gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

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1 Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren Beispiel: 7 6 gekürzt mit 9 sind Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren Beispiel: erweitert mit 8 sind 6 ( Hinweis: Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, beschreiben dieselbe gebrochene Zahl. ) Addition / Subtraktion:. Brüche gleichnamig machen ( durch Erweitern bzw. Kürzen ). Zähler addieren / subtrahieren, Nenner beibehalten Beispiel: 7 + = = 7 8 = 9 8 Multiplikation:. Zähler multiplizieren. Nenner multiplizieren Beispiel: 7 5 = 7 5 = 5 Division:. Reziproke des Divisors bilden. Brüche multiplizieren Beispiel: 7 : = 7 = 6.. Übungsaufgaben: a) b) :

2 c) : d) Terme.. Grundlagen: Terme sind Zahlen und Variablen, die sinnvoll durch Rechenzeichen miteinander verbunden sind. Beispiele: ; a + b; 6x ; x ( 6 7z ) ; 9 + n ; x Potenzen: Potenz = Produkt gleicher Faktoren a n = a a a... a ( n IN* n > ) n Faktoren Exponent ( Hochzahl ) Potenz = 8 Potenzwert Basis ( Grundzahl ) Erweiterter Potenzbegriff: a = a ( a IR ) a 0 = ( a IR* ) a = a ( a IR* ) a n = a n ( a IR* ) Potenzgesetze Gleiche Potenzterme, die in der Basis und im Exponent übereinstimmen, lassen sich bei Addition und Subtraktion zusammenfassen. b a n ± c a n = a n ( b ± c ) gleiche Basis: a m a n = a m + n ( Multiplikation ) a m : a n = a m a n = am n ( Division ) ( a 0 )

3 gleicher Exponent: a n b n = (a b) n ( Multiplikation ) a n : b n = an b n = a b n ( Division ) ( b 0 ) Potenzieren von Potenzen: (a m ) n = a m n Jede Wurzel lässt sich als Potenz darstellen, dabei gilt: m n a m n = a ( n IN* \ { } ) Terme vereinfachen: Gleichartige Terme wie x, 6x oder 9x lassen sich durch Addieren oder Subtrahieren zusammenfassen, verschiedenartige dagegen nicht. x + 7x x = 9x 8x + 5y x + y = 5x + 7y Bei einem Produkt aus Termen werden die Zahlfaktoren ( Koeffizienten ) und die Variablen getrennt multipliziert. a = 6a 7x y = xy 5a a = 0a Quotienten von Termen lassen sich vereinfachen, indem man den Quotienten der Zahlfaktoren ( Koeffizienten ) mit dem Quotienten der Variablen multipliziert. a : 6 = 7a xy : ( y ) = 6x x : 7x = x Klammern auflösen: Beim Auflösen einer Minusklammer erhalten die Summanden in der Klammer das entgegengesetzte Vorzeichen. a ( 5a b ) = a 5a + b = a + b Mit dem Distributivgesetz werden Klammern ausmultipliziert. ( x + 5 ) ( x 7 ) = x x + 5x 5 = x 6x 5.. Aufgaben. Entscheiden Sie, ob ein Term vorliegt: a) 5 b) + c) + d) + : 5 e) x + : 8 f) ( 6a ) : g) x y +

4 . Vereinfachen Sie die folgenden Terme! a) 0a [ ( 0b 6a ) + ( 56a b ) ] ( 5a b ) b) [ 0,6x 0, ( 0,08y 0,0z ) ] 0, [ 0, ( 0,9x 0,y ) z ] c) a b x c b c y a 6 d) (8a- b ) -5 (7a 6 ) - : (6a- b ) -5. Gleichungen.. Grundlagen: Lineare Gleichungen Gleichungen ersten Grades Gleichungen sind Terme, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind. Lineare Gleichungen beinhalten die gesuchte Variable in der ersten Potenz. Eine Zahl heißt Lösung der Gleichung, wenn sie eingesetzt für die Variable die Gleichung zu einer wahren Aussage macht. Alle Zahlen, die Lösungen der Gleichung sind, bilden die Lösungsmenge. Lineare Gleichungen besitzen keine Lösung Lösungsmenge ist leer: L = { } bzw. L =, eine Lösung die Lösungsmenge enthält ein Element oder unendlich viele Lösungen die Lösungsmenge enthält alle Zahlen aus dem Variablengrundbereich: z.b.: L = IR ( IR Zahlenbereich der reellen Zahlen ). Schritte beim Lösen linearer Gleichungen Terme auf beiden Seiten vereinfachen Summanden mit Variable auf der einen Seite und Summanden ohne Variable auf der anderen Seite der Gleichung ordnen beide Seiten durch den Zahlfaktor der Variable dividieren Probe durchführen ( Ergebnis in die Ausgangsgleichung einsetzen ) Lösungsmenge angeben Beispiel: x 7 ( x + 8 ) = x + ( 5x ) ( ) 5x Klammern auflösen x x 56 = x 60x + 8 5x Zusammenfassen 0x 56 = 6x x; x = 0 : 5 x =

5 Probe: 7 ( + 8 ) = + ( 5 ) ( ) = ( ) 0 76 = 76 ( w.a.) L = { } Quadratische Gleichungen Gleichungen zweiten Grades Quadratische Gleichungen enthalten die gesuchte Variable in der zweiten Potenz (im Quadrat). Sie besitzen keine Lösung, eine Lösung, zwei Lösungen oder unendlich viele Lösungen. Schritte beim Lösen quadratischer Gleichungen Normalform x + px + q = 0 herstellen Lösungsformel x, = p ± p - q anwenden Probe durchführen Lösungsmenge angeben Beispiel: ( x + ) = x + Klammern auflösen 8x = x + - x ; - x 8x 7 = 0 : ( ) x + 8x + 7 = 0 p = 8; q = 7 x, = 8 ± 8-7 x, = ± - 7 x, = ± x = 7; x = Probe: x = 7 ( (-7) + ) = ( - 7 ) + ( ) = 5 5 = 5 (w.a.) x = ( (-) + ) = ( - ) + ( ) = 5 5 = 5 (w.a.) L = { - 7; - } Satz von Vieta: p = ( x + x ); q = x x ( Hinweis: Mit Hilfe des Satzes von Vieta können die Lösungen nur bezüglich der Normalform überprüft werden! )

6 .. Aufgaben. Bestimmen Sie die Lösungsmengen ( G = IR ) a) 7x = x + b) x + = x c) ( 5x + ) = 7 ( x ) d) ( x + 6 ) = 0x 0. In welchem Rechteck mit dem Umfang 0 cm ist die eine Seite a) um cm größer b) um cm kleiner als die andere?. Nach Abzug von 5% Lohnsteuer beträgt das Gehalt eines Arbeitnehmers 9,59. Wie hoch ist es vor dem Abzug?. Ein Darlehen wird mit 8% verzinst und nach 8 Tagen einschließlich Zinsen mit 5705,60 zurückgezahlt. Berechnen Sie den Darlehensbetrag und die Zinsen! 5. Berechnen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen ( G = IR )! a) x = 65 b) x + 5 = 0 c) 7x + x = 0 d) 0x 0x + 70 = x x + 5 e) ( x + ) ( x + ) + ( x ) ( x ) = x 6. Ein Baugrundstück hat eine Fläche von 675m². Es hat die Form eines Rechtecks und ist mal so lang wie breit. Berechnen Sie Länge und Breite des Grundstücks! 7. Zwei Röhren füllen einen Behälter in Minuten. Die eine Röhre braucht zum Füllen 0 Minuten länger als die andere. Wie lange benötigt jede Röhre allein?. Funktionen.. Grundlagen: Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y aus der Wertemenge W zugeordnet wird. x D unabhängige Variable ( Argument ) y W abhängige Variable ( Funktionswert ) D Definitionsbereich ( Menge aller x ) W Wertebereich ( Menge aller y ) Funktionsgleichung: y = f(x) = x + Funktionsterm

7 Lineare Funktionen ganzrationale Funktionen ersten Grades Eine Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = mx + n heißt lineare Funktion. Der Graph linearer Funktionen ist eine Gerade mit der Steigung ( Anstieg ) m, die die y-achse in P y ( 0; n ) schneidet. Anstieg m z.b.: f(x) = x Absolutglied n P y ( 0; ) y 6 f(x) = x - 5 m = Höhenunterschied Horizontalunterschied x n m > 0 Funktion steigt monoton m < 0 Funktion fällt monoton m = 0 konstante Funktion Schnittwinkel mit der x-achse: tan α = m Achsenschnittpunkte: - Schnittpunkt mit der y-achse: x = 0 f(0) = m 0 + n = n P y ( 0; n ) - Schnittpunkt mit der x-achse: y = 0 0 = m x + n - n; : m x = - n m Nullstelle P x ( - n m ; 0 ) Lage zweier Graphen zueinander: - parallel gleicher Anstieg: m = m - senkrecht Produkt der Anstiege ist : m m = - bzw. m = m - Schnittwinkel zwischen zwei Geraden: tan ϕ = m - m + m m Berechnen der Schnittpunktkoordinaten zweier Graphen: - Funktionsterme gleichsetzen - entstandene Gleichung lösen x Koordinate - Lösung in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen und y Koordinate berechnen

8 Gleichungen linearer Funktionen: Normalform: y = f(x) = mx + n Punktrichtungsform: y y 0 = m ( x x 0 ) ( x 0 ; y 0 ) beliebiger Punkt der Funktion Zweipunkteform: y y 0 = y - y 0 x - x 0 ( x x 0 ) ( x 0 ; y 0 ) und ( x ; y ) beliebige Punkte der Funktion Quadratische Funktionen ganzrationale Funktionen zweiten Grades Eine Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = ax + bx + c ( a 0 ) heißt quadratische Funktion. Der Graph der Funktion ist eine Parabel, deren höchster bzw. tiefster Punkt Scheitelpunkt heißt. Koordinaten des Scheitelpunktes: S ( - b a ; ac - b a ) Eigenschaften: a > 0 Parabel nach oben geöffnet a < 0 Parabel nach unten geöffnet a < Parabel gestaucht a > Parabel gestreckt Achsenschnittpunkte: y-achse: x = 0 f(0) = a 0 + b 0 + c P y ( 0; c ) x-achse: y = 0 Funktionsterm Null setzen und entstandene quadratische Gleichung lösen ( Möglichkeiten: kein Schnittpunkt, ein Schnittpunkt, zwei Schnittpunkte ) Gleichungen quadratischer Funktionen: allgemeine Form: y = f(x) = ax + bx + c Scheitelpunktform: f(x) = a ( x u ) + v ( u; v ) Scheitelpunkt der Funktion Beispiel: f(x) = 0,5x x,5 y 6 5 f(x) = 0,5x - x -,5 P x P x P y 5 6 x Scheitelpunkt

9 .. Aufgaben. Ermitteln Sie den Anstieg, die Schnittpunkte mit der x- und y-achse und die Schnittpunkte untereinander der Graphen folgender Funktionen: a) y = x b) y = c) y = 5 x +. Geben Sie die Funktionsgleichungen der Geraden an, deren Schnittpunkte P x und P y bekannt sind! a) P x ( 5 ; 0 ); P y ( 0; ) b) P x ( ; 0 ); P y ( 0; ). Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Geraden g(x) = 0,5x + und der Parabel f(x) = 0,5x x + miteinander und mit den Achsen! Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensystem!. Ein ohmscher Widerstand R = Ω (0 W ) ist gegeben. a) Stellen Sie die Leistung P, die er aufnimmt, als Funktionsterm des Stromes I dar! b) Geben Sie den Definitionsbereich an! c) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen! Lösungen. Bruchrechnung a) b) 5. Terme c) 9 d) 7 6 a) ja b) ja (Summe) c) nein d) ja (Summe) e) nein f) ja (Quotient) g) ja (Wurzel) a) a b) 0,58x + 0,z c) b x + c y - a a d) b 5

10 . Gleichungen a) L = { } b) L = { } c) L = { } d) L = { } a),5cm x 6,6cm b) 7cm x cm. 5,0. Darlehensbetrag: 600,00 ; Zinsen: 05,60 5a) L = { - 5; 5 } b) L = { } c) L = { - 6,; 0, } d) L = { 0,65; } e) L = { - ; } 6. Länge: 5m; Breite: 5m 7. werden bearbeitet. Funktionen a) m = 0,5; P x ( ; 0 ); P y (0; ) b) m = 0; P x existiert nicht; P y (0; ) c) m = - 0,; P x (,75; 0 ); P y (0;,5 ) Schnittpunkte: a) mit b) S ( ; ) b) mit c) S ( - 6,5; ) a) mit c) S ( 5 9 ; - 8 ) a) y = - 5x + b) y = x. Schnittpunkte g(x) mit f(x) S ( 0,;, ); S (,56;,8 ) Achsenschnittpunkte: g(x) P x ( - ; 0 ); P y ( 0; ) f (x) keine Schnittpunkte mit der x-achse; P y ( 0; ) Funktionsgraphen: y 9 f(x) = 0,5x - x g(x) = 0,5x x - -

11 . werden bearbeitet Weitere Hinweise: - Tafelwerke und Tabellenbücher, die Ihnen zur Verfügung stehen, sollten für die Sekundarstufe geeignet sein - als Taschenrechner empfehlen wir den CASIO fx-99es, der auch erst zu Studienbeginn erworben werden kann ( evtl. Sammelbestellung ) ( programmierbare und grafikfähige Taschenrechner sind nicht zugelassen )

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