Berechnungen am Prisma. Das Netz (Abwicklung) eines Prismas

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1 Berechnungen m Prism Einführung des Prisms: Schüler ringen verschiedene Verpckungen mit in den Unterricht Klssifizierung der Verpckungen in Prismen und ndere Körper Erreitung der Eigenschften eines Prisms: MERKE 1.) Ds Prism ist ein Körper, dessen Grundflächen zueinnder prllele und deckungsgleiche (kongruente) Vielecke sind..) Die Seitenflächen eines Prisms estehen usschließlich us Rechtecken. Alle diese Seitenflächen zusmmen ergeen die Mntelfläche (M) des Prisms..) Ist die Grundfläche des Prisms ein Dreieck, so nennt mn ds Prism dreiseitiges Prism Ist die Grundfläche des Prisms ein Viereck, so nennt mn ds Prism vierseitiges Prism Ist die Grundfläche des Prisms ein Sechseck, so nennt mn ds Prism sechsseitiges Prism usw. 4.) Bechte: Ein Prism knn uf seiner Grundfläche stehen oder uf seiner Seitenfläche liegen. Ds Netz (Awicklung) eines Prisms Unter dem Netz eines Prisms versteht mn eine Zeichnung des nch llen Seiten ufgeklppten (gewickelten) Körpers. Zeichne ds Netz einer Streichholzschchtel ( = Länge = 5 cm; = Breite = cm c = Höhe = 1 cm) 5 Informtion: 1 c Verpckungen oder Körper wie die Streichholzschchtel werden in der Mthemtik ls Quder ezeichnet. Mn unterscheidet dei qudrtische Quder (Grundfläche ist ein Qudrt) und rechteckige Quder (Grundfläche ist ein Rechteck). Seite 1 von 1

2 Zeichne ds Netz der folgenden Verpckung: = 7 cm ; = 7 cm ; c = 1,5 cm. (Lochverstärkungs-Ringe-Pckung) c Ds ist ein qudrtischer Quder! Informtion: Mit Hilfe des Netzes (Awicklung) eines Körpers knn mn sehr gut seinen Mteriledrf estimmen. Diesen Mteriledrf, ds heißt lle Flächen, die den Körper umschließen, ezeichnet mn ls die Oerfläche (O) des Körpers. Bestimme die Oerfläche (O) der Streichholzschchtel mit = 5 cm ; = cm ; c = 1 cm O = 5 cm cm + 5 cm 1cm + cm 1cm O = 15 cm + 5 cm + cm O = 0 cm + 10 cm + 6 cm O = 46 cm Bestimme die Oerfläche (O) der Verpckung mit = 7 cm ; = 7 cm ; c = 1,5 cm O = 7 cm 7 cm + 1,5 cm 7 cm 4 O = 49 cm + 10,5 cm 4 O = 98 cm + 4 cm O = 140 cm Seite von 1

3 Zeichne ds Netz eines dreiseitigen Prisms (Tolerone-Pckung): Grundfläche (G) ist ein Dreieck mit g =,5 cm ; h D = cm Die Länge der Verpckung eträgt h = 0,5 cm. hd g h Berechne die Oerfläche dieser Tolerone-Pckung: O = Dreieck + Re chteck g h = +,5 O = +,5 0,5 O = 10,5 + 15,5 D O g h O = 5,75 cm MERKE: Die Oerfläche eines elieigen Prisms lässt sich immer mit folgender Formel erechnen: O = Grundfläche + Mntelfläche O = G + M Seite von 1

4 Zur Toleronepckung: Eine Verpckungsfirm soll Toleronepckungen (h = 0,5 cm ; g D =,5 cm ; h D = cm) herstellen. Wie viel Pppe wird enötigt, wenn sicherheitshler 15% Verschnitt dzu gerechnet werden? O = Dreieck + Rechteck O = , g h O = + g h O50000 = cm,5 O = +,5 0,5 O50000 = 118,75 m O = 10,5 + 15,5 O + 15% = 118,75 1, O = 5,75 m O = 198,065 m Ein Rechteck mit der gleichen Fläche wäre z.b. 100 m lng und c. 1 m reit oder 50 m x 6 m! MERKE: Oerfläche (O): Mntelfläche (M): Summe ller Flächen, die ds Prism egrenzen Summe ller Flächen, ußer Grundfläche und Deckfläche. Um die Oerfläche (O) eines Prisms zu erechnen, muss mn immer folgende Flächen estimmen: O = Grundfläche + Summe ller Re chteckflächen O = G + M Um die Mntelfläche (M) eines Prisms zu erechnen, geht mn wie folgt vor: M = Umfng der Grundfläche Körperhöhe M = u h Mn ddiert lso lle Seiten der Grundfläche (G) und multipliziert sie mit der Körperhöhe (h). Beispiel: Berechne die Mntelfläche (M) und die Oerfläche (O) eines trpezförmigen Prisms mit folgenden Mßen: g 1 = 7 cm ; g = cm ; h T =,5 cm ; h = 1,5 cm Zeichne die Grundfläche (symmetrisches Trpez) in ds Heft! M = u h M = (7 +, +, + ) 1,5 M = 16,4 1,5 M = 05 cm O = G + M (g + g ) h = + (7 + ),5 O = + 05 O = 1, T O 05 O = = 0 cm 7 Seite 4 von 1

5 Schrägild eines Prisms Zeichne ds Schrägild eines Quders mit den Kntenlängen = 7 cm ; = 4 cm ; c = cm und erechne seine Oerfläche. 1. Schritt: Zeichne die Vorderfläche mit den ttsächlichen Mßen.. Schritt: Zeichne die nch hinten verlufenden Knten schräg (Winkel 45 ) und uf die Hälfte verkürzt.. Schritt: Ergänze die fehlenden Knten. 45 c oder: c O = + c + c O = O = O = 100 cm Zeichne ds Schrägild und erechne die Oerfläche von folgenden Prismen: 1.) Quder: = 8 cm ; = cm ; c = 5 cm O = 1 cm.) Quder: = 6 cm ; = 6 cm ; c = cm O = 10 cm.) Würfel: = 5 cm O = 150 cm Seite 5 von 1

6 Schrägild nderer Prismen Zeichne ein Dreieck us: c = 6 cm ; α = 80 ; β = 45 ; (γ = 55 ) C Aus der Konstruktion knn mn folgende Werte lesen: = 7, cm ; = 5, cm ; h c = 5,1 cm ; c 1 = 0,9 cm ; c = 5,1 cm Dieses Dreieck ist die Grundfläche (G) eines Prisms mit einer Höhe (h) von 7,5 cm. hc.).) Zeichne ein Schrägild dieses Prisms. Berechne die Oerfläche (O) dieses Prisms. A c1 c B hd h h c O = G + M O = Dreieck + Re chteck 6 5,1 O = + (6 + 7, + 5,) 7,5 O = 0, hc c O = 168,6 cm MERKE: Um ein Dreieck ls Grundfläche eines Schrägildes zu zeichnen, muss mn die Höhe des Dreiecks im Winkel von 45 und uf die Hälfte gekürzt zeichnen. Seite 6 von 1

7 Volumen eines Quders (rechteckiges Prism): Volumen eines Prisms Die Volumeneinheiten: (zur Berechnung des Ruminhlts eines Körpers) 1mm cm dm (1ml) (1l) m km Länge; Breite, Höhe ( D) Die Flächeneinheiten: (zur Berechnung der Oerfläche und Mntelfläche eines Körpers) mm 1cm 1dm 1m 1 1h 1km D) Länge, Breite ( Die Längeneinheiten: (zur Ange der Länge, Breite und Höhe eines Körpers) mm 1cm 1dm 1m 1km Länge (1 D) Eine Aqurium ist 8 dm lng, 4 dm reit und 5 dm hoch..) Zeichne ein Schrägild des Aquriums (dm cm; Mßst 1 : )..) Ds Wsser steht 1 dm hoch. Wie viel dm Wsser sind im Aqurium? (Siehe Zeichnung!) V = c.) Ds Wsser steht dm hoch. Wie viel dm Wsser sind im Aqurium? (Siehe Zeichnung!) V = Wsserhöhe dm 5 Wsserhöhe 1 dm Welche Zhlenngen der quderförmigen Verpckung muss mn lso enutzen, um ds Volumen der Verpckung zu estimmen? V = Welche Formel knn mn lso enutzen, um ds Volumen eines quderförmigen Prisms nzugeen V = Seite 7 von 1

8 Die Grundfläche eines Prisms sei ein Prllelogrmm mit folgenden Mßen (Mße in mm, siehe Zeichnung): Ds Prism ist 6,5 cm hoch. D C.) Berechne ds Volumen (V) des Prisms in mm, cm und dm..) Berechne die Oerfläche (O) des Prisms in mm ; cm und dm. 0 V = Grundfläche Körperhöhe V = V = V = mm = 79,950 cm = 0, dm (Liter) A 41 B O = Grundfläche + Mntelfläche O = Prllelogrmm + 4 Re chteck O = ( ) 65 O = O = O = mm = 119,50 cm = 1,1950 dm Die Grundfläche eines Prisms sei ein Trpez mit folgenden Mßen (Mße in mm, siehe Zeichnung): Ds Prism ist 10,5 cm hoch. D 1 C.) Berechne ds Volumen (V) des Prisms in mm, cm und dm..) Berechne die Oerfläche (O) des Prisms in mm ; cm und dm V = Grundfläche Körperhöhe (59 + 1) 9 V = 105 V = = = = V mm 11,8 cm 0,118 dm (Liter) A 59 B O = Grundfläche + Mntelfläche O = Trpez + 4 Re chteck (59 + 1) 9 O = + ( ) 105 O = O = O = 1885 mm = 18,85 cm = 1,885 dm MERKE: Ds Volumen eines Prisms lässt sich erechnen mit: Grundfläche Körperhöhe G h Seite 8 von 1

9 Flächen und Prismen 1.) Bestimme die Oerfläche (O) und ds Volumen (V) der folgenden Prismen (Mße in mm): Grundfläche (G) Körperhöhe (h) 19.).) c.) d.) ) Zeichne folgende Punkte in ein Koordintensystem ein: A(/1) ; B(10/) ; C(9/9) ; D(5/7) ; E(4/4) ; F(1/).).) Berechne den Flächeninhlt des Vielecks ABCDEF mit Hilfe des Ergänzungsverfhrens. Ds Vieleck sei die Grundfläche eines Prisms mit einer Körperhöhe von 8,5 cm. Wie viel Liter fsst dieser Körper?.) Sechs Blumenkästen mit dem rechts ufgezeichneten Querschnitt (Mße in cm) sollen mit Blumenerde ufgefüllt werden. Sie sind 80 cm, 1 m, 8 dm, 60 cm, 90 cm und 7,5 dm lng..).) Wie viele Säcke Blumenerde zu je 5 Liter Inhlt werden enötigt? Ein Sck Blumenerde kostet 4,50. Dzu kommen 16% Mehrwertsteuer. Berechne die Kosten ) Zur Beseitigung von Buschutt werden Continer enutzt. Die Seitennsicht des Continers ist rechts geildet. Der Continer ist 1,60 m reit. 0,65 m 0,96 m.).) c.) Wie viel Kuikmeter Buschutt fsst der Continer, wenn er gnz gefüllt ist? Wie viel Kuikmeter pssen weniger hinein, wenn er nur is zur Höhe von 1,0 m gefüllt wird? Wie viel m Blech enötigt mn zur Herstellung des Continers, wenn mn 15% Verschnitt hinzurechnet? 1,0 m 1,9 m,0 m,60 m 5.) Berechne die fehlenden Werte eines Prisms us der folgenden Telle. Notiere dzu die enötigte Formel mit Vrilen und löse sie nch der entsprechenden Größe uf. Setze erst dnn die in der Telle ngegeenen Zhlen ein und erechne:.).) c.) d.) Umfng (u) 18 cm 0 dm Körperhöhe (h) 50 mm 5 cm Grundfläche (G) 6 cm 5,8 m 1 cm Mntelfläche (M) 16 cm 18 dm Oerfläche (O) 94 cm Volumen (V) 8,7 m 10 Liter Seite 9 von 1

10 Flächen und Prismen 1.).) 1.).) O = G + M O = G + M 19 1 (41+ 15) 9 O = + ( ) 58 O = + ( ) 75 O = O = O = O = O = 5577 mm O = mm V = G h V = G h V = 94,5 58 V = V = 17081mm V = mm 1.) c.) 1.) d.) O = G + M O = G + M O = ( ) + ( ) O = + ( ) 64 O = O = O = O = O = 1010 mm O = 5197 mm V = G h V = G h V = V = 94,5 64 V = 5088 mm V = mm.) A = 9 8 (A1+ A + A + A4 + A5 + A6 + A7) A = 7 ( ,5 + 1,5) A = 7 6 A = 6 cm V = G h V = 6 8,5 V = 06 cm V = 0,06 Liter A6 A5 D A4 C A 4 F A7 E B 1 A1 A A Seite 10 von 1

11 .) V = G h + G h + G h + G h + G h + G h (0 + 0) 18 (0 + 0) 18 (0 + 0) 18 V = (0 + 0) 18 (0 + 0) 18 (0 + 0) V = V = V = 1850 cm V = 18,50 Liter N = 18,50 : 5 N = 8,7 9 Säcke P = 9 4,50 1,16 P = 46,98 4.).) V = G h (,0 +,60) 1,0 (,0 +,60) 0,65 V = + 1,60 V = (,48 + 1,885) 1,60 V = 5,65 1,60 V = 8,584 m.) V = G h (,0 +,60) 1,0 V = 1,6 V =,48 1,6 V = 5,568 m V = 8,584 5,568 V =,016 m c.) O = G + M O = 5,65 + (,0 + 1,9 + 0,96 +,0 + 0,96 + 1,9) 1,60 O = 5,65 + 9,10 1,60 O = 10,7 + 14,56 O = 5,9 m.).) c.) d.) Umfng (u) 18 cm 0 dm 1 cm 7 cm Körperhöhe (h) 1 cm 1,5 m 50 mm 5 cm Grundfläche (G) 6 cm 5,8 m 1 cm 400 cm Mntelfläche (M) 16 cm 14,6 m 60 cm 18 dm Oerfläche (O) 88 cm 6,4 m 94 cm 600 cm Volumen (V) 4 cm 8,7 m 144 cm 10 Liter Seite 11 von 1

12 Die Msse (Gewicht) eines Prisms Ein mssiver Würfel esitzt eine Kntenlänge von 6 cm..).) c.) d.) Zeichne ein Schrägild des Würfels. Berechne die Oerfläche des Würfels. Berechne ds Volumen des Würfels. Berechne ds Gewicht des Würfels, wenn ds enutzte Mteril Holz, Blei, Kork oder Gold ist. Informtion: Um die Msse eines mssiven Körpers (Prisms) zu erechnen, enötigt mn die zusätzliche Ange, wie viel 1 cm dieses Mterils in Grmm wiegt. Diese Informtion ezeichnet mn ls die Dichte (Artgewicht) des Mterils. Sie wird ngegeen in g/cm oder in kg/dm oder in t/m..).) c.) d.) O 6 V M V = = = ρ O = V = M = 15 0,7 = 87,5 g (Buchenholz) O = 150 cm V = 15 cm M = 15 11,4 = 145 g (Blei) M = 15 0, = 5 g (Kork) M = 15 19, = 41,5 g (Gold) MERKE: Mn erechnet die Msse (m) eines Körpers, indem mn ds Volumen des Körpers mit der Dichte des Mterils (ρ) multipliziert: m = V ρ Seite 1 von 1

13 Berechnungen m Prism 1.) Zum Beziehen eines Würfels enötigt ein Polsterer 864 cm² Stoff. Wie lng ist eine Seite des Würfels?.) Ein Denkml steht uf einem würfelförmigen Sockel mit,7 m Seitenlänge. Der Sockel soll nur n den Seitenflächen mit einem Spezillck ehndelt werden..) Wie viel Lck wird enötigt, wenn 1 Liter für eine Fläche von 1, m² usreicht?.) Wie viele Frtöpfe werden enötigt, wenn der Lck nur in,5-liter-töpfen verkuft wird?.) Zur Herstellung eines Metllwürfels mit mm Seitenlänge us einer Spezillegierung werden 4,5 cm³ Gold verwendet. Wie viel Prozent des Volumens sind us Gold? 4.) Ein Aqurium ist 90 cm lng, 7 cm reit und 9 cm hoch..) Wie viel Liter Wsser pssen hinein, wenn ds Aqurium is 5 cm unter den Rnd gefüllt wird?.) Wie viel m² Gls werden zur Herstellung enötigt, wenn ds Aqurium oen offen ist? 5.) Ein Quder ht ein Volumen von 665 cm³. Er ist 14 cm lng und,8 cm reit. Berechne seine Höhe. 6.) Wie oft muss mn mit einem 10-Liter-Eimer einfüllen, um ein Schwimmssin mit 8,5 m Länge,,9 m Breite und, m Tiefe is 15 cm unter den Rnd mit Wsser zu füllen? 7.) In ein Schwimmecken von 5 m Länge, 18,5 m Breite und,1 m Tiefe sind Liter Wsser gefüllt. Wie hoch steht ds Wsser im Becken? 8.) Der Nordostseeknl ht eine untere Breite von 44 m, eine oere Breite von 100 m und eine Wssertiefe von 11 m. Wie viel Wsser efindet sich etw in dem rund 100 km lngen Knl? 9.) Der Lderum eines Hndwgens ist n seinen Seite 1, m lng. Vorn und hinten efinden sich trpezförmige Bretter, die unten 40 cm, oen 70 cm und 40 cm hoch sind. Wie groß ist ds Volumen des Lderums? 10.) Ein Dch ht die Form eines gleichschenkligen dreieckigen Prisms. Die Länge des Dchrums eträgt 15,5 m, die Breite 7 m und die Höhe,5 m. Berechne ds Volumen des Dchrums. 11.) Der Kofferrum eines Autos esitzt lut Prospekt ein Volumen von 400 Liter. Der Kofferrum ist 1, m reit und 15 cm lng. Wie groß ist seine durchschnittliche Höhe? 1.) Wie viel m³ Erde müssen für einen, km lngen Gren usgehoen werden, der 1, m tief, oen 90 cm und unten 60 cm reit sein soll? 1.) Auf einem Sockel wird ein mssiver Muerpfeiler mit einer Rumhöhe von,75 m errichtet. Die Grundfläche dieses Pfeilers ist rechts geildet..) Wie viel m³ Muerwerk sind dfür zu errichten?.) Berechne die Mntelfläche, die dnn verputzt werden muss cm ) Konstruiere die Grundfläche eines regelmäßigen 10-seitigen Prisms mit der Seitenlänge cm..) Berechne ds Volumen und die Oerfläche dieses Prisms ei einer Rumhöhe von 1 cm..) Wie schwer ist ds Prism, wenn es mssiv us Mrmor (1 cm³ =,7 g) hergestellt wurde? 15.) Konstruiere die Grundfläche eines regelmäßigen 1-seitigen Prisms mit der Seitenlänge cm..) Berechne ds Volumen und die Oerfläche dieses Prisms ei einer Rumhöhe von 14 cm..) Wie schwer ist ds Prism, wenn es mssiv us Sthl (1 cm³ = 7,85 g) hergestellt wurde? Seite 1 von 1