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Christoph Gehrig
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Abitupüfung Mthemtik Bden-Wüttembeg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgben Aufgbe : ( VP) Bilden Sie die este Ableitung de Funktion f mit f() ( ) e weit wie möglich.

1 Abitupüfung Mthemtik Bden-Wüttembeg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgben Aufgbe : ( VP) Bilden Sie die este Ableitung de Funktion f mit f() ( ) e weit wie möglich. und veeinfchen Sie so Aufgbe : ( VP) Beechnen Sie ds Integl d e Aufgbe : ( VP) Hinweis: b de Abitupüfung nicht meh püfungselevnt Die Funktion f mit f() 8 ht die Nullstelle. Bestimmen Sie lle weiteen Nullstellen von f. Aufgbe : ( VP) Gegeben ist die Funktion f mit f(). Ih Schubild ist K. ) Geben Sie die Asymptoten von K n. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt de Tngente n K im Punkt P(/f()) mit de -Achse. Zuletzt ktulisiet:..

und veeinfchen Sie so Aufgbe : ( VP) Beechnen Sie ds Integl d e Aufgbe : ( VP) Hinweis: b de Abitupüfung nicht meh püfungselevnt Die Funktion f

2 Aufgbe : ( VP) Die vie Abbildungen zeigen Schubilde von Funktionen einschließlich lle wgechten Asymptoten. Eines diese Schubilde gehöt zu Funktion f mit f(). ) Begünden Sie, dss Abbildung zu Funktion f gehöt. Bestimmen Sie den Wet von. b) Von den ndeen dei Abbildungen gehöt eine zu Ableitungsfunktion f und eine zu Integlfunktion I mit I () f(t)dt. Odnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehöigen Abbildungen zu und begünden Sie jeweils Ihe Entscheidung. Aufgbe 6: ( VP) Gegeben sind die Punkte A(//), B(//-), C(/-/) und D(-/9/). Übepüfen Sie, ob diese vie Punkte in eine Ebene liegen. Zuletzt ktulisiet:..

b) Von den ndeen dei Abbildungen gehöt eine zu Ableitungsfunktion f und eine zu Integlfunktion I mit I () f(t)dt.

3 Aufgbe : ( VP) Gegeben sind die Ebene E: und de Punkt P(9/-/). ) Beechnen Sie den Abstnd des Punktes P von de Ebene E. b) De Punkt S(-//) liegt uf E. Bestimmen Sie den Punkt Q uf de Geden duch S und P, de genuso weit von E entfent ist wie P. Aufgbe 8: ( VP) Die Gede g und die Ebene E schneiden sich im Punkt S. Die Gede g ist ds Bild von g bei Spiegelung n de Ebene E. Bescheiben Sie ein Vefhen, um eine Gleichung de Geden g zu emitteln. Zuletzt ktulisiet:..

Bestimmen Sie den Punkt Q uf de Geden duch S und P, de genuso weit von E entfent ist wie P.

4 Abitupüfung Mthemtik (Bden-Wüttembeg) Pflichtteil Lösungen Aufgbe : Die Ableitungsfunktion wid mit de Poduktegel und de Kettenegel emittelt: f() u() v() mit u(), v v() e, u (), () e (Kettenegel) Anwendung de Poduktegel: f () u () v() u() v () e ( ) ( e ) e ( ) e ( ) Aufgbe : e d e [ ln() ] ln(e) e ( ln() ) e e Aufgbe : Die Nullstellen von f() egibt sich mit dem Anstz f(), ds heißt es ist die Gleichung 8 zu lösen. Püfung, ob eine Nullstelle von f() ist: Es gilt f() 8 und dmit ist N(/) eine Nullstelle. (dies wid beeits in de Aufgbenstellung vousgesetzt; mn muss dies nicht meh unbedingt echneisch nchweisen) Beechnung de weiteen Nullstellen mit Polynomdivision: ( ³ ² - 8 ) : ( ) ² - -( ³ - ²) ² - 8 -( ² - ) ( - ) Aus dem Polynomdivisionsegebnis folgt 8 ( ) ( ) Zu Emittlung de weiteen Lösungen ist die Gleichung zu lösen: ± ( ) ±,, und Die weiteen Nullstellen luten N (, / ) und N ( / ). Zuletzt ktulisiet:..

Gleichung 8 zu lösen. Püfung, ob eine Nullstelle von f() ist: Es gilt f() 8 und dmit ist N(/) eine Nullstelle.

5 Aufgbe : ) Ds Schubild von f() besitzt eine Defintionslücke bei. Fü stebt f () (egl, ob mn sich von links ode echts de nnähet). Somit liegt bei eine Polstelle ohne Vozeichenwechsel vo und dmit ist eine senkechte Asymptote. Vehlten fü ± : ( ) Es gilt f() Fü ± stebt de Buch. Dhe gilt lim f(). ± Ds Schubild K besitzt die wgechte Asymptote y -. b) Um den Schnittpunkt zu bestimmen, muss zunächst die Tngentengleichung in P ufgestellt weden. Beechnung de Koodinten von P: f() und dmit P(/-). Mit f() (siehe )) folgt f (). Tngentensteigung in P: f () Einsetzen von P und m in die Punkt-Steigungs-Fom: y ( ) ( ) y ist die Gleichung de Tngente in P Schnittpunkt de Tngente mit de -Achse: Setze die Tngentengleichung :, De Schnittpunkt de Tngente mit de -Achse lutet S(-,/). Aufgbe : ) Die Funktion f() besitzt die wgechte Asymptote y -. Dies ist dn ekennb, weil fü ± gilt, dss stebt. Ds einzige Schubild, dss eine wgechte Asymptote y - besitzt, ist Abbildung. Aus dem Schubild knn mn blesen: f(). f () b) Ds Schubild von f() besitzt n de Stelle einen Hochpunkt. Somit muss die Ableitungsfunktion f n diese Stelle eine Nullstelle mit einem Vozeichenwechsel von nch besitzen. Nu ds Schubild us Abbildung efüllt diese Bedingungm, somit gehöt Abbildung zu f. Die Integlfunktion mit de unteen Genze besitzt bei eine Nullstelle, d I() gilt. D nu die Abbildung dot eine Nullstelle besitzt, gehöt Abbildung zu de Integlfunktion. Zuletzt ktulisiet:..

± Ds Schubild K besitzt die wgechte Asymptote y -. b) Um den Schnittpunkt zu bestimmen, muss zunächst die Tngentengleichung in P ufgestellt weden. Beechnung de Koodinten von P: f() und dmit P(/-).

6 Zuletzt ktulisiet:.. 6 Aufgbe 6: Zunächst wid nhnd de Punkte A, B und C die Pmetefom eine Ebenengleichung ufgestellt: E: 6 t AC AB t OA Nun wid mit Hilfe eine Punktpobe gepüft, ob de Punkt D uf diese Ebene liegt. 6 t 9 Aus de.zeile folgt t,. Aus de.zeile folgt: 6 ) (, 9 Kontolle mit.zeile: ) ( ) (, liefet eine whe Aussge. Dmit liegt de Punkt D in de Ebene E. Alle vie Punkte liegen somit in eine Ebene. Hinweis: Mn hätte die Aufgbe uch ndes lösen können: Die vie Punkte A,B,C,D liegen in eine Ebene wenn die dei Vektoen AB, AC und AD line bhängig sind. Wenn die Vektoen line unbhängig sind, liegen sie nicht in eine Ebene. Aufgbe : ) Aufstellen de Hesseschen Nomlfom von E: bzw. E: De Abstnd von P zu E beechnet sich mit 6 9 d. De Punkt P ht von de Ebene E den Abstnd d 6.

6 t 9 Aus de.zeile folgt t,. Aus de.zeile folgt: 6 ) (, 9 Kontolle mit.zeile: ) ( ) (, liefet eine whe Aussge. Dmit liegt de Punkt D in de Ebene E. Alle vie Punkte liegen somit in eine Ebene.

7 b) P X S X Q Zu Emittlung de Koodinten von Q muss die Gedengleichung nicht ufgestellt weden. 9 Es gilt OQ OP PS 6 Die Koodinten von Q luten Q(-/6/). Aufgbe 8:.Schitt: Beechnung des Schnittpunktes S de Gede g mit de Ebene E.Schitt: Bestimmung eines weiteen von S veschiedenen beliebigen Punktes P uf de Geden. Diese Punkt P wid nun n de Ebene E gespiegelt mit folgenden weiteen Schitten:.Schitt: Aufstellen eine Hilfsgede h, die othogonl zu Ebene E und duch P veläuft (Richtungsvekto von h ist ein Nomlenvekto von E).Schitt: Bestimmung des Schnittpunktes F von h mit E. Schitt: Beechnung des Spiegelpunktes P* mit OP * OP PF 6.Schitt: Aufstellen de Pmetefom de Gede g duch die Punkte S und P* g : OS SP * Zuletzt ktulisiet:..

Diese Punkt P wid nun n de Ebene E gespiegelt mit folgenden weiteen Schitten:.

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