Kurven. Darstellungsweisen. Steigung von Kurven. Implizite Funktionen. Bogenlänge. Felder. Kurvenintegrale. Wegunabhängigkeit

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1 Ergänzung Kurven Darstellungsweisen Steigung von Kurven Implizite Funktionen Bogenlänge Felder Kurvenintegrale Wegunabhängigkeit

2 Kurven Darstellungsweisen Funktionen und Kurven Wir haben schon zahlreiche Funktionen kennengelernt: z.b. Parabeln etwa fx = x 2 oder trigonometrische Funktionen z.b. fx = sin x. Aber schon ein einfacher Kreis lässt sich nicht als eine Funktion darstellen: z.b. Kreis um Nullpunkt mit Radius 1: x 2 +y 2 = 1. Auflösen nach y liefert nämlich: y = ± 1 x 2. Eine andere Möglichkeit ist hier die Darstellung: { } xt = cost, yt = sint mit t [0,2π] bzw. xt rt = yt = cost sint. Mathematik kompakt 1

3 Kurven Darstellungsweisen Darstellung von ebenen Kurven Ebene Kurven lassen sich oft auf verschiedene Arten darstellen: implizite Darstellung: Fx,y = 0 explizite Darstellung: y = fx Parameterdarstellung: x = xt, y = yt mit t [a,b]. Mathematik kompakt 2

4 Kurven Darstellungsweisen Beispiel Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1 implizit: Fx,y = x 2 +y 2 1 = 0 explizit: y = f 1 x = y = f 2 x = 1 x 2 oder 1 x 2 Parameterdarstellung: xt = cost, yt = sint mit t [0,2π] y 1 x Mathematik kompakt 3

5 Kurven Darstellungsweisen Übung Beschreiben Sie auf mehrere Arten einen Kreis vom Radius R um den Mittelpunkt x M,y M. y y M R x M x Mathematik kompakt 4

6 Kurven Darstellungsweisen Lösung Kreis um den Punkt x M,y M mit Radius R implizit: Fx,y = x x M 2 +y y M 2 R 2 = 0 explizit: y = f 1 x = y M + R 2 x x M 2 oder y = f 2 x = y M R 2 x x M 2 Parameterdarstellung: xt = x M +Rcost, yt = y M +Rsint mit t [0,2π] Mathematik kompakt 5

7 Kurven Darstellungsweisen Übung Gegeben sei eine Kurve in Parameterdarstellung: x = xt = cos2 t, y = yt = 3cost. Geben Sie die Kurve in impliziter Darstellung an! Mathematik kompakt 6

8 Kurven Darstellungsweisen Lösung Wegen x = xt = cos2 t, y = yt = 3cost gilt x = cos2 t = y 3 2 = 1 y Also: Fx,y = x+ y = 0. Mathematik kompakt 7

9 Kurven Darstellungsweisen Weitere Beispiele: Parameterdarstellung von Ellipsen Ellipse: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 y b x a rt = xt yt = a cost b sint,t [0,2π] Mathematik kompakt 8

10 Kurven Darstellungsweisen Weitere Beispiele: Parameterdarstellung von Zykloiden Zykloide: Abrollen eines Kreises auf einer Linie y x t = 0 t= t=2 2R 2R rt = xt yt = R t sint R 1 cost,t [0,2π] Mathematik kompakt 9

11 Kurven Darstellungsweisen Weitere Beispiele: Parameterdarstellung von Kurven 3D Bisher haben wir ebene Probleme besprochen. Kurven können aber natürlich auch im Raum liegen: Schraubenlinie: Radius R, Ganghöhe h z h y R x rt = xt yt zt = Rcost Rsint h 2π t,t [0,2π] Mathematik kompakt 10

12 Kurven Darstellungsweisen Kurven in Polarform Manche Kurven lassen sich am einfachsten in Polarkoordinaten vgl. komplexe Zahlen beschreiben. Anstelle von xt =... yt =... wird hier der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben: rϕ =... Mathematik kompakt 11

13 Kurven Darstellungsweisen Beispiel Eine Archimedische Spirale wird in Polarform angegeben: r = rϕ = a ϕ. Eine Archimedische Spirale erhält man z.b. durch das Aufrollen eines Teppichs oder in der Rille einer Schallplatte. Schaut man eine Haushaltsrolle oder Toilettenpapier von der Seite an, so sieht man ebenfalls eine Archimedische Spirale. y 10 5 r =, [0,6 ] x Mathematik kompakt 12

14 Kurven Darstellungsweisen Umrechnung von Polarform in Parameterdarstellung Eine in Polarkoordinaten dargestellte Kurve mit der Gleichung r = rϕ lautet in Parameterform xϕ = rϕ cosϕ yϕ = rϕ sinϕ Beispiel: Die Archimedische Spirale rϕ = 3ϕ lautet in Parameterform xϕ = 3ϕ cosϕ yϕ = 3ϕ sinϕ Mathematik kompakt 13

15 Kurven Darstellungsweisen Übung Wie lautet die Parameterform der Kardioide? rϕ = a 1+cosϕ, ϕ [0,2π y a 0 a 2a x Mathematik kompakt 14

16 Kurven Darstellungsweisen Lösung Die Parameterform der Kardioide rϕ = a 1+cosϕ, ϕ [0,2π lautet xϕ = a 1+cosϕ cosϕ, yϕ = a 1+cosϕ sinϕ. Mathematik kompakt 15

17 Kurven Steigung Bahnkurven, Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung Wird eine Bahnkurve rt mit der Zeit t durchlaufen, so bezeichnet rt die Momentangeschwindigkeit und rt die Momentanbeschleunigung. Die Ableitung der Vektoren erfolgt komponentenweise. Mathematik kompakt 16

18 Kurven Steigung Beispiel Bahnkurve, Momentangeschwingikeit und Momentanbeschleunigung eines Kreises vom Radius R um den Nullpunkt lauten: rt = xt yt = Rcost Rsint, rt = ẋt ẏt = Rsint Rcost, rt = ẍt ÿt = Rcost Rsint. y rt rt x Mathematik kompakt 17

19 Kurven Steigung Übung Geben Sie Bahnkurve, Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung einer Zykloide an. Mathematik kompakt 18

20 Kurven Steigung Lösung Bahnkurve, Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung einer Zykloide lauten: xt Rt sint rt = =, t 0 yt R1 cost rt = ẋt ẏt = R1 cost Rsint, rt = ẍt ÿt = Rsint Rcost. Mathematik kompakt 19

21 Kurven Steigung Ableitung einer Kurve in Parameterdarstellung Für die Ableitung einer Kurve in Parameterdarstellung erhalten wir: und y x = dy dy dx = dt = ẏ dx ẋ dt y x = d dx y = d dt y dt dx = d dt ẏ ẋ 1 ẋ = ẋÿ ẍẏ ẋ 2 1 ẋ Mathematik kompakt 20

22 Kurven Steigung Ableitung einer Kurve in Parameterdarstellung Für die Ableitung einer Kurve in Parameterdarstellung gilt: und y x = ẏ ẋ y x = ẋÿ ẍẏ ẋ 3. Mathematik kompakt 21

23 Kurven Steigung Beispiel Für die Ableitung eines Kreises erhalten wir: xt Rcost rt =, = yt Rsint also Etwa: rt = ẋt ẏt = y = ẏ ẋ = Rcost Rsint Rsint Rcost = cot t. Für t = 0 : y = cot 0 =., Für t = π 4 : y = cot π 4 = 1. Für t = π 2 : y = cot π 2 = 0. Mathematik kompakt 22

24 Kurven Steigung Beispiel Für die Ableitung eines Kreises haben wir erhalten: Für t = 0 : y = cot 0 =. Für t = π 4 : y = cot π 4 = 1. Damit: Für t = π 2 : y = cot π 2 = 0. t= 2 y t= 4 t=0 x Mathematik kompakt 23

25 Kurven Steigung Übung Geben Sie die Steigung einer Zykloide für t 0 = 0, t 0 = π 4 und t 0 = π an. Mathematik kompakt 24

26 Kurven Steigung Lösung Für die Ableitung einer Zykloide erhalten wir: xt Rt sint rt = = yt R1 cost, also rt = y = ẏ ẋ = ẋt ẏt = R1 cost Rsint Rsint R1 cost = sint 1 cost., Damit: Für t = 0 : y = sin0 1 cos0 =. Für t = π 4 : y = sin π 4 1 cos π 4 = 1/ 2 1 1/ 2 2, Für t = π : y = sinπ 1 cosπ = 0. Mathematik kompakt 25

27 Kurven Steigung Lösung Für die Ableitung einer Zykloide haben wir erhalten: Für t = 0 : y = sin0 1 cos0 =. Für t = π 4 : y = sin π 4 1 cos π 4 = 1/ 2 1 1/ 2 2, Für t = π : y = sinπ 1 cosπ = 0. Damit: y t = t = 0 t = 4 x Mathematik kompakt 26

28 Kurven Steigung Horizontale und vertikale Tangenten Oft interessiert man sich für horizontale waagerechte bzw. für vertikale senkrechte Tangenten. Bei horizontalen Tangenten muss die Ableitungy gleich Null werden. Dies gilt, wenn im Bruch y = ẏ/ẋ der Zähler gleich Null und der Nenner ungleich Null ist. Für Kurven in Parameterdarstellung x = xt, y = yt liegen bei ẋ 0 und ẏ = 0 horizontale Tangenten, bei ẋ = 0 und ẏ 0 vertikale Tangenten vor. Der Fall bei ẋ = 0 und ẏ = 0 ist gesondert zu untersuchen Grenzwertsatz von L Hospital!. Mathematik kompakt 27

29 Kurven Steigung Gleichung der Tangenten Die Gleichung der Tangenten an eine Funktion y = fx an der Stelle x 0 lautet: y = fx 0 +f x 0 x x 0. Ist die Kurve in der Parameterdarstellung x = xt, y = yt gegeben, so erhalten wir: bzw. yt = yt 0 + ẏt 0 ẋt 0 xt xt 0 y yt 0 x xt 0 = ẏt 0 ẋt 0. Mathematik kompakt 28

30 Kurven Steigung Gleichung der Tangenten Die Gleichung der Tangenten an eine Kurve in Parameterdarstellung x = xt, y = yt für t = t 0 lautet: y yt 0 x xt 0 = ẏt 0 ẋt 0. Mathematik kompakt 29

31 Kurven Steigung Beispiel Die Tangentengleichung lautet für einen Kreis: y yt 0 x xt 0 = ẏt 0 ẋt 0 y Rsint 0 x Rcost 0 = Rcost 0 Rsint 0 = cot t 0. Für t 0 = π 4 ergibt sich: also y Rsin π 4 x Rcos π 4 = cot π 4, y R 1 2 x R 1 2 = 1 bzw. y = x+ 2R. Mathematik kompakt 30

32 Kurven Steigung Übung Geben Sie die Tangentengleichung einer Zykloide an für t 0 = π 4. Mathematik kompakt 31

33 Kurven Steigung Lösung Die Tangentengleichung lautet für eine Zykloide: y yt 0 x xt 0 = ẏt 0 ẋt 0 y R1 cost 0 x Rt 0 sint 0 = Rsint 0 R1 cost 0. Für t 0 = π 4 ergibt sich: y R1 cos π 4 x R π 4 sin π 4 = Rsin π 4 R1 cos π 4. Wegen sin π 4 = cos π 4 = 1 2 erhalten wir: y = 1 x R π 1 +2R Mathematik kompakt 32

34 Kurven Implizite Funktionen Implizite Funktionen Nicht immer lässt sich eine Kurve aus der impliziten Form Fx,y = 0 nach y in die explizite Form auflösen. Aber auch ohne diese Möglichkeit der Auflösbarkeit erhält man Differenzierbarkeit vorausgesetzt durch Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel auf 0 = Fx,y: 0 = d dt Fxt,yt = df dx dx dt + df dy dy dt und somit = F x ẋ+f y ẏ y = ẏ ẋ = F x F y. Mathematik kompakt 33

35 Kurven Implizite Funktionen Satz über implizite Funktionen Es sei F : IR 2 IR stetig partiell differenzierbar. Der Punktx 0,y 0 gehöre zur Kurve Fx,y = 0 und es gelte F y x 0,y 0 0. Dann lässt sich die Kurve lokal eindeutig um x 0,y 0 durch eine Funktion darstellen. Für die Steigung dieser Funktion im Punkt x 0,y 0 gilt: y x 0,y 0 = F xx 0,y 0 F y x 0,y 0. Mathematik kompakt 34

36 Kurven Implizite Funktionen Beispiel Wir betrachten den Einheitskreis Fx,y = x 2 +y 2 1 = 0 mit F x = 2x, F y = 2y. Es gilt F y = 0 für y = 0, d.h. für die beiden Punkte 1,0 und 1,0. An diesen beiden Punkten kann man den Kreis nicht lokal durch eine Funktion beschreiben anschaulich gesprochen erhielte man zwei Funktionen, den oberen und den unteren Halbkreis. Die Steigung einer Kreiskurve berechnet sich zu y = F x F y = 2x 2y = x y. An speziellen Punkten erhalten wir: Für x 0,y 0 = 1/ 2,1/ 2 : y = 1/ 2 1/ 2 = 1. Für x 0,y 0 = 0,1 : y = 0/1 = 0. Mathematik kompakt 35

37 Kurven Bogenlänge Bogenlänge Die Bogenlänge s einer Kurve in Parameterdarstellung x = xt, y = yt nähern wir an durch Aufsummieren kleiner Geradenstücke in Richtung des Tangentenvektors rt = ẋt, ẏt T mit dem Betrag rt = ẋ 2 +ẏ 2. Durch Aufsummieren und Grenzübergang erhält man s := b t=a ẋ 2 +ẏ 2 dt. y xt,yt x Mathematik kompakt 36

38 Kurven Bogenlänge Bogenlänge Die Bogenlänge s einer Kurve in Parameterdarstellung x = xt, y = yt von t = a bis t = b berechnet sich zu s = b t=a ẋ 2 + ẏ 2 dt. Mathematik kompakt 37

39 Kurven Bogenlänge Beispiel Für Bahnkurve und Momentangeschwindigkeit eines Kreises vom RadiusRum den Nullpunkt haben wir erhalten: rt = xt yt = Rcost Rsint, rt = ẋt ẏt = Rsint Rcost, Für die Bogenlänge des Viertelkreises folgt damit: s = π 2 t=0 ẋ 2 +ẏ 2 dt = π 2 t=0 R 2 sin 2 t+r 2 cos 2 t dt = π 2 t=0 R dt = R t π/2 t=0 = R π 2. Mathematik kompakt 38

40 Kurven Bogenlänge Übung Berechnen Sie die Bogenlänge einer Zykloide von t = 0 bis t = π. Mathematik kompakt 39

41 Kurven Bogenlänge Lösung Für Bahnkurve und Momentangeschwindigkeit einer Zykloide haben wir erhalten: xt Rt sint rt = =, yt R1 cost rt = ẋt ẏt = R1 cost Rsint. Für die Bogenlänge der Zykloide von t = 0 bis t = π folgt damit: π s = ẋ 2 +ẏ 2 dt = = R π t=0 π t=0 t=0 R 2 1 cost 2 +R 2 sin 2 t dt 1 2cost+cos 2 t+sin 2 t dt = R π t=0 2 2cost dt. Mathematik kompakt 40

42 Kurven Bogenlänge Fortsetzung der Lösung Für die Bogenlänge der Zykloide von t = 0 bis t = π hatten wir erhalten: π s = ẋ 2 +ẏ 2 π dt = R 2 2cost dt. t=0 t=0 Wegen sin t 2 = 1 cost 2 im angegebenen Intervall ist s = 2R = 4Rcos π t sin t=0 t π 2 t=0 2 dt = 4R. Mathematik kompakt 41

43 Kurven Bogenlänge Bogenlänge einer Funktion Ist eine Kurve in der Form y = fx gegeben, so können wir sie in die Parameterdarstellung x = t, y = ft umschreiben. Damit erhalten wir für die Bogenlänge von t = a bis t = b: s = b t=a 1+f t 2 dt. Mathematik kompakt 42

44 Kurven Bogenlänge Bogenlänge einer Funktion Die Bogenlänge s einer Funktion y = fx von x = a bis x = b berechnet sich zu s = b x=a 1 + f x 2 dx. Mathematik kompakt 43

45 Kurven Bogenlänge Beispiel Für die Bogenlänge der Parabel yx = x 2 von x = 0 bis x = 2 erhalten wir: 2 s = 1+2x 2 dx. x=0 Dieses Integral kann durch Substitution mit 2x = sinh u gelöst werden oder durch Nachschlagen in einer Formelsammlung. Man erhält: 1+2x 2 1 dx = 2 4 +x2 dx = x 1 4 +x arsinh2x Einsetzen der Integrationsgrenzen liefert: s = arsinh4 4, Mathematik kompakt 44

46 Kurven Felder Beispiele für Felder Felder dienen insbesondere der Beschreibung physikalischer Größen: Skalarfelder z.b. die Temperaturverteilung Tx, y, z im Raum Vektorfelder z.b. die elektrische Feldstärke Ex,y auf der Ebene Mathematik kompakt 45

47 Kurven Felder Veranschaulichung von Feldern Skalarfelder z.b. Niveaulinien Äquipotentiallinien Tx,y,z = 50 Tx,y,z = 100 Tx,y,z = 200 Tx,y,z = 150 Vektorfelder z.b. Feldlinien E P 2 E P 1 P 2 P 1 Mathematik kompakt 46

48 Kurven Kurvenintegrale Definition Kurvenintegral Ein Kurvenintegral beschreibt physikalisch z.b. die Arbeit, die entlang eines Weges verrichtet wird: Unter einem Kurvenintegral Linienintegral, Wegintegral eines Vektorfeldes F entlang einer stetig differenzierbaren Kurve C beschrieben durch den Integrationsweg rt versteht man das Integral C Fd r := t 2 t 1 F rt rt dt. Mathematik kompakt 47

49 Kurven Kurvenintegrale Anschaulich bedeutet dies, dass nur über die Komponente von F in Richtung des Weges der Kurve C integriert wird: C Fd r := t2 t 1 F rt rt dt. F F Kurve C Komponente von F in Richtung der Tangenten Mathematik kompakt 48

50 Kurven Kurvenintegrale Voraussetzungen: Gebiete etc. Dabei wollen wir im Folgenden immer voraussetzen, dass das Vektorfeld F auf einem Gebiet d.h. einer offenen und zusammenhängenden Menge definiert und stetig ist und dass auch die betrachtete Kurve C d.h. der Integrationsweg rt in diesem Gebiet liegen soll und stetig differenzierbar ist. Mathematik kompakt 49

51 Kurven Kurvenintegrale Beispiel für Berechnung eines Kurvenintegral Wir betrachten die Kurve C 1 : 1 y Kurve C 2 Kurve C 1 1 x Diese Kurve läßt sich mit xt rt = = yt t t 2, t [0,1] parametrisieren. Für den Tangentenvektor an diese Kurve ergibt sich dann ẋt 1 rt = =, t [0,1]. ẏt 2t Mathematik kompakt 50

52 Kurven Kurvenintegrale Gegeben sei weiterhin das Feld F mit: F1 x,y xe y Fx,y = = F 2 x,y 2xy 2. Wir berechnen zunächst die Komponenten des Feldes F entlang der Kurve C 1 : F rt = t e t2 2 t t 2 2 = te t2 2t 5. Damit ergibt sich für das Kurvenintegral: C Fd r := t 2 t 1 F rt rt dt = 1 0 te t 2 1+2t 5 2t dt = 1 0 te t 2 +4t 6 dt = 1 2 e t t7 1 = 1 2 e t=0 = 1 2 e e 0 Mathematik kompakt 51

53 Kurven Kurvenintegrale Übung Berechnen Sie das Kurvenintegral C Fd r für das gleiche Feld F1 x,y xe y Fx,y = = F 2 x,y 2xy 2 nun über Kurve C 2 : 1 y Kurve C 2 Kurve C 1 1 x Mathematik kompakt 52

54 Kurven Kurvenintegrale Lösung Die Kurve C 2 lässt sich mit t rt =, t [0,1] t parametrisieren. Für den Tangentenvektor an diese Kurve ergibt sich dann 1 rt =, t [0,1]. 1 Die Komponenten des Feldes F entlang der Kurve C 2 berechnen sich zu: te t F rt = 2t 3. Damit erhält man für das Kurvenintegral: C Fd r := 1 0 te t 1+2t 3 1 dt = 1 0 te t +2t 3 dt = t 1e t t4 1 1 = 1.5. t=0 = 1 2 Mathematik kompakt 53

55 Kurven Kurvenintegrale Wegabhängigkeit des Kurvenintegrals Es fällt auf, dass für die Kurvenintegrale C Fd r für das gleiche Feld F1 x,y xe y Fx,y = = F 2 x,y 2xy 2 verschiedene Werte ermittelt wurden, je nachdem über welche Kurve C 1 oder C 2 integriert wurde: 1 y Kurve C 2 Kurve C 1 1 x Im Allgemeinen sind also Kurvenintegrale wegabhängig! Mathematik kompakt 54

56 Kurven Wegunabhängigkeit Beispiel für wegunabhängiges Kurvenintegral Wir wollen im Folgenden das Kurvenintegral C Fd r für das Feld F1 x,y 6x 2y 3 Fx,y = = F 2 x,y 6xy 2 untersuchen. Wir werden feststellen, dass der Wert des Kurvenintegrals unabhängig vom gewählten Weg Kurve C 1 bzw. Kurve C 2 ist. Mathematik kompakt 55

57 Kurven Wegunabhängigkeit Übung Berechnen Sie das Kurvenintegral C Fd r für das Feld F1 x,y 6x 2y 3 Fx,y = = F 2 x,y 6xy 2 einmal über Kurve C 1 und einmal über Kurve C 2 : 1 y Kurve C 2 Kurve C 1 1 x Mathematik kompakt 56

58 Kurven Wegunabhängigkeit Lösung Für die Kurve C 1 erhält man: t 1 rt = t 2, rt = 2t, t [0,1]. Die Komponenten des Feldes F entlang der Kurve C 1 berechnen sich zu: 6t 2t 6 F rt = 6t 5. Damit erhält man für das Kurvenintegral: C 1 Fd r := 10 6t 2t t 5 2t dt = 1 0 6t 14t 6 dt = 3t 2 2t 7 1 t=0 = 3 2 = 1. Mathematik kompakt 57

59 Kurven Wegunabhängigkeit Lösung Für die Kurve C 2 erhält man: t 1 rt =, rt = t 1, t [0,1]. Die Komponenten des Feldes F entlang der Kurve C 2 berechnen sich zu: 6t 2t 3 F rt = 6t 3. Damit erhält man für das Kurvenintegral: C 2 Fd r := 10 6t 2t t 3 1 dt = 1 0 6t 8t 3 dt = 3t 2 2t 4 1 t=0 = 3 2 = 1. Mathematik kompakt 58

60 Kurven Wegunabhängigkeit Wir wollen im Folgenden untersuchen, warum das Kurvenintegral C Fd r für das Feld Fx,y = F1 x,y F 2 x,y = 6x 2y 3 6xy 2 unabhängig vom gewählten Weg Kurve C 1 bzw. Kurve C 2 ist, für das Feld Fx,y = F1 x,y F 2 x,y = xe y 2xy 2 jedoch vom gewählten Weg Kurve C 1 bzw. Kurve C 2 abhängt. Mathematik kompakt 59

61 Kurven Wegunabhängigkeit Kurvenintegrale längs geschlossener Wege Anstelle der Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen kann man auch untersuchen, ob ein Kurvenintegral längs eines geschlossenen Weges den Wert Null hat. Für Kurvenintegrale längs geschlossener Wege benutzt man das Symbol. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: Das Kurvenintegral C Fd r ist auf einem Gebiet wegunabhängig, d.h. es hängt nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve C ab. Das Kurvenintegral Fd r längs jedes geschlossenen Weges hat den Wert Null. Mathematik kompakt 60

62 Kurven Wegunabhängigkeit Kurvenintegrale längs geschlossener Wege Der Zusammenhang liegt auf der Hand: Man kann die beiden unterschiedlichen Kurven C 1 und C 2 zu einem geschlossenen Weg C 1 und C 2 Kurve C 2 in entgegengesetzter Richtung durchlaufen zusammensetzen und es gilt: Fd r = C1 C2 Fd r = C1 Fd r C 2 Fd r = 0 C 1 Fd r = C 2 Fd r. Mathematik kompakt 61

63 Kurven Wegunabhängigkeit Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen Wir kommen nun auf die Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen zurück. Dazu treffen wir die Annahme: Fd r! = dφ. Dann gilt t2! Fd r = t 1 t2 t 1 dφ = Φt t 2 t=t1 = Φt 2 Φt 1, d.h. das Kurvenintegral ist nur noch vom Wert von Φ am Endpunkt t = t 2 und am Anfangspunkt t = t 1 des Weges abhängig. Dazu muss ein derartiges Φ existieren, anders ausgedrückt: oder Fd r = F 1 x,y }{{} = Φ x dx+f 2 x,y dy = dφ }{{} = Φ y F = grad Φ. Mathematik kompakt 62

64 Kurven Wegunabhängigkeit Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen, Gradientenfeld Die folgenden Aussagen sind äquivalent: Das Kurvenintegral C Fd r ist auf einem Gebiet wegunabhängig. Das Feld F ist ein Gradientenfeld, d.h. es existiert eine Stammfunktion Φ mit F = grad Φ. Das Kurvenintegral berechnet sich dann über C Fd r = ΦEndpunkt ΦAnfangspunkt. Man spricht in der Physik bei Gradientenfeldern auch von konservativen Vektorfeldern, die zugehörige Stammfunktion heisst Potential. Mathematik kompakt 63

65 Kurven Wegunabhängigkeit Beispiel für die Ermittlung eines Potentials Zum Feld Fx,y = F1 x,y F 2 x,y = 6x 2y 3 6xy 2 lässt sich ein Potential finden. Wegen Φ x = F 1 und Φ y = F 2 folgt durch Integration Φ = 6x 2y 3 dx = 3x 2 2xy 3 +ay, Φ = 6xy 2 dy = 2xy 3 +bx. Vergleich der beiden Ausdrücke liefert Φx,y = 3x 2 2xy 3 +c, wobei man der Einfachheit halber die Konstante c wie bei Stammfunktionen meist weglässt. Mathematik kompakt 64

66 Kurven Wegunabhängigkeit Für einen beliebigen Weg vom Anfangspunkt0,0 zum Endpunkt1,1, z.b. für die WegeC 1 oderc 2, 1 y Kurve C 2 Kurve C 1 1 x erhält man zum Feld Fx,y = F1 x,y F 2 x,y = 6x 2y 3 6xy 2 mit dem Potential für das Kurvenintegral C Φx,y = 3x 2 2xy 3 Fd r = Φ1,1 Φ0,0 = = 1. Mathematik kompakt 65

67 Kurven Wegunabhängigkeit Es stellt sich nun die Frage, ob es ein einfaches Kriterium gibt, dass ein derartiges Gradientenfeld vorliegt. Eine notwendige Bedingung ist dabei die folgende: Falls F = F 1,F 2 T = grad Φ, also F 1 = Φ x, F 2 = Φ y, so müssen auch die gemischten Ableitungen übereinstimmen Satz von Schwarz Φ xy = F 1 y, Φ yx = F 2 x, Gleichsetzen liefert die so genannte Integrabilitätsbedingung F 1 y = F 2 x. Mathematik kompakt 66

68 Kurven Wegunabhängigkeit Integrabilitätsbedingung Es gilt sogar Notwendig für die Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen C Fd r für das Feld F = F 1,F 2 T ist die Integrabilitätsbedingung: F 1 y = F 2 x. Bei so genannten einfach-zusammenhängenden Gebieten und stetig differenzierbaren Feldern F ist die Integrabilitätsbedingung sogar hinreichend. Mathematik kompakt 67

69 Kurven Wegunabhängigkeit Beispiel für Integrabilitätsbedingung Wir betrachten das Feld: Fx,y = F1 x,y F 2 x,y = 6x 2y 3 6xy 2. Die Integrabilitätsbedingung gilt wegen: F 1 y = 6x 2y 3 y = 6y 2, F 2 x = 6xy 2 x = 6y 2, also F 1 y = F 2 x. Es liegt ein Potentialfeld vor: F = grad Φ mit Φ = 3x 2 2xy 3. Mathematik kompakt 68

70 Kurven Wegunabhängigkeit Übung Überprüfen Sie für die folgenden Felder F = F 1,F 2 T die Integrabilitätsbedingung F 1 y = F 2 x und geben Sie gegebenenfalls ein Potential Φ an: Fx,y = F 1,F 2 T = xe y,2xy 2 T, Fx,y = F 1,F 2 T = e x 6xcosy,3x 2 siny + y 1+y 2 T. Mathematik kompakt 69

71 Kurven Wegunabhängigkeit Lösung Nachprüfen der Integrabilitätsbedingung führt auf F 1 y = xe y und F 2 x = 2y 2 ; die Integrabilitätsbedingung ist also nicht erfüllt und es existiert kein Potential. Nachprüfen der Integrabilitätsbedingung führt auf F 1 y = F 2 x = 6xsiny. Das Potential kann durch Integration bestimmt werden: Φ = e x 6xcosydx = e x 3x 2 cosy +ay, Φ = 3x 2 siny + y 1+y 2 dy = 3x 2 cosy + 1+y 2 +bx, also Φ = e x 3x 2 cosy + 1+y 2. Mathematik kompakt 70

72 Kurven Wegunabhängigkeit Einfach zusammenhängende Gebiete Im Folgenden soll die Bedeutung des Ausdrucks einfach zusammenhängend erläutert werden. In der Ebene ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet anschaulich gesprochen ein Gebiet ohne Loch. y y x x Mathematik kompakt 71

73 Kurven Wegunabhängigkeit Nicht einfach zusammenhängende Gebiete Wir diskutieren zum Abschluss ein Vektorfeld, welches die Integrabilitätsbedingung in einem nicht einfach zusammenhängendem Gebiet erfüllt. Hier ist die Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals nicht gegeben bzw. das Kurvenintegral über einen geschlossenen Weg ist ungleich Null. Mathematik kompakt 72

74 Kurven Wegunabhängigkeit Wir betrachten im Folgenden das Vektorfeld des magnetischen Wirbels y x Fx,y = F 1,F 2 = x 2 +y 2, x 2 +y 2. Die Integritabilitätsbedingung ist erfüllt mit F 1 y = F 2 x = y2 x 2 x 2 +y 2 2. Allerdings ist das Vektorfeld F nur auf IR 2 \0,0 definiert, das zugrunde liegende Gebiet ist also nicht einfach zusammenhängend. Wir zeigen: Das Kurvenintegral über den geschlossenen Einheitskreis ist ungleich Null! Mathematik kompakt 73

75 Kurven Wegunabhängigkeit Wählt man als geschlossene Kurve den Einheitskreis cost sint rt =, rt =, t [0,2π], sint cost so ergeben sich wegen sin 2 t + cos 2 t = 1 für die Komponenten des Feldes F entlang des Einheitskreises: Damit gilt F rt = sint cost F rt rt = sint sint+cost cost = 1. Das Kurvenintegral ist ungleich Null:. C Fd r = 2π 0 = 2π 0 F rt rtdt 1dt = t 2π t=0 = 2π. Mathematik kompakt 74

76 Kurven Wegunabhängigkeit Kurven im Raum Auch bei Kurven im Raum wird das Kurvenintegral entsprechend definiert. Nur die Integrabilitätsbedingung ist bei Kurven im Raum etwas aufwändiger: Die folgenden Aussagen sind bei einfach zusammenhängenden Gebieten und Stetigkeit der partiellen Ableitungen von F äquivalent: Das Kurvenintegral C Fd r ist auf einem Gebiet wegunabhängig, d.h. es hängt nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve C ab. Für das Feld F = F 1,F 2,F 3 gilt: F 1 y = F 2 x, F 1 z = F 3 x, F 2 z = F 3 y. Mathematik kompakt 75