- Zeichenutensilien, kein Taschenrechner, keine Formelsammlung

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1 Bildungsdirektion des Kantons Zürich Mittelschul- und Bildungsamt BMS Aufnahmeprüfung Jahr 2014 Basierend auf Lehrmittel (alt): Arithmetik und Algebra (Hohl) Fach Mathematik Teil 1 Serie D Dauer 45 Minuten Hilfsmittel Vorschriften Bewertung - Zeichenutensilien, kein Taschenrechner, keine Formelsammlung - Lösen Sie die Aufgabe im dafür vorgesehenen Feld. - Der Lösungsvorgang muss vollständig ersichtlich sein. - Ungültiges ist zu streichen. - Bleistift ist nur für Zeichnungen zulässig. - Unterstreichen Sie die Ergebnisse. - Dieser Prüfungsteil umfasst 9 Aufgaben mit insgesamt 18 Punkten. - Die Bewertung ist bei jeder Aufgabe angegeben. - Der Lösungsweg wird mitbewertet. Name Vorname Prüfungsnummer.... Teil 1 Punkte Teil 2 Punkte Summe ( Teil 1 und 2 ) Punkte Ergebnis ( auf eine halbe Note gerundet ) Der Experte / die Expertin....

2 BMS Aufnahmeprüfung 2014 Basierend auf Lehrmittel (alt): Arithmetik und Algebra (Hohl) Mathematik Serie D Teil 1 1. Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich: (3x + 4) 2! (3x! 2) 2 (2 Punkte) Serie D, Teil 1 Seite 1

3 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Teil 1 2. Lösen Sie die Gleichung nach x auf: x = 1! 2x 10x (2 Punkte) Serie D, Teil 1 Seite 2

4 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Teil 1 3. Vereinfachen Sie so weit wie möglich: 4 :(! ) + 3 4! (2 Punkte) Serie D, Teil 1 Seite 3

5 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Teil 1 4. Der Winkel! misst 130. DC ist parallel zu AB. M ist das Zentrum des Halbkreises. Berechnen Sie folgende Winkel:! = "(BMC) und # = "(DCB). (2 Punkte) Serie D, Teil 1 Seite 4

6 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Teil 1 5. Die Figur ABCD ist ein Trapez. Die Verlängerung der Seiten BC und AD schneiden sich im Punkt E. Ferner gilt: AB = 12 cm, BC = 5 cm, CD = 8 cm, DA = 3 cm. Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks ABE. (2 Punkte) Serie D, Teil 1 Seite 5

7 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Teil 1 6. Petra besass anfangs Woche, am Montag, eine bestimmte Summe Taschengeld. Am Dienstag gab sie einen Viertel dieses Geldes aus. Am Mittwoch verdiente sie durch Babysitten 45 Franken. Vom neuen Vermögensstand gab sie am Freitag die Hälfte für ein T-Shirt aus. Am Ende der Woche hatte sie nun genau gleich viel Taschengeld, wie sie am Montag besessen hatte. Wie viele Franken hatte Petra am Montag besessen? Die Aufgabe ist mit einer Gleichung zu lösen. (2 Punkte) Serie D, Teil 1 Seite 6

8 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Teil 1 7. Vier Freunde, A, B, C und D, teilen eine Geldsumme von CHF 880. unter sich wie folgt auf: B erhält zwei Drittel des Wertes von A, C erhält halb so viel wie B, und D erhält so viel wie A und B zusammen. Wie viele Franken erhält jede Person? Die Aufgabe ist mit einer Gleichung zu lösen. (2 Punkte) Serie D, Teil 1 Seite 7

9 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Teil 1 8. Das abgebildete Rechteck ABCD ist in fünf Teilflächen unterteilt. Dabei sind die drei Flächeninhalte A 1, A 2 und A 3 gleich gross. Vom kleinen Rechteck sind die Länge a und die Breite b gegeben: a = 5 cm, b = 3 cm. Berechnen Sie die Länge der Höhe h des rechtwinkligen Trapezes mit dem Flächeninhalt A 3. (2 Punkte) Serie D, Teil 1 Seite 8

10 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Teil 1 9. In einem Quadrat werden zwei gegenüberliegende Seiten um je 20.5 cm in die gleiche Richtung verlängert. Das andere Seitenpaar wird in gleicher Weise um je 2.5 cm verkürzt. So entsteht ein Rechteck, dessen Umfang das Dreifache des Quadrat-Umfangs beträgt. Berechnen Sie mit Hilfe einer Gleichung die Länge der ursprünglichen Quadratseite. (2 Punkte) Serie D, Teil 1 Seite 9

11 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Teil 1 Zusatzblatt Name :.... Nr.... Serie D, Teil 1 Seite 10

12 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Lösungen Lösungen Serie D, Teil 1 1. (3x + 4) 2 (3x 2) 2 = 9x x + 16 (9x 2 12x + 4) (1 P) = 9x x x x 4 = 36x + 12 oder 12(3x + 1) (1 P) = 1!2x 2x 10x (1 P)! 12x = "24! x = "2 (1 P) 3. 4 :(! ) + 3 4! = 4"(!1)"15 25"8 + ( 15! !3 ):2 = ! = =! (pro F. -1 P)! = 80," = 130 (pro Winkel 1 P) 5. x cm y cm 8 cm 3 cm 5 cm 12 cm x : 8 = (x + 3) : 12 => x = 6 => Länge EA = 9 cm (1 P) y : 8 = (y + 5) : 12 => y = 10 => Länge EB = 15 cm => Umfang Dreieck ABE = 36 cm. (1 P) 6. x = Anzahl Franken anfangs Woche ( 3x + 45):2 = x 4 (1 P) + 45 = 2x! 3x +180 = 8x! 5x = 180! x = 36! 3x 4 Antwort: Sie besass 36 Fr. (1 P) Serie D, Lösungen 1

13 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie D, Lösungen 7. A B C D x Fr. 2x/3 Fr. x/3 Fr. 5x/3 Fr. Gleichung: x + 2x/3 + x/3 + 5x/3 = 880 (1 P) 11x/3 = 880, x/3 = 80, x = 240. Verteilung: A B C D 240 Fr. 160 Fr. 80 Fr. 400 Fr. (1 P) 8. a = 5 cm, b = 3 cm! A 1 = A 2 = A 3 = 15 cm 2! Höhe des Dreiecks mit Flächeninhalt A 2 ist gleich 6 cm (0.5 P)! Rechteckbreite = 9 cm (0.5 P)! Im Trapez mit Flächeninhalt A 3 gilt: h! (3 + 9)/2 cm = 15 cm 2! h = 15 cm 2 : 6 cm = 2.5 cm. (1 P) 9. x = Länge Quadratseite. Umfang Quadrat = 4x. Umfang Rechteck = 12x. x cm + x cm + x 2.5 cm + x 2.5 cm = 12x (1 P)! 4x + 36 cm = 12x! 8x = 36 cm! x = 4.5 cm. (1 P) Serie D, Lösungen 2

14 Bildungsdirektion des Kantons Zürich Mittelschul- und Bildungsamt BMS Aufnahmeprüfung Jahr 2014 Basierend auf Lehrmittel (alt): Arithmetik und Algebra (Hohl) Fach Mathematik Teil 2 Serie E Dauer 45 Minuten Hilfsmittel Vorschriften Bewertung - Zeichenutensilien, Taschenrechner ohne Grafikfunktionen, keine Formelsammlung - Lösen Sie die Aufgabe im dafür vorgesehenen Feld. - Der Lösungsweg muss vollständig ersichtlich sein. - Ungültiges ist zu streichen. - Bleistift ist nur für Zeichnungen zulässig. - Unterstreichen Sie die Ergebnisse. - Dieser Prüfungsteil umfasst 6 Aufgaben mit insgesamt 18 Punkten. - Die Bewertung ist bei jeder Aufgabe angegeben. - Der Lösungsweg wird mitbewertet. Name Vorname Prüfungsnummer.... Teil 2 Punkte Der Experte / die Expertin....

15 BMS Aufnahmeprüfung 2014 Basierend auf Lehrmittel (alt): Arithmetik und Algebra (Hohl) Mathematik Serie E Teil 2 1. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: 1 x! 1 y = (x! 4)! y = 3 (3 Punkte) Serie E, Teil 2 Seite 1

16 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie E, Teil 2 2. Die schraffierte Figur besteht aus einem rechtwinkligen Trapez und einem Halbkreis. Man kennt folgende Längen:! a = AB = 30.0 cm, c = CD = 22.0 cm,! = 60. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Figur. Genauigkeit: 1 Dezimale. Verwenden Sie für π die Taste des Taschenrechners. (3 Punkte) Serie E, Teil 2 Seite 2

17 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie E, Teil 2 3. a) Tragen Sie ins Koordinatensystem unten die Graphen folgender Funktionen ein: f: y =! 1 x g: y = x! 2 h: y = 1 (1.5 Punkte) b) Bestimmen Sie rechnerisch den Schnittpunkt S(x S / y S ) der Graphen der Funktionen f und g von Teilaufgabe a). Lassen Sie auftretende Brüche stehen. (1.5 Punkte) Serie E, Teil 2 Seite 3

18 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie E, Teil 2 4. Ein grosses, zylinderförmiges Regenfass, das oben offen ist, hat einen Durchmesser von 80 cm. Füllt man es randvoll, fasst es 800 Liter Flüssigkeit (1 Liter = 1 dm 3 ). a) Berechnen Sie die Höhe des Gefässes. Geben Sie das Resultat in Metern an. Genauigkeit: 1 Dezimale. Verwenden Sie für π die Taste des Taschenrechners. (1 Punkt) b) Ein zweites, ebenfalls oben offenes, zylinderförmiges Regenfass mit Durchmesser 80 cm und Höhe 140 cm soll nur innen neu gestrichen werden. Pro m 2 Fläche braucht man 0.1 kg Farbe. Wie viel Farbe benötigt man für den Anstrich? Geben Sie das Resultat in kg an. Genauigkeit: 3 Dezimalen. Verwenden Sie für π die Taste des Taschenrechners. (2 Punkte) Serie E, Teil 2 Seite 4

19 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie E, Teil 2 5. Max und Lara fahren einander aus 32 km Entfernung mit dem Fahrrad entgegen. Max startet Punkt Uhr, Lara um Uhr. Um Uhr hat Max bereits 7.5 km zurückgelegt. a) Um welche Uhrzeit treffen sie sich, wenn Lara mit durchschnittlich 20 km/h fährt? (2 Punkte) b) Wie viele Kilometer ist Max bis zum Treffen gefahren? (1 Punkt) Serie E, Teil 2 Seite 5

20 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie E, Teil 2 6. Konstruieren Sie ein spitzwinkliges Dreieck ABC aus! b = 11.0 cm, h a = 9.8 cm, = 72. Es wird ein Konstruktionsbericht verlangt. (3 Punkte) Serie E, Teil 2 Seite 6

21 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie E, Teil 2 Zusatzblatt Name :.... Nr.... Zusatz-Diagramm zu Nr. 3a: Serie E, Teil 2 Seite 7

22 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie E, Lösungen Lösungen Serie E, Teil x! 1 y = (x! 4)! y = 3! " 3x + 2y = "6 3x " y = 15 " 3x! 2y = 6 3x! y = 15 # y = 9 (1 P) (1 P)! x = 8; L = {(8 9)} (1 P) 2. A Trapez = 26 cm! 8! 3 cm! cm 2 (1 P) A Halbkreis = ½ (4! 3) 2!π cm 2 = 24π cm 2! cm 2 (1 P) A total! cm 2. (1 P) ( total 3 P) 3a) 3b) -½ x + 3 = x 2! -x + 6 = 2x 4! 3x = 10! x = 10/3 y = 10/3 6/3 = 4/3 S(10/3 / 4/3) (je 0.5 P total 1.5 P) (1.5 P) Serie E, Lösungen 3

23 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie E, Lösungen 4a) (0.4 m) 2!π!h = 0.8 m 3! h = 0.8 / (0.16π) m! 1.6 m (1 P) 4b) r = 0.4 m, h = 1.4 m Grundfläche G = π m 2 (0.5 P) Mantelfläche M = 0.8π!1.4 m 2 (0.5 P) Zu bemalende Fläche: G + M! 4.02 m 2. (0.5 P) Benötigte Farbe: 4.02!0.1 kg! kg Farbe. (0.5 P) 5a) Geschwindigkeit von Max: 15 km/h. (0.5 P) x = Anzahl Stunden bis Treffen ab Start von Max (ab Uhr). 15x + 20(x ½) = 32 (0.5 P)! 35x 10 = 32! 35x = 42! x = 6/5. (0.5 P) 6/5 h = 1 h 12 min! Sie treffen sich um Uhr. (0.5 P) 5b) 15 km/h! 6/5 h = 18 km. Max fuhr 18 km. (1 P) 6. Konstruktionsbericht 1. Seite b ( A, C) 2. Thaleskreis über b, h a abtragen H a 3. C mit H a verbinden Gerade, welche die Seite a enthält 4. Auf dieser Geraden irgendwo! abtragen; parallel verschieben, bis Schenkel durch A läuft B Variante: 1. Höhenstreifen h a 2. A wählen, b abtragen C 3. Auf der Höhenstreifengeraden, welche die Seite a enthält,! abtragen; parallel verschieben, bis Schenkel durch A läuft B (Konstruktion 2 P, Bericht 1 P total 3 P) Serie E, Lösungen 4

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