2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!

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1 Klausur Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!

2 Klausur Aufgabe 5 Gegeben ist die von der Zeit t abhängige Funktion K(t) = K 0 (1 i) t mit den Konstanten K 0 > 0 und 0 < i < 1. Zeigen Sie: Das Wachstumstempo von K(t) ist zu jedem Zeitpunkt gleich und positiv!

3 Belegaufgabe Januar 2001 Gegeben ist die Funktion L(t) = a 1 + be ct mit bekannten Parametern a > 0, b > 0 und c > 0. a) Zeigen Sie, daß die Funktion L(t) streng monoton wächst! b) Auf welchem Intervall wächst die Funktion L(t) degressiv?

4 Klausur Aufgabe 7 Gegeben ist die Funktion f(x) = 1 x, x 0. a) Bestimmen Sie die Wendepunkte der Funktion g(x) = e 1 f(x)! b) Berechnen Sie den Grenzwert lim x 1 1 f(x) ln f(x)!

5 Klausur Aufgabe 6 Es sei x > 0 eine Absatzmenge, K(x) eine Kostenfunktion, D(x) = K(x) x die Durchschnittsfunktion und G(x) = px K(x) die Gewinnfunktion, wobei p > 0 ein konstanter Marktpreis sei. Für eine Absatzmenge x > 0 gelte K (x ) = p, K (x ) > 0 und D(x ) < p. Weisen Sie nach, dass x ein lokales Maximum von G(x) ist und G(x ) > 0 gilt!

6 Klausur Aufgabe 6 Für x > 0 sei eine Funktion f(x) definiert, für die f(x) > 0 und f (x) < 0 gilt. Mit D f (x) = f(x) sei die zugehörige Durchschnittsfunktion x bezeichnet. a) Zeigen Sie, daß D f (x) keine lokalen Extrema besitzt! f (x) b) Welche Bedeutung besitzt der Quotient D f (x)?

7 Klausur Aufgabe 6 Für eine Produktionsmenge x > 0 sei K(x) > 0 eine stetig differenzierbare Kostenfunktion und D(x) = K(x) die Durchschnittsfunktion. Zeigen Sie, daß für die zugehörigen Elastizitäten die Glei- x chung ε D (x) = ε K (x) 1 gilt! Hinweis: Bestimmen Sie die Elastizität ε D (x) und formen Sie geeignet um!

8 Klausur Aufgabe 5 Gegeben sind die Funktionen p(x) = ln (1 + x 2 ) und q(x) = 1 + x 2. a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung p(x) = k in Abhängigkeit von der reellen Zahl k! b) Für welche reellen Zahlen x verhält sich q(x) proportionalelastisch? p(x) p(x) c) Berechnen Sie die Grenzwerte lim und lim x 0 q(x) x q(x)! d) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f(x) = q(x) p(x)!

9 Klausur Aufgabe 6 Für eine Produktionsmenge x > 0 sei K(x) = C +99x 9x 2 +x 3 die zugehörige Kostenfunktion mit Fixkosten C > 0 und G(x) = 99x K(x) die Gewinnfunktion. a) Weisen Sie nach, dass K(x) eine streng monoton wachsende Kostenfunktion ist! b) Berechnen Sie den Grenzwert der Elastizität lim x ε K (x)! c) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Absatzmenge x G und das Gewinnmaximum G max für die Gewinnfunktion G(x)! Begründen Sie, weshalb für Fixkosten C > 108 stets G(x) < 0 für x > 0 gilt!

10 Klausur Aufgabe 7 Gegeben sind für x 0 die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 222 6x und die Kostenfunktion K(x) = x 12x 2 + x 3. a) Ermitteln Sie die Elastizität des Preises bezüglich des Absatzes! Bestimmen Sie mit Hilfe der Elastizität die Absatzmenge x, deren Steigerung um 1% zu einer Preissenkung von 1% führt! b) Zeigen Sie, daß die Kostenfunktion K(x) streng monoton wachsend ist! c) Zeigen Sie, daß die Erlösfunktion E(x) = xp(x) konkav ist! d) Berechnen Sie für die Gewinnfunktion G(x) = E(x) K(x) das Gewinnmaximum!

11 Belegaufgabe Januar 2004 In Abhängigkeit von der Produktionsmenge 1 x 4 eines beliebig teilbaren Produktes ergebe sich ein Gewinn von G(x) = x ln x. a) Berechnen Sie den Gewinn für die Produktionsmenge x 0 = 3! b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Differentials näherungsweise die Gewinnänderung bei einer Änderung von x 0 = 3 um dx = 0, 2! c) Entwickeln Sie das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion G an der Stelle x 1 = 2! d) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn unter Beachtung der Schranken für die Produktionsmenge x! e) Welche Produktionsmenge x führt zu einem Gewinn G = 5? (Geben Sie x mit einer Genauigkeit von zwei Stellen nach dem Komma an!)

12 Klausur Aufgabe 7 Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(x 3 + 2). a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f(x)! b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f(x)! c) Approximieren Sie f(x) in einer Umgebung der Stelle x 0 = 1 durch ein Taylorpolynom zweiter Ordnung!

13 Klausur Aufgabe 7 Gegeben ist die Funktion f(x) = (x 1) e x. a) Auf welchem Bereich ist die Funktion f(x) konvex? b) Approximieren Sie f(x) in der Umgebung der Stelle x 0 = 0 durch ein Taylorpolynom 2. Ordnung!

14 Klausur Aufgabe 8 Gegeben ist die Funktion g(x) = x 3 2x + 1. a) Zeigen Sie, daß die Funktion g(x) neben x 0 = 1 zwei weitere Nullstellen besitzt! b) Die Funktion f(x) = e g(x) soll in der Umgebung der Stelle x 0 = 1 durch eine quadratische Funktion approximiert werden. Entwickeln Sie dazu das Taylorpolynom zweiter Ordnung der Funktion f(x) an der Stelle x 0 = 1! Berechnen Sie mit Hilfe dieses Polynoms näherungsweise den Funktionswert an der Stelle x = 0, 9 und vergleichen Sie die Näherung mit dem exakten Funktionswert!

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

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