Maurits Cornelis Escher ( ) Unmögliche Figuren. Parkettierungen. Kurzbiographie. Lehrerfortbildung: Geschichte(n) der Mathematik

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1 Maurits Cornelis Escher ( ) Kurzbiographie Schon früh an Kunst interessiert Studium der dekorativen Künste Lebensmittelpunkt im Süden Europa Lehrerfortbildung: Geschichte(n) der Mathematik Inspiration durch regelmäßige Muster und Ornamente der Alhambra Widmete sich intensiv Parkett-Werken Didaktik der Mathematik - Universität Passau 9. Dezember 2015 Unmögliche Figuren 2 / 35 4 / 35 Parkettierungen 3 / 35

2 Parkettierungen Mathematik hinter den Parkettierungen Die Mathematik kann uns helfen, die Parkett-Bilder besser zu verstehen. Wir wollen ein Parkett im Stile von M.C. Escher erstellen. Unsere Ausgangsfigur ist ein Quadrat: Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein und ergänze den fehlenden Punkt D eigenständig, so dass ein Quadrat entsteht. Welche Koordinaten besitzt dieser? A (1 3) B (5 3) C (5 7) Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil CB. Entstanden ist ein neues Vieleck mit demselben Flächeninhalt des Ausgangsquadrats. Mit dieser Figur kannst du ein (symmetrisches) Parkett legen. Male deine entstandene Figur farbig aus, um es besser zu erkennen. Siehst du vielleicht eine Gestalt darin? 5 / 35 6 / 35 Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein und ergänze den fehlenden Punkt D eigenständig, so dass ein Quadrat entsteht. Welche Koordinaten besitzt dieser? A (1 3) B (5 3) C (5 7) 7 / 35 8 / 35

3 9 / / 35 Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil DC. 11 / / 35

4 Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil DC. Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil DC. 13 / / 35 Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil DC. Entstanden ist ein neues Vieleck mit demselben Flächeninhalt des Ausgangsquadrats. Mit dieser Figur kannst du ein (symmetrisches) Parkett legen. Male deine entstandene Figur farbig aus, um es besser zu erkennen. Siehst du vielleicht eine Gestalt darin? 15 / / 35

5 Aufgabe 2 - Eigene Parkettierungsformen Entstanden ist ein neues Vieleck mit demselben Flächeninhalt des Ausgangsquadrats. Mit dieser Figur kannst du ein (symmetrisches) Parkett legen. Male deine entstandene Figur farbig aus, um es besser zu erkennen. Siehst du vielleicht eine Gestalt darin? Aufgabe 2 Trage das Quadrat aus erneut in ein neues Koordinatensystem ein. Verändere die Seiten [AD ] und [DC ], indem du neue Punkte innerhalb des Quadrates setzt und diese mit den Ausgangspunkten verbindest. Achte dabei darauf, dass die zu verschiebenden Flächen sich nicht überschneiden dürfen. Orientiere dich an der oberen Aufgabe und besprich dich gegebenenfalls mit deinem Banknachbarn. 17 / / 35 Aufgabe 3 Um die Ausgangsfigur eines Escher-Parketts zu finden, musst du die Punkte markieren, in denen sich mindestens drei Figuren berühren. Anschließend verbindest du diese Punkte zu einem n-eck. Was ist es für eine Ausgangsfigur? Überlege dir, wie und was hier verschoben wurde! 19 / / 35

6 21 / / 35 Aufgabe 4 - Suche nach Ausgangsfigur Aufgabe 3 Um welche Ausgangsfigur handelt es sich bei diesem Escher-Parkett? 23 / / 35

7 Aufgabe 4 - Suche nach Ausgangsfigur Aufgabe 4 - Suche nach Ausgangsfigur 25 / / / 35 Eugen Jost Kurzbiographie 1950 in Zürich geboren Lehramtsstudium sowie Weiterbildung in den Bereichen Keramik und Drucktechniken seine Bilder sind teilweise klar nach mathematischen Regeln konstruiert teilweise etwas freier, aber dennoch mit mathematischen Inhalten und Rätseln Wanderausstellung: Alles ist Zahl 27 / 35

8 Wanderausstellung: Alles ist Zahl Wanderausstellung: Alles ist Zahl 29 / 35 Wanderausstellung: Alles ist Zahl 30 / 35 Wie ist das Bild aufgebaut, wie kommt das Muster zustande? Wie verwendet Eugen Jost die Farben? Warum sind einige Teilflächen zueinander kongruent? 31 / / 35

9 Bildaufbau: Aufgabe 2 Das Bild hat eine quadratische Form Zähle die verschiedenen kongruenten Teilflächen der drei farbigen Quadrate und vergleiche sie anschließend miteinander. Kannst du eine Besonderheit entdecken? Wie war nochmal die Flächeninhaltsformel für das Quadrat? A =. Stelle eine Vermutung zur Beziehung der Flächeninhalte der Quadrate her. Glaubst du, diese Diese ist wiederum in neun kleinere Quadrate zerlegt worden Schräge Linien laufen in vier verschiedenen Richtungen übe das Bild und erzeugen dabei ein sternförmiges Muster Den entstandenen Achtstern nennt man auch Knauthsche-Figur: Konstruiere diese! Beziehung besteht immer oder müssen besondere Voraussetzungen bestehen? Wenn ja, welche? 33 / 35 Kongruente Dreiecke: Die Teilflächen A und B ergeben sich durch Überschneidung der oben genannten rechtwinkligen kongruenten Dreiecke. Diese stimmen in der anliegenden Seite überein Außerdem sind die Winkel in der oberen und unteren Ecke gleich groß, da diese auch die winkelgleichen Ecken der bereits gezeigten kongruenten großen Dreiecke sind Der Kongruenzsatz WSW liefert folglich, dass sie deckungsgleich sind 35 / / 35

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6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

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