Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

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1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere V1 Geometrische Grundbegriffe V2 Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze, Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V4 Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke, Haus der Vierecke, Symmetrien) V5 Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit) V6 Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis) V7 Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V8 Kongruenzabbildungen - Symmetrie V9 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen V10 Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische Körper, Kugel) V11 Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern, Rauminhalt und Oberfläche der Kugel) V12 Zusammenfassung (Freitag) Uhr, Klausur (HS 1, HS 2) 1

2 V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften 1 Begriffe und Bezeichnungen 2 Winkel im Dreieck 3 Die vier Kongruenzsätze 4 Besondere Linien im Dreieck 5 Praxiskurs Dreiecke 2

3 (1) Begriffe und Bezeichnungen Liegen drei Punkte A, B, C einer Ebene nicht auf einer Geraden und verbindet man sie durch Strecken miteinander, so entsteht ein Dreieck (ABC). Die miteinander verbundenen Punkte nennt man die Ecken, die sie verbindenden Strecken die Seiten des Dreiecks. Die Strecken AB, BC und CA bilden zusammen mit den Punkten im Innern die Fläche des Dreiecks. 3

4 Man unterscheidet Dreiecke sowohl nach der Größe ihrer Winkel als auch nach der Länge ihrer Seiten. rechtwinklige, spitzwinklige und stumpfwinklige Dreiecke gleichseitige, gleichschenklige, ungleichseitige Dreiecke Gleichseitige Dreiecke sind spitzwinklige Dreiecke. Gleichschenklige Dreiecke können spitzwinklig, stumpfwinklig und rechtwinklig sein. Ungleichseitige Dreiecke können ebenso spitzwinklig, stumpfwinklig und rechtwinklig sein. 4

5 Quelle: Kusch/Glocke. Geometrie und Trigonometrie

6 Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. 6

7 (2) Winkel im Dreieck Die Summe der Größen der Innenwinkel im Dreieck beträgt

8 c Experiment mit Papier Die Summe der Größen der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180. Vor.: α, β, γ sind Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ABC. Beh.: α + β + γ = 180 Beweis: Beweisidee: Man zeichnet zur Seite c eine parallele Gerade und versucht den Winkel γ mit α und ß zu einem gestreckten Winkel (180 ) zu ergänzen. α = α; Wechselwinkel an geschnittenen Parallelelen β = β; Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen Also gilt α + β + γ = 180, denn α kann durch α und β kann durch β ersetzt werden. 8

9 Außenwinkel Ein Außenwinkel ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Die Summe der Außenwinkel beträgt 360. Wenn man die Dreiecksseiten verlängert, erhält man zu jedem Innenwinkel den dazugehörigen Außenwinkel. Zusammenhänge: zugrundegelegt: α + β + γ = 180 (Innenwinkelsumme) α 1 ergibt zusammen mit α 180. Da auch γ und β den Winkel α zu 180 ergänzen, muss α 1 so groß sein wie β und γ zusammen. α + α 1 + β + β 1 + γ + γ 1 = 540 (Nebenwinkel) Jetzt könnte man die Innenwinkelsumme subtrahieren. Man erhält für die Summe der Außenwinkel

10 Ein Außenwinkel ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Voraussetzung: α, β, γ sind Innenwinkel und α 1, β 1, γ 1 Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ABC. Behauptung: α 1 = γ + β Beweis: α + α 1 = 180 (Idee) α + β +γ = 180 α + α 1 = α + β +γ α 1 = β +γ Die Summe der Außenwinkel beträgt 360. Voraussetzung: α, β, γ sind Innenwinkel und α 1, β 1, γ 1 Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ABC. Behauptung: α 1 + β 1 + γ 1 = 360 Beweis: Idee: α+α 1 +β+β 1 +γ+γ 1 =540 α + β +γ = = 360 α 1 + β 1 + γ 1 =

11 (3) Die vier Kongruenzsätze SSS SWS WSW SsW 11

12 Zusammenfassend: Zwei Figuren, die deckungsgleich aufeinander gelegt werden können, heißen kongruent zueinander, sind kongruente Figuren. Diejenigen Punkte, Seiten, Stücke zweier kongruenter Figuren, die aufeinander fallen, wenn man diese Figuren aufeinander legt, werden als einander entsprechende Stücke bezeichnet. Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, also eindeutig bestimmt, wenn man über die Längen seiner Seiten und die Größen seiner Winkel drei Angaben hat und wenn unter diesen drei Angaben mindestens eine Seitenlänge ist. 12

13 Bestimmungsstücke Um ein Dreieck eindeutig bestimmen zu können, benötigt man 3 Bestimmungsstücke. Dies spiegelt sich auch in den Kongruenzsätzen wider. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn Sie in SSS (allen drei Seiten), SWS (zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel), WSW ( einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln), SsW (zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel) übereinstimmen. Konstruktion von Dreiecken Alle Konstruktionen, bei denen die in den Kongruenzsätzen gegebenen Stücke gegeben sind, können eindeutig ausgeführt werden. 13

14 Die Bedeutung der Kongruenzsätze beruht darauf, dass beliebige kongruente Figuren jeweils in paarweise kongruente Dreiecke zerlegt werden können. Für die Kongruenz von Dreiecken genügen weniger Bedingungen als für die Kongruenz weiterer Vielecke. Gerade durch diese Reduktion von Bedingungen sind die Kongruenzsätze wichtige Argumentationshilfen. Die Kongruenzsätze sind in der klassischen Geometrie die wichtigsten Beweismittel neben den Ähnlichkeitssätzen. Mitschka 1982, S

15 S S S S W S 15

16 W s W S W S 16

17 Übung (SSS) Zeichnen Sie ein Dreieck ABC mit a=5cm, b=4cm, c=6cm. (SWS) Zeichnen Sie ein Dreieck ABC mit c=3cm, a=4cm, β=70. (WSW) Zeichnen Sie ein Dreieck ABC mit c=5cm, α=40, β=30. (SsW) Zeichnen Sie ein Dreieck ABC mit b=5cm, a=4cm, β=80. 17

18 4 Besondere Linien (Transversalen) im Dreieck 18

19 19

20 20

21 Warum? 21

22 Warum? 22

23 5 Praxiskurs Dreiecke 23

24 Unregelmäßige Dreiecke Gleichschenklige Dreiecke 24

25 Fazit 25

26 Studienaufgabe zur Vorbereitung auf die Übung in der Woche vom Üben Sie das Zeichnen von Dreiecken nach den Kongruenzsätzen. Skizzieren und falten Sie unregelmäßige, gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke. Welche Eigenschaften dieser Figuren lassen sich an den Modellen für Grund- und Förderschüler bewusstmachen? 26

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