Fertigungstechnik Technische Kommunikation - Technisches Zeichnen

Transkript

1 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven Fertigungstecnik Tecnisce Kommunikation - Tecnisces Zeicnen 11 Projektionszeicnen 11. Körperscnitte und bwicklungen Kegelige Körper Wenn in der Geometrie von einem Kegel gesprocen wird, ist äufig der pezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Unter einem Kreiskegel verstet man einen Körper, der durc einen Kreis (Grundkreis oder Basiskreis) und einen Punkt außeralb der Ebene des Kreises (pitze des Kegels) festgelegt ist. 1 Die Ebene, in welcer der Basiskreis liegt, eißt Basis(kreis)ebene. Unter dem Radius r des Kegels verstet man normalerweise den Radius des Basiskreises. Die Gerade durc den Mittelpunkt des Grundkreises und die pitze nennt man die cse des Kegels. Die Höe des Kegels ist der bstand der pitze von der Basisebene; dieser bstand muss senkrect zur Basisebene gemessen werden. tet die cse senkrect zur Basisebene, so liegt ein gerader Kreiskegel oder Drekegel vor. ndernfalls sprict man von einem sciefen Kreiskegel oder elliptiscen Kegel. Kegelige Werkstücke: Gerader Kegel Die üblicen nsicten eines geraden Kegels besteen aus einem Kreis und zwei gleic großen gleicscenkligen Dreiecken. Es sind aber nur zwei nsicten erforderlic. Die Vorderansict kann auc allein genügen, wenn kein Zweifel darüber bestet, dass es sic um einen geraden Kegel andelt. Mit zwei Maßen, dem Durcmesser d bzw. dem Radius r der Grundfläce und der Körperöe, sind die bmessungen eines geraden Kegels festgelegt. 1 vgl.: ttp://de.wikipedia.org/wiki/kegel_(geometrie) rt. ProjZeicnen_Kegel eite 1

2 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven bwicklung des Kegelmantels und Mantelfläce Die Mantelfläce eines geraden Kreiskegels ist gekrümmt, aber abwickelbar zu einem Kreisausscnitt (Kreissektor). Der Radius dieses ektors stimmt mit der Länge einer Mantellinie des Kegels ( s ) überein. Den Mittelpunktswinkel α des Kreissektors kann man durc eine Verältnisgleicung ermitteln. Er verält sic zum 360 -Winkel wie die Kreisbogenlänge πr (Umfang des Basiskreises) zum gesamten Umfang eines Kreises mit Radius. Berecnung der Mantelöe (mit dem Lersatz des Pytagoras) + r d + ( 40mm) + ( 0mm) 000mm 44, mm 44,71mm d + 4 Berecnung des Mittelpunktswinkels α (Verätnisgleicung) α b 360 U s b 360 U α U s π r 360 π Grundkreis U 360 r 360 r r 160, ,00 s Der gesucte Fläceninalt der Mantelfläce ergibt sic nun aus der Formel für den Fläceninalt eines Kreissektors α 360 α 360 ( r ) M π π + rt. ProjZeicnen_Kegel eite

3 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven ufgabe/n: 1. Zeicnen ie die drei nsicten eines geraden Kegels mit den Maßen 100 mm und d 70 mm im Maßstab M 1:1. Lösungsvorsclag: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt 1. Berecnen ie für den Kegel.1 den Umfang des Grundkreises,. die Mantelöe,.3 für die bwicklung der Mantelfläce den Mittelpunktswinkel α,.4 die Mantelfläce M,.5 den Umfang der abgewickelten Mantelfläce (Brennscnittlänge) Lösungsvorscläge: s. eite 5 3. Zeicnen ie die bwicklung der Mantelfläce. Lösungsvorsclag: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt 4. Vorbereitung für die bwicklung eines scräg gescnittenen Kegels: 4.1 Teilen ie den Grundkreis in 1 gleice Teile. 4. Zeicnen ie von diesen Teilungspunkten in allen 3 nsicten die Mantellinien zur pitze des Kegels. 4.3 Bescriften ie die Teilungspunkte des Grundkreises mit 0, 1, Der Punkt 0 ist der cnittpunkt des Grundkreises mit dem recten bscnitt der waagerecten Mittellinie des Grundkreises. Die Punkte werden entgegen dem Urzeigersinn nummeriert. Lösungsvorsclag: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt 3 5. Der Kegel soll in der Vorderansict in 50 mm Höe der cse unter 35 gescnitten werden. Zeicnen ie diesen cnitt in die Vorderansict ein. Lösungsvorsclag: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt 4 6. Zeicnen ie die cnittpunkte dieser crägen mit den Mantellinien in der Vorderansict in die eiten- und Draufsict ein. Lösungsvorsclag: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt 5 7. Die Lösung zu Punkt 6 gibt nict den cnittpunkt der crägen mit den Mantellinien 3- und 9- in der Draufsict. Diese Punkte müssen über die eitenansict in die Draufsict projiziert werden. Lösungsvorsclag: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt 6 8. Der Literatur entnemen wir, dass ein scräger cnitt durc einen Kegels eine Ellipse erzeugt, sofern er beide eitenlinien scneidet. 3 Der cnitt in der Vorderansict ist gleiczeitig eine cse der Ellipse und deren ware Länge. Ermitteln ie die Lage der zweiten cse und deren Breite. vgl. dazu: Tabellenbuc Metall; Haan-Gruiten: Europa Lermittel-Verlag; Kapitel: Geometrisce Grundkonstruktionen ecseck, Zwölfeck im Umkreis 3 vgl. ttp://de.wikipedia.org/wiki/kegelscnitt; ttp:// rt. ProjZeicnen_Kegel eite 3

4 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven Lösungsinweis: Die cräge in der Vorderansict wird albiert. Zu diesem cnittpunkt werden die Mantellinien in alle 3 nsicten gezeicnet. Entsprecend ufg.-6 werden die Kurvenpunkte für den crägscnitt in die eitenansict und Draufsict projiziert. Lösungsvorsclag: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt 7 9. Die eitenansict und Draufsict werden vervollständigt, indem die Kurvenpunkte der jeweiligen Ellipse verbunden werden (straken). Lösungsvorsclag: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt Konstruieren ie die bwicklung für den scräg gescnittenen geraden Kegel. Lösungsinweis: Informieren ie sic über den Kegelstumpf und die Lösung zur bwicklung eines Kegelstumpfs. Die cnittpunkte der Mantellinien des Kegels mit der crägen können auc als die Höen von kleineren Kegeln aufgefasst werden, wenn man durc diese cnittpunkte Parallele zur Grundlinie zeicnet. Diese kleineren Kegel und der usgangskegel aben alle die gemeinsame pitze. uf den eitenlinien lassen sic die Mantellöen abmessen. Das weitere Vorgeen kann dem Lösungsvorsclag entnommen werden. Lösungsvorsclag für die bwicklung des scräg gescnittenen Kegels: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt Konstruieren ie die ware Größe der Ellipse, die sic als Öffnung in dem Kegel durc den scrägen cnitt ergibt. Lösungsvorsclag: nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt Ermitteln/Berecnen ie 1.1 die Fläce der Ellipse, 1. den Umfang der Ellipse 1.3 die Mantelfläce des scräg gescnittenen Kegels, 1.4 den Umfang des scräg gescnittenen Kegels. Lösungsinweise: Verwenden ie utocd, um die erforderlicen Maße oder die zu berecnenden Werte zu ermitteln. Lösungsvorscläge: eite 8 nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt 10 (Ellipse) nang Zeicnung Gerader Kegel, Blatt 11 (bwicklung Kegelmantel) 13. In der Praxis ist es durcaus üblic, die Länge des Bogens für den Kreisausscnitt des Kegelmantels nict mit Hilfe des Mittelpunktswinkels α zu bestimmen. Nac dem Zeicnen des Bogens mit dem Radius wird auf diesem die enenlänge aus der Draufsict entsprecend der Kreisteilung abgetragen. Die bwicklung des geraden Kegels wird auf die bwicklung einer geraden Pyramide mit n-seitiger Grundfläce zurückgefürt. Wie wirkt sic dieser Lösungsweg auf unseren Kegel aus? Lösungsvorscläge: s. eite 6 rt. ProjZeicnen_Kegel eite 4

5 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven Lösungen zu ufg :.1 Umfang des Grundkreises eines geraden Kegels ( 100 mm, d 70 mm) U G d π 70 mm π 19, mm 19,9 mm. Mantelöe eines geraden Kegels ( 100 mm, d 70 mm) + r ( 100 mm) + ( 35 mm) 115 mm 105, mm 105,9 mm.3 Mittelpunktswinkel α der abgewickelten Mantelfläce eines geraden Kegels ( 100 mm, d 70 mm) α r r r 35 mm ( 100 mm) + ( 35 mm) 118, , Mantelfläce eines geraden Kegels ( 100 mm, d 70 mm) M π α r ( 10 cm) + ( 3,5 cm) 116,5 cm r π 116, cm π r cm π r π.5 Umfang (Brennscnittlänge) der Mantelfläce eines geraden Kegels ( 100 mm, d 70 mm) U M + U G ( 105, mm + 35 mm π) 431,8 mm + r + r π ( + r + r π) rt. ProjZeicnen_Kegel eite 5

6 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven Lösung zu ufg. 13: Für den Mittelpunktswinkel α des Kegelmantels ergibt sic: α ' 1 β' Es gilt: l β' sin l β' l arcsin l β' arcsin us der Draufsict entnemen wir l β l sin r r β l r sin Den usdruck l... setzen wir in die Gleicung für β ein: β r sin β' arcsin β r sin arcsin arcsin β r sin + r Bei freier Wal der Kreisteilung in der Draufsict gilt nun: 360 mit β 1 α ' n β' 360 r sin n arcsin n + r 180 r sin n arcsin n + r Für den geraden Kegel ( 100 mm, d 70 mm) ergibt sic für die Einteilung des Grundkreises in 1 Teile rt. ProjZeicnen_Kegel eite 6

7 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven r sin α ' n arcsin n + r 117, ,7 1 arcsin mm sin 1 ( 100 mm) + ( 35 mm) Gegenüber der Lösung zu ufg..3 ist der Winkel um ca. 1, zu klein. Für die Bogenlänge des Kegelmantels ergibt sic der Wert l ' B π + r ( 100mm) + ( 35mm) 17,7 mm α' 360 π α' , π 360 Diese Bogenlänge ist ca., mm kürzer als der rictige Wert. Der Feler beträgt 1 %. rt. ProjZeicnen_Kegel eite 7

8 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven Lösung zu ufg. 1: 1. Bestimmung der csen der Ellipse (scräger cnitt in der Vorderansict) Die beiden eiten und der scräge cnitt des geraden Kegels lassen sic in einem Koordinatensystem als drei lineare Funktionen f(x) m x +b darstellen. Da alle für die Bestimmung der Funktionen erforderlicen Maße gegeben sind, können die Funktionsgleicungen ermittelt und der jeweilige cnittpunkt und B (vgl. bb.) der crägen mit den eiten des Kegels berecnet und anscließend auc die Lage des Mittelpunktes M E der Ellipse berecnet werden Bestimmung der Funktionen für die 3 Geraden f(x), g(x) und (x) Z f ( x) x + X 0 x + 0 ( r) r x x x g( x) x + x + r 0 r 0 x Z ( x) x + ' X x tan ρ + ' 0,70008 x Bestimmung der cnittpunkte und B cnittpunkt cnittpunkt B 0 0 f ( x) x ( x) 0,70008 x g ( x) x cnittpunkt 0 7 x 0 7 x 0,70008 x, x f ( x) ( x) ,70008 x x z , , cnittpunkt B 0 7 x B 0 7 x B 0,70008 x 3, x g( x) ( x) ,70008 x x z B B B B , , B + 50 rt. ProjZeicnen_Kegel eite 8

9 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven Berecnung der Länge B ( der Ellipse) Mit Hilfe des Lersatzes des Pytagoras ergibt sic für die Länge l ( X ) + ( Z ) ( X X ) + ( Z Z ) B ( 14,05540 ( 3,18104) ) + ( 59, ,768451) 45, B 1,4 Bestimmung der Lage des Mittelpunktes M E der Ellipse X M E x + xb 3, , ,568 Z M E z + z B 33, , ,80508 M E (-4,568 / 0 / 46,80508). Bestimmung der durc M E verlaufenden Mantellinie Um die Breite der Ellipse bestimmen zu können, benötigen wir die Mantellinie z(x), die in der Vorderansict von durc M E zur Grundlinie verläuft. z( x) m x + b Z x + b X ,80508 x ( 4,568) 11, x Der cnittpunkt dieser Linearen mit der x-cse liegt bei z(x) 0, also 11, x N z( x) xn 11, , rt. ProjZeicnen_Kegel eite 9

10 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven Bestimmung der Breite der Ellipse 3.1 Zeicnerisce Ermittlung der Breite der Ellipse Die nebensteende bbildung zeigt, wie die Breite der Ellipse zeicnerisc mit Hilfe3 der Draufsict ermittelt wird: - Zeicnen der Mantellinie von durc M E zur Grundlinie. Wir eralten den cnittpunkt C. - Projektion dieses Punktes in die Draufsict (Punkte C und C auf dem Kreisumfang). - Mantellinien C' und C" in die Draufsict einzeicnen. - Mittelpunkt M E der Ellipse aus der Vorderansict auf die zugeörigen Mantellinien in die Draufsict projizieren. - Die trecke DE die Breite für die Ellipse. Der bstand DE kann nun gemessen werden. 3. Berecnung der Breite DE der Ellipse In der Draufsict sind bekannt: - Radius r - x-koordinate von C - x-koordiante von D ( x-koordinate von M E ) F Mit Hilfe des rectwinkligen Dreiecks FC' lässt sic die y-koordinate des Punktes D berecnen: y y D C' y D x x x x x x D C' D C' y C' M E r xc' C' 4,568 8, ± 18, Der negative Wert von y D ist die y-koordinate des Punktes E. Für die trecke DE ergibt sic: DE y 18, , D 35 ( 8,577548) rt. ProjZeicnen_Kegel eite 10

11 Uwe Rat Eckleinjarten 13a Bremeraven Berecnung Umfang und Fläce der Ellipse (cnitt B in der Vorderansict) uszug aus dem Tabellenbuc Metall; Haan-Gruiten: Europa Lermittel-Verlag; 1999, 41. ufl., 5; IBN Fläcen. Volumen, Oberfläcen Für unsere Ellipse gelten die Werte D 45, mm und d 36, mm. ufg. 1. π 18,111 mm Umfang U ( 45, mm + 36, mm) ufg. 1.1 Fläce π 4, cm 3, cm 4 1,889 cm ufg. 1.4 Umfang der Mantelabwicklung (Brennscnittlänge) Der cnitt für die bwicklung wird in die kürzeste Mantellinie gelegt, ier die trecke P 6 : U U U Grundkreis Grundkreis + U + U Ellipse, crägscnitt Ellipse, crägscnitt + P + 70 mm π + 18,111 mm + 35,777 mm 419,576 mm 6 ( x x ) + ( y y ) P6 P6 ufg. 1.3 Mantelfläce des scräg gescnittenen Kegels Die Fläcenberecnung ist mit einfacen geometriscen Mitteln nict möglic. Hier müssten wir auf eine Integralrecnung zurückgreifen und der Darstellung des Kegels als Rotationskörper, der von einer Ebene gescnitten wird. Weitere Hinweise im Unterrict. rt. ProjZeicnen_Kegel eite 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22