4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen

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1 ... Eonenialfunkionen Definiion:.. Eonenial- und Logarihmusfunkionen Die Funkion f() = c a mi D = R, c und a R + \{}heiß Eonenialfunkion zur Basis a. Die Eonenialfunkion zur Basis a = e mi der Eulerschen Zahl e =,... heiß naürliche Eonenial-funkion und wird auch als e() geschrieben: e = e(). Beisiele: Eigenschafen der Eonenialfunkionen Werebereich: W = R + Waagreche Asmoen: a für und a > bzw. für + und a < Smmerie: Siegel man das Schaubild von = a an der -Achse, so erhäl man das Schaubild von = a = a Gemeinsamer Punk: Die Schaubilder aller Eonenialfunkionen gehen durch den Punk P( ) Wachsum: Jede Eonenialfunkion wächs schließlich särker als alle Poenzfunkionen: a > b n > n log b log a - Beisiel zur Besimmung einer Funkionsgleichung Besimme die Gleichung der Eonenialfunkion f() = c a, deren Schaubild durch P( ) und Q( ) geh. Lösung Durch Einsezen der Koordinaen der beiden Punke in den Ansaz = c a erhäl man zwei Gleichungen für zwei Unbekanne c und a: P( ): = c a Q( ): = c a Dieses nichlineare Gleichungsssem lös man am besen mi dem Gleichsezungsverfahren: c = a c = a a = a a = c = a = 6 Die gesuche Funkion ha die Gleichung f() = 6,.

2 Übungen: Aufgaben zu eoneniellen Änderungen Nr Logarihmusfunkionen Wereabelle und Schaubilder von Logarihmusfunkionen: log log Eigenschafen: f () = log a () is die Umkehrfunkion zu f() = a, d.h., man erhäl das Schaubild von f aus dem Schaubild von f durch Siegelung an der. Winkelhalbierenden und die Funkionsgleichung von f aus der Funkionsgleichung = f() durch Auflösen nach und Verauschung von und. Insbesondere gil: Die negaive -Achse is senkreche Asmoe Alle Schaubilder gehen durch den Punk ( ) Übungen: Aufgaben zu eoneniellen Änderungen Nr. und... Lineare Änderungen (siehe auch..) Beisiel:.. Aufgaben zu linearen Funkionen Nr. e log () ln() log () Lineare Änderung (siehe auch...). Eine Größe B änder sich linear, wenn nach Zeischrien gil B() = B() + k mi dem konsanen Änderungsfakor k R\{} und dem Anfangswer B() R.. Ihre Änderung is konsan: B( + ) B() = k.. Für k > is es eine lineare Zunahme und für k < eine lineare Abnahme.. Ihr Schaubild is eine Gerade mi der Seigung k, die die -Achse bei B() schneide. B( + ) B() = B() = + k. Achung: Der Änderungsfakor k häng von der gewählen Zeieinhei ab! C() = = + =

3 ... Eonenielle Änderungen Beisiel: Aufgaben zu eonenielle Änderungen Nr. 6 Eonenielle Änderung. Eine Größe B änder sich eoneniell, wenn nach Zeischrien gil B() = B() ( + ) mi der rozenualen Änderungsrae R\{} und dem Anfangswer B() R. B() =,. Für > is es eine eonenielle Zunahme und für < eine eonenielle Abnahme. B( + ). Ihre Änderung is roorional zum Besand: B( + ) B() = k B().. Der Änderungsfakor is k =. B() k B(). Ihr Schaubild is eine Kurve, die die -Achse bei B() schneide: 6. Achung: Die rozenuale Änderungsrae häng von der gewählen Zeieinhei ab! C() =, + Beisiel zur Umrechnung der Änderungsrae auf andere Zeieinheien: Eine Anlage wird mi % monalich verzins. Berechne die Zinsrae bezogen auf a) ein Jahr b) einen Tag. Hinweis: Banken rechnen mi Monaen zu Tagen. Lösung: Der Wachsumsfakor is ( + ) =, bezogen auf Mona. a) Bezogen auf Jahr = Monae is ( + ) =, =, jährliche Zinsrae % Bezogen auf Tag = Mona is ( + ) / =, / =,6 ägliche Zinsrae,6 % Übungen: Aufgaben zu eoneniellen Änderungen Nr. -

4 ... Beschränke Änderungen Beisiel: Aufgaben zu beschränken Änderungen Nr. Beschränke Änderung. Eine Größe B() änder sich beschränk mi der Säigungsgrenze S R, wenn das Säigungsmanko S B() eoneniell abnimm: S B() = [S B()] ( ) bzw. B() = S [S B()] ( ) mi > (!). Ihre Änderung is roorional zum Säigungsmanko: B( + ) B() = k [S B()] mi k =. B( + ) = 6 B() S = k [S B()] B() =,. Sie läss sich auch als Kombinaion einer linearen Zunahme und einer eoneniellen Abnahme beschreiben: B( + ) B() = k S k B().. Für S > B() ergib sich ein Wachsum, für S < B() eine Abnahme.. Ihr Schaubild is eine Kurve, die die -Achse bei B() schneide und sich der Säigungsgrenze S asmoisch näher: C() = +, S = 6 + Beisiel für den Nachweis eines beschränken Wachsums und Berechnung von S und k: Für die zeiliche Enwicklung eines Besandes B() nach Zeischrien wurde die Beziehung B( + ) =, B() + mi ermiel. Zeige, dass es sich um beschränkes Wachsum handel und berechne S sowie k. Lösung: Die Gleichung läss sich folgendermaßen umformen: B( + ) =, B() + B( + ) B() =, B() =, [, B()] =, [ B()] = k [S B()] S = und k =, B() =, B() Änderungsfakor ausklammern Übungen: Aufgaben zu beschränken Änderungen Nr. -

5 ..6. Logisische Änderungen Beisiel: Aufgaben zum logisischen Wachsum Nr. Logisische Änderungen. Eine Größe B() änder sich logisisch mi der Säigungsgrenze S R, wenn B() = S B() B() S B() ( k S).. Ihre Änderung is roorional zum Besand B() und zum Säigungsmanko S B(): B( + ) B() = k B() [S B()]. Für S > B() erhäl man eine Zunahme und für S < B() eine Abnahme.. Ihr Schaubild is eine S-Kurve, die die -Achse bei B() schneide und sich der Säigungsgrenze S asmoisch näher. S = säer beschränkes Wachsum B( + ) B() k B() [S B()] B() = zunächs eonenielles Wachsum + Übungen: Aufgaben zu logisischen Wachsum Aufgaben -

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