Die scheinbare Grösse von Sonne und Mond Erfahrungen Experimente Berechnungen

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1 1/9 Die scheinbare Grösse von Sonne und Mond Erfahrungen Experimente erechnungen Sonnefinsternisse sind total, wenn der Mond etwas grösser erscheint als die Sonne. Steht der Mond genügend weit weg, kann er kleiner erscheinen als die Sonne, die Finsternis ist in diesem Fall ringförmig. In den folgenden Abbildungen bedeutet der Punkt immer der Ort des eobachters. (Genauer: Das Auge der eobachterin.) 1 Alltägliche Erfahrungen Aus der Erfahrung wissen wir: Je weiter weg sich etwas befindet, desto kleiner erscheint es uns. Ein von uns wegfahrendes Auto «wird immer kleiner». Abb. 1: Gleiche wirkliche Grösse, unterschiedliche scheinbare Grösse Je näher die Tanne steht, desto steiler nach oben muss der eobachter zur Tannenspitze schauen. Die scheinbare Grösse hat offenbar etwas zu tun mit der lickrichtung. Zwei verschieden grosse Körper können gleich gross erscheinen, z.. ein dreimal grösserer erscheint gleich gross, wenn er dreimal weiter entfernt ist. Abb. 2: Gleiche scheinbare Grösse, unterschiedliche wirkliche Grösse 2 Experimente 2.1 Experiment A Drei Schüler, 2 älle von deutlich verschiedener Grösse, Aufstellung wie in Abb. 2. Ein Schüler ist der eobachter (), die andern halten je einen all in die Höhe. Nun verschiebt man sich so lange, bis beide älle in gleicher Grösse nebeneinander sieht. Jetzt verschiebt sich seitlich, bis beide älle scheinbar zur Deckung kommen. Damit hat man die Sonnenfinsternis simuliert. Der mittlere Schüler kann nun noch seine Distanz zu verändern...

2 2/9 2.2 Experimente Abb. 3: Durch ein Guckloch betrachtet eine Schülerin oder ein Schüler Sagexkugeln in verschiedenen Entfernungen. Zweck der Kartonblende: Das Auge befindet sich an einem genau definierten Ort, möglichst nahe beim Karton Vom Modell zur Sonnenfinsternis Abb. 4: Mond: Schwarze Kugel mit 6 cm Durchmesser in 80 cm Distanz vom Karton. Sonne: Weisse Kugel mit 12 cm Durchmesser in 160 cm Distanz vom Karton.

3 3/9 Abb. 5: ild links: eim lick durch das Guckloch erscheinen beide Kugeln gleich gross. ild Mitte: Simulation einer partiellen (oder totalen) Sonnenfinsternis. ild recht: Schwarze Kugel verschieben in 90 cm Distanz, Simulation einer ringförmigen Finsternis. Merke: Der Durchmesser der Sonne ist etwa 400 mal grösser als der Durchmesser des Mondes. Der Abstand der Sonne ist etwa 400 mal grösser als der Abstand des Mondes. 3 Vom Modell zur erechnung Drei Sagexkugeln mit Durchmessern im Verhältnis 1 : 2 : 3 werden aufgestellt in Entfernungen von im Verhältnis 1 : 2 : 3. (Im astelzentrum ern, ubergplatz 11 gibt es solche Kugeln, u.a. mit Durchmessern von 4 cm, 8 cm, 12 cm.) Abb. 6: Sagexkugeln aufgespiesst auf Stricknadeln, diese stecken in Sagexklötzen und können so auf einfache Art alle auf die gleiche Höhe gebracht werden, wie das Guckloch im Karton.

4 4/9 eim lick durch das Guckloch erscheinen alle Kugeln gleich gross. Damit hat man den «Schlüssel» für erechnungen mit Hilfe von Vergleichszahlen (ruchteile, Verhältniszahlen, Proportionen, Prozentzahlen). Je nach mathematischen Kenntnissen der Kinder wird man einen passenden Lösungsansatz wählen. 3.1 Zahlenbeispiele zum Modellversuch Durchmesser Entfernung vom Guckloch Kugel 1 4 cm 50 cm Kugel 2 8 cm 100 cm Kugel 3 12 cm 150 cm Zu berechnen: Kugel 4 6 cm? Kugel 5 10 cm? Kugel 6? 2 m Kugel 7? 5 m Kugel 8? 100 m 3.2 Der Schritt vom Modell ins Weltall Zahlen zur Sonnenfinsternis vom 20. März 2015 Sonnendurchmesser km Entfernung Sonne am 20. März km Monddurchmesser km Entfernung Mond am 20. März km (zum eobachter auf der Erde) Frage: Was erschien am 20. März 2015 grösser, die Sonne oder der Mond? erechnungen: Sonnendurchmesser : Sonnenabstand = 0,00934 Monddurchmesser : Mondabstand = 0,00986 Die Zahl für die Sonne ist kleiner, diese erscheint kleiner als der Mond. Oder anders gerechnet: Sonne: Der Durchmesser ist 107,0 mal kleiner als der Abstand. Mond: Der Durchmesser ist 101,4 mal kleiner als der Abstand. 4 erechnungen: Entfernung, Durchmesser, scheinbare Grösse Voraussetzung für die erechnungen in diesem Kapitel: Kenntnis der Winkelfunktion Tangens 4.1 Kurz-Lehrgang: Die Tangens-Funktion und deren Umkehrung! a b Abb. 7: Im rechtwinkligen Dreieck aus dem Verhältnis der Seitenlängen den Winkel β berechnen. Miss im rechtwinkligen Dreieck die Längen der Seiten a und b. Teile b : a Das Resultat dieser Division ist «der Tangens des Winkels β» (kurz tan β) Taschenrechner: Zum Tangens von β findet man den Winkel β mit der Tastenfolge INV TAN.

5 5/9 Mit den Massen dieses Dreiecks gerechnet: a = 110 mm, b = 26 mm b : a = 0, = tan β zu tan β = 0, gehört der Winkel β = 13,3 Umgekehrt: Mit der Funktion TAN gelangt man vom Winkel zum Verhältnis der Seitenlängen. 4.2 Anwendung bei der erechnung der scheinbaren Grösse von Himmelskörpern Die scheinbare Grösse ist ein Winkel. Es ist der Winkel zwischen den beiden lickrichtungen, etwa zum rechten und zum linken Mondrand.! Abb. 8: Die scheinbare Grösse der Kugel ist der Winkel α Den mathematischen Zusammenhang zwischen diesem Winkel, der wirklichen Grösse d und und dem Abstand s liefet die Winkelfunktion Tangens und deren Umkehrfunktion Aus Distanz und Durchmesser die scheinbare Grösse rechnen P "! r Z d s Abb. 9: Gegeben sind s und d, gesucht ist der Winkel α (die scheinbare Grösse) Im rechtwinkligen Dreieck ZP ist r : s = tan β 1. Schritt: Aus den gegebenen Strecken r und s den Tangens des Winkels β berechnen. r : s = tan β Wenn auf dem Taschenrechner nicht genügend Stellen verfügbar sind, Sonnenabstand und Sonnendurchmesser in Megameter (Tausendkilometer) eingeben. 2. Schritt: Aus tan β den Winkel β berechnen Taschenrechner: Tastenfolge INV TAN Computer (Excel): Funktion ARCTAN, liefert den Winkel im ogenmass, anschliessend Umrechnung in Grad mit der Funktion GRAD. Oder direkt in einem Schritt =GRAD(ARCTAN(r/s))

6 6/9 3. Schritt: Die scheinbare Grösse α des Objekts berechnen α = 2 β eispiele Zur Sonnenfinsternis vom 20. März 2015 Sonnenradius km Entfernung Sonne am 20. März km Mondradius km Entfernung des Mondes am km (zum eobachter auf der Erde) Sonne: tan β = : = 0,00467 β = 0,2677 Grad Scheinbarer Durchmesser = 2β = 0,5354 Grad = 32,1 Winkelminuten Mond: tan β = 1738 : = 0,00493 β = 0,2826 Grad Scheinbarer Durchmesser = 2β = 0,5651 Grad = 33,9 Winkelminuten Der scheinbare Durchmesser des Mondes ist grösser, die Finsternis ist total Tabelle auf Seite 9 in diesem Dokument Mit den Resultaten zur scheinbaren Grösse von Sonne und Mond in verschiedenen (tatsächlichen) Entfernungen kann für alle Kombinationen festgestellt werden, ob eine totale oder eine ringförmige Finsternis eintreten würde «Aktive» Excel-erechnungstabelle Eine solche Tabelle findet man im Dokument 4.03 «erechnungstabelle zur scheinbaren Grösse». Damit lassen sich die Verhältnisse auch für andere Sonnenfinsternisse auf der Erde oder sogar auf anderen Planeten berechnen.

7 7/ Aus dem scheinbaren und dem wahren Durchmesser die Entfernung berechnen In den NASA-Finsternisseiten findet man die scheinbaren Durchmesser von Sonne und Mond zum Zeitpunkt der Finsternismitte (Greatest Eclipse). eispiel: S.D. = semi-diameter = scheinbarer Radius S.D. Sonne = = 0,26417 S.D. Mond = = 0, erechnung für die Sonne: Gesucht: e = Distanz Sonne-Erde Gegeben: Sonnenradius r = km β = S.D. Sonne = 0,26417 tan β = tan 0,26417 = 0, tan β = r : e e = r : tan β = km : 0, = km ei Finsternismitte ist die Sonne 151 Mio km von der Erde entfernt. (Sinnvoll gerundet!) 2. erechnung für den Mond: Gesucht: m = Distanz Mondzentrum-Erdzentrum Gegeben: Mondradius s = 1738 km β = S.D. Mond = 0,25344 tan β = tan 0,25344 = 0, tan β = s : m m = s : tan β = 1738 km : 0, = km ei Finsternismitte ist das Mondzentrum km vom Erdzentrum entfernt. (Sinnvoll gerundet!)

8 8/9 5 Ergänzung: Der scheinbare Abstand In gleicher Art wie die scheinbare Grösse werden am Himmel die scheinbaren Abstände von Sternen mit Winkeln gemessen.! Abb. 10: Der scheinbare Abstand der beiden Sterne ist der Winkel α In Sternkarten werden das Koordinatensystem und die Positionen von Sternen mit derartigen Winkelangaben festgelegt. Hochpräzise Vermessungen ergeben heute Sternpositionen mit einer Genauigkeit von ruchteilen von Milli-ogensekunden. 1 ogensekunde = 1/3600 eines Winkel-Grades. Ein Zwanzigrappen-Stück in 4400 km Entfernung hat eine scheinbare Grösse von 1 Milli-ogensekunde.

9 9/9 6 erechnungsbeispiele zur scheinbaren Grösse erechnungen zur scheinbaren Grösse von Sonne und Mond Sonne Daten erechnungen Resultate (km) Durchmesser 2r 1'392'000 Radius r 696'000 Scheinbare Grösse Verhältnis α = 2β Entfernungen von der Erde e tan β = r : e β ( ) ( ) Winkelminuten 2r : e kleinste 147'100' : 105,7 grösste 152'100' : 109,3 mittlere 149'597' : 107,5 Mond Durchmesser 2s 3'476 Radius s 1'738 Scheinbare Grösse Verhältnis Entfernungen zum α = 2β eobachter f tan β = s : f β ( ) ( ) Winkelminuten 2s : f bei kleinster Monddistanz 356' : 102,5 bei grösster Monddistanz 406' : 117,0 bei mittlerer Monddistanz 384' : 110,6 Das Verhältnis in der letzten Kolonne gibt an, wie oft mal kleiner der wirkliche Durchmesser ist als die Entfernung. Der Vergleich der scheinbaren Grösse (z.. in Winkelminuten) von Sonne und Mond zeigt, in welchen Fällen eine Sonnenfinsternis total oder wann sie ringförmig ist.

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