Seiten 4 / 5. Lösungen Mathematik-Dossier 8 Rechnen mit Variablen
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- Arnim Brodbeck
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1 Seiten 4 / 5 Distributivgesetz Multiplikation Division - Verbindung v. Operationen versch. Stufe 1 a) 15a : 5 = 15 a : 5 = 15 : 5 a = 3a b) 7x 3 = 7 x 3 = 7 3 x = 21x c) 8x 3y = 8 x 3 y = 8 3 x y = 24xy d) 84xy : 7y = 84 x y : (7 y) = 84 x y : 7 : y = (84 : 7) x ( y : y) = 12x e) 12x (-3x) = 12 x (-3) x = 12 (-3) x x = (-36 x 2 ) f) 12x 4xy = 12 x 4 x y =12 4 x x y = 48 x 2 y g) 21x 2 y : 3xy = 21 x x y : (3 x y) = 21 x x y : 3 : x : y = (21:3) x (x : x) (y : y)=7x 2 a) g = g = 13(6-11g) b) 72rstu + 48tu = 3 24 r s u t u = 24tu (3rs + 2) c) 27x 2-54x = 27 x x 2 27 x = 27x(x-2) d) mnpr + mopqr = mpr(n + oq) e) 58afg - 29f 2 = 29f(2ag f) f) wxyz yz = w x y z - y z 1 = yz(wx 1) g) 34mn - 51n = 17n(2m 3) 3 a) (63v -1) 4w = 63v 4w - 1 4w = 252vw 4w b) (72v -1) 3w = 72v 3w - 1 3w = 216vw 3w c) (42b - 70a) : (-14) = 42b : (-14) 70a : (-14) = (-3b) (-5a) = (-3b) + 5a = 5a + (-3b) = 5a 3b d) (a 2 b ab 2 ) : (ab) = (a 2 b) : (ab) (ab 2 ) : (ab) = a - b e) (ef - fg) : (-f) = ef : (- f) fg : (-f) = (-e) (-g) = (-e) + g f) 4x (28-32x) = 4x 28 4x 32x = 112x 128x 2 = (-128x 2 ) + 112x (Ordnung: Variablen mit Exponent zuerst angeben) 4 a) 28 - (32x - 4x) = 28-32x + 4x = 4x + (-32x) + 28 = (-28x) + 28 = (-28) ( x 1) b) (-9ab) - (-11abc) - (27ab) = (-9ab) + 11abc + ( -27ab) = (-9ab) + ( -27ab)+ 11abc = (-36ab) + 11abc = ab [(-36) + 11c] c) 8x - (-15y) - (-13x) + 12y 3y = 8x + 15y + 13x + 12y 3y = 8x + 13x + 12y 3y + 15y = 21x + 36y y = 3(7x + 12y 2 + 5y) d) 34h : 34 33h = 1h + (- 33h) = (-32h) e) 4x - ( x) = 4x x = 4x + (-42x) + (-28) = (-38x) + (-28) = (-38x) 28 = (-2) (19x + 14) f) 5a (28-32a) = 5a 28 5a 32a = 140a 160a 2 = 140a + (-160a 2 ) = (-160a 2 ) + 140a g) (-11) (xy - 27) = (-11) (xy - 27) = (-11xy) (-11) 27 = (-11xy) h) (-109) (de) - (-17) (ed) = (-109de) + 17ed = (-92de) i) 68x : 17 = 4x j) 48-4(5a + 6) = a + (-4) 6 = 48 20a 24 = 48 + (-24 ) + ( 20a) = (-20a) + 24 = 4[(-5a) + 6] = (-4) (5a 6) k) 68d : = 1d 67 = d 67 l) (54 - x) - 9x = 54 - x - 9x = 54 + (-x) + (-9x) = (-10x) + 54 = (-2) (5x 27) m) 35cd - 7c 4d - 16cd = 35cd 28cd - 16cd = 35cd + ( 28cd) + (- 16cd) = (-9cd) n) 19ef (4d - ef) - 19e 2 f 2 = 19ef 4d - 19ef ef - 19e 2 f 2 =76def 19 e 2 f 2-19e 2 f 2 = 76def + (-19 e 2 f 2 ) + (-19 e 2 f 2 ) = 76def + (-38 e 2 f 2 ) = 38ef(2d ef) o) (-ds) (-ds) = d 2 s 2 p) (-7ab) (-8) + (-63abc) : (-7c) 56ab + 9ab = 65ab = q) (-11f) - 15 (6f - 7) = (-11f) + (-15) (6f - 7) = (-11f) + (-90f) = (-101f) r) 72x : 8 x = 9x x = 9x 2 s) (-7x) 13y 2 (-2z) = (-91xy 2 ) (-2z) = 182xy 2 z t) 13a 5b - (17b 8a) = 65ab - 136ab = 65ab + (-136ab) = (-71ab) 5 a) [(-36ab)+12b] : (-12) 3 = [(-36ab) : (-12) + 12b : (-12)] 3 =( 3ab + (-b) ) 3 = 3ab 3+(-b) 3 = 9ab + (- 3b) = 3b (3a 1) b) [(-23ab) + (-46cd)] 3c = (-23ab) 3c + (-46cd) 3c = (-69abc) + (-138c 2 d) = (-69c) (ab + 2cd) c) (36ab-12b) : (-12) c = (36ab : (-12) + ( 12b) : (-12)) c = ((-3ab) + 1b) c = (-3abc) + 1bc = (-3abc) + 1bc = bc [ (-3a) + 1 ] = -bc[3a 1] d) [(-32a)+21b] - [(-32a) 21b] = (-32a) + 21b - (-32a) + 21b = (-32a) + 32a + 21b + 21b = 42b Loesungen Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A. Räz / Seite 1
2 Seite 9 Aufgaben Gleichungen 1 a) x+12 = (-32) -12 Gegenoperation von +12 x = (-32) - 12 Ausrechnen rechte Seite x = (-44) x = (-44) Lösung angeben b) 232 x = (-23) Gegenoperation von (- x) = (-23) 232 Ausrechnen rechte Seite (- x) = (-255) x = 255 Achtung: (-x) ist Gegenzahl! c) x + (-32) = (-15) + 18x - x x auf linke Seite schaffen (-32) = (-15) + 17x + 15 Gegenoperation von -15 (-17) = 17x : 17 Gegenoperation von 17 (-1) = x x = (-1) d) 19 + (-7x) = (-5x) - (-5) - (-7x) = + 7x Gegenoperation von + (-7x) 19 = 2x (-5) + (-5) Gegenoperation von ( - 5) 14 = 2x : 2 Gegenoperation von 2 7 = x x = 7 e) (-x) - [ (-x) - (-9) ] = (-3x) - [ (-9x) + 33 ] Term vereinfachen (Klammer (-x) (-x) + (-9) = (-3x) (-9x) 33 Term vereinfachen (-x) + x + (-9) = (-3x) + 9x + (-33) Term vereinfachen (ausrechnen) (-9) = 6x + (-33) - (-33) = +33 Gegenoperation von + (-33) 24 = 6x : 6 Gegenoperation von 6 4 = x x = 4 f) (-x) - [ (-5x) - (-5) ] = (-9x) - [ (-2x) + (-72) ] Term vereinfachen (Klammern (-x) (-5x) + (-5) = (-9x) (-2x) (- 72) Term vereinfachen (-x) + 5x + (-5) = (-9x) + 2x + 72 Term vereinfachen (ausrechnen) 4x + (-5) = (-7x) x Gegenoperation von -7x 11x + (-5) = 72 - (-5) = + 5 Gegenoperation von + (-5) 11x = 77 : 11 Gegenoperation von 11 x = 7 x = 7 g) (-5x) - (-6) [(-2x) - (-10)] = (-110) Term vereinfachen (-5x) + 6 [(-2x) + 10] = (-110) Term vereinfachen (-5x) + (-12x) + 60 = (-110) Term vereinfachen (ausrechnen) (-17x) + 60 = (-110) -60 Gegenoperation von + 60 (-17x) = (-170) : (-17) Gegenoperation von 17 x = 10 x = 10 h) (-6) - (-3) [ (-8) + (-2x) ] = (-132) Term vereinfachen (-6) + 3 [ (-8) + (-2x)] = (-132) Term vereinfachen (-6) + (-24) +(-6x) = (-132) Term vereinfachen (ausrechnen) (-30) + (-6x) = (-132) - (-30) = + 30 Gegenoperation von + (-30) (-6x) = (-102) : (-6) Gegenoperation von (-6) x = 17 x = 17 i) (-10x) - (-8) [ (-7x) - (-9) ] = (-192) Term vereinfachen (-10x) +8 [ (-7x) + 9 ] = (-192) Term vereinfachen (ausmultiplizeren) (-10x) + (-56x) + 72 = (-192) Term vereinfachen (ausrechnen) (-66x) + 72 = (-192) - 72 Gegenoperation von + 72 (-66x) = (-264) : (-66) Gegenoperation von (-66) x = 4 x = 4 Loesungen Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A. Räz / Seite 2
3 Seite 9 Aufgaben Gleichungen 1 j) (-2x) - (-1)[(-9x) + (-8)] = (-260) + 3x Term vereinfachen (-2x) + 1[(-9x) + (-8)] = (-260) + 3x Term vereinfachen (-2x) + (-9x) + (-8) = (-260) + 3x Term vereinfachen (ausrechnen) (-11x) + (-8) = (-260) + 3x - (-11x) = + 11x Gegenoperation von + (-11x) (-8) = (-260) + 14x - (-260) = +260 Gegenoperation von + (-260) 252 = 14 x : 14 Gegenoperation von = x x = 18 1 a) Verankerung: x : Anzahl Kinder Textgleichung: 5 Erwachsene à 32 und x Kinder à 18 = Gleichung: x = 358 Vereinfachen x = Gegenoperation von x = 198 : 18 Gegenoperation von 18 x = 11 Lösung als Satz! Es hat 11 Kinder. b) Verankerung: x: Total Zuschauer Textgleichung: Neue Einnahmen sind Doppeltes von alten Einnahmen. Neue Einnahmen = 2 Mal alte Einnahmen. Seiten 13 / 14 Aufgaben Text in Gleichungen Gleichung: x 60 = Vereinfachen 60x = : 60 Gegenoperation von 60 x = 1680 TOTALE ANZAHL Plätze (siehe Verankerung!) Es werden 480 neue Plätze eingebaut = 480 c) Verankerung: x : Zahl Textgleichung: Doppeltes der Zahl plus 16 gleich wie Sechsfaches der Zahl minus 36 Gleichung 2x + 16 = 6x Gegenoperation von 36 2x + 52 = 6x - 2x Gegenoperation von 2x 52 = 4x : 4 Gegenoperation von 4 13 = x Die Zahl heisst 13. d) Verankerung: x: Taschengeld von Annegret Hier kann gewählt werden. Um Division zu vermeiden, wähle ich Annegret für x. Terme: Taschengeld Petra: 4x Textgleichung Taschengeld von Petra minus 5 = Doppeltes von Taschengeld von Annegret plus 5.-- (Die 5 Franken sind ja jetzt im Besitz von Annegret) Gleichung: 4x 5 = 2(x + 5) Distributivgesetz anwenden 4x 5 = 2x x Gegenoperation von +2x 2x 5 = Gegenoperation von 5 2x = 15 : 2 Gegenoperation von 2 x = 7.50 Annegret bekommt 7.50, Petra bekommt 30 Franken Taschengeld. Loesungen Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A. Räz / Seite 3
4 Seite 16 / 17 / 18 Aufgaben Ungleichungen - ZUSATZAUFGABEN Lösungen Mathematik-Dossier 8 Rechnen mit Variablen 1 e) Verankerung: x : Alter von Frank heute Auch hier: Verzicht auf Division, darum Alter des Jüngeren als x! Seiten 13 / 14 Aufgaben Text in Gleichungen Terme: Textgleichung 5x: Alter des Onkels heute x + 12: Alter von Frank in 10 Jahren 5x + 12: Alter des Onkels in 10 Jahren Alter Onkel in 12 Jahren ist doppelt so gross wie Alter von Frank in 10 Jahren. Gleichung: 5x + 12 = 2 (x + 12) Vereinfachen 5x + 12 = 2x Gegenoperation von x = 2x x Gegenoperation von +2x 3x = 12 :3 Gegenoperation von 3 x = 4 Lösung als Satz Frank feiert den 4. Geburtstag, es hat somit 4 Kerzen auf dem Kuchen. 1 a) (-23) < x + (-2) - (-2) = + 2 Gegenoperation von + (-2) (-21) < x x >(-21) Lösung angeben b) x - (-7) > 24 + (-7) Gegenoperation von (-7) x > 17 x >17 c) (-6x) - (-34) (-8) - (-8x) Term vereinfachen (-6x) + 34 (-8) + 8x - (-6x) = + 6x Gegenoperation von + (-6x) 34 (-8) + 14x - (-8) = + 8 Gegenoperation von + (-8) 42 14x : 14 Gegenoperation von 14 3 x x 3 d) (-7x) - [ (-5) + (-6x) ] < (-3x) - [ (-29) + (- 3x) ] Term vereinfachen (Klammern (-7x) - (-5) - (-6x) ] < (-3x) - (-29) - (- 3x) Term vereinfachen (-7x) x < (-3x) x Term vereinfachen (ausrechnen) (-x) + 5 < 29-5 Gegenoperation von + 5 (-x) < 24 + x Gegenoperation von (-x) 0 < 24 + x - 24 Gegenoperation von + 24 (-24) < x x >(-24) e) 26 < (-7) - [ (-3) + (-5x) ] Term vereinfachen (Klammern 26 < (-7) - (-3) - (-5x) Term vereinfachen 26 < (-7) x Term vereinfachen (ausrechnen) 26 < (-4) + 5x - (-4 ) = +4 Gegenoperation von + (-4) 30 < 5x : 5 Gegenoperation von 5 6 < x x >6 f) (-7) (-5) - (-5x) - [ (-6) - (-9x) ] Term vereinfachen (Klammern (-7) (-5) - (-5x) - (-6) + (-9x) Term vereinfachen (-7) (-5) + 5x (-9x) Term vereinfachen (ausrechnen) (-7) 1 + (-4x) - (-4x) = + 4x Gegenoperation von + (-4x) (-7) + 4x 1 - (-7) = + 7 Gegenoperation von + (-7) 4x 8 : 4 Gegenoperation von 4 x 2 x 2 Loesungen Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A. Räz / Seite 4
5 Seite 16 / 17 / 18 Aufgaben Ungleichungen - ZUSATZAUFGABEN Lösungen Mathematik-Dossier 8 Rechnen mit Variablen 1 g) (-5x) - (-6)[(-3) - (-4x)] (-75) Term vereinfachen (-5x) + 6[(-3) + 4x)] (-75) Term vereinfachen (-5x) + (-18) + 24x (-75) Term vereinfachen (ausrechnen) 19x + (-18) (-75) - (-18) = + 18 Gegenoperation von + (-18) 19x (-57) : 19 Gegenoperation von 19 x (-3) x (-3) h) 1188 (-9)[ (-7x) + (-6) ] Term vereinfachen x Gegenoperation von x : 63 Gegenoperation von x x 18 i) (-5x) - (-10)[(-9x) - (-9)] (-1525) Term vereinfachen (-5x)+ 10[(-9x) + 9 ] (-1525) Term vereinfachen (-5x) + (-90x) + 90 (-1525) Term vereinfachen (ausrechnen) (-95x) + 90 (-1525) - (-95x) = + 95x Gegenoperation von + (-95x) 90 (-1525) + 95x - (-1525) = Gegenoperation von + (-1525) x : 95 Gegenoperation von x x 17 j) (-6) - (-5)[(-7x) - (-9)] < 249 Term vereinfachen (-6) + 5[(-7x) + 9] < 249 Term vereinfachen (-6) + (-35x) + 45 < 249 Term vereinfachen (ausrechnen) 39 + (-35x) < (-35x) = + 35x Gegenoperation von + (-35x) 39 < x -249 Gegenoperation von (-210) < 35x : 35 Gegenoperation von 35 (-6) < x x >(-6) Bei Ungleichungen muss unbedingt verhindert werden, dass die Variable am Schluss mit einem negativen Koeffizienten (= Vorzahl) da steht. Dazu schafft man x auf die Seite, wo es mit einem positiven Koeffizienten (also mit einem + davor) steht. Loesungen Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A. Räz / Seite 5
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Name: Mathematik-Dossier 8 Rechnen mit Variablen (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Inhalt: Terme umformen / Rechenregeln mit Variablen Klammerregeln Verbindung von Operationen verschiedener Stufe
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1.2 Rechnen mit Termen II
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Terme Schon wieder! Terme nerven viele von euch, aber sie kommen immer wieder. Daher ist es wichtig, dass man besonders die Grundlagen drauf hat. Bevor es also mit der richtigen Arbeit los geht solltest
(a+1) = a+12 12(b+6) 36. = 12b (a+4) 12(a-2) = 12a+48. 3a b a. kürzen mit 19 (=ggt) k)
Lösungen Mathematik Dossier Rechnen mit Varilen a) Erweitern mit Bruch (-) (-) 6 a+ b+6 a+ a- 6 (a+) 6 a+ (b+6) b+ (a+) (a-) a+ a-6 6 0 (a+) a+ (b+6) 6 b+ 6 (a+) (a-) a+ a- (-0) (-0) (-) (-) (-0) (-)(a+)
2 Multiplikation. 2. Berechne die folgenden Terme: a) 2x 2 2x = 2(x 2 x) b) 2x 5 + x 4 c) 6a 2 b + 3a 2 = 3(2a 2 b + a 2 ) d)
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15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3
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