Teilbarkeit natürlicher Zahlen

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1 Teiler einer Zahl - Teilermengen Aufgabe: Teilbarkeit natürlicher Zahlen Eine Klasse besteht aus 30 Schülern und soll in Gruppen mit gleich vielen Schülern eingeteilt werden. Welche Möglichkeiten gibt es, wenn kein Schüler übrig bleiben darf? Anzahl der Schüler T 30 Anzahl der Gruppen T 30 In der Tabelle tauchen in jeder Zeile ganz bestimmte Zahlen auf. Diese Zahlen (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30) nennt man die Teiler der Zahl 30. Man hat folgende Abkürzungen vereinbart: 30 ist durch 5 ohne Rest teilbar. 30 ist nicht ohne Rest durch 7 teilbar. 30 : 5 = 6 30 : 7 = 4 + (2 : 7) Man sagt: 5 ist Teiler von 30 Man sagt: 7 ist nicht Teiler von 30 Abkürzung: 5 30 Abkürzung: 7 30 Alle Teiler einer Zahl bilden zusammen die Teilermenge der Zahl. Die Teilermenge der Zahl 30 wären also die Zahlen 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Man schreibt abkürzend: T = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 30 Alle Teiler einer Zahl systematisch bestimmen: Bestimme die Teiler der Zahl 36: 36 = = = = 6 6 Die Teiler der Zahl 36 sind also geordnet: 1, 2, 3, 6, 12, 18, T = 1, 2, 3, 6, 12, 18, 36 Aufgaben: a.) Bestimme alle Teiler der Zahl 48 und notiere die Teilermenge. b.) Bestimme alle Teiler der Zahl 70 und notiere die Teilermenge. c.) Schreibe die Teilermengen von 2 Zahlen auf, die genau 3 Teiler besitzen. a.) T48 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8,12,16, 24, 48} b.) T70 = { 1, 2, 5, 7, 10,14, 35, 70} c.) T = { 1, 3, 9 } T = { 1, 5, 25} 9 25 Seite 1 von 13

2 Vielfache einer Zahl - Vielfachmengen Aufgabe: In einem Schreibwarengeschäft werden Farbstifte in 12er-Packungen verkauft. Wie viele Farbstifte kann man kaufen, wenn es nur volle 12er-Packungen gibt? Anzahl der Packungen Anzahl der Stifte V 12 In der Tabelle tauchen in der zweiten Zeile ganz bestimmte Zahlen auf. Diese Zahlen (12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96) nennt man die Vielfachen der Zahl 12. Man hat folgende Abkürzungen vereinbart: 24 ist ein Vielfaches von 12. Abkürzung: 24 V12 24 ist ein Element der Vielfachenmenge ist kein Vielfaches von 12. Abkürzung: 27 V12 27 ist kein Element der Vielfachenmenge 12. Alle Vielfachen einer Zahl bilden zusammen die Vielfachenmenge der Zahl. Die Vielfachenmenge der Zahl 12 wären also die Zahlen 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, Man schreibt abkürzend: V = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, } 12 Wichtig: Jede Vielfachenmenge hat unendlich viele Elemente, man kann also immer nur die ersten Zahlen einer Vielfachenmenge notieren! Aufgaben: a.) Notiere jeweils die ersten 8 Zahlen der Vielfachenmenge V 14. b.) Notiere jeweils die ersten 8 Zahlen der Vielfachenmenge V 18. c.) Notiere jeweils die ersten 8 Zahlen der Vielfachenmenge V 35. a.) V14 = { 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, } b.) V18 = { 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, } c.) V = { 35, 70, 105, 140,175, 210, 245, } 35 Seite 2 von 13

3 Teilbarkeitsregeln Aufgabe: Der Eintritt in einen Zirkus kostet 9. An Kasse 1 wurden 962 und an Kasse 2 wurden 981 eingenommen. Können die Einnahmen in den beiden Kassen stimmen? Kasse 1: Kasse 2: = = und und 9 81 w f w w f w Die Einnahmen in Kasse 1 können nicht stimmen. Summenregel: Zerlegt man eine Zahl in 2 Summanden und ist jeder dieser Summanden ohne Rest durch die gleiche Zahl teilbar, dann ist auch die Ausgangszahl ohne Rest durch diese Zahl teilbar. Übungen dazu: Überprüfe mit Hilfe der Summenregel: a.) b.) c.) und und und 7 33 w w w f w f w f f 9 teilt 7281 ohne Rest! 8 teilt nicht 6450 ohne Rest! 7 teilt nicht 2133 ohne Rest! d.) e.) f.) und und und w w w w w f w w f 6 teilt 5478 ohne Rest! 12 teilt 4872 ohne Rest! 11 teilt nicht 4447 ohne Rest! g.) h.) c.) und und und und 12 2 w w w f w w f w f f 8 teilt 7264 ohne Rest! 9 teilt nicht 8134 ohne Rest! 12 teilt nicht ohne Rest! Seite 3 von 13

4 Teilbarkeitsregel für die Zahl 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist (Endziffer 0, 2, 4, 6, 8) Teilbarkeitsregel für die Zahl 5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 0 oder eine 5 ist. Teilbarkeitsregel für die Zahl 10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 0 ist. Teilbarkeitsregel für die Zahl 4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind. Teilbarkeitsregel für die Zahl 25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 25 teilbar sind (Endziffern 25, 50, 75, 00) Teilbarkeitsregel für die Zahl 8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern der Zahl durch 8 teilbar sind. Teilbarkeitsregel für die Zahl 3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Quersumme: Bildet man die Summe aller Ziffern einer Zahl, so erhält man ihre Quersumme. Beispiel: Ist die Zahl 2756 ohne Rest durch 3 teilbar? Die Quersumme von 2756: = ist nicht ohne Rest durch 3 teilbar, also ist auch die 2756 nicht ohne Rest durch 3 teilbar! Teilbarkeitsregel für die Zahl 9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist. Teilbarkeitsregel für die Zahl 6: Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade ist und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Zur Begründung: 6 = 2 3 (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 2 und die 3 gelten!) Teilbarkeitsregel für die Zahl 12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Seite 4 von 13

5 Zur Begründung: 12 = = 2 6 geht nicht, da die beiden Zerlegungszahlen teilerfremd sein müssen. (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 3 und die 4 gelten!) Teilbarkeitsregel für die Zahl 15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Zur Begründung: 15 = 5 3 (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 5 und die 3 gelten!) Teilbarkeitsregel für die Zahl 18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie gerade ist und die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist. Zur Begründung: 18 = 2 9 (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 2 und die 9 gelten!) Teilbarkeitsregel für die Zahl 24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn die letzten 3 Ziffern der Zahl durch 8 teilbar sind und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Zur Begründung: 24 = 8 3 (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 8 und die 3 gelten!) Anwendungsaufgaben zu den Teilbarkeitsregeln: Betrachte die folgende Tabelle: Setze ein X in die entsprechende Zelle, falls die Zahl ohne Rest teilbar ist. ist teilbar durch: (Diese Tabelle wird anfangs aufgeschrieben und nach Besprechung der Teilbarkeitsregeln und der zusammengesetzten Teilbarkeitsregeln nach und nach vervollständigt.) Lösungen zur Tabelle: ist teilbar durch: X X X X X X X X 2289 X 4653 X X 8640 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Seite 5 von 13

6 Weitere Aufgaben: 1.) Ersetze in den nächsten Aufgaben den Platzhalter in der Zahl so, dass die Zahl durch die angegebene Zahl teilbar ist. Notiere alle passenden Ziffern in einer Lösungsmenge (L). a.) L = { 2, 5, 8} b.) L = c.) L = { 2, 6} d.) L = { 0, 8} e.) L = { 0, 3, 6} 2.) Bestimme eine Zahl, die durch 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 teilbar ist. Gib noch drei weitere Zahlen an, die durch alle diese Zahlen teilbar sind. (Für die schnellen Schüler) Aufgabe: Gemeinsame Teiler und gemeinsame Vielfache In einem Sägewerk sollen zwei Baumstämme mit den Längen 24 m und 32 m in lauter gleichlange Stücke gesägt werden, ohne dass Abfall entsteht. a.) b.) Wie lang können diese Stücke werden? Wie lange ist das größtmögliche Stück? Es geht bei dieser Aufgabe um die Teiler der Zahl 24 und um die Teiler der Zahl 32: zu a.) T = 1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24 T = 1, 2, 4, 8, 16, 32 zu b.) Der größte gemeinsame Teiler von 24 und 32 ist die Zahl 8. Das Mengendiagramm: T 24 T Die Zahl 8 ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 24 und 32. Dazu schreibt man abkürzend: ggt (24, 32) = 8 Übung dazu: Bestimme: ggt (45, 75) ggt (35, 105) ggt (36, 90) Seite 6 von 13

7 Ein schnelles Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers: Bestimme ggt (80, 144) Bestimme die Teilermenge der kleineren Zahl: T = 1, 2, 4, 5, 8,10,16, 20, 40, Beginne mit dem größten Teiler der Zahl 80 (80) und prüfe, ob dieser auch Teiler der Zahl 144 ist. Verfahre dann entsprechend mit dem nächstkleineren Teiler (40) usw., bis du einen Teiler gefunden hast, der auch in die Zahl 144 passt. Diese ist dann der ggt. Ist 80 Teiler von 144? nein Ist 40 Teiler von 144? nein Ist 20 Teiler von 144? nein Ist 16 Teiler von 144? ja ggt (80, 144) = 16 Bestimme ggt (40, 57) T 40 T 57 T = 1, 2, 4, 5, 8,10, T = 1, 3, 19, ggt (40, 57) = 1 Zwei natürliche Zahlen, die nur 1 als gemeinsamen Teiler haben, bezeichnet man als teilerfremd zueinander. Aufgabe: Das kleinste gemeinsame Vielfache Jan ist ein guter Leichtathlet. Er hat seinen Freund Tim zum Training mitgenommen. Sie starten gemeinsam und laufen Runden im Stadion. Jan braucht für eine Runde 60 Sekunden, Tim 75 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden überrundet Jan seinen Freund? Es geht bei dieser Aufgabe um die Vielfachen von 60 und { } { , 750,....} V = 60,120, 180, 240,, 360, 420, 480, 540,,... V = 75, 150, 225,, 375, 450, 525,, 300, 600, 900, 1200, sind die gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 60 und ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 75. Man schreibt abkürzend: kgv (60, 75) = 300 Nach 300 Sekunden überrundet Jan seinen Freund Tim. Jan hat dann 5 Runden gelaufen, Tim erst 4 Runden. Seite 7 von 13

8 Ein schnelles Verfahren zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen: Bestimme kgv (80, 60) oder: 80 Beginne mit der größeren Zahl (80) und prüfe, ob diese Vielfaches der Zahl 60 ist. Verfahre dann entsprechend mit dem nächsten Vielfachen von 80 (160) usw., bis du ein Vielfaches von 80 gefunden hast, das auch Vielfaches von 60 ist. Dieses ist dann das kgv. Ist 80 Vielfaches von 60? nein Ist 160 Vielfaches von 60? nein Ist 240 Vielfaches von 60? ja kgv (80, 60) = 240 V = 80,160, 240,... Überprüfe nun, welche der Zahlen auch Vielfaches von 60 ist. Die erste Zahl, die diese Bedingung erfüllt ist 240, also kgv(80, 60) = 240 Übungen dazu: Bestimme: kgv (50, 90) kgv (12, 15) kgv (24, 72) kgv (8, 9) Aufgabe: Notiere Zahlen, die genau 2 Teiler besitzen. Primzahlen und Primfaktorenzerlegung T = 1, 2 T = 1, 7 T = 1,13 T = 1, Notiere nun alle Zahlen von 1 bis 50, die genau 2 Teiler besitzen (für schnelle Schüler bis 100): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (25 Zahlen!) Zahlen, die genau 2 Teiler besitzen, nämlich die Zahl 1 und sich selbst, bezeichnet man als Primzahlen. Die einzige gerade Primzahl ist die Zahl 2. Primfaktorenzerlegung: Aufgabe: Zerlege die Zahl 150 so in Faktoren (Primfaktoren), dass nur noch Primzahlen zu erkennen sind. 150 = ist keine Primzahl, also : 50 = ist keine Primzahl, also : 10 = 2 5 Ende, da 2 und 5 Primzahlen sind. 150 = = Seite 8 von 13

9 oder: 150 = ist keine Primzahl, 15 ist keine Primzahl, also : 10 = = 3 5 Ende, da 3 und 5 Primzahlen sind. 150 = = oder: 150 = ist keine Primzahl, also : 75 = ist keine Primzahl, also : 15 = 3 5 Ende, da 3 und 5 Primzahlen sind. 150 = = Zerlegt man eine Zahl auf verschiedene Weisen in ihre Primfaktoren, so erhält man am Ende stets die gleiche Zerlegung. Systematisches Vorgehen: Zerlege die Zahl 500 in ihre Primfaktoren: Welche kleinste Primzahl ist in 500 enthalten : 2 also : 500 = ist keine Pr imzahl, also : 250 = ist keine Pr imzahl, also : 125 = ist keine Primzahl, also : 25 = 5 5 Ende, da 5 eine Pr imzahl ist. 500 = = Zerlege die Zahl 240 in ihre Primfaktoren: Welche kleinste Primzahl ist in 240 enthalten : 2 also : 240 = ist keine Pr imzahl, also : 120 = ist keine Primzahl, also : 60 = ist keine Primzahl, also : 30 = ist keine Primzahl, also : 15 = 3 5 Ende, da 3 und 5 Primzahlen sind. 240 = = oder andersherum gefragt: a.) Von welcher Zahl ist = = = die Primfaktorenzerlegung? Seite 9 von 13

10 b.) Von welcher Zahl ist = = 3150 Weitere Aufgaben zur Primfaktorenzerlegung: die Primfaktorenzerlegung? Zerlege die folgenden Zahlen in ihre Primfaktoren und bestimme mit Hilfe dieser Zerlegung Teiler der jeweiligen Zahl: a.) 630 b.) 700 c.) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Teiler der Zahl : Teiler der Zahl : Teiler der Zahl : 2 3 = = = = = = = = = = = = 100 usw. usw. usw. Seite 10 von 13

11 Teiler und Vielfache 1.) Bestimme alle möglichen Ziffern für den Platzhalter #, so dass die folgenden Behauptungen wahr sind: a.) 4 teilt 6753#4 b.) 9 teilt 32#40 c.) 2 teilt nicht 4578# d.) 3 teilt nicht 345#6 e.) 5 teilt 8976# f.) 3 teilt #7844 g.) 9 teilt nicht 564#4 h.) 25 teilt 378#5 2.) Setze Kreuze an die entsprechenden Stellen der folgenden Teilbarkeitstabelle: ist teilbar durch a.) Berechne eine Zahl, die mit Sicherheit durch 12, 15 und 25 teilbar ist. b.) Berechne eine Zahl, die mit Sicherheit durch 5, 9, 13 und 19 teilbar ist. 3.) Bestimme die gemeinsamen Teiler und den größten gemeinsamen Teiler (ggt) der folgenden Zahlen: a.) 105 und 165 b.) 126 und 216 c.) 91 und ) Bestimme die gemeinsamen Vielfachen und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) der folgenden Zahlen: a.) 12 und 14 b.) 25 und 35 c.) 24 und 32 5.) In einem Neubau ist jedes Stockwerk 2,55 m hoch, das Erdgeschoss 2,89 m. Es sollen überall Treppen mit gleich hohen Stufen eingebaut werden. a.) Wie hoch ist die höchstmögliche Stufe? b.) Das Haus soll insgesamt 5 Stockwerke plus Erdgeschoss besitzen. Wie viele Stufen müssen eingebaut werden? 6.) Silke und Petra schwimmen mehrmals die 25 m - Bahn im Hallenbad. Sie starten gleichzeitig. Silke braucht für eine Bahn 32 Sekunden, Petra 36 Sekunden. a.) Nach welcher Zeit schlagen die Mädchen zum ersten Mal gemeinsam am Beckenrand an? b.) Wie viele Bahnen ist jedes der Mädchen dann geschwommen? 7.) Der Betrieb auf einer Buslinie beginnt morgens um 6.00 Uhr. Die Busse der Linie 1 fahren alle 15 Minuten, die Busse der Linie 2 alle 25 Minuten vom Busbahnhof ab. Um wie viel Uhr fahren die Busse der Linie 1 und der Linie 2 wieder gemeinsam vom Busbahnhof ab? Seite 11 von 13

12 zu 1.) Teiler und Vielfache (Lösungen) a.) L = 0,2,4,6,8 b.) L = 0,9 c.) L = 1,3,5,7,9 d.) L = 1,2,4,5,7,8 e.) L = 0,5 f.) L = 1,4,7 g.) L = 2,8 h.) L = 1,4,7 zu 2.) a.) = 4500 b.) = zu 3.) ist teilbar durch X X X X X X X X X X 8640 X X X X X X X X X X X X 9000 X X X X X X X X X X X X X 2592 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 144 X X X X X X X X X X X X X X 2160 X X X X X X X X X X X X a.) ggt(105, 165) = 7 b.) ggt(126, 216) = 14 c.) ggt(91, 104) = 13 T = 1,3,5,7,35,105 T = 1,2,3,6,9,14,21,42,63,126 T = 1,7,13,91 zu 4.) a.) kgv(12, 14) = 84 b.) kgv(25, 35) = 175 c.) kgv(24, 32) = 96 V = 14,28,42,56,70,84... V = 35,70,105,140, V = 32,64,96... zu 5.) a.) T = 1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,32,36,48,72,96,144,288 Die Stufenhöhe 16 cm ist geeignet. b.) 288cm 7 = 2016cm 2016cm :16 = 126 Stufen zu 6.) 36 a.) V = 36,72,108,144,180,216,252, Sie schlagen nach 288 Sekunden = 4 Minuten 48 Sekunden gemeinsam an. b.) Silke hat dann 9 und Petra 8 Bahnen geschwommen. zu 7.) a.) 450 = b.) 870 = c.) 320 = = = = 2 5 d.) 720 = e.) 825 = = = Seite 12 von 13

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