Multiplikation und Division - Division

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1 Multiplikation und Division - Division

2 Qualifizierungseinheit Multiplikation und Division Lernziele: Wenn Sie diese Qualifizierungseinheit bearbeitet haben, können Sie ganze Zahlen multiplizieren und dividieren Kommazahlen multiplizieren und dividieren Zahlen mit Bezeichnungen (Einheiten) multiplizieren und dividieren Sachaufgaben zur Multiplikation und Division lösen Zahlen mit Einheiten runden. Methodische Hinweise Sie werden diese Qualifizierungseinheit eigenverantwortlich bearbeiten. In kleinen Schritten vermitteln wir Ihnen den Lernstoff. Die Lösungen finden Sie auf einer der folgenden Seiten. Sie können die Übungsaufgaben direkt im Heft lösen. Überlegen Sie aber, ob es sinnvoller sein kann, die Aufgaben auf kariertem Papier zu bearbeiten. Dann haben Sie die Möglichkeit, später einige Aufgaben zu wiederholen. Vielleicht entscheiden Sie sich auch, nur einen kleinen Teil der Aufgaben zu bearbeiten, weil Sie sich erinnern und sicher im Verfahren sind. Denn schließlich wollen Sie schon Gelerntes auffrischen! Wir freuen uns, wenn unsere Hinweise Ihnen helfen, Rechenwege jetzt zu verstehen., bei denen Sie früher Schwierigkeiten hatten. Überlegen Sie, wie Sie die Arbeit in kleine Schritte einteilen können, und vergessen Sie die Pausen nicht! Eine Lerneinheit soll nicht länger als 90 Minuten dauern. Hierin sind ca. drei Pausen enthalten. Den Taschenrechner sollten Sie nicht verwenden - der kann es nämlich schon! Hinweis: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, große mehrstellige Zahlen so zu schreiben, so dass sie besser zu lesen sind, entweder gruppenweise mit Leerschritt oder mit dem sogenannten Tausenderpunkt. Sie finden in diesem Lernbrief beide Varianten: oder oder Und ansonsten wünschen wir Ihnen viel Spaß! Seite 2

3 Division Teilen nennt man auch Dividieren oder Division: 56 : 8 = 7 Dividend durch Divisor gleich Quotient Bei der Division gilt das Vertauschungsgesetz nicht!!! 1) Welche Divisionsaufgaben fallen Ihnen zu folgenden Zahlen ein? Schreiben Sie auch die entsprechende Multiplikation auf! 63, 48, 96, 72, 60, 42, 125, 144, 300, 169, 175, 189 Beispiel: 63 : 9 = 7 denn: 9 7 = : 3 = 21 denn: 3 21 = 63 Merke: Durch eine Multiplikation kann man eine Probe zu jeder Division machen, um so das Ergebnis zu überprüfen! Es ist sinnvoll, gerade am Anfang bei allen Aufgaben die Probe zu machen. Das geht meist schnell und Sie werden sicherer dabei! Seite 3

4 2) Teilen Sie im Kopf und zerlegen Sie dabei in geeignete Teilschritte! Beispiel: 368 : 8 = 320 : 8 = : 8 = 6 46 Also: 368 : 8 = 46 Machen Sie es genauso bei: 135 : : : : : : : : : : : : : : 15 = 1275 : 25 = 4450 : 50 = Seite 4

5 2.1: Die schriftliche Division ohne Komma Das schriftliche Dividieren funktioniert nach dem gleichen Prinzip wie das Dividieren im Kopf oder das halbschriftliche Teilen. Halten Sie die Reihenfolge der Schritte unbedingt ein: : 13 = 5 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren Wie oft ist die 13 in der 74 enthalten? : 13 = 5 2. Schritt: zurück multiplizieren = Schritt: Rest ausrechnen (schriftlich subtrahieren!) und kontrollieren. In dem Rest darf der Divisor nicht mehr enthalten sein! : 13 = Schritt: neue Ziffer (Stelle) herunter holen 5. Schritt: = 1. Schritt : 13 = 57 Teilen und Ergebnis notieren! : 13 = Probe: = Übrigens: Wenn Sie bei dem Verfahren unsicher sind, machen Sie sich zu Schritt 1-5 einen Merkzettel! Denken Sie auch daran, bei den Aufgaben die Probe durchzuführen! Seite 5

6 Sie finden Hinweise zu typischen Stolpersteinen im Anschluss an diese Übung. Wenn Sie also in dieser oder in späteren Aufgaben ein Problem haben, schauen Sie bitte dort nach!! 1 Rechnen Sie, und machen Sie die Probe! a) b) : : 6 c) d) 612 : : 56 e) f) 805 : : 44 g) h) : : 25 i) j) : : 24 Seite 6

7 k) l) : : 150 m) n) : : 282 o) p) : 452 = : 18 = q) r) : 88 = : 111= Seite 7

8 Typische Stolpersteine (Teil 1) Ergebnisziffer zu niedrig geschätzt? : 13 = 4??? 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren Wie oft ist die 13 in der 74 enthalten? Sie schätzen fälschlicherweise zu niedrig! : 13 = 4 2. Schritt: zurück multiplizieren = Schritt: Rest ausrechnen (schriftlich subtrahieren!) und kontrollieren. In dem Rest ist der Divisor enthalten! Das darf nicht sein! Hier sollten Sie bereits merken, dass etwas schief gelaufen ist. Wenn nicht, passiert Folgendes: Wenn Sie den Rest durch 13 teilen, ohne vorher die nächste Stelle dazu geholt zu haben, wird Ihr Ergebnis später zu viele Stellen haben! : 13 = : 13 = Richtiges Ergebnis! Probe: = Seite 8

9 Typische Stolpersteine (Teil 2) Ergebnisziffer zu hoch geschätzt? : 13 = 6? 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren Wie oft ist die 13 in der 74 enthalten? Sie schätzen fälschlicherweise 6mal! : 13 = 6 2. Schritt: Zurück multiplizieren! = 78 Das geht ja gar nicht!! 78 haben Sie nicht zur Verfügung, nur 74!! Neuer Versuch!! : 13 = Probe: = Seite 9

10 Die Sache mit den Nullen (Teil 1) Nullen (oder fehlende Nullen) im Ergebnis Die neue Zahl ist zu klein, um sich teilen zu lassen. In Ihrem Ergebnis fehlt mittendrin die Ziffer 0. Ihr Ergebnis hat zu wenige Stellen : 13 = 57 Bis hier ging alles glatt. 65 Nächster Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! : 13 = 57 0.Nächster Schritt: Teilen und Ergebnis notieren! ist nicht in 1 enthalten! Darum müssen Sie im... Ergebnis eine 0 notieren. Wenn Sie die 0 weglassen, dann fehlt in Ihrer Zahl ein Stellenwert. Ihr Ergebnis ist unbrauchbar!! Der Wert 0 bedeutet nicht nichts, sondern er ist wichtig wie jede andere Ziffer auch! gleich Die nächsten Schritte Zurück multiplizieren und Rest ausrechnen können Sie sich sparen, denn es wird ein Rest von 1 bleiben. Sie machen den : 13 = nächsten Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! 65.Nächster Schritt: Teilen und Ergebnis notieren! usw.... Seite 10

11 Die Sache mit den Nullen (Teil 2) Nullen im Dividenden : 13 = 5 Bis hier ist alles in Ordnung. 65 Nächster Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! : 13 = 56 Die nächste Ziffer ist Nun dürfen Sie nicht 0 ins Ergebnis übertragen, 90 sondern Sie rechnen 90 : : 13 = 569 Die nächste Ziffer ist wieder Auch diese 0 dürfen Sie nicht ins Ergebnis 90 übertragen, sondern Sie rechnen 120 : : 13 = Sie rechnen weiter, bis an dieser Stelle die 65 Rechnung aufgeht. Aber noch ist die Aufgabe 90 nicht zu Ende! : 13 = Nächster Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! 65 Das ergibt 0 im Ergebnis! 0 : 13 = Nächster Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! 117 Das ergibt 0 im Ergebnis! 0 : 13 = Seite 11

12 2.2: Der Dividend ist eine Kommazahl Wenn Sie im Dividenden (1. Zahl!) über das Komma hinweggehen, müssen Sie im Ergebnis ein Komma setzen. Beispiel: 110,40 : 23 = 4 Sie fangen zunächst 92 vorne an zu teilen ,40 : 23 = 4, Nun müssten Sie die nächste Stelle 92 nehmen. Vorher kommt aber 18 4 das Komma! 110,40 : 23 = 4,8 Die 1.Stelle nach dem Komma 92 liefert dann auch im Ergebnis die 18 4 erste Stelle nach dem Komma. 110,40 : 23 = 4,80 Nun rechnen Sie die Aufgabe bis 92 zum Ende Seite 12

13 Sie finden wieder Hinweise zu typischen Stolpersteinen im Anschluss an diese Übung. Wenn Sie also in dieser oder in späteren Aufgaben ein Problem haben, schauen Sie bitte dort nach oder auf den Seiten 27-30!! Überlegen Sie, wann das Komma gesetzt werden muß! Rechnen Sie bis zu Ende, Sie brauchen nicht runden! 1 a) 28,6 cm : 22 b) 49,28 : 44 c) 93,09 : 29 d) 45,666 km : 43 e) 33,12 m : 69 f) 5,535 km : 45 g) 23,115 km : 67 h) 3,225 km : 43 Seite 13

14 Typische Stolpersteine (Teil 3) Kleine Zahl geteilt durch große Zahl 4 : 64 = 0 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren! Wie oft ist 64 in 16 enthalten? 0mal! 4 : 64 = 0 2. Schritt: Zurück multiplizieren! Schritt: Rest ausrechnen!? 4. Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! Halt! - Komma setzen!!! 4,000 : 64 = 0, Statt 4 notiere ich nun 4, Die neue Stelle ist 0!... 4,000 : 64 = 0,0 5. = 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren! : 64 ergibt 0 im Ergebnis.... Beim Zurückrechnen bleibt 40 als Rest, also erspare 4,000 : 64 = 0,0625 ich mir das Aufschreiben und hole gleich die nächste 0 Stelle dazu: 400 : 64 = Nun rechnen Sie weiter Seite 14

15 2 a) 147,6 : 12 b) 14,76 : 12 c) 1,476 : 12 d) 35,25 : 15 e) 453,2 : 22 f) 45,32 : 22 g) 4,532 : 22 h) 82,188 : 18 i) 1 735,482 : 42 j) 76,944 : 24 Seite 15

16 k) 67,815 : 33 l) 3 469,425 : 25 m) ,28 : 56 n) 284,26 : 122 o) 2 260,125 : 525 p) 2 536,968 : 84 q) ,45 : 123 r) 3 962,277 : 99 s) ,3635 : 45 t) 136, : 45 Seite 16

17 u) ,8 : 204 v) 2 452,08 : 204 w) 245,208 : 204 x) 24,5208 : 204 Seite 17

18 Geht eine Division nicht auf, wird im Ergebnis eine Stelle weiter ausgerechnet als notwendig und dann gerundet. Beim Dividieren von Zahlen, die mit einer Einheit verbunden sind, bestimmt die Einheit die Anzahl der erforderlichen Stellen nach dem Komma. Bei anderen Zahlen kann man die Anzahl der notwendigen Stellen vereinbaren. In der Regel sollte jedoch auf drei Stellen nach dem Komma ausgerechnet und auf zwei Stellen gerundet werden. Beispiel: 49,8 : 7 = 7, ,11 Rechnen Sie die Aufgaben und achten Sie darauf, ob eine Einheit dabeisteht! 3 a) ,49 : 3 b) ,788 km : 619 c) 6 km : 300 d) 23 dm 3 : 405 e) 96,37 : 8 f) 456,23 : 36 g) 567,49 : 46 h) 123,50 : 150 Seite 18

19 i) 8,5 cm : 11 j) 44,78 cm 2 : 42 k) 45 : 123 l) 5 678,347 kg : 426 m) 1396,35 : 87 n) 500,06 m 2 : 13 o) 444 km :445 p) 445 km : 444 Seite 19

20 2.3: Der Divisor ist eine Kommazahl Versuchen Sie, dieses Phänomen zu erklären! Warum ist in allen Divisionsaufgaben hier das Ergebnis (der Quotient) gleich 3? 1,2 : 0,4 = 3 12 : 4 = : 40 = : 400 = : 200 = : 50 = 3 15 : 5 = 3 1,5 : 0,5 = 3 Der Quotient 3 drückt aus, daß die Zahlen der Divisionsaufgabe im Verhältnis zu stehen. Das Ergebnis einer Division gibt an, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten ist. Daher können Sie ja Ihr Ergebnis durch eine Multiplikation überprüfen. In diesem Fall ist die Zahl, durch die geteilt wird jeweils dreimal in der Zahl enthalten, die zum Dividieren zur Verfügung steht. Also: Der Quotient 3 drückt aus, daß die Zahlen der Divisionsaufgabe im Verhältnis 3 zu 1 stehen. Das übliche Verfahren der schriftlichen Division kann man nicht anwenden, wenn der Divisor (die Zahl, durch die geteilt werden soll), eine Kommazahl ist. Falls Sie es probieren, werden Sie feststellen, dass Sie beim Zurückmultiplizieren nicht wissen, wie Sie das Komma unterbringen sollen. Also sucht man eine gleichwertige Aufgabe, bei der die Zahlen im gleichen Verhältnis stehen; das erreicht man durch Verschieben des Kommas bzw. Anhängen von Nullen: Beispiel: 75,5 : 2,5 = 56,784 : 0,08 = 75 : 0,125 = : 25 = 30,2 5678,4 : 8 = 7, :125 = 600 Das Ergebnis der erweiterten Aufgaben ist absolut identisch mit dem Ergebnis der ursprünglichen!!! Seite 20

21 Bei der Division durch eine Kommazahl erweitern Sie die Aufgabe um so viele Stellen, wie der Divisor Stellen hinter dem Komma hat! Beispiel: 75,5 : 2,5 = 56,784 : 0,08 = 75 : 0,125 = 1 Stelle 2Stellen 3 Stellen Komma verschieben: 75,5 : 2,5 = 56,784 : 0,08 = 75,000 : 0,125 = um 1 Stelle um 2 Stellen um 3 Stellen Also rechnen Sie 755 : 25 = 30,2 5678,4 : 8 = 7, :125 = 600 Die Aufgaben haben nun im Divisor keine Kommastellen und sind wie gehabt auszurechnen. Wenn Sie in der ersten Zahl das Komma passieren, setzen Sie selbstverständlich das Komma auch im Ergebnis. Dies Ergebnis ist ebenso das Endergebnis der ursprünglichen Aufgaben. Also: 75,5 : 2,5 = 30,2 56,784 : 0,08 = 7, : 0,125 = 600 Verwandeln Sie zunächst alle Aufgaben in gleichwertige Aufgaben ohne Komma im Divisor! 1 a) 2,45 : 0,5 b) 12,87 : 0,09 c) 10 : 0,625 d) 234,7 : 14,7 e) 558,73 : 23,675 f) ,6 : 56,12 g) 95,245 : 1,5 h) 0,025 : 16,1 Rechnen Sie nun alle Aufgaben auf einem Extrablatt aus! Achtung: Einige Aufgaben gehen auf, andere müssen Sie runden! Seite 21

22 Erweitern Sie die Aufgaben zunächst und rechnen Sie dann! 2 a) 45,5 : 0,12 b) 3,675 : 1,8 c) : 7,3 d) 455 : 2,95 e) 4,2 : 0,055 f) 3,33 : 7,5 g) 19,6531 : 20,08 h) 0,5634 : 0,08 Seite 22

23 i) 0,0063 : 0,4 j) 0,04003 : 0,0105 k) 3,85 : 25,1 l) 0,08004 : 0,11 Auch umgekehrt geht es. Wenn der Divisor Nullen am Ende hat, können Sie entsprechend beide Werte um die gleiche Anzahl von Stellen kürzen und sich so das Schreiben vieler Nullen ersparen! Eventuell rutscht in die vordere Zahl ein Komma hinein, das stört aber nicht weiter. 3 a) : = : = 120 : 4 = b) : = c) : = d) : = e) : = Seite 23

24 Einige Aufgaben müssen vorher umgewandelt werden, andere können Sie so rechnen, wie sie sind. 4 a) 3 521,25 : 45 b) 4 931,07 : 123 c) 0, : 0,48 d) 0,415 : 0,500 e) 700,02 : 8,1 f) : 6,25 g) 0,1213 : 17,3 h) 5 020,4 : 0,753 i) 400 : 3,99 j) : k) 0, : 0,145 l) : Seite 24

25 m) : 9,4 n) 50 : 98,2 o) 22 : 0,8 p) 5,6 : 5,55 q) : r) 64,5 : 0,00025 Verschieben Sie zunächst das Komma und rechnen Sie dann im Kopf! 5 a) 0,21 : 0,03 = b) 2,1 : 0,003 = c) 3,5 : 0,007 = d) 35 : 0,7 = e) 2,55 : 0,05 = f) 5,1 : 1,7 = g) 14,4 : 0,002 = h) 810 : 0,9 = i) 25 : 1,25 = j) 3 : 0,015 = k) 1,75 : 0,025 = l) 6,5 : 1,3 = m) 150 : 0,3 = n) 0,27 : 0,0009 = o) 1,6 : 0,32 = p) 6,3 : 0,9= q) 10,5 : 0,3 = r) 17 : 0,2 = s) 2,43 : 0,03 = t) 1,96 : 0,04 = u) 4,5 : 0,15 = v) 14,7 : 0,7 = w) 6,6 : 1,1 = x) 8,5 : 0,5 = y) 3,8 : 0,02 = z) 33 : 1,1 = Seite 25

26 2.4: Sachaufgaben 1 Für 67 reguläre Arbeitsstunden wurden 1 544,35 ausbezahlt. Berechnen Sie den Stundenlohn! 2 Die Filiale einer Einkaufskette machte folgende Umsätze: Montag ,21 Dienstag ,50 Mittwoch ,25 Donnerstag ,87 Freitag ,07 Samstag ,97 Berechnen Sie die Wocheneinnahme und den Tagesdurchschnitt! 3 Herr Walter kauft ein Motorrad für ,-. Er zahlt 2 500,- an und bezahlt den Rest in 36 Monatsraten. Wie hoch sind die Raten? 4 Mit einer Dose Farbe kann man 7,5 m2 Fläche streichen. Wie viele Dosen muß man kaufen, um 115,42 m2 zu streichen? 5 Auf einer Stoffrolle befinden sich 400 m Waffelpikee. Für ein Handtuch benötigt man 1,45 m. Wie viele Handtücher können aus dem Stoff genäht werden? 6 Ein Raum ist 2,78 m breit und 4,60 m lang und soll mit Fliesen ausgelegt werden. Es stehen 2 veschiedene Fliesengrößen zur Verfügung: Eine Fliese vom Typ A ist 40 cm x 40 cm groß und kostet pro Stück 7,90. Eine Fliese vom Typ B ist 0,33 m x 0,33 m groß und kostet pro Stück 5,49. a) Wie viele Fliesen werden benötigt? b) Berechnen Sie den Kaufpreis der Fliesen! Welche Fliesen sind günstiger? Seite 26

27 7 In einer Klasse sind 27 Kinder, die zusammen 427,84 Jahre alt sind. Berechnen Sie den Altersdurchschnitt der Klasse auf 4 Stellen genau! 8 Bilden Sie den Quotienten aus 456 und 1,5, und multiplizieren Sie das Ergebnis mit 0, a) Teilen Sie die Summe aus und durch die Differenz aus und ! b) Mit welcher Zahl muß ich den Quotienten multiplizieren, um 3,534 zu erhalten? Seite 27

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