung Wintersemester

7. Vorlesung Wintersemester 7. Vorlesung Winersemeser Der ungedämpfe Oszillaor mi komplexem Lösungsansaz Wie gezeig, wird die DGL des ungedämpfen Oszillaors mẍ() + kx() = 0 () im Komplexen von den Funkionen x () = e iω und x 2 ()

Mehr

2.2 Rechnen mit Fourierreihen

2.2 Rechnen mit Fourierreihen 2.2 Rechnen mi Fourierreihen In diesem Abschni sollen alle Funkionen als sückweise seig und -periodisch vorausgesez werden. Ses sei ω 2π/. Wir sezen jez aus Funkionen neue Funkionen zusammen und schauen,

Mehr

Der kinetische Ansatz zur Beschreibung von Selbstorganisationsprozessen. mögliche Variationen und Erweiterungen: diskrete Gleichungen (endliches t):

Der kinetische Ansatz zur Beschreibung von Selbstorganisationsprozessen. mögliche Variationen und Erweiterungen: diskrete Gleichungen (endliches t): Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 Der kineische Ansaz zur Beschreibung von Selbsorganisaionsprozessen. Die Beschreibung von Prozessen Prozesse (Veränderungen,

Mehr

Unendliche Folgen und Reihen

Unendliche Folgen und Reihen . ) Zu Beginn befinde sich ein neu geborenes Kaninchenpaar K im Gehege (), ebenso zu Beginn des zweien Monas (), zu Beginn des drien Monas wird ein Kaninchenpaar K geboren (), zu Beginn des vieren Monas

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Dipl.-Mah. Sebasian Schwarz SS 015 17.05.015 Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsbla

Mehr

7. Gewöhnliche Differentialgleichungen

7. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 7. Gewöhnliche Differenialgleichungen DGL: Gewöhnliche DGL: Parielle DGL: Anfangs- oder Randbedingungen: Besimmungsgleichung für eine Funkion, in der die gesuchen Funkion und ihre Ableiungen vorkomm

Mehr

gegeben durch x 4 in dasselbe Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm). Zur Kontrolle: ft

gegeben durch x 4 in dasselbe Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm). Zur Kontrolle: ft KA LK M2 13 18. 11. 05 I. ANALYSIS Leisungsfachanforderungen Für jedes > 0 is eine Funkion f gegeben durch f (x) = x + 1 e x ; x IR. Der Graph von f sei G. a) Unersuche G auf Asympoen, Nullsellen, Exrem-

Mehr

Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 4. Vorlesung

Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 4. Vorlesung Physik der sozio-ökonomischen Syseme mi dem Compuer PC-POOL RAUM 0.0 JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT 0..07 4. Vorlesung MATTHIAS HANAUSKE FRANKFURT INSTITUTE FOR ADVANCED STUDIES JOHANN WOLFGANG GOETHE

Mehr

Prüfungsaufgaben Wiederholungsklausur

Prüfungsaufgaben Wiederholungsklausur NIVESITÄT LEIPZIG Insiu für Informaik Prüfungsaufgaben Wiederholungsklausur Ab. Technische Informaik Prof. Dr. do Kebschull Dr. Hans-Joachim Lieske 5. März / 9 - / H7 Winersemeser 999/ Aufgaben zur Wiederholungsklausur

Mehr