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1 9. Lehrsatz von Pythagoras Pythagoras von Samos war ein griechischer Philosoph und Mathematiker, der von ca. 570 v.chr. bis 510 n.chr lebte. Obwohl es über seine gesallschaftliche Stellung verschiedene Meinungen gibt, gilt Pythagoras allgemein als Urheber der Erkenntnis, dass in einem rechtwinkligen Dreieck, das Quadrat über der Hypotenuse flächengleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist. Diese Gesetzmässigkeit ist uns bekannt als der Lehrsatz von Pythagoras. Konstruieren Sie einen rechten Winkel und messen Sie auf die Katheten die Längen von 3, bzw. 4 cm ab. Wie lang ist die Verbindung der beiden Endpunkte der Katheten (Hypotenuse). Zeichnet man nun über die Seiten des Dreiecks die Quadrate der jeweiligen Seiten, dann ergibt sich folgendes Bild: Addiert man die Flächen a 2 und b 2 (9 cm 2 bzw. 16 cm 2 ) erhält man eine Fläche von 25 cm 2. Dies entspricht genau der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse. Für dieses rechtwinklige Dreieck gilt also: c 2 = a 2 + b 2. Wenn die Längen zweier Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt sind, kann mittels des Lehrsatzes von Pythagoras die Länge der dritten Seite berechnet werden. Satz von Pythagoras Seite 16

2 Konstruieren Sie einen Winkel von 45 und messen Sie auf der Grundlinie eine Distanz AB = 5 cm ab. Konstruieren Sie in B einen Winkel von 90 und vervollständigen Sie das Dreieck. Wie gross ist Winkel? c Wir haben es somit mit einem gleichschenkligen Dreieck zu tun, das heisst, die Ankatheten des rechten Winkels sind gleich lang. Messen Sie nu die Länge der Hypotenuse und teilen Sie das Resultat durch 2. Wenn Sie genau konstruiert haben, sollte das Resultat wiederum 5 cm betragen. Kontrollieren Sie dies mit dem Satz von Pythagoras. Wenn die Länge AB statt 5 cm 1 m betragen würde, wäre auch BC 1 m lang und die Hypotenuse 2 m oder 1,41 m lang. Das heisst, in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 45 verhalten sich die Seitenlängen wie a : c : b = 1 : 1 : 2 Anmerkung: Die Bezeichungen der Seiten (a, b oder c) können frei gewählt werden. Merken Sie sich, dass im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse immer die längste Seite ist. Messen Sie auf der Grundlinie eine Distanz AB = 8,7 cm ab und konstruieren Sie in A einen Winkel von 30. Konstruieren Sie in B einen Winkel von 90 und vervollständigen Sie das Dreieck. Wie gross ist Winkel? c Wie lang sind nun Hypotenuse und Gegenkathete von ) Wir stellen fest, dass die Hypotenuse doppel so lang ist wie die Gegenkathete von. Wäre diese Gegenkathete 1 m lang, so wäre die Hypotnuse 2 m lang. Nach Pythagoras wäre dann die Ankathete von 3 m = 1,73 m lang. Das heisst, in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 30 verhalten sich die Seitenlängen wie a : b : c = 1 : 2 : 3 Anmerkung: Die Bezeichungen der Seiten (a, b oder c) können frei gewählt werden. Merken Sie sich, dass die Hypotenuse immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ist. Satz von Pythagoras Seite 17

3 Aufgaben zum Pythagoras Hinweise: Alle Zwischen- und Endergebnisse auf 1 Stelle nach dem Komma runden Die Zeichnungen sind nicht maßstäblich 1. Berechnen Sie den Flächeninhalt des nebenstehenden Dreiecks. 2. Berechnen Sie die Länge einer Dachsparre! 3. In ein Quadrat mit der Seitenlänge 8 cm wird ein kleineres Quadrat einbeschrieben (siehe nebenstehende Skizze). Welchen Flächeninhalt hat das innere Quadrat? 4. Aus einem Baumstamm soll in einem Sägewerk ein Balken mit quadratischem Querschnitt (Kantenlänge 14 cm) hergestellt werden. Welchen Durchmesser muß der Baumstamm mindestens haben? Satz von Pythagoras Seite 18

4 5. Welchen Durchmesser muß ein Baum- stamm mindestens haben, um daraus einen Balken mit einem Querschnitt von 16 cm 26 cm sägen zu können? 6. Berechnen Sie Umfang und Flächeninhalt des schraffierten Dreiecks, wenn das Rechteck 9 cm lang und 6 cm breit ist. Die Ecken B und C des Dreiecks liegen in den Seitenmitten des Rechtecks. 7. Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Kathete b = 3 cm und die Hypotenuse c = 5 cm gegeben. Berechne Sie den Flächeninhalt des Dreiecks! 8. Einem Quadrat ABCD ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 10 cm und 4 cm einbeschrieben. Berechne den Flächeninhalt des Quadrates! 9. Das trapezförmige Grundstück gemäß nebenstehender Zeichnung ist gegeben. a) Zeichnen Sie das Grundstück im Maßstab 1 : 500. b) Berechnen Sie den Umfang und den Flächeninhalt. Satz von Pythagoras Seite 19

5 10. Eine Grundstücksfläche besteht aus einem gleichschenkligem Trapez und einem rechtwinkligen Dreieck (siehe nebenstehende Zeichnung). Berechnen Sie den Flächeninhalt des gesamten Grundstücks. 11. In ein Quadrat mit der Seitenlänge 120 cm ist ein kleineres Quadrat entspechend der nebenstehenden Zeichnung einbeschrieben. Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Fläche. 14. Eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat eine Grundkante a = 5 cm und eine Körperhöhe h k = 6 cm. a) Berechnen Sie die Höhe h s einer Seitenfläche. b) Berechnen Sie die Länge s einer Seitenkante. Satz von Pythagoras Seite 20

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