7.4. Teilverhältnisse

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1 7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition Ist T ein Punkt der Gerden [] mit T = t T, dnn nennt mn die Zhl t = TV(T) ds Teilverhältnis der Punkte, T und. eispiel: ( 0 0), (0 0 0), T ( 0 0), T (5 0 0) und T ( 0 0). T T T TV(T ) = =, TV(T ) = und TV(T ) = Üung: erehne TV(T ), TV(T ) und TV(T ) 9 = 9 Stz und Definition Liegt T uf der Streke, so ist TV(T) > 0 und mn spriht von einem inneren Punkt. Für TV(T) < 0 spriht mn von einem äußeren Punkt. Üungen: ufgen zu Teilverhältnissen Nr Geometrishe eweise mit Teilverhältnissen Teilverhältnisse in Figuren und Körpern sind oft unhängig von den Koordinten der eteiligten Ekpunkte. Mn etrhtet dher meistens llgemeine Dreieke, Viereke, Pyrmiden, u.s.w. und enutzt zur erehnung der gesuhten Shnittpunkte und Teilverhältnisse die linere Unhängigkeit von zwei (Eene) oder drei (Rum) Kntenvektoren. D viele Figuren us Dreieken zusmmengesetzt sind, lohnt sih die genuere etrhtung des Shwerpunktes eines Dreiekes. Stz. Die Seitenhlierenden M, M und M eines Dreiekes shneiden sih in einem Punkt S.. TV(SM ) = TV(SM ) = TV(SM ) =.. Der Ortsvektor des Shwerpunktes ist OS = ( O + O + O ). S ist der Shwerpunkt des Dreiekes, d.h., es leit im Gleihgewiht, wenn es in S ufgehängt wird. eweis M S M = O M

2 . Shritt: Shnittpunkt zweier Gerden Die Seitenhlierenden [M ] und [M ] shneiden sih in einem Punkt S mit TV(SM ) = TV(SM ) =. Mn legt den Koordintenursprung in einen der Ekpunkte, z.. = O ls und eshreit die Gerden [M ] und [M ] durh zwei liner unhängige Ortsvektoren = O und = O : [M ]: x = r M = r ( + ) und [M ]: x = + s M = + s( ) Um den Shnittpunkt zu estimmen, werden die eiden Gerden gleihgesetzt r ( + ) = + s( ) Mn ringt lle Vektoren uf eine Seite und erhält einen geshlossenen Vektorzug. r ( + ) s( ) = 0 Nun klmmert mn die liner unhängigen Vektoren und us und erhält eine Linerkomintion der Null: ( r + s ) + ( r s) = 0 Wegen der lineren Unhängigkeit von und muss gelten r + s = 0 r s = 0 Ds LGS ht die eindeutige Lösung r = und s =. Dies edeutet, dss. sih [M ] und [M ] ttsählih in einem Punkt S shneiden und r. TV(SM ) = r = und TV(SM s ) = s =.. Shritt: Punktproe Die Seitenhlierende M geht eenflls durh S und TV(SM ) =. Gesuhte Vektoren durh liner unhängige Vektoren und usdrüken: OS = t ( + ) woei nh Shritt. gilt t = OS = ( + ) [M ]: x = + t M = + t( ) Gleihsetzen geshlossener Vektorzug + t( ) = ( + ) ( t ) + ( t) = 0 Linere Unhängigkeit: t = 0 t = 0. eide Gleihung hen die gleihe eindeutige Lösung t =. S liegt lso uf [M ] und TV(SM ) =

3 . Shritt: Vershieung des Ursprungs Legt mn den Koordintenursprung n einen elieigen Ort O, so gilt OS = ( O + O + O ) OS = O + S = O + M = O + ( ( O + O ) O ) M S M = ( O + O + O ) M. Shritt: Prinzip von vlieri O S ist der Shwerpunkt des Dreiekes. Dei verwenden wir ds Prinzip von vlieri, um zu zeigen, dss der Shwerpunkt uf jeder der drei Seitenhlierenden liegen muss: Zershneidet mn ds Dreiek prllel zu einer Seite in viele Streifen, so werden lle Streifen durh die Seitenhlierende in der Mitte geteilt. Dies erkennt mn durh eine Prllelvershieung der Streifen in ein gleihshenkliges Dreiek. Lgert mn ds Dreiek uf einem lken, der genu unter der Seitenhlierenden liegt, so gleihen sih die Streifenstüke rehts und links us und ds Dreiek leit im Gleihgewiht. Der Shwerpunkt muss lso irgendwo uf der Seitenhlierenden liegen. D sih die drei Seitenhlierenden in S shneiden, ist S der Shwerpunkt. D viele Körper us Tetredern zusmmengesetzt sind, lohnt sih uh die genuere etrhtung des Shwerpunktes eines Tetreders. Stz. Die Shwerlinien S, S, S und DS D eines Tetreders shneiden sih in einem Punkt S.. TV(SS ) = TV(SS ) = TV(SS ) = TV(DSS D ) =.. Der Ortsvektor des Shwerpunktes ist OS = ( O + O + O + OD ). S ist der Shwerpunkt des Tetreders, d.h., es leit im Gleihgewiht, wenn es in S ufgehängt wird.

4 eweis. Shritt: Shnittpunkt zweier Gerden Die Shwerlinien S und S shneiden sih im Punkt S mit TV(SS ) = TV(SS ) =. Mn legt den Koordintenursprung in einen der Ekpunkte, z.. = O(0 0 0) und eshreit [S ] und [S ] durh drei liner unhängige Ortsvektoren = O, = O und d = OD : [S ]: x = t S = t ( + + d ) und [S ]: x = + t S = + s( ( + d ) ) Gleihsetzen geshlossener Vektorzug: t ( + + d ) = + s( ( + d ) ) ( t + s ) + ( t s) + ( t s) d = 0 Linere Unhängigkeit der Vektoren, und d : t + s = 0 t s = 0 t s = 0 Ds LGS ht die eindeutige Lösung t = und s =. Dies edeutet, dss. sih [S ] = [S ] ttsählih in einem Punkt S shneiden und. TV(SS ) = TV(SS ) =.. Shritt: Punktproe Die Shwerlinien S uns DS D gehen eenflls durh S und TV(SS ) = TV(DSS D ) =. usdrüken der gesuhten Vektoren durh liner unhängige, und d : OS = t ( + + d ) woei nh Shritt. gilt t = OS = ( + + d ) [S ]: x = + t S = + t( ( + d ) ) [DS D ]: x = d + t DS = d + s( ( + ) d ) D Gleihsetzen geshlossener Vektorzug: + t( ( + d ) ) = ( + + d ) ( t ) + ( t) + ( t ) d = 0

5 Linere Unhängigkeit: t = 0 t = 0 t = 0 lle Gleihung hen die gleihe eindeutige Lösung t =. S liegt lso uf [S ] und TV(SS ) = [DS D ] = OS führt uf die entsprehenden ussgen für [DS D ].. Shritt: Vershieung des Ursprungs Legt mn den Koordintenursprung in einen elieigen Punkt O, so gilt OS = ( O + O + O + OD ) OS = O + S = O + S = O + ( ( O + O + OD ) O ) = ( O + O + O + OD ) O. Shritt: Shwerpunkt ls Shnittpunkt des Shwerelinien Der Tetreder efindet sih im Gleihgewiht. wenn er uf einer Shwerlinie gelgert wird. Zershneidet mn nämlih den Tetreder prllel zur gegenüerliegenden Seite in viele Sheien, so geht die Shwerlinie durh die Shwerpunkte ller Sheien und die Sheien leien dher in Gleihgewiht. Lgert mn den Tetreder im Shnittpunkt S der vier Shwerlinien, so muss er lso wieder im Gleihgewiht lieen. Experimentell lässt sih dies nhprüfen, indem mn den Tetreder n einer elieigen Eke oder Knte ufhängt. Er wird sih immer so drehen, dss S genu unter dem ufhängepunkt liegt, ws einer ufhängung in S seler entspriht. Vorgehen ei eweisen zu Teilverhältnissen. usdrüken der gesuhten Vektoren durh zwei (Eene) zw. drei (Rum) liner unhängige Kntenvektoren. Formulierung eines geshlossenen Vektorzugs = Linerkomintion der Null mit den gesuhten Vektoren. estimmung der gesuhten Fktoren unter usnutzung der lineren Unhängigkeit. Üungen: ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 5-5