1 Analytische Geometrie

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Hildegard Neumann
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1 Analytische Geometrie. Grundlagen, Begriffe, Schreibweisen Achsenkreuz Die Achsen heißen in dieser Darstellung x und -Achse. Punkte Punkte werden weiterhin mit großen, lateinischen Buchstaben bezeichnet und im x Koordinatensystem mit zwei Koordinaten festgelegt. Sie werden konsequenterweise mit erster und zweiter Koordinate bezeichnet. Sehr oft werden die Koordinaten mit dem kleinen Buchstaben bezeichnet, der zum Punktnamen gehört. Zum Beispiel: P(p ;p ) Vektoren Jedem Punkt wird ein Ortsvektor zugeordnet, der im Ursprung beginnt und in dem Punkt endet. Punkte und Ortsvektoren sind in diesem Skript äquivalent. Die Rechnungen, die zu Abbildungen ausgeführt werden, werden in der Matrix-Vektor-Notation durchgeführt. Schreibweise: Punkt P(p ;p ), Ortsvektor p = p % Rechnen mit Vektoren a) Skalar-Multiplikation Wenn k eine reelle Zahl ist und v = v % Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl erklärt durch k v = kv kv % b) Addition Sind a = a % und b b = % a b zwei Vektoren, so ist die Addition von zwei Vektoren erklärt durch a + b = a + b a + b % v p ein Vektor, dann ist die

2 c) Subtraktion Sind a = a % a und b = b % b zwei Vektoren, so ist die Subtraktion von zwei Vektoren erklärt durch a b = a + () b = a b % ' a b. Abbildungen in der Ebene Wir behandeln in diesem Kapitel Abbildungen von Objekten in der Ebene. Der Begriff Transformation steht als Synonym für die im Folgenden behandelten Abbildungen, nämlich Verschiebungen, Spiegelung, Drehung, Zentrische Streckung. Eine affine Abbildung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt P` zuordnet und die geradengetreu, parallelengetreu und teilverhältnistreu ist. Bei den affinen Abbildungen unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen (z.b. Verschiebung, Spiegelung, Drehung), Ähnlichkeitsabbildungen (z.b. zentrische Streckung und Stauchung) und flächenmaßtreuen Abbildungen (z.b. Scherung). Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt P` zuordnet und die geradengetreu, parallelengetreu, teilverhältnistreu und winkelmaßtreu ist. Eine Kongruenzabbildung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt P` zuordnet und die geradengetreu, parallelengetreu, teilverhältnistreu, winkelmaßtreu und längenmaßtreu ist.

3 3 Für den schulischen Unterricht sind vor allem die Kongruenzabbildungen und die Ähnlichkeitsabbildungen von Bedeutung. Eine affine Abbildung, die dem Ausgangspunkt X(x ; ) den Bildpunkt X (x ;x ) zuordnet, hat die Form Koordinatenschreibweise x a x + a + d a x + a + d mit Matrix-Vektor-Schreibweise x ' '% = a a x a a % % + d d % die man symbolisch verkürzen kann zu x A x + d. Dabei ist A die Abbildungsmatrix und d der Verschiebungsvektor. Beispiele für Abbildungen. Identische Abbildung Die identische Abbildung bildet jeden Punkt auf sich selbst ab. Für jeden Punkt X(x ; ) gilt also: X (x ;x ) = X(x ; ). Damit lauten die Abbildungsgleichungen: x' = x oder ausführlich x x + 0 x + 0 x' = x' = 0 x Die Abbildungsmatrix ist dann E = 0 0 %, Einheitsmatrix genannt.. Spiegelung an der x -Achse Da der Ursprung O auf der Spiegelachse liegt, wird er auf sich selbst abgebildet. Folglich ist d = 0. Für die Koordinaten gilt offensichtlich

4 4 x x oder in der ausführlichen Koordinatenschreibweise x x + 0 0x, was sofort zur Matrix-Vektor-Schreibweise x ' '% = 0 x 0 '% % führt. 3. Verschiebung Bei der Verschiebung um 3% wird jeder Punkt in x -Richtung um eine Einheit nach rechts und in -Richtung um 3 Einheiten nach oben verschoben. Es gilt also: x x + = x oder in Matrix-Vektor-Schreibweise + 3 = 0 x x ' '% = 0 0 % x % + 3 % Wir wollen letztlich zu den Kongruenzabbildungen die Abbildungsgleichungen bestimmen. Für das Aufstellen von Abbildungsgleichungen sind die nachfolgenden beiden Sätze hilfreich. Satz über die Verschiebung des Ursprungs Gegeben ist die Abbildung x A x + d. d = 0 Der Ursprung O(0;0) wird auf sich selbst abgebildet, also O = O. Beweis: Setzt man den Vektor für den Ursprung x = x % = 0 0 % in die Abbildungsgleichung ein, so ergibt sich für den Bildvektor x a 0 + a 0 + d = d und a 0 + a 0 + d = d, also x d. Dann ist x 0 d = 0 Das Auffinden der Abbildungsmatrix zu einer geometrisch gegebenen Abbildung wird durch folgende prinzipielle Überlegung ganz erheblich vereinfacht:

5 Satz über das Aufstellen der Abbildungsmatrix Ist der Verschiebungsvektor d = 0, so gilt: a c Die Abbildungsmatrix ist b d% Der Basisvektor e = 0% wird auf e a und e = 0 % auf e c d% abgebildet. Beweis: Die Abbildung lautet also x a c b d% x. Setzt man e = 0% ein, so ergibt sich sofort e a. Ebenso ergibt das Einsetzen von e = 0 % sofort e c d%. Wegen d = 0 und da die Abbildungsmatrix unbekannt ist, lautet die Abbildung x a a x. Setzt man e a a und e ' ein, so erhält % man a = a a a a % 0 % = a, also a a = a und a = b. Setzt man % entsprechend e und e ' ein, so erhält man c d% = a a a a % 0 % = a, also a a = c und a = d. % Damit ist die Abbildungsmatrix bestimmt. 5.3 Abbildungsgleichungen der Kongruenzabbildungen.3. Verschiebung Definition: Die Verschiebung (Translation) V a um einen Vektor a ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P` so zuordnet, dass PP a gilt.

6 6 a Bei der Verschiebung um den Vektor wird jeder Punkt in x - Richtung um a Einheiten nach rechts und in -Richtung um b Einheiten nach oben verschoben. Es gilt also: x x + a = x a + b = 0 x + + b Die Verschiebung um den Vektor x A i x + E = 0 0 % ist. a ist gegeben durch a, wobei die Abbildungsmatrix A die Einheitsmatrix.3. Spiegelung Achsenspiegelung Die Achsenspiegelung an einer Geraden (Achse) a ist eine Abbildung in der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P so zuordnet, dass () P auf dem Lot zur Achse a durch P liegt, () der Lotfußpunkt F die Strecke PP halbiert.

7 7 Die Spiegelung an einer Geraden, die durch den Ursprung 0 verläuft und mit der x - Achse den Winkel einschließt, ist gegeben durch cos sin x A i x, wobei die Abbildungsmatrix A= % sin cos ' ( ist..3.3 Drehung Die Drehung Die Drehung um einen Punkt F und einen Winkel α ist eine Abbildung in der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P so zuordnet, dass () P auf dem Kreis um F durch P liegt, () die Strecken FP und FP den Winkel einschließen.

8 8 Die Drehung um den Ursprung 0, die den Winkel einschließt, ist gegeben durch x A i x, wobei die Abbildungsmatrix cos sin A= % sin cos ' ( ist Die Punktspiegelung Die Punktspiegelung ist eine besondere Drehung. Sie beschreibt die Drehung um das Spiegelungszentrum Z mit dem Drehwinkel α = 80. Die oben aufgelisteten Eigenschaften der Drehung gelten also auch für die Punktspiegelung..3.4 Zentrische Streckung Die zentrische Streckung mit dem Zentrum F und dem Streckfaktor k (k 0) ist eine Abbildung in der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P so zuordnet, dass () P auf der Geraden durch F und P liegt, () FP k FP Die Längenmaße ändern sich im Verhältnis : k, die Flächenmaße im Verhältnis : k

9 9 Auch diese Abbildungsgleichung lässt sich mit dem Satz über das Aufstellen der Abbildungsmatrix bestimmen, wenn das Streckzentrum der Ursprung ist. Denn dann wird der Ursprung auf sich selbst abgebildet. Die Einheitsvektoren werden dann mit dem Faktor k gestreckt/ gestaucht, also e = 0% ' e k 0% und e = 0 % ' e 0 k% Die zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckzentrum und dem Streckfaktor k, k / {0}, ist gegeben durch x A x, wobei die Abbildungsmatrix A = k 0 0 k% ist. Funktionsgraphen können ebenfalls gestreckt oder gestaucht werden, wobei wir dort nicht von zentrischer Streckung sprechen dürfen, da die Eigenschaften (z.b. winkeltreu, parallelentreu, ) nicht immer gegeben sind. Die Streckung eines Graphen mit dem Ursprung als Streckzentrum und dem Streckfaktor a in x -Richtung und b in -Richtung, a,b 0 = A i x, wobei die { }, ist gegeben durch x' Abbildungsmatrix A = a 0 0 ist.

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1 Abbildungen in der Ebene

1 Inhalt 1 Abbildungen in der Ebene... 2 1.1 Verschiebung... 3 1.2 Spiegelung... 3 1.2.1 Achsenspiegelung... 3 1.3 Drehung... 4 1.3.1 Die Drehung... 4 1.4 Zentrische Streckung... 5 2 Funktionen... 7 2.1