Darstellende Geometrie (DG) Schule: HTBLuVA St. Pölten Abteilung: Elektronik Lehrperson: Dipl.-Ing. Wolfgang Lenz Jahrgang: 2002 / 03 Klasse: 1AT

Transkript

1 Darstellende Geometrie (DG) Schule: HTBLuVA St. Pölten Abteilung: Elektronik Lehrperson: Dipl.-Ing. Wolfgang Lenz Jahrgang: 2002 / 03 Klasse: 1AT

2 1 Anmerkung Prof. Lenz ist bereits pensioniert. Im Unterricht wurde folgendes Lehrbuch verwendet: Frischherz, Piegler, Technisches Zeichnen Fachzeichnen 1. Teil, 2002, Verlag Jugend & Volk, Wien ISBN: Die Zeichnungen sind durch den Scanvorgang, das Einfügen in den Texteditor sowie Konvertierungsvorgänge nicht mehr in Originalgröße. 2 Inhaltsverzeichnis 1 Anmerkung Inhaltsverzeichnis Linienarten Die wichtigsten Bezeichnungen, gebräuchliche Symbole Einleitung Hauptrisse Maßstäbliche Risse Normalriss und Schrägriss Die Bildebene Der Normalriss Der Schrägriss Der Kavalierriss (auch Frontalriss genannt) Angabe eines Kavalierrisses (Frontalriss) Näherungsweise Kavalierrissdarstellung von Kreisen die nicht parallel zur Bildebene liegen Konstruktion und Anwendung des Verkürzungswinkels α (nur für Tiefenstrecken (x-richtung)) Grund- und Aufriss Abbildung eines Raumpunktes P Zweckmäßige Angabe eines Raumpunktes P Seitenrisse Der 13-Seitenriss Der 23-Seitenriss Punkt, Gerade Der Punkt Die Gerade Die projizierenden Geraden Die Profilgeraden Spezielle Lagen von Geraden Satz vom Winkel, Satz vom rechten Winkel Spurpunkte einer Geraden Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Bildebene Die Ebene Angabestücke einer Ebene Hauptgeraden in einer Ebene Paralleldrehen einer Ebene Konstruktionsaufgaben Projizierendmachen einer Ebene HTL / DG 1AT Seite 2 / 53

3 14.6 Normalgerade zu einer Ebene Normalgerade γ zu einer Geraden g Die Ellipse Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse Weitere Beispiele HTL / DG 1AT Seite 3 / 53

4 3 Linienarten Breite Volllinie 0,6mm weich (F, HB) Strichlierte Linie 0,3mm hart oder weich Schmale Linie 0,15mm hart (4H, 3H) Strich 4-6mm Abstand 1mm langer Strich 8-15mm kurzer Strich 1mm Abstand 1mm Alle Striche gleich lang! Nie mit einem Abstand beginnen! 4 Die wichtigsten Bezeichnungen, gebräuchliche Symbole Um rasch miteinander kommunizieren zu können, sind einige gebräuchliche Symbole sinnvoll. Punkte... (Großbuchstaben, röm. Ziffern, arab. Ziffern) Geraden, Strecken, Kurven...(Kleinbuchstaben) Ebenen und andere Flächen... (griech. Buchstaben (z.b.: π, ε, ν, )) Winkel...(griech. Kleinbuchstaben (z.b.: α, β, δ, φ, ψ, )) Länge der Strecke A B... AB Länge des Bogens A B... AB Parallelzeichen...// Normalzeichen.... Rechtwinkelzeichen... Winkelzeichen... Ist Element von... Ist nicht Element von... Durch... Nicht durch... Und... Oder... Durchschnitt, geschnitten mit... HTL / DG 1AT Seite 4 / 53

5 Beispiele: 1) Gerade g durch die Punkte A, B g A g B ( g A, B) 2) Gerade g parallel zu g und g durch P g // g g P 3) Gerade n normal auf g und n durch P n g n P 4) Ebene ε durch die Punkte A, B, C ε A ε B ε C ( ε A, B, C) 5 Einleitung Die DARSTELLENDE GEOMETRIE ist die Lehre von den gesetzmäßigen Abbildungen räumlicher Objekte auf eine Ebene (Zeichenebene). Betrachten wir irgendein Raumobjekt, so sehen wir sein Bild ähnlich einer Fotografie. Die Sehstrahlen sammeln sich im Auge und liefern das uns allen wohlbekannte Bild unserer dreidimensionalen Umwelt. Umgekehrt könnte man ein Raumobjekt aus einem Punkt (Projektionszentrum) projizieren und erhielte auf diese Art und Weise auf einer Leinwand (Zeichenebene) sein ebenes Bild. Dieses Bild bezeichnet man als RISS. Liegt das Projektionszentrum in messbarer Entfernung von dem abzubildenden Objekt, so spricht man von einem ZENTRALRISS (= ebenes Bild des Objektes bei Zentralprojektionen) HTL / DG 1AT Seite 5 / 53

6 Liegt das Projektionszentrum jedoch unendlich weit vom Objekt entfernt, so spricht man von einem PARALLELRISS. (=ebenes Bild des Objekts bei Parallelprojektion) Die Projektionsstrahlen sind parallel und kommen aus dem unendlich fernen Projektionszentrum. Da das (unendlich ferne) Projektionszentrum zeichnerisch nicht erfasst werden kann, ist es bei Parallelprojektionen üblich, die s.g. BLICKRICHTUNG (= Projektionsstrahlrichtung) anzugeben. (Blickrichtung = Richtung, in der das unendlich ferne Projektionszentrum zu suchen ist) 6 Hauptrisse Den meisten Objekten lassen sich in zwangloser Weise die Begriffe BREITE, TIEFE, HÖHE zuordnen, analog dazu kennen wir in der Darstellenden Geometrie drei Hauptblickrichtungen dazugehörend drei Hauptrisse. Grundriss... (Projektionszentrum unendlich weit oben) Aufriss... (Projektionszentrum unendlich weit vorne) Kreuzriss... (Projektionszentrum unendlich weit links) HTL / DG 1AT Seite 6 / 53

7 Oberhalb des Grundrisses wird der Aufriss angeordnet Grund- und Aufriss einer Ecke (eines Punktes) liegen auf einer senkrechten Hilfsgeraden einem 12-Ordner. Rechte neben dem Aufriss wird der Kreuzriss angeordnet Auf- und Kreuzriss einer Ecke (eines Punktes) liegen auf einer waagrechten Hilfsgeraden einem 23-Ordner. 7 Maßstäbliche Risse Die meisten Gegenstände können nicht in ihrer natürlichen Größe abgebildet werden, da ihre Bilder entweder zu groß (Haus) oder zu klein (Uhrteile) werden würden. Man zeichnet daher die meisten Gegenstände in einem bestimmten Maßstab. z.b.: M 1:10 bedeutet: ein Zentimeter in der Zeichnung entspricht 10 Zentimeter Wirklichkeit (Verkleinerung) oder M 2:1 bedeutet: zwei Zentimeter in der Zeichnung entsprechen 1 Zentimeter Wirklichkeit (Vergrößerung) HTL / DG 1AT Seite 7 / 53

8 8 Normalriss und Schrägriss 8.1 Die Bildebene Beim Parallelriss werden Punkte des Gegenstandes durch parallele Projektionsstrahlen auf die sog. Bildebene (= Ebene in der das ebene Bild des Körpers entsteht) projiziert. Beim Parallelriss sind alle Projektionsstrahlen parallel, also zur Bildebene gleich geneigt. 8.2 Der Normalriss Ein Parallelriss heißt Normalriss, wenn die Blickrichtung (Projektionsstahlrichtung) zur Bildebene normal steht. 8.3 Der Schrägriss Ein Parallelriss heißt Schrägriss, wenn die Blickrichtung (Projektionsstrahlrichtung) zur Bildebene nicht normal steht. 9 Der Kavalierriss (auch Frontalriss genannt) = spezifischer Schrägriss, bei dem senkrechte Körperseitenflächen parallel zu einer senkrechten (frontalen) Bildebene (sie liegt wie eine Aufrissebene) angenommen werden. 1, 2, 3, 4 Vorderseite 5, 6, 7, 8 Rückseite b n = x s HTL / DG 1AT Seite 8 / 53

9 Für beliebige Parallelrisse (Schräg- und Normalrisse) gilt der wichtige Satz: LIEGT EINE EBENE FIGUR PARALLEL ZU EINER BILDEBENE; SO BILDET SICH DIESE EBENE UNVERZERRT AB. Also: Alle Längen bzw. alle Winkel die parallel zu einer Bildebene liegen, erscheinen unverzerrt. Alle tiefen Strecken (z.b.: 5-1, 6-2, 7-3, 8-4) bilden sich in Richtung b n = x s ab. 9.1 Angabe eines Kavalierrisses (Frontalriss) 1) Körper durch Grund- und Aufriss oder Auf- und Kreuzriss oder Grund-, Auf- und Kreuzriss 2) Normalprojektion b n (b n = x s ) der Blickrichtung b auf die Bildebene π (b n = Aufriss von b) Möglichkeiten: 0 < φ < 90 Ansicht von links oben 90 < φ < 180 Ansicht von rechts oben 180 < φ < 270 Ansicht von rechts unten 270 < φ < 360 Ansicht von links unten 3) Verzerrung V x der Strecken in Tiefenrichtung (also in x-richtung) z.b.: Vx = 2 : 3 Bildstrecke Urstrecke speziell: Vx = 1:1 Keine Verzerrungen der Strecken in Tiefenrichtung: Isometrischer Kavalierriss Bemerkung: Aus rein optischen Gründen verzichtet man auf eine Verlängerung der Strecken in Tiefenrichtung. HTL / DG 1AT Seite 9 / 53

10 9.2 Näherungsweise Kavalierrissdarstellung von Kreisen die nicht parallel zur Bildebene liegen Die Parallelprojektion eines Kreises ist im Allgemeinen eine Elypse. Prinzip: Man umschreibt dem Kreis ein Hauptrichtungsquadrat. Dieses geht vermöge einer Kavalierrissprojektion über in ein Hauptrichtungsparallelogramm, in das die Bildebene passen muss. Bemerkung: Hauptrichtungen sind die x-, y- und z-richtungen. Geg.: Körper durch Auf und Kreuzriss, b n = 30 Ges.: Isometrischer Kavalierriss (V x = 1:1) HTL / DG 1AT Seite 10 / 53

11 Zur Verkürzung von Strecken in Tiefenrichtung (x-richtung): Verkürzungswinkel α. Bemerkung: Strecken in y- und z-richtung sind bei jedem Kavalierriss unversehrt. 9.3 Konstruktion und Anwendung des Verkürzungswinkels α (nur für Tiefenstrecken (x-richtung)) z.b.: V x = 2:3 (Bildstrecke : Urstrecke) e beliebige Einheit Die verkürzte Bildstrecke wird mit dem Zirkel berührend an den zweiten Winkelschenkel abgegriffen (und sofort in den Kavalierriss übertragen). HTL / DG 1AT Seite 11 / 53

12 10 Grund- und Aufriss Definiton: Zwei Normalrisse, deren Blickrichtungen zueinander normal sind, heißen zugeordnete Normalrisse. Grund- und Aufriss sind zugeordnete Normalrisse mit den Blickrichtungen: 1) Blickrichtung von oben 1. Rissebene π 1 (Grundrissebene) waagrecht 2) Blickrichtung von vorne 2. Rissebene π 2 (Aufrissebene) senkrecht (frontal) Grund- und Aufrissebene schneiden sich längs einer Geraden 12 (12 Rissachse ) Abbildung eines Raumpunktes P Sehstrahl 1 von oben durch P P in π 1 ( P = 1 π1) Sehstrahl 2 von vorne durch P P in π 2 ( P = 2 π 2 ) Die Sehstrahlen 1 und 2 bilden eine Ebene σ, die zu π 1 und π 2 normal steht. HTL / DG 1AT Seite 12 / 53

13 Die Darstellende Geometrie hat die Aufgabe, Gegenstände des Raumes in einer Zeichenebene darzustellen und konstruktiv zu beherrschen. Man vereinigt daher Grund- und Aufriss in einer Zeichenebene und zwar so: Wir denken uns π 2 in unsere Zeichenebene gelegt und die Grundrissebene π 1 um die Rissachse 12 um 90 in die Zeichenebene geklappt. Zeichenebene geklappt: π 1 (π 1 ) Der Punkt P beschreibt beim Drehen um 12 einen Viertelkreisbogen p P ( P ) s ( s ) Wir erkennen weiters: (s ) und s s fallen nach der Drehung in die Verbindungsgerade [( P ), P ] 12 zusammen. Eine solche Gerade [( P ), P ] 12 nennt man 12-Ordner. Von nun an wollen wir uns die Drehung π1 in die Zeichenebene bereits ausgeführt denken und schreiben daher statt (P ) nur noch P. Entsprechende Punkte ( P, P ) liegen stets auf einem 12- Ordner senkrecht zur Rissachse 12. Von dieser Ordnerbedingung gibt es keine Ausnahmen! HTL / DG 1AT Seite 13 / 53

14 11 Zweckmäßige Angabe eines Raumpunktes P Durch 3 Zahlen (Koordinaten): z.b.: P(3 / 2 / 4) P(xp / yp / zp) Der Punkt P liegt 2e rechts von 0, 3e vor π2, 4e über π1 y-koordinate x-koordinate z-koordinate HTL / DG 1AT Seite 14 / 53

15 Beispiele: P(3/-7/2), Q(4/-5/0), R(0/-3/5), S(0/-1/0), T(-2/2/4), U(3/5/-5), V(-2/7/-3) Der Punkt P liegt 7e links von 0, 3e vor π 2, 2e über π 1. Der Punkt Q liegt 5e links von 0, 4e vor π 2, 0e über π 1. Der Punkt R liegt 3e links von 0, 0e vor π 2, 5e über π 1. Der Punkt S liegt 1e links von 0, 0e vor π 2, 0e über π 1 also auf 12. Der Punkt T liegt 2e rechts von 0, 2e hinter π 2, 4e über π 1. Der Punkt U liegt 5e rechts von 0, 3e vor π 2, 5e unter π 1. Der Punkt V liegt 7e rechts von 0, 2e hinter π 2, 3e unter π Seitenrisse 12.1 Der 13-Seitenriss Einführung einer neuen Bildebene π 3 normal auf π 1 Sehstrahlrichtung 3 normal zur Bildebene. (Der 13-Seitenriss ist also auch ein Normalriss.) Wozu: 1) Das 3. Bild eines Körpers wird anschaulicher. 2) Das 3. Bild eines Körpers wird einfacher Konstruktionen sich einfach durchführbar. HTL / DG 1AT Seite 15 / 53

16 Wie beim Grund- und Aufrissverfahren wird nun π3 um die Rissachse 13 um 90 in die Zeichenebene geklappt. P beschreibt dabei einen Viertelkreisbogen um die neue Rissachse 13 und gelangt nach (P ). P und (P ) liegen auf einem 13-Ordner senkrecht zur Rissachse 13. Statt (P ) schreiben wir wiederum nur P. Wichtige Erkenntnis: P hat von 13 den gleichen Abstand wie P von 12! Geg.: P, P,12, 13 Geg.: A, A, B, B,12, 13 Ges.: P Ges.: A, B Achtung: Die Abstände müssen dabei orientiert abgetragen werden! HTL / DG 1AT Seite 16 / 53

17 Geg.: Recheckiges Prisma mit schrägem Schnitt Ges.: 13-Seitenriss bei geg. Rissachse 13 HTL / DG 1AT Seite 17 / 53

18 Geg.: Regelmäßige fünfseitige Pyramide mit schrägem Schnitt Ges.: 13-Seitenriss bei geg. Rissachse 13 HTL / DG 1AT Seite 18 / 53

19 A(0/6/3), B(-2/4/2), C(-3/2/-4), D(3/0/-3), E(2/-2/0), F(2/-4/3), G(4/-6/3), H(0/-8/6) Der Punkt A liegt 6e rechts von 0, in π 2, 3e über π 1 B liegt 4e rechts von 0, 2e hinter π 2, 2e über π 1 C liegt 2e rechts von 0, 3e hinter π 2, 4e unter π 1 D liegt auf 0, 3e vor π 2, auf 12 E liegt 2e links von 0, 2e vor π 2, auf 12 F liegt 4e links von 0, 2e vor π 2, 3e über π 1 G liegt 6e links von 0, 4e vor π 2, 3e über π 1 H liegt 8e links von 0, in π 2, auf 12 HTL / DG 1AT Seite 19 / 53

20 Geg.: Körperkombination Ges.: 13-Seitenriss HTL / DG 1AT Seite 20 / 53

21 12.2 Der 23-Seitenriss Einführung einer neuen Bildebene π 3, normal auf π 2. Sehstrahlrichtung 3 normal zu π 3. (Der 23-Seitenriss ist also auch ein Normalriss!) π3 wird um die Rissachse 23 um 90 in die Zeichenebene geklappt. P beschreibt dabei einen Viertelkreisbogen um die neue Rissachse 23 und gelangt nach (P ). P und P liegen auf einem 23-Ordner, senkrecht zur Rissachse 23. Wichtige Erkenntnis: P hat von 23 den gleichen Abstand wir P von 12. Geg.: P, P,12, 23 Ges.: P HTL / DG 1AT Seite 21 / 53

22 Geg.: A, A, B, B,12, 23 Ges.: A, B Achtung: Die Abstände müssen dabei wiederum abgetragen werden! Geg.: Körperkombination, 12, 13 Ges.: 23-Seitenriss HTL / DG 1AT Seite 22 / 53

23 13 Punkt, Gerade 13.1 Der Punkt Wir alle wissen, was man unter einem Punkt versteht, aber trotzdem lässt er sich nicht sinnvoll definieren. Ein Punkt ist dimensionslos. Hilfsvorstellung: Körperecke, Kreismittelpunkt, Schnittpunkt zweier Geraden, usw Die Gerade Eindimensional, vorstellbar als kürzeste Verbindung zweier Punkte jedoch unendlich lang. Angabe einer Geraden: Durch zwei Punkte: g[a,b] Grund und Aufriss einer Geraden, allgemeine Lage Die projizierenden Geraden Definition: Unter einer projizierenden Geraden versteht man eine Gerade, die normal auf eine Bildebene steht. Eine erstprojizierende Gerade steht normal auf π1, ihr Grundriss ist ein Punkt, ihr Aufriss steht senkrecht auf die Rissachse 12. Aus g π1 folgt: g //π 2 g ist also automatisch eine 2. Hauptgerade (g = h 2 ) z.b.: AB = A B HTL / DG 1AT Seite 23 / 53

24 Eine zweitprojizierende Gerade steht normal auf π2, ihr Aufriss ist ein Punkt, ihr Grundriss steht senkrecht auf die Rissachse 12. Aus g π 2 folgt: g //π 1 g ist also automatisch eine 1. Hauptgerade (g = h 1 ) z.b.: AB = A B Die Profilgeraden Definition: Geraden für die Grund- und Aufriss in Ordnerrichtung fallen, heißen Profilgeraden. Achtung: Eine Profilgerade muss stets durch 2 Punkte gegeben sein! Bemerkung: Wahre Längen von Strecken sind jetzt nicht direkt ersichtlich Spezielle Lagen von Geraden Die Hauptgeraden Definition: Unter einer Hauptgeraden versteht man eine Gerade, die parallel zu einer Bildebene liegt. Eine 1. Hauptgerade (h 1 ) liegt parallel zu π 1, ihr Aufriss ( h 1 ) ist parallel zur Rissachse 12. (Der Grundriss hat beliebige Lage.) Wir wissen bereits: Aus h 1 // π 1 folgt: Strecken auf h 1 können im Grundriss unverzerrt gemessen werden. z.b.: AB = A B Umkehrung: Liegt der Aufriss einer Geraden parallel zur Rissachse 12, so handelt es sich automatisch um eine 1. Hauptgerade (g = h 1 ) HTL / DG 1AT Seite 24 / 53

25 Eine 2. Hauptgerade (h 2 ) liegt parallel zu π2, ihr Grundriss ( h 2 ) ist parallel zur Rissachse 12 (Der Aufriss hat beliebige Lage.) Wir wissen bereits: Aus h 2 // π 2 folgt: Strecken auf h 2 können im Aufriss unverzerrt gemessen werden. z.b.: AB = A B Umkehrung: Liegt der Grundriss einer Geraden parallel zur Rissachse, so handelt es sich automatisch um eine 2. Hauptgerade. (g = h 2 ) Vervollständigungsaufgabe für Profilgerade Geg.: Profilgerade g[a,b], C mit C eg Ges.: C Zur 1. Methode: Direkte Teilverhältnisübertragung mit dem Strahlensatz. Zur 2. Methode: 2-fache Parallelprojektion zur Teilverhältnisübertragung Die Hilfsstrahlen sind beliebig, die Entsprechenden jedoch zueinander parallel. Achtung: g ~ muss konstruiert werden! HÜ: Geg.: Profilgerade g[a,b], C mit C eg Ges.: C HTL / DG 1AT Seite 25 / 53

26 Länge einer Strecke ( Wahre Länge einer Strecke )(w.l.) Wir wissen bereits: Für alle Parallelprojektionen (Schräg- und Normalrisse) gilt: Liegt eine ebene Figur parallel zu einer Bildebene (oder in einer Bildebene), so erscheint sie in der jeweiligen Projektion unverzerrt. (Eine Strecke ist sicher die einfachste ebene Figur.) Bestimmung der wahren Länge einer Strecke (w.l.): 1. Methode: Seitenriss Man legt durch die Strecke s eine 13- oder 23- Seitenrissebene ( s = 13 oder s = 23). Die Strecke s liegt dann in der jeweiligen Seitenrissebene und erscheint im entsprechenden 3. Riss unverzerrt (also in wahrer Länge) Bemerkung: Die Seitenrissmethode erfordert viel Platz. 2. Methode: Differenzendreieck Aus der ersten Methode entwickelt sich die 2. Methode, indem hier bloß die Differenz der Abstände abgetragen wird. (selbes Ergebnis, jedoch weniger Platzbedarf) Bemerkung: Die Methode des Differenzendreiecks wird in der DG gerne angewandt. HTL / DG 1AT Seite 26 / 53

27 Abtragen einer Strecke auf einer Geraden Diese Methode ist die Umkehrung der Ermittlung der wahren Länge. Problem: Von A g sollen nach rechts 7cm abgetragen werden. Prinzip: Sieht man auf einer Geraden irgendeine Strecke in wahrer Länge (auf g 0 ), so sind dort alle Strecken in wahrer Länge ersichtlich (also auch unserer 7cm). Praxis: 1. Wahl eines beliebigen Hilfspunktes auf g um irgendeine Strecke zu erhalten. 2. Wahre Länge von A 1 (auf g 0 ) 3. Dort 7cm abtragen und Ergebnis zurückbringen. Bemerkung: Hilfspunkte (zum Beispiel 1) können auf einer Geraden außer auf Profilgeraden stets problemlos gewählt werden. Sonderfall: Das Abtragen einer Strecke auf einer Profilgeraden Problem: Auf der Profilgeraden g[a,b] sollen von A in Richtung B 5cm abgetragen werden. Anleitung: Hier bietet die 1. Methode (Seitenrissmethode) zur Bestimmung der wahren Länge gewisse Vorteile (keine Vervollständigungsaufgabe für Profilgerade notwendig). HÜ: Schmierpapier! Wahre Größe des Dreiecks [A,B,C] HTL / DG 1AT Seite 27 / 53

28 Lage von Geraden zueinander Zwei Gerade können: 1. zueinander parallel sein (Fig. 1) 2. sich schneiden (Fig. 2) 3. sich kreuzen ( Windschief liegen ) (Fig. 3) Die Bilder paralleler Geraden sind zueinander wiederum parallel ( parallelentreu der Parallelprojektion ). zu 1) d.h. a // b a // b und a // b + zu 2) Schneidende Geraden haben einen Schnittpunkt. Dieser genügt der Ordnerbedingung. zu 3) Kreuzende Geraden haben keinen Schnittpunkt. Sichtbarkeitsbestimmung mittels Deckpunkten (scheinbare Schnittpunkte) ( 1 = 2 bzw. 3 = 4 ) HTL / DG 1AT Seite 28 / 53

29 Geg.: Halbstrahlen a, b, c durch s Ges.: Dreiseitige Pyramide (s. Skizze) mit SA = 8 cm, SB = 10cm, SC = 9cm 12 HTL / DG 1AT Seite 29 / 53

30 13.3 Satz vom Winkel, Satz vom rechten Winkel Ein Winkel erscheint genau dann in wahrer Größe, wenn beide Schenkel zu ein und derselben Bildebene parallel liegen. (Nach dem Satz: Liegt eine Ebene Figur parallel zu einer Bildebene, so erscheint sie in der Parallelprojektion auf diese Bildebene unverzerrt.) Ein rechter Winkel erscheint genau dann in wahrer Größe, wenn mindestens ein Schenkel parallel zu einer Bildebene liegt. (Also auf einer Hauptgeraden) 13.4 Spurpunkte einer Geraden Unter einem Spurpunkt einer Geraden versteht man den Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Bildebene. (durch π 1, π 2, ) Man bezeichnet: G 1 1. Spurpunkt von g ( G1 = g π1) G 2 2. Spurpunkt von g G = g ) ( 2 π 2 Geg.: Gerade G Ges.: 1. und 2. Spurpunkt (G 1 und G 2 ) HTL / DG 1AT Seite 30 / 53

31 Geg.: g Ges.: G 1, G 2 Man beachte: G 1 hat keinen z-abstand (z = 0) G 2 hat keinen x-abstand (x = 0) 13.5 Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Bildebene Der 1. Neigungswinkel α 1 einer Geraden g gegen π 1 ist definitionsgemäß gleich dem Winkel zwischen den Geraden g und ihrem Grundriss g, wobei der Scheitel der 1. Spurpunkt G 1 von g ist. Analog: 2. Neigungswinkel α 2 Also: α1 = gπ1 def. g g = g g Scheitel G 1 α = g def. g g = g g Scheitel G 2 2 π 2 Geg.: Gerade g Ges.: 1. und 2. Neigungswinkel (α 1 und α 2 ) 1 bel. Hilfspunkt auf g HTL / DG 1AT Seite 31 / 53

32 Geg.: g Ges.: α 1, α 2 14 Die Ebene 14.1 Angabestücke einer Ebene 1) Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen: ε[a,b,c] Geg.: X mit Ges.: X X ε Lösung: Beliebige Hilfsgerade p durch X, die ganz in der Ebene liegt Bemerkung: Dieses Verfahren wird angittern eines Punktes in einer Ebene genannt HTL / DG 1AT Seite 32 / 53

33 2) Durch eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt: ε[g,p] Geg.: X mit X ε Ges.: X Lösung: Hilfsgerade p durch X und P 2a) Bei ungünstiger Lage des Punktes X: Ebenenangabe ε[g,p] in eine Dreiecksangabe ε[1, 2 beliebig auf g, P] verwandeln. HTL / DG 1AT Seite 33 / 53

34 3) Durch zwei parallele Geraden: ε[a//b] Geg.: X mit Ges.: X X ε Lösung: Beliebige Hilfsgerade p durch X jedoch p nicht parallel a,b 4) Durch zwei sich schneidende Geraden: ε[ a b = s ] Geg.: X mit X ε Ges.: X Lösung: Beliebige Hilfsgerade p durch X, jedoch p nicht durch s HTL / DG 1AT Seite 34 / 53

35 14.2 Hauptgeraden in einer Ebene Wir erkennen: Die Hauptgeraden in einer Ebene der gleichen Art sind zueinander parallel d.h.: Alle h 1 sind zueinander parallel Alle h 2 sind zueinander parallel für {h 1 },{h 2 } in ε Geg.: ε[a,b,c] Ges.: h 1 durch C, h 2 durch A Lässt sich das Problem nicht direkt lösen, so sind Hilfshauptgerade zu verwenden h 1 h1 h 1 h 1 // h Paralleldrehen einer Ebene Die Ebene wird auf eine 1. Hauptgerade (h 1 ) parallel zu π 1 oder eine 2. Hauptgerade (h 2 ) parallel zu π 2 gedreht. Dabei beschreiben alle Punkte, die nicht auf der Hauptgerade liegen, Kreisbögen, deren Trägerebenen normal auf die jeweilige Hauptgerade liegen. Alle Punkte auf der Hauptgeraden bleiben fest, sie heißen Fixpunkte. Beachte: Als Drehachse eignet sich ausschließlich eine Hauptgerade!!! wozu: 1) Alle Figuren dieser Ebene erscheinen in der parallel gedrehten Lage unverzerrt. 2) Konstruktionen können in der parallel gedrehten Lagen unverzerrt durchgeführt werden. HTL / DG 1AT Seite 35 / 53

36 Bsp.: Wahre Größe des Winkels α Bsp.: Wahre Größe des Winkels α HTL / DG 1AT Seite 36 / 53

37 14.4 Konstruktionsaufgaben Vorgang: 1) Skizze des gelösten Problems, Angabestücke eintragen und unterstreichen 2) Konstruktion anhand der Skizze überlegen 3) Ebene paralleldrehen und Konstruktion dort unverzerrt ausführen 4) Ergebnis zurückdrehen Bsp.: Von einem gleichseitigen Dreieck kennt man die Trägergerade g einer Seite, sowie die gegenüber liegende Ecke A. HTL / DG 1AT Seite 37 / 53

38 Bsp.: Wahre Größe des Dreiecks [A(6/16/4), B(8/10/8), C(2/3/2] Das Zurückdrehen von Punkten die nicht direkt auf einer Geraden liegen Voraussetzungen: 1) Hauptgerade h 2) Mindestens ein bereit bekanntes Punktepaar (z.b.: A+A 0 ) Geg.: Hauptgerade h, A+A 0, X 0, Y 0 Ges.: X, Y HTL / DG 1AT Seite 38 / 53

39 Bsp.: Geg.: M(5/8/5), p[i(4/2/0), II(0/15/6)] Ges.: Regelm. Fünfeck (siehe Skizze) HÜ: regelm. Sechseck HTL / DG 1AT Seite 39 / 53

40 14.5 Projizierendmachen einer Ebene Um eine Ebene projizierend zu machen, benötigt man einen Seitenriss. 13 h 1 oder 23 h 2 Geg.: ε[a,b,c] Ges.: ε projizierend Geg.: ε[g,p] Ges.: ε projizierend HTL / DG 1AT Seite 40 / 53

41 14.6 Normalgerade zu einer Ebene Eine Gerade, welche normal auf eine Ebene steht, heißt Normalgerade zur Ebene. Durch jeden Punkt des Raumes gibt es genau eine Gerade, welche auf eine gewisse Ebene normal steht. Achtung: Die Normalgerade n z einer Ebene liegt nicht in der Ebene und kann daher dort nicht angegittert werden! Zeichnen der Normalgeraden n Nach dem Satz vom rechten Winkel gilt: n h 1 und n h 2. Geg.: ε[g,p] Ges.: n ε n P HTL / DG 1AT Seite 41 / 53

42 Man richte über dem Dreieck [A(2/6/1), B(4/4/3), C(1/11/5)] ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Höhe h = 7cm. HTL / DG 1AT Seite 42 / 53

43 Man errichte über dem Dreieck [A(5/3/3), B(4/13/0), C(1/8/6)] eine dreiseitige Pyramide so, dass die Spitze S 9cm über dem Höhenschnittpunkt H des Dreiecks liegt. HTL / DG 1AT Seite 43 / 53

44 1. Fall: kein Winkel größer als Fall: ein Winkel größer als 90 S Schwerpunkt I Inkreismittelpunkt H Höhenschnittpunkt U Umkreismittelpunkt sc Schwerlinie Schwerpunkt nicht parallel drehen immer im Dreieck Seite halbieren mit Ecke verbinden Schnittpunkt = S Inkreismittelpunkt auch im Dreieck parallel drehen! Winkelsymetralen zeichnen Schnittpunkt I Höhenschnittpunkt Beim 2. Fall außerhalb HTL / DG 1AT Seite 44 / 53

45 Man errichte über dem Dreieck [A(4/6/2), B(6/15/4), C(2/11/7)] eine dreiseitige Pyramide so, dass die Spitze S 10cm über den Inkreismittelpunkt des Dreiecks liege. HTL / DG 1AT Seite 45 / 53

46 HTL / DG 1AT Seite 46 / 53

47 14.7 Normalgerade γ zu einer Geraden g Eine Ebene, welche normal zu einer Geraden steht, heißt Normalebene zu der Geraden. Durch jeden Punkt des Raumes gibt es genau eine Ebene, die auf eine gewisse Gerade normal steht. Aufspannen der Ebene γ: Die Normalebene γ wird aufgespannt durch 2 Hauptgeraden, wobei: γ[h 1,h 2 ] h g 1 h g 2 Geg.: g, P g Geg.: g, P g Ges.: γ g γ P Ges.: γ g γ P Anwendung: Symmetrieebene σ (= γ im Streckenmittelpunkt) der Strecke AB Beachte: Die Symmetrieebene σ ist die Menge aller Punkte, die von den Punkten A,B den gleichen Abstand haben. Geg.: Strecke AB Ges.: Symmetrieebene HTL / DG 1AT Seite 47 / 53

48 15 Die Ellipse Definition: Die Ellipse ist definiert als Menge aller Punkte in einer Ebene, die von 2 festen Punkte F1, F2 (Brennpunkte) konstante Abstandssumme 2a haben. Konstruktion nach Definition: Man bezeichnet: A,B Hauptscheitel der Ellipse C,D Nebenscheitel der Ellipse M Mittelpunkt der Ellipse F1,F2 Brennpunkt der Ellipse P allg. Ellipsenpunkt a...halbe Hauptachse der Ellipse b...halbe Nebenachse der Ellipse e lineare Exzentrität der Ellipse x,y Brennstrahlen x + y = 2a = konstant 2 e = a + b 2 Variation von x liefert weitere Ellipsenpunkte HTL / DG 1AT Seite 48 / 53

49 15.1 Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse Mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise ist das Zeichnen einer Ellipse besonders bequem. Gärtnerkonstruktion einer Ellipse: 16 Weitere Beispiele Geg.: Profilgerade g[a,b], C mit Ges.: C C g HTL / DG 1AT Seite 49 / 53

50 HTL / DG 1AT Seite 50 / 53

51 DG-Hausübung Geg.: Isometrischer Kavalierriss eines Körpers Ges.: Grund- Auf- und Kreuzriss in der genormten Anordnung mit unsichtbaren Kanten, jedoch ohne Abmessungen einzutragen HTL / DG 1AT Seite 51 / 53

52 Geg.: Isometrischer Kavalierriss eines Körpers Ges.: Grund- Auf- und Kreuzriss in der genormten Anordnung mit unsichtbaren Kanten, jedoch ohne Abmessungen einzutragen HTL / DG 1AT Seite 52 / 53

53 Geg.: Körper durch Auf- und Kreuzriss Ges.: Kavalierriss Gr. A b n (= x s ) = 150, V x = 2:3 Gr. B b n (= x s ) = 30, V x = 3:4 HTL / DG 1AT Seite 53 / 53