PHYSIK Gekoppelte Bewegungen 1

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1 PHYSIK Gekoppelte Bewegungen 1 Gekoppelte Bewegungen auf horizontaler Ebene Noch keine Korrektur geleen (3.11.0) Die kopletten Löungen owie die Möglichkeit de Audrucken gibt e auf der Matheatik-CD ( Datei Nr Friedrich W. Buckel Oktober 00 Internatgynaiu Schloß Torgelow

2 Inhalt 1 Grundwien 1 Bewegung ohne äußeren Antrieb (Beipiel 1) 3 Bewegung it äußere Antrieb (Beipiel ) 4 Beipiel 3 5 Seilkraft 7 Beipiel 4 8 Beerkung Die allgeeine quadratiche Gleichung ax + bx + c = 0 hat die Löungforel b± b 4ac x1, = a Diee Forel (i Volkund auch Mitternachtforel genannt, wird von ir auchließlich verwendet. In nicht wenigen Aufgaben it ie der leider zu oft eingeetzten p-q-forel deutlich überlegen.

3 MECHANIK Gekoppelte Bewegungen Grundlagen Voraugeetzte WISSEN: (1) Da Newtonche Kraftgeetz bechreibt den Zuaenhang zwichen einer Kraft, die auf eine Mae wirkt und die darau reultierende Bechleunigung (die auch al Breverzögerung wirken kann, wenn ie der Bewegungrichtung entgegen wirkt). F= a a= F () Wenn Reibung i Spiel it, wirkt die Reibungkraft tet breend. Man berechnet ie durch die Forel F R = f N wobei N die Noralkraft it. Darunter verteht an die Kraft, die den Körper enkrecht gegen die Unterlage drückt. Bewegt ich der Körper auf horizontaler Unterlage, dann it die Noralkraft natürlich die Gewichtkraft G= g. Auf einer horizontalen Ebene wird oit die Reibungkraft durch diee Gleichung berechnet: F = f G= f g R (3) It der Körper in Ruhe, dann wirkt zunächt die Haftreibungkraft. It er in Bewegung, dann die Gleitreibungkraft, oder die Rollreibungkraft. Der Reibungkoeffizient f it a kleinten bei der Rollreibung und a größten bei der Haftreibung. (4) Für die gleichäßig bechleunigte Bewegung gelten diee Gleichungen vt ( ) = v0 ( ) ± at ( ) ( ) 1 t = v0 t± at Da Minuzeichen gilt bei einer verzögerten Bewegung. (5) Wird nicht andere geagt, rechnen wir ier it g= 10.

4 MECHANIK Gekoppelte Bewegungen 1. Bewegung ohne äußeren Antrieb Nehen wir an, ein Körper bewege ich zur Zeit t = 0 it der Gechwindigkeit v(0) oder v o. Er gleite über eine waagerechte Ebene und wird alleine durch die Gleitreibungkraft beeinflußt. Dann wirkt diee al Breverzögerung und verlangat die Bewegung bi zu Halten. BEISPIEL 1: E ei ( ) v 0 = 4 und f = 0,5. Dann erhält an eine Breverzögerung von FR f N f G f g a = = = = = f g 0,5 10 =,5. Man beachte, daß die Mae de Körper dabei keine Rolle pielt!!! Dait erhält an diee Bewegunggleichungen: () v t = 4,5 t (1) () 1 t = 4 t,5 t d,h, () t = 4 t 1,5 t () Jetzt können wir verchiedene Fragetellungen beantworten: (a) Wie weit it da Fahrzeug nach 1 gekoen und welche Gechwindigkeit hat e dann? ( ) ( ) 1 = 4 1 1,5 1 = 4 1,5=,75 ( ) v1 = 4,5 1 = 1,5. Hinwei: Stellt an dieelbe Aufgabe it t = 3, erlebt an diee Überrachung: ( ) und gar diee: ( ) 3 = 4 3 1,5 9 = 0,75 v 3 = 4,5 3 = 3,5 Hier it folgende paiert. Der abgebrete Körper kot irgendwann zur Ruhe. Beachtet an da rechnerich nicht, und läßt die nach rückwärt wirkende Breverzögerung weiter einwirken, dann agiert diee (natürlich nur atheatich) al Bechleunigung, o daß der Körper ich cheinbar in die entegegengeetzte Richtung in Bewegung etzt, wodurch er algebraich eine negative Gechwindigkeit erhält. U die genauer unteruchen zu können löen wir ert diee Aufgabe:

5 MECHANIK Gekoppelte Bewegungen 1 3 (b) Berechne den Breweg und die Bredauer. A Ende de Brewege hält der Körper, d.h. er hat nach der Bredauer T die Gechwindigkeit v( T) = 0. Au Gleichung (1) folgt dait: ( ) 4 v T = 4,5 T = 0,5 T = 4 T = = 1,6,5 In dieer Zeit legt er alo den Breweg zurück: ( ) ( ) T = 4 1,6 1,5 1,6 = 3, Hinwei. Für diee Aufgabe gibt e eine trickreiche Kurzlöung. Man denke ich den Brevorgang gefilt. Läßt an dieen Fil rückwärt laufen, ieht an eine au der Ruhe herau gleichäßig bechleunigte Bewegung. Für diee Bewegung au der Ruhe herau gelten einfachere Gleichungen, etwa diee: v = a. Wir tellen diee Gleichung nach u und etzen für v die Gechwindigkeit ( ) v 0 = 4 ein. Dann folgt die zugehörige Wegtrecke, alo uner Breweg: v 16 = = = 3, a,5 Sucht an die Bredauer, dann folgt au 1 3, = at T = = = 1,6 a,5 Verwendet an diee Methode, ollte an dazu chreiben, daß an die ugekehrte Bewegung durchrechnet! (c) Zurück zu Hinwei in (a). Dort haben wir berechnet: ( ) 3 = 4 3 1,5 9 = 0,75 und ( ) v 3 = 4,5 3 = 3,5 Nun wien wir, daß der Körper nach 1,6 und 3, anhält. Würde die Breverzögerung nun in gleicher Stärke al Rückwärt-Bechleunigung weiter wirken, hätten wir eine bechleunigte Bewegung au der Ruhe. Und diee uß dann noch 1,4 lang wirken, bi 3 vergangen ind. In dieer Zeit legt der Körper diee 1 Strecke zurück: ( ) * = at = 1,5 1,4 =,45 Diee Strecke rechnen wir rückwärt, dann ind wir 3,,45 = 0,75 vo urprünglichen Startpunkt entfernt!! Und die Gechwindigkeit beträgt dann v* =,5 1,4 = 3,5, genau der Wert, den wir auch ander erhalten haben. Die Interpretation it der zu lange wirkenden Breverzögerung führt alo tatächlich zu dieen Ergebnien.

6 MECHANIK Gekoppelte Bewegungen Bewegung it äußere Antrieb BEISPIEL : h 1 h Ein auf einer waagerechten Ebene liegender Körper der Mae 1 = 0, kg wird über ein aeloe Seil an einen nach unten ziehenden Körper der Mae = 0,1 kg angekoppelt. Wir gehen davon au, daß ich die geate Anordnung in Bewegung etzt. Auf der horizontalen Fläche herrcht Reibung it der Gleitreibungzahl f = 0,. a) Berechne die Bechleunigung der Anordnung b) Nach welcher Zeit und it welcher Gechwindigkeit etzt unten auf, wenn h = 1 it. c) Welche Kraft uß da Seil übertragen (alo auhalten)? SEILKRAFT!!! LÖSUNG: a) Wir berechnen die Bechleunigung it de Newtonchen Kraftgeetz. Die Bechleunigungkraft it nun die Antriebkraft inu der Brekraft. Al Antriebkraft verwenden wir die Gewichtkraft der Mae, alo Brekraft die Gleitreibungkraft der Mae. Die Antriebkraft F= G R1 wirkt auf beide Maen, daher folgt F G R1 g fg 1 f1 a = = = = g= b) Für die gleichäßig bechleunigte Bewegung gilt hier: v() t = a t und ( ) 1 t = at Au = h = 1 folgt dann t = = = 1 a Und die ergibt die Gechwindigkeit ( ) v1 = 1=. c) Die Gewichtkraft G it die Abtriebkraft. Ihre Wirkung verteilt ich auf drei Wirkungen: Der Anteil F = a wird dazu verbraucht, u die Mae zu bechleunigen. F1 = 1 a bechleunigt und f g 1 dient der Kopenation der Gleitreibung. Alo wird der Ret F1 = G a = 1N 0,1kg = 0,8 N über da Seil an übertragen. Sie it genau die Kraft, die übrig bliebt, u 1 zu bechleunigen und u die Reibungkraft auzugleichen. Wir haben alo Möglichkeiten: Bei 1 benötigt: FS = 1 a + f 1 g = 0, kg + 0, 0, kg 10 = 0,8 N Bei übrig: F = G a = 1N 0,1kg= 0,8N S Zur Seilkraft gibt e auf Seite 7 einen Katen!

7 MECHANIK Gekoppelte Bewegungen 1 5 BEISPIEL 3: (Sehr auführliche Aufgabe Abiturvorbereitung Grundkur) 1 h Ein auf einer waagerechten Ebene liegender Körper wird it eine aeloen Seil it eine nach unten ziehenden Körper verbunden. E ei 1 = 1kg und = 0,5 kg. a) Wir groß darf der Haftreibungkoeffizient f höchten ein, dait ich die Anordnung in Bewegung etzt? b) Nun ei f = 0,4. Berechne die Gechwindigkeit, it der in h = 3 Tiefe aufetzt. c) Welche Gechwindigkeit haben die Körper, wenn in halber Höhe it? Wie weit ind ie in der halben Fahrzeit gekoen?. d) Nach t = 1,5 wird die Schnur durch einen geeigneten Mechaniu abgetrennt. Wie weit könnte dann 1 noch gleiten, voraugeetzt die Fahrbahnlänge reicht au? Mit welcher Gechwindigkeit chlägt unten auf? e) Wie groß it die Seilkraft, olange die Körper noch gekoppelt fahren? LÖSUNG: a) Die Haftreibung wird dann überwunden, wenn die Antriebkraft indeten o groß it al die Haftreibungkraft: G R ' g f' g f' 0,5 kg 1 1kg > 1 > 1 < = = 1 Ergebni: It f ' < 0,5, dann etzt ich die Anordnung in Bewegung. b) Gleitreibung it f = 0,4. G R1 g fg 1 f1 Erzielte Bechleunigung: a = = = g ,5 kg 0,4 1kg 0,1 1 a = 10 = 10 = = 0,67 1, 5 kg 1, 5 1, 5 3 Ich wollte zeigen, daß exakte Bruchrechnen ztu eine exakten Wert führt. Greift an gleich zu Tachenrechner, erhält an den Näherungwert.

8 MECHANIK Gekoppelte Bewegungen 1 6 Der Körper tartet au der Ruhe und legt bi zu Aufetzen die Strecke = 3 zurück. Dafür gibt e die Forel v = a = 3 = 3 Sehen Sie, daß e ich lohnt, für a den genaueren Bruch zu verwenden? c) Die halbe Höhe bedeutet = 1,5. Die gibt die Gechwindigkeit v = a = = 1,4 3 3 Die Fahrzeit bi zu Aufetzen it: v v = a t t = = = 3 a 3 In der Hälfte dieer Zeit legen die Körper dieen Weg zurück: ( ) = at = = = = 0, d) Nach t 1 = 1,5 werden die Körper entkoppelt. Zu diee Zeitpunkt haben ie diee Strecke zurückgelegt: ( ) = at = = = = 0, und diee Gechwindigkeit erreicht: 3 v = a t = = (d1) Körper 1 führt dann eine Brebewegung au it der Breverzögerung R1 f 1 g a = = = f g= Bewegunggleichungen dazu: ( ) v t = 1 4 t (1) Und ( ) t = 1 t t () Bedingung für den Haltepunkt: v( T) = 0, T = Brezeit. Au (1) folgt dann: 0 1 = 1 4 T 4 T 1 T 0,5 = = = 4 Au () folgt dann der Breweg: = = = = 0,15 ( ) ( ) Anerkung: Die ugekehrte Bewegung diee Vorgang it eine gleichäßig bechleunigte Bewegung au de Haltepunkt zurück. Dafür gilt: v 1 1 v = a = = = = 0,15 a 8 8 Die geht ehr viel chneller.

9 MECHANIK Gekoppelte Bewegungen 1 7 (d) Körper hat die Anfanggechwindigkeit v 1 = 1 und fällt ab da frei, d.h. die Erdbechleunigung wirkt auf ihn. Bewegunggleichungen: ( ) v t = t (3) und ( ) 1 t = 1 t+ g t = 1 t 5 t (4) Der Körper hat bi zur Abkopplung bereit 0,75 zurückgelegt. Die Geathöhe beträgt 3, alo hat er noch die Falltrecke =,5 zurück zu legen. Setzt an die in (4) ein, folgt eine quadratiche Gleichung:,5 = 1 t + 5 t Wir foren die Gleichung u und dividieren durch, wa einer Multiplikation it entpricht:,5 = 1 t + 5 t und ordnen die Gleichung: 5t + 1 t,5 = 0 Die allgeeine Löungforel für quadratiche Gleichungen (iehe Vorwort) liefert: t 1, ( ) 1± 1 4 5,5 1± 1 + 0,5 1± 46 0,58 = = = ( < 0) Dait können wir au (3) die Gechwindigkeit berechnen: ( ) v 0,58 = ,58 = 6,8. e) Berechnung der Seilkraft. SEHR WICHTIG Merke: Die Gewichtkraft von it die Antriebkraft. Diee wird dazu benötigt, den Körper 1 zu bechleunigen (F 1 ), zu bechleunigen (F ) und die Gleichreibungkraft zu überwinden. Da Seil uß nun da übertragen, wa bei 1 benötigt wird. Da it entweder der Ret, der bei übrig bleibt: alo FS = G1 1 a oder Bechleunigungkraft für 1 plu Gleitreibungkraft: alo F = a+ f G S Beide Rechnungen führen zu FS = 4,67N!!!

10 MECHANIK Gekoppelte Bewegungen 1 8 BEISPIEL 4: 1 h 3 h a) Unter welcher Bedingung für die Maen 1, und 3 etzt ich die Anordnung trotz Haftreibung von elbt in Bewegung? Wa folgt darau für den Haftreibungkoeffizienten f'? Setzt ich die Anordnung in Bewegung, wenn f = 0,4 it und 3 = und 1 = 3 it? b) E ei 3 = und 1 = 3 und die Anordnung etze ich durch eine geeignete Maßnahe in Bewegung. Mit welcher Bechleunigung gechieht die, wenn der Gleitreibungkoeffizient f = 0, it? Welche axiale Gechwindigkeit kann die Anordnung erzielen, wenn h = 3 it? c) Nun wird recht eine Platte o angebracht, o daß nach 0,75 aufetzt. Wie weit kann dann 1 noch gleiten? (Der Faden zwichen 1 und 3 oll nicht behindern) d) Nach de Halten etzt ich die Anordnung in ugekehrter Richtung in Bewegung. Berechne die Bechleunigung und die Gechwindigkeit von 1, wenn 3 wieder (durch einen Ruck) angehoben wird. LÖSUNG: Auf der Matheatik-CD