Bemessung für Querkraft - Schubbemessung

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1 Bemessung für Querkraft - Schubbemessung Biegebeanspruchte Bauteile werden nicht nur durch Biegemomente und Längskräfte, sondern auch durch Querkräfte beansprucht. Hierdurch entstehen zusätzlich zu den Normalspannungen Schubspannungen. Bei der Biegebemessung werden sie Querkräfte nicht berücksichtigt hierzu wird eine gesonderte Bemessung die Schubbemessung durchgeführt. Man kann sich die Wirkungsweise der Schubspannungen (stark vereinfacht) so vorstellen, daß die Querkräfte eine vertikale Verschiebung der nebeneinanderliegenden Querschnitte bewirken wollen somit entstehen als innere Beanspruchung Querschubspannungen. Gleichzeitig biegen sich biegebeanspruchte Bauteile durch übereinanderliegende Längsschnitte werden gegeneinander verschoben dadurch entstehen als innere Beanspruchung Längsschubspannungen. In Wirklichkeit ist die Wirkungsrichtung der Schubspannungen τ jedoch ähnlich wie die der Hauptdruckspannungnen in einem Querschnitt. In Feldmitte etwa vertikal und zu den Auflagern hin zunehmend geneigter. Gedanklich könnte man sich die Resultierende der vorgenannten Quer- und Längsschubspannungen über die Bauteillänge vorstellen. Vorstehende Abbildung zeigt das typische Rißbild bei zu hoher Schubbeanspruchung. Die auftretenden Risse verlaufen stets rechtwinklig zu den Hauptzugspannungen / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 1

2 Die Wirkungsweise eines Biegeträgers als Stahlbetonbalken kann mit der Fachwerkanalogie näherungsweise beschrieben werden. Hier werden die Biegedruckkraft vom Betondruckgurt, die Biegezugkraft vom Stahlzuggurt und die schrägen Hauptdruckkräfte von unter 45 geneigten Betondruckstreben und die schrägen Hauptzugkräfte von vertikalen Bügeln oder durch unter 45 aufgebogene Schrägstäbe Die Betonbereiche zwischen den Rissen kann man sich als Druckstreben vorstellen. Die Bewehrung, quer zu diesen Rissen angeordnet, hält diese Risse zusammen. In den meisten Fällen wird diese Bewehrung die Schubbewehrung aus lotrechten Bügeln gebildet. Zur Berechnung der Schubbewehrung verwendet man die Schubspannungen τ o - die Werte τ o stellen eine reine Rechengröße dar. Die rechnerischen Schubspannungen τ o sind nicht gleichmäßig über die Bauteillänge und auch nicht gleichmäßig über die Beuteilhöhe verteilt. Für die Schubbemessung muß die maßgebende Querkraft maßg. Qs berechnet werden. Je nach Lagerung des Bauteils indirekt oder direkt wird diese Querkraft direkt am Auflagerrand oder im Abstand von 0,5 * h berechnet. Nebenstehende Abbildung zeigt den Querkraftverlauf einer Platte bei gleichmäßig verteilter Belastung eben und räumlich dargestellt / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 2

3 Die allgemeine Formulierung für die maßgebende Querkraft maßg. Qs lautet: maßg. Qs = max. Q q * r [max Q ohne Vorzeichen einsetzen!] max. Q = die für den jeweiligen Balkenabschnitt, in dem die Querkraft das Vorzeichen nicht ändert, maximale Querkraft. q = vorhandene gleichmäßig verteilte Belastung r = von der Art der Lagerung abhängiger Wert Bei mittelbarer (indirekter) Lagerung gilt: r = t/3 bei Endauflagern ohne Einspannung r = t/2 bei Endauflagern mit Einspannung oder Mittelauflagern Bei unmittelbarer (direkter) Lagerung gilt: r = t/3 + h/2 bei Endauflagern ohne Einspannung r = t/2 + h/2 bei Endauflagern mit Einspannung oder Mittelauflagern 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 3

4 Weiter gibt DIN 1045 / an, daß bei auflagernahen Einzellasten bei direkter Stützung Abstand a 2 h, maßg. Qs um einen weiteren Betrag Q F abgemindert werden darf: Q F = Q F * ( 1 a / 2 h ) Q F Q F = Querkraftanteil infolge der Einzellast F a = Abstand vom Auflager a 2 h Beispiel Ermittlung der maßgebenden Querkraft maßg. Qs a F Gegeben: Platte h = 20 cm direkte Lagerung A l B q l = 5,50 m a = 5,20 m t = 30 cm (Auflagertiefe) q = 12,50 kn/m² F = 65 kn/m Gesucht: maßg. Qs, A maßg. Qs, B Maßgebende Querkraft: maßg. Qs = max. Q q * r Direkte Lagerung r = t/3 + h/2 = 0,10 + 0,10 = 0,20 m Es muß unterschieden werden zwischen Q A und Q B. Q infolge der Gleichlast q Q A = Q B = 0,50 * 12,50 * 5,50 = 34,37 kn/m Q A infolge F = 65 * 0,30 / 5,50 = 3,55 kn/m Q B infolge F = 65 * 5,20 / 5,50 = 61,45 kn/m max. Q A = 34,37 + 3,55 = 37,92 kn/m max. Q B = 34, ,45 = 95,82 kn/m 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 4

5 Q [kn/m] 50,00 37,92 0,00 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0-50,00-100,00 95,82 Q [kn/m] -150,00 x [m] Und somit: maßg Q A = max Q A q * r = 37,92 (12,50 * 0,20) =35,42 kn/m maßg Q B = max Q B q * r = 95,83 (12,50 * 0,20) =93,33 kn/m Weiter muß überprüft werden, ob F eine auflagernahe Einzellast ist und ob maßg Q B weiter abgemindert werden kann. Abstand a = 0,30 m < 2 * h = 2 * 0,20 = 0,40 m F ist auflagernah Und: Q F = Q F * ( 1 a / 2 h ) = 61,45* ( 1 0,30/0,40) = 15,36 kn/m maßg Q B = max Q B - (q * r) - Q F = 93,33 15,36 = 77,97 = 78 kn/m Mit den Querkräften maßg Q A = 36 kn/m und maßg Q B = 78 kn/m ist die Schubbemessung durchzuführen. Auflager A Platte B 25 / h = 20 cm / d > 20 cm t / 3 r = t / 3 + h / 2 Abminderung q * r max Q A maßg. Q A A = max Q A 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 5

6 Auflager B F Platte B 25 / h = 20 cm / d > 20 cm Direkte Auflagerung Auflagernahe Einzellast t / 3 B = max Q B Abstand a < 2. h maßg. Qs max Q B Q F r = t / 3 + h / / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 6

7 Ist die maßgebende Querkraft maßg. Qs berechnet kann mit der Ermitllung des Grundwertes der Schubspannung τ o fortgefahren werden. Grundwert τ o τ 0 = min Q S b z Mit: Qs = maßgebende Querkraft min b = kleinste Breite in der Zugzone des Querschníttes z = Hebelarm der inneren Kräfte = kz * h Entweder ist kz an der Stelle der maßgebenden Querkraft bekannt (z.b. Innenstütze bei Durchlaufsystemen), oder es wird näherungsweise angenommen: z 0,85 * h - allgemein z 0,90 * h - bei geringer Biegebeanspruchung Der Grundwert der Schubspannung τ o dient der Zuordnung in einen der durch die DIN 1045 festgelegten Schubbereiche. Danach richtet sich die Bemessung der Schubbewehrung. In DIN 1045 / Tabelle 13 sind die Grenzen der Grundwerte der Schubspannung τ o in N/mm² unter Gebrauchslast als zulässige Schubspannung angegeben. Danach werden für Platten ( b > 5 d ) die Schubbereiche 1 und 2 und für Balken die Schubbereiche 1, 2 und 3 unterschieden. Schubbereich 3 ist für Plattentragwerke unzulässig. Bei Balken darf dieser Bereich nur ausgenutzt werden, wenn der Balken mindestens 30 cm hoch ist. Allgemein gilt: Schubbereich 3 sollte möglichst vermieden werden, denn hier sind aufwendige Bewehrungen erforderlich. Die Schubbewehrung muß die Druckzone und die Zugzone eines Stahlbetonquerschnittes zugfest verbinden; sie muß verankert werden (siehe folgende Folien) und reicht in der Regel über die gesamte Querschnittshöhe. In Bauteil- Längsrichtung wird die Schubbewehrung entsprechend dem Verlauf der Bemessungswerte τ der Schubbewehrung verteilt / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 7

8 DIN 1045 / Tab. 13 Grenzen der Grundwerte τ o Schubbereich Grenzen der Grundwerte der Schubspannung τ o in N/mm² B15 B25 B35 B45 B55 Schubdeckung durch Bewehrung P l a tt e n 1 2 τ o11a τ o11b τ o2 0,25 0,35 1,20 0,35 0,50 1,80 0,40 0,60 2,40 0,50 0,70 2,70 0,60 0,80 3,00 Keine Schubbewehrung erforderlich / gestaffelte Bewehrung zulässig Keine Schubbewehrung erforderlich / gestaffelte Bewehrung nicht zulässig Schubbewehrung erforderlich / verminderte Schubdeckung zulässig B a l k e n τ o12 τ o2 τ o3 0,50 1,20 2,00 0,75 1,80 3,00 1,00 2,40 4,00 1,10 2,70 4,50 1,25 3,00 5,00 Konstruktive Schubdeckung / Bügelbewehrung für τ = 0,40 * τ o Schubbewehrung erforderlich / verminderte Schubdeckung zulässig Schubbewehrung erforderlich / Volle Schubdeckung für max τ o Schubbemessung bei Platten Bei Platten gelten die Schubbereiche 1 und 2, wobei Bereich 1 in Zeile 1a und Zeile 1b unterteilt wird. Schubbereich 1 Zeile 1a max τ o τ o11a In diesem Fall ist keine Schubbewehrung erforderlich und die Feldbewehrung kann gestaffelt werden, wenn mindestens die Hälfte der Feldbewehrung über das Auflager geführt und dort verankert wird. Schubbereich 1 Zeile 1b max τ o τ o11b Bei Platten mit d 30 cm braucht keine Schubbewehrung angeordnet zu werden; eine Staffelung der Bewehrung ist jedoch nicht zulässig und die gesamte Feldbewehrung ist bis über das Auflager zu führen und dort zu verankern / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 8

9 Bei Platten mit d 30 cm, darf auf eine Schubbewehrung nur dann verzichtet werden, wenn die durch die Beiwerte k1 bzw. k2 abgeminderte zulässige Schubspannung τ o11b eingehalten wird. also: max τ o k1 * τ o11b bzw. max τ o k2 * τ o11b mit: 0,50 k1 = 0,20 / d + 0,33 1,00 0,70 k2 = 0,12 / d + 0,60 1,00 k1 gilt für Platten mit d 30 cm wenn das maximale Biegemoment und die maximale Querkraft zusammentreffen Zwischenauflager und Kragarme. k2 gilt für Platten mit d 30 cm wenn das maximale Biegemoment und die maximale Querkraft nicht zusammentreffen Endauflager Beiwerte k1 und k2 DIN 1045 / k1 bzw. k2 1,10 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 k1 k2 0,50 0,40 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 Plattendicke d [m] In diesem Fall wird i.d.r. 1/3 der Feldbewehrung als Schubbewehrung entsprechend der Zugkraftlinie aufgebogen und oben in der Platte verankert. 2/3 der Feldbewehrung wird über das Auflager geführt und verankert / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 9

10 Schubbereich 2 τ o11b max τ o τ o2 Bei Platten mit rechnerischen Schubspannungen max τ o, die größer sind als τ o11b, muß ein Nachweis der Schubdeckung geführt werden und eine entsprechende Schubbwewehrung berechnet werden, der Beton kann die Schubspannungen allein nicht mehr aufnehmen. Die erforderliche Schubbewehrung darf für den Bemessungswert τ ermittelt werden: τ = 2 maxτ0 0,40 maxτ τ 02 0 Bei Schubspannungen max τ o 0,50 * τ o2 ist eine Schubbewehrung ohne Bügel zulässig. Im allgemeinen werden 2/3 der Feldbewehrung entsprechend der Zugkraftlinien aufgebogen und verankert. Bei Schubspannungen max τ o 0,50 * τ o2 sind stets Umschließungsbügel erforderlich (vgl. Balken im SB 2). Diese Bewehrung ist äußerst aufwendig daher sollte im üblichen Hochbau dieser Bereich vermieden werden und sinnvoller die Plattendicke vergrößert werden. Schubbemessung bei Balken Bei Balken gelten die Schubbereiche 1,2 und 3, wobei Balken im SB 3 eine Mindestdicke von d 30 cm haben müssen. Bei Balken, Plattenbalken und Rippendecken ist eine Mindestbügelbewehrung anzuordnen und zwar für den Bemessungswert: τ bü 0,25 * max τ o eine Schubbewehrung nur aus Schrägeisen ist bei Balken nicht zulässig! Schubbereich 1 max τ o τ o12 Es ist eine konstruktive Bügelbewehrung anzuordnen. Diese Bügelbewehrung ist für den Bemessungswert τ bü 0,40 * max τ o zu ermitteln / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 10

11 Schubbereich 2 τ o12 max τ o τ o2 Im Schubbereich 2 ist ein Nachweis der Schudeckung erforderlich. Im SB 2 ist eine verminderte Schubdeckung zulässig. Die Schubbewehrung kann für den Bemessungswert τ ermittelt werden (vgl. Platten im SB 2): τ = 2 maxτ0 0,40 maxτ τ 02 0 Schubbereich 3 τ o2 max τ o τ o3 Die Querschnittshöhe des Balkens muß mindestens 30 cm betragen. Im üblichen Hochbau sind Schubspannungen max τ o τ o2 eher selten. Kurze Balken mit hoher Belastung können Schubbeanspruchungen aufweisen, die SB 3 sind. Im SB 3 ist eine Abminderung der Schubspannung nicht zulässig der Nachweis ist für volle Schubdeckung τ = max τ o zu führen. Bei einer Schubspannungen max τ o τ o3 muß der Betonquerschnitt vergrößert werden. Die erforderliche Schubbewehrung wird nach folgender Formel ermittelt: a S = τ β γ S b 0 k β [ cm ² / m ] = 28,6 kn/cm² für BSt IV mit Beiwert k ß = 1 für lotrechte Bügel und k ß = 0,71 für unter 45 aufgebogene Stäbe. l τ = Länge über die τ wirkt / bei Schrägstäben wird l τ durch l S ersetzt. Gesamte Schubbewehrung A Sτ = τ b β S γ 0 k β l τ [cm ²] = 28,6 kn/cm² für BSt IV 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 11

12 Fortsetzung des Beispiels Folie 5.5 Wir hatten die maßgebenden Querkräfte für die Platte berechnet. maßg. Q A = 36 kn/m und maßg. Q B = 78 kn/m. Mit diesen Querkräften muß nun der Schubnachweis für die Platte geführt werden. Platte b/d/h = 100/24/20 cm, B 25, Bst IV da d < 30 cm sind k1 = k2 = 1 Auflager A Grundwert der Schubspannung τ o = Qs / min b. z = 36 / 1. 0,90. 0,20 = 200 kn/m². m = 0,20 MN/m². m also je Meter Plattenbreite!! Und: vorh τ o = 0,20 MN/m² < τ o11a = 0,35 MN/m² SB 1 keine Schubbewehrung erforderlich und Staffelung der Bewehrung zulässig. Auflger B Grundwert der Schubspannung τ o = Qs / min b. z = 78 / 1. 0,90. 0,20 = 434 kn/m². m = 0,44 MN/m². m Und: vorh τ o = 0,44 MN/m² < τ o11b = 0,50 MN/m² SB 1 keine Schubbewehrung erforderlich, Staffelung der Bewehrung ist nicht zulässig. Somit brauch keine Schubbewehrung in die Platte eingelegt zu werden, jedoch muß die gesamte Feldbewehrung bis an das Auflager geführt und verankert werden / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 12

13 Weiterführung der Berechnung: max M = 12,50*5,5²/8 + 65*5,2*0,3/5,5 = 47, ,44 = 65,71 knm/m kh = 20 / (65,71/1)^0,5 = 2,47 > kh* = 1,72 In kh-tabelle mit 2,39 ks = 3,92 Daraus folgt: erf as = 3,92 * 65,71 / 20 = 12,88 cm²/m und erf as, Quer = 0,20 * 12,88 = 2,58 cm²/m Bewehrung mit Stabstahl gewählt: as, Längs = 12 / e = 8,0 cm = 14,14 cm²/m as, Quer = 8 / e = 15 cm = 3,35 cm²/m. Verankerung am Endauflager v/h = 1,0!! (Versatzmaß) zu verankernde Zugkraft max Z S,R = Q R * v/h + N = Q B = 95,82 kn/m erf as R = max Z S,R / 28,6 = 95,82 / 28,6 = 3,35 cm²/m l2 2/3* α 1 * lo * erf as / vorh as > 6 ds = 7,20 cm (gerade Stabenden) l2 0,67 * 1,0 * 48 * 3,35 / 14,14 = 7,6 8 cm Überprüfen, ob 8 cm Verankerungslänge vorhanden sind / Bewehrung muß bis hinter das rechnerische Auflagergeführt werden! Im Idealfall läßt der Bauleiter einen Querstab hinter der Auflagerlinie anschweißen (nicht die Regel!!). R l 2 1/3 as, FELD auf 0,15 * l einlegen Bewehrung mit Durchmesser ds Q R σ R = rechnerische Auflagerlinie 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 13

14 Zusammenfassung Schubbemessung (Vorgehensweise) Ermittlung der Schnittkäfte und Schnittkraftverläufe Ermittlung der Stützweite, (System und Belastung) Durchbiegungsbeschränkung Ermittlung der maßgebenden Querkraft: maßg. Qs = max. Q q * r Unterscheidung direkte (unmittelbare) und indirekte (mittelbare) Lagerung beachten!! maßg. Qs = max. Q q * r [max Q ohne Vorzeichen einsetzen!] (vgl. Folie 5.3 r je nach Lagerbedingung) Direkte Lagerung bei Endauflager ohne Einspannung r = t/3 und h/2 mit h = statische Höhe und t = Auflagertiefe. Überprüfen ob eine auflagernahe Einzellast vorhanden - a 2 h - ist und ob maßg. Qs bei direkter Lagerung weiter abgemindert werden kann um: Q F = Q F * ( 1 a / 2 h ) Q F mit Q F = Anteil aus der Einzellast. Ermittlung des Grundwertes τ o der Schubspannung τ 0 = min Q S b z z ist bekannt aus kh-verf. oder z 0,85 * h (allgemein) z 0,90 * h (geringe Biegeb.) b = kleinste Breite in der ZUGZONE des Querschnitts 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 14

15 Einordnung in den zugehörigen Schubbereich (SB) Zuordnung des ermittelten Wertes τ o in einen der Schubbereiche. Für Plattem SB 1 bzw. SB 2 Für Balken SB 1, SB 2 bzw. SB 3!! Nur zulässig wenn d 30 cm Bemessung Ermittlung der erf. Schubbewehrung je nach SB Allgemein gilt: τ b 0 a S = k β β S [ cm ² / m ] γ Vereinfachung für Schubbewehrung aus BSt IV und B 25 / Bügel Erforderliche Schubbewehrungen erf as, Bü [cm² / m] SB 1 erf as, Bü = 14,0 * τ o * b o SB2 erf as, Bü = 19,44 * τ o ² * b o SB 3 erf as, Bü = 35,0 * τ o * b o f) Wahl der Bewehrung (vgl. Faltblatt / Formelsammlung) gew.: 12 / 15 = 15,08 cm²/m bei zweischnittigen Bügeln ACHTUNG max. Bügelabstände in Längsrichtung beachten SB 1 25 cm bzw. 0,80 * d (do) [Bauteildicke] SB 2 20 cm bzw. 0,60 * d (do) [Bauteildicke] SB 3 15 cm bzw. 0,30 * d (do) [Bauteildicke] g) Bewehrungsplan und Stahlliste siehe folgende Beispiele / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 15

16 Beispiel Balken im Schubbereich 1 A B l q Gegeben: Balken b/d/h = 30 / 42 / 36 cm B 25 / BSt IV / ta = tb = 24 cm Direkte Auflagerung q = 14,50 kn/m lw = 4,04 m s Bü = 25 cm Berechnen: l = 2*0,24/3 + 4,04 = 4,20 m M = 14,50 * 4,20² / 8 = 31,97 = 32 knm A = B = 14,50*4,20 / 2 = 30,45 kn r = t/3 + h/2 = 0,24/3 + 0,36/2 = 0,26 m maßg. Q = 30,45 14,50 * 0,26 = 26,68 27 kn Biege Bemessung: kh = 36 / (32/0,30)^0,5=3,49 ks = 3,80 erf As 3,80 * 32 / 36 erf As 3,38 cm² gew.: 3 14 vorh As = 4,62 cm² Schubbemessung: max τ o = 27 / ( 0,30 * 0,90 * 0,36 ) = 277,8 kn/m² = 0,28 MN/m² und max τ o = 0,28 MN/m² < zul τ o12 = 0,75 MN/m² SB 1 (Balken!) Nur konstruktive Schubbewehrung für 0,40 * max τ o erforderlich erf as, Bü 14 * 0,28 * 0,30 1,18 cm²/m gew.: Bügel zweischnittig 6 / 25 = 2,26 cm²/m - wegen Bügelabstand!! Endverankerung erf A S,R = 30,45 / 28,6 = 1,07 cm² l2 2/3 * 1,0 * 56 * 1,07 / 4,62 = 8,65 10 cm < vorh la = 24 cm 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 16

17 Beispiel Balken im Schubbereich 2 / keine Abstufung der Schubbewehrung Gegeben: Balken b/d/h = 24 / 38 / 32 cm q B 25 / BSt IV / ta = tb = 17 cm Direkte Auflagerung q = 105 kn/m A lw = 2,38 m l B Bügel 8 / e = 8 cm Berechnen: l = 2*0,17/3 + 2,38 2,50 m M = 105 * 2,50² / 8 = 82,03 = 82 knm A = B = 105*2,50 / 2 = 131,25 kn r = t/3 + h/2 = 0,17/3 + 0,32/2 = 0,22 m maßg. Q = 131, * 0,22 = 108, kn Ohne Abstufung Biege Bemessung: kh = 32 / (82/0,24)^0,5=1,731 ks = 4,50 erf As 4,50 * 82 / 32 erf As 11,53 cm² gew.: 3 25 vorh As = 14,70 cm² Schubbemessung: max τ o = 109 / ( 0,24 * 0,90 * 0,32 ) = 1564 kn/m² = 1,56 MN/m² und zul τ o12 = 0,75 < τ o = 1,56 MN/m² < zul τ o2 = 1,80 MN/m² SB 2 (Balken!) Schubbewehrung erforderlich verminderte Schubdeckung für τ o ² / zul τ o2 τ = τ o ² / τ o2 = 1,56² / 1,80 = 1,35 MN/m² > 0,40 * τ o = 0,624 MN/m² erf as, Bü 19,44 * 1,56² * 0,24 11,35 cm²/m gew.: Bügel zweischnittig 8 / 8 cm = 12,57 cm²/m (keine Abstufung!!) Endverankerung erf A S,R = 131,25 / 28,6 = 4,59 cm² l2 2/3 * 1,0 * 99 * 4,59 / 14,70 = 20,61 > vorh la = 17 cm!! Haken am Ende l2 = 0,70 * 20,61 = 14,50 cm > vorh la = 17 cm 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 17

18 Beispiel Balken im Schubbereich 2 / Abstufung der Bügelbewehrung A l B q Gegeben: Balken b/d/h = 24 / 38 / 32 cm B 25 / BSt IV / ta = tb = 17 cm Direkte Auflagerung q = 105 kn/m lw = 2,38 m Berechnen: l = 2*0,17/3 + 2,38 2,50 m M = 105 * 2,50² / 8 = 82,03 = 82 knm A = B = 105*2,50 / 2 = 131,25 kn r = t/3 + h/2 = 0,17/3 + 0,32/2 = 0,22 m maßg. Q = 131, * 0,22 = 108, kn Biege Bemessung: kh = 32 / (82/0,24)^0,5=1,731 ks = 4,50 erf As 4,50 * 82 / 32 erf As 11,53 cm² gew.: 3 25 vorh As = 14,70 cm² Bü 1 Bü 2 l/2 l/4 l/4 Schubbemessung: max τ o = 109 / ( 0,24 * 0,90 * 0,32 ) = 1564 kn/m² = 1,56 MN/m² und zul τ o12 = 0,75 < τ o = 1,56 MN/m² < zul τ o2 = 1,80 MN/m² SB 2 (Balken!) Schubbewehrung erforderlich verminderte Schubdeckung für τ o ² / zul τ o2 τ = τ o ² / τ o2 = 1,56² / 1,80 = 1,35 MN/m² > 0,40 * τ o = 0,624 MN/m² erf as, Bü 19,44 * 1,56² * 0,24 11,35 cm²/m gew.: Bügel zweischnittig Bü 1-8 / 8 cm = 12,57 cm²/m Mindestbügelbewehrung: erf as, Bü 8,75 * 1,56 * 0,24 3,28 cm²/m 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 18

19 Anders als beim vorigen Beispiel soll die Schubbewehrung dem Verlauf der Bemessungswerte τ angepasst werden. Hierzu gibt es mehrere Möglichkeiten. Vereinfachend wird im Rahmen dieses Unterrichts willkürlich eine Querkraft gewählt und eine zweite Schubbemessung für diese Querkraft durchgeführt. Die daraus erforderliche Bügelbewehrung muß mit der Mindestbügelbewehrung verglichen werden. Ggfs. Ist die Mindestbügelbewehrung einzulegen. Die aufwendige Berechnung der exakten Wirkungslängen für eine genauere Abstufung wird verzichtet. Gewählt die Stelle bei 0,50 * Q A = 65,625 kn Der Querkraftverlauf ist linear der Querkraftnullpunkt ist bei l/2 0,50 * Q A liegt demzufolge bei l/4. Rechnerisch: ΣV = 0 = Q A 0,50* Q A + q*x x = 0,50* Q A / q = 65,625 / 105 = 0,625 m = l/4 Gundwert τ o 65,625 / (0,24 * 0,85 * 0,32) = 1005 kn/m² = 1 MN/m² zul τ o12 = 0,75 < τ o = 1,00 MN/m² < zul τ o2 = 1,80 MN/m² SB 2 (Balken!) Schubbewehrung erforderlich verminderte Schubdeckung für τ o ² / zul τ o2 τ = τ o ² / τ o2 = 1,00² / 1,80 = 0,56 MN/m² > 0,40 * τ o = 0,40 MN/m² erf as, Bü 19,44 * 0,56² * 0,24 1,46 cm²/m Achtung: gew.: 1,46 cm²/m < Mindestbügelbewehrung = 3,28 cm²/m daher Mindestbügelbewehrung einlegen!! Bügel zweischnittig Bü 2-6 / 15 cm = 3,77 cm²/m ab l/4 angeordnet Endverankerung (wie vor) erf A S,R = 131,25 / 28,6 = 4,59 cm² l2 2/3 * 1,0 * 99 * 4,59 / 14,70 = 20,61 > vorh la = 17 cm!! Haken am Ende l2 = 0,70 * 20,61 = 14,50 cm > vorh la = 17 cm 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 19

20 Beispiel Balken im Schubbereich 3 / Nur Bügelbewehrung Gegeben: Balken b/d/h = 40 / 50 / 44 cm q B 25 / BSt IV / ta = tb = 24 cm Direkte Auflagerung q = 275 kn/m A lw = 2,72 m l B Berechnen: l = 2*0,24/3 + 2,72 2,80 m M = 275 * 2,80² / 8 = 269,5 = 270 knm A = B = 275*2,80 / 2 = 385 kn r = t/3 + h/2 = 0,24/3 + 0,44/2 = 0,30 m maßg. Q = * 0,30 = 302,5 303 kn Biege Bemessung: kh = 44 / (270/0,40)^0,5=1,694 Druck: erf As1 1,65 cm² Zug: erf As2 29,70 cm² gew.: oben konstruktiv vorhanden sind 2 14 = 3,08 cm² unten: 5 28 vorh As = 30,80 cm² Schubbemessung: max τ o = 303 / ( 0,40 * 0,90 * 0,44 ) = 1913 kn/m² = 1,92 MN/m² und zul τ o2 = 1,80 < τ o = 1,56 MN/m² < zul τ o3 = 3,00 MN/m² SB 3 (Balken!) Schubbewehrung erforderlich volle Schubdeckung für τ τ = 1,92 MN/m² erf as, Bü 35 * 1,92 * 0,40 26,88 cm²/m gew.: Bügel zweischnittig Bü - 12 / 8 cm = 28,27 cm²/m Mindestbügelbewehrung: erf as, Bü 8,75 * 1,92 * 0,40 6,72 cm²/m 2002 / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 20

21 Verankerungselemente und Bsp. für das Schliessen von Bügeln (vgl. DIN 1045 Bilder 25 und 26) Beim Schließen der Bügel in der Zugzone des Bauteils muß ein Überdeckungsstoß mit der Übergreifungslänge lü ausgeführt werden (lü siehe Kapitel 4) / 2003 Dipl.-Ing. Roger Hagelstein Folie 5. 21