Kreditrisikomodelle. Mit Kalibrierung der Input-Parameter. Working Paper Series by the University of Applied Sciences of bfi Vienna.

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1 Number 3 / 2004 Working Paper Series by the University of Applied Sciences of bfi Vienna Kreditrisikomodelle Mit Kalibrierung der Input-Parameter Version 1.01, July 2004 Robert Schwarz University of Applied Sciences of bfi Vienna Sponsored by the Austrian Research Promotion Agency under the programme

2 IMPRESSUM: Fachhochschule des bfi Wien Gesellschaft m.b.h. Wohlmutstraße 22, A-1020 Wien, Tel. ++43/1/

3 Inhalt Abstract 4 1. Einleitung 5 2. CreditMetrics 7 3. CreditRisk KMV CreditPortfolioView Kalibrierung Parameter CreditMetrics und CreditRisk Literatur 23 Working Papers und Studien der Fachhochschule des bfi Wien 24 3

4 Abstract The New Basel Capital Accord (Basel II) allows banks to assess the regulatory capital related to credit risk. This paper reviews the most important models. First, the credit migration approach, as proposed by J.P. Morgan with CreditMetrics, is based on the probability of migration from one rating-class to another, including default, within a given time horizon. Second, the actuarial approach, as proposed by Credit Suisse Finaniccal Procucts (CSFP). In this model the defaults follow an exogenous Poisson process. Third, the model by KMV is based on the asset-value model by Merton (1974). In this model the default occurs when the asset of the firms falls below some critical level. Fourth CreditPortfolioView by McKinsey is a model where default probabilities are conditional on macro-variables. Finally this paper shows that the input-parameter of the models CreditMetrics and CreditRisk+ can be calibrated to produce similar results. Durch die neuen Baseler Eigenkapitalvorschriften (Basel II) werden die Banken in Zukunft die Möglichkeit haben, das mit Eigenkapital zu unterlegende Kreditrisiko mit internen Kreditrisikomodellen selber zu berechnen. Diese Arbeit untersucht die praxisrelevantesten Modelle. Als erstes wird das Modell von J.P. Morgan mit dem Namen CreditMetrics behandelt, das auf der Berechnung von Migrationswahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeiten von Ratingänderungen innerhalb eines bestimmten Zeitraums) inkl. Ausfall basiert. Beim zweiten Modell handelt es sich um CreditRisk+ von Credit Suisse Financial Products (CSFP), das den Ausfall analog zur Schadenversicherung exogen durch einen Poisson-Prozess modelliert. Drittens wird das KMV-Modell vorgestellt, das auf dem Asset-Value- Modell von Merton (1974) beruht. Bei diesem Modell tritt der Ausfall ein, wenn der Firmenwert unter eine bestimmte Schwelle fällt. Bei CreditPortfolioView von McKinsey als viertem Modell werden die Ausfallsraten mittels logistischer Regression, deren Regressoren makro-ökonomische Variablen sind, geschätzt. Am Schluss dieser Arbeit wird gezeigt, dass die Input-Parameter der beiden Benchmarkmodelle CreditMetrics und CreditRisk+ so kalibriert werden können, dass sie ähnliche Ergebnisse liefern. 4

5 1. Einleitung Mit den neuen Baseler Eigenkapitalvorschriften (Basel II) haben die Banken die Möglichkeit, interne Kreditrisikomodelle zu verwenden. Die Kreditrisikomodelle sind nicht nur zur Berechnung des regulatorischen Eigenkapitals 1 notwendig, sondern spielen auch für das Risikomanagement einer Bank eine zentrale Rolle. Es ist möglich, mit Hilfe dieser Modelle die Bonität der Kunden und in Folge deren Rentabilität für die Bank zu ermitteln und eine risikoadäquatere Preisgestaltung zu erstellen. Im Vergleich zum Marktrisiko ergeben sich allerdings einige Probleme bei der Modellierung des Kreditrisikos: - Für die Schätzung der Parameter des Kreditrisikos ist kein oder nur ungenügendes historisches Datenmaterial vorhanden. - Die Verlustverteilung eines Kreditportfolios ist nicht normalverteilt, sondern die Verteilung ist schief, 2 d.h. in seltenen Fällen können sehr hohe Verluste auftreten, was die statistische Modellierung ebenfalls erschwert. - Das Backtesting 3 ist komplizierter, weil die Haltedauer meist länger als ein Jahr beträgt und das Konfidenzniveau 4 zur Ermittlung der maximalen Verlusthöhe sehr hoch ist. Je höher das Konfidenzniveau ist, umso größer ist die Gefahr, dass die verschiedenen Modelle unterschiedliche Ergebnisse liefern, da die Randverteilungen von den verschiedenen Modellen unterschiedlich parametrisiert werden. Diese Arbeit stellt die vier wichtigsten Modelle kurz vor, die in den letzten Jahren von der Praxis entwickelt worden sind. Grundsätzlich gibt es zwei Hauptkategorien von Kreditrisikomodellen. Eine Kategorie beinhaltet die Default-Modelle (DM), die nur zwischen Ausfall und Nicht-Ausfall unterscheiden. Deren wichtigster Exponent ist CreditRisk+ 5 von Credit Suisse Financial Products. Beim versicherungs- 1 Die Banken sind verpflichtet, ihre Kredite mit Eigenkapital zu unterlegen. Die Höhe des regulatorischen Eigenkapitals hängt u.a. von der Kundenbonität und den Sicherheiten ab; vgl. Cech (2004) 2 Bei einer schiefen oder unsymmetrischen Verteilung liegt der Hauptanteil einer Verteilung auf der linken Seite (linkssteil) oder rechten Seite (rechtssteil) 3 Unter Backtesting versteht man die Überprüfung ex post der Modellprognose mit den tatsächlichen Daten und analysiert die Abweichungen 4 Bei Basel II muss der Credit Value at Risk mit einem Konfidenzniveau von 99,9 % mit Eigenkapital unterlegt werden 5 Vgl. CreditRisk Technical Document 5

6 mathematischen Ansatz von CreditRisk+ wird die Ausfallswahrscheinlichkeit analog zur Schadeneintrittswahrscheinlichkeit in der Sachversicherung durch einen Poisson- Prozess modelliert. Die zweite Klasse sind die Mark-to-Market-Modelle (MTM), die nicht nur die Ausfälle, sondern auch die Veränderung der Bonität der Schuldner berücksichtigen. Der wichtigste Vertreter dieser Kategorie ist das Kreditrisikomodell CreditMetrics 6 von J.P. Morgan. Zusätzlich zu den zwei bereits genannten Modellen werden noch das KMV-Modell und CreditPortfolioView 7 von McKinsey kurz vorgestellt. KMV hat das Asset-Value- Modell von Merton 8 zur Grundlage. Es tritt ein Ausfall ein, wenn der Firmenwert unterhalb einer bestimmten Schwelle fällt. Beim ökonometrischen Ansatz des Modells CreditPortfolioView hängt die Ausfallswahrscheinlichkeit von verschiedenen makroökonomischen Variablen wie Arbeitslosigkeit, langfristige Zinsen und BIP- Wachstum ab. Es hat sich gezeigt, dass die Modelle zum Teil deutlich unterschiedliche Ergebnisse liefern. 9 Deshalb wird es in Zukunft notwendig sein, eine genaue Analyse über Ausmaß und Ursachen der Unterschiede durchzuführen, um die verschiedenen Modelle zur Ermittlung der regulatorischen Eigenkapitalunterlegung einsetzen zu können. Der Hauptgrund für die unterschiedlichen Ergebnisse liegt an den verwendeten Input-Parametern der Modelle und deren Schätzung. Im letzten Teil dieser Arbeit wird gezeigt, wie man die Parameter der beiden Benchmarkmodelle CreditMetrics und CreditRisk+ kalibrieren kann, damit sie ähnliche Ergebnisse liefern. 6 Vgl. CreditMetrics Technical Document 7 Vgl. Credit Portfolio View, Approach Document and User s Manual 8 Vgl. Merton (1974) 9 Vgl. Crouhy, Galai, Mark (2000) 6

7 2. CreditMetrics Das von J.P. Morgan entwickelte Kreditrisikomodell CreditMetrics 10 basiert auf der Änderung der Kreditqualität eines Kreditnehmers: - Upgrade: die Bonität des Schuldners verbessert sich - Downgrade: die Bonität des Schuldners verschlechtert sich - Default: der Schuldner fällt aus Zu diesem Zweck verwendet man die Migrationsmatrix. Diese Matrix zeigt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schuldner nach einer bestimmten Zeit (meistens ein Jahr) in der gleichen Ratingklasse verbleibt oder ein anderes Rating (inkl. Default) erhält. Die Tabelle 1 zeigt, dass ein Kreditnehmer mit aktuellem Rating BBB in einem Jahr mit einer Wahrscheinlichkeit von 86,93% weiterhin in der Ratingklasse BBB verbleibt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 5,95% ein Rating A erhält. Aktuelles Rating in einem Jahr Rating AAA AA A BBB BB B CCC Default AAA AA A BBB BB B CCC 90,81 8,33 0,68 0,06 0, ,70 90,65 7,79 0,64 0,06 0,14 0,02 0 0,09 2,27 91,05 5,52 0,74 0,26 0,01 0,06 0,02 0,33 5,95 86,93 5,30 1,17 1,12 0,18 0,03 0,14 0,67 7,73 80,53 8,84 1,00 1,06 0 0,11 0,24 0,43 6,48 83,46 4,07 5,20 0,22 0 0,22 1,30 2,38 11,24 64,86 19,79 Tabelle 1: Migrationsmatrix: Wahrscheinlichkeit einer Ratingänderung innerhalb eines Jahres, Quelle: Standard & Poors (1996) Die Migrationsbewegungen sind stochastisch nicht unabhängig, d.h. die gleichzeitige Migration zweier Schuldner ist nicht einfach das Produkt der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in der Matrix. CreditMetrics verwendet für die Modellierung der gemeinsamen Migrationsbewegung die positiv korrelierten Asset-Renditen der Schuldner. Bei börsennotierten Unternehmen wird die Korrelation der Aktienkurse 10 Vgl. Crouhy,Galai, Mark: S

8 verwendet, wobei in diesem Fall nur die Korrelation der Marktwerte des Eigenkapitals und nicht der gesamten Unternehmensaktiva ins Modell einfließen. Die standardnormalverteilten und korrelierten Asset-Renditen werden durch eine Simulation mit Hilfe der Cholesky-Zerlegung 11 erzeugt und in Sektoren unterteilt, die den jeweiligen Migrationswahrscheinlichkeiten entsprechen. Abb. 1: Einteilung der Rendite eines BB-Unternehmens entsprechend der Migrationswahrscheinlichkeit Anschließend werden aufgrund der simulierten Asset-Renditen alle Kredite neu bewertet. Zu diesem Zweck werden die Barwerte der Kredite durch Abdiskontierung der zukünftigen Cash-Flows mit den Forward Rates der einzelnen Ratingklassen ermittelt: 12 BW = C N t t= t ( 1+ f ( t, t1, k)) 1 t mit f ) t ( t, t1, k als Forward Zero-Rate ab dem Zeitpunkt t 1 11 Die Cholesky-Zerlegung (auch Cholesky Faktorisierung) ist ein Verfahren zur Erzeugung von korrelierten Zufallszahlen 12 Das Zinsänderungsrisiko wird nicht berücksichtigt 8

9 Aktuelles Forward Zero-Rates Rating 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre AAA 3,6 4,17 4,73 5,12 AA 3,65 4,22 4,78 5,17 A 3,72 4,32 4,93 5,32 BBB 4,10 4,67 5,25 5,63 BB 5,55 6,02 6,78 7,27 B 6,05 7,02 8,03 8,52 CCC 15,05 15,02 14,03 13,52 Tabelle 2: Forward Zero-Rates der einzelnen Ratingklassen; Quelle: CreditMetrics Der Barwert des Kredits eines Schuldners mit Rating BBB, einem jährlichen Zinssatz von 6% und Restlaufzeit von 5 Jahren beträgt daher: BW BBB = 6 1, , , , = ,53 Aus der Tabelle 2 ist ersichtlich, dass für Kunden mit guter (schlechter) Bonität eine steigende (fallende) Zinskurve gilt. Das kann man intuitiv damit erklären, dass bei Schuldnern mit guter Bonität bei langfristigen Krediten die Gefahr der Herabstufung besteht, während bei Kreditnehmern mit schlechter Bonität die Chance einer späteren Heraufstufung vorhanden ist. Aus den Barwerten aller Kredite kann die Verlustverteilung des Kreditportfolios generiert werden. CreditMetrics geht im Falle eines Ausfalls von einer stochastischen Wiedergewinnungsrate 13 aus, wobei eine Betaverteilung 14 unterstellt wird. Der Mittelwert und die Standardabweichung der Betaverteilung, abhängig von den Sicherheiten und dem Rang des Kredits, sind in Tabelle 3 ersichtlich: 13 Die Wiedergewinnungsrate (recovery rate) ist der Teil der Kreditsumme, der bei Ausfall getilgt wird 14 Die Betaverteilung modelliert die Streuung von Stichproben zu verschiedenen Vorgängen in diesem Beispiel wird die Wiedergewinnungsrate in Abhängigkeit vom Rang des Kredits modelliert 9

10 Seniority class Mittelwert (%) Standardabweichung (%) (Rang des Kredits) Senior secured 53,8 26,86 Senior unsecured 51,13 25,45 Senior subordinated 38,52 23,81 Subordinated 32,74 20,18 Junior subordinated 17,09 10,90 Tabelle 3: Quelle: Carty and Lieberman (1996) Die Monte-Carlo Simulationen 15 der Renditen und die sich daraus ergebenden Ratingänderungen werden mehrmals wiederholt, um eine geeignete Approximationsgüte der ermittelten Portfoliowerte zu erhalten. Aus der simulierten Verteilung kann der Credit Value at Risk 16 (CVaR) zum gewünschten Konfidenzniveau ermittelt werden. Wie oben bereits angeführt, wird bei CreditMetrics für die Renditekorrelation die Aktienkurskorrelation verwendet, d.h. es werden für jeden Kreditnehmer die Korrelationen mit allen anderen Schuldnern im Kreditportfolio berechnet. Bei einer paarweisen Korrelation müssten bei einem Portfolio von 1000 Kreditnehmern (= / 2) Korrelationen ermittelt werden. Deshalb wird die Anzahl der Korrelationen durch die Zuordnung der Kreditnehmer zu verschiedenen Sektoren (Branchen bzw. Ländern) reduziert. 17 Anschließend wird durch die Gewichtung der Schuldner in den einzelnen Sektoren der Einfluss der Aktienindizes der Sektoren auf die Rendite der Schuldner bestimmt. Die Rendite eines Schuldners i ergibt sich: r i = w X w2 X + wn X n wˆ ε i Die Gewichtungsfaktoren w n werden durch die Zuordnung des Schuldners zur Branche bzw. zum Land festgelegt und die Faktoren X n stellen das systematische 15 Eine Monte-Carlo Simulation ist ein Verfahren zur Erzeugung von zufälligen Ereignissen. Ein Anwendungsgebiet ist die Simulation von Aktienkursen, um Derivate bewerten zu können. 16 Der Credit Value at Risk ist der Verlust eines Kreditportfolios, der zu einem bestimmten Konfidenzniveau innerhalb einer bestimmten Zeitspanne (meist ein Jahr) nicht überschritten wird 17 Siehe CreditMetrics Technical Document S

11 Risiko (Branchen- bzw. Länderindizes) dar. Die Gewichtung ŵ ist der Anteil des unsystematischen Risikos ε i an der Renditeentwicklung des Schuldners. Es ist notwendig, sehr viele Simulationen der Renditen durchzuführen, um den Standardfehler der simulierten Werte zu reduzieren. Deshalb hat CreditMetrics gegenüber Modellen, die die Verlustverteilung in eine geschlossene Form bringen den Nachteil, dass das Modell viel Computerrechenzeit beansprucht. Die Durchführung von derartigen Simulationen ist auch ein Mitgrund dafür, dass die Banken heute zu den größten Abnehmern von Hochleistungsrechnern gehören. 11

12 3. CreditRisk+ Das Modell CreditRisk+ 18 von CSFP (Credit Suisse Financial Products) modelliert im Gegensatz zu CreditMetrics nur das Ausfallsrisiko, d.h. Ratingänderungen werden nicht berücksichtigt. Ein weiterer Unterschied ist, dass bei CreditRisk+ eine konstante Wiedergewinnungsrate angenommen wird. Die Ausfallswahrscheinlichkeiten werden analog zu Schadeneintrittswahrscheinlichkeiten in der Sachversicherung durch eine Poisson-Verteilung 19 beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, dass es zu n Ausfällen kommt, berechnet sich damit: mit µ n e µ P( n Ausfälle ) = für n = 0,1,2,..., n! µ = durchschnittliche Anzahl Ausfälle pro Jahr µ = P A, wobei P A die Ausfallswahrscheinlichkeit von Schuldner A ist A Es werden folgende Annahmen getroffen: - die Ausfallswahrscheinlichkeit eines Kredits in einer Periode ist gering und ist unabhängig von der Ausfallswahrscheinlichkeit in einer anderen Periode - die in einer Periode aufgetretene Anzahl Ausfälle sind unabhängig von der Anzahl Ausfälle in einer anderen Periode Die Poissonverteilung hat die Eigenschaft, dass sie durch einen Parameter spezifiziert werden kann, d.h. die durchschnittliche Anzahl Ausfälle pro Jahr ist eine Zufallsvariable mit Mittelwert µ und Standardabweichung µ. Die Poissonverteilung vernachlässigt die Tatsache, dass ein Kreditnehmer nur einmal ausfallen kann. Bei einer angenommenen durchschnittlichen Anzahl von µ =3 Ausfällen ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Ausfall: 0 3 e P (0 Ausfälle) = 0! 3 = 0,05 = 5% und die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Ausfälle: 18 Vgl. Crouhy,Galai, Mark: S Die Poisson-Verteilung wird meist zur Modellierung von zufälligen seltenen Ereignissen verwendet 12

13 3 3 3 e P (3 Ausfälle) = = 0,224 = 22,4% 3! Die Korrelation der Ausfälle berücksichtigt CreditRisk+ dahingehend, dass die durchschnittliche Ausfallsrate µ der Poissonverteilung ebenfalls eine Zufallsvariable ist, deren Realisation vom ex ante nicht bekannten Konjunkturzyklus abhängt. CreditRisk+ nimmt an, dass die Variable µ mit der Standardabweichung σ Gammaverteilung 20 aufweist. Die gemeinsame Konjunkturabhängigkeit ergibt letztlich eine stochastische Abhängigkeit der Ausfallsereignisse. Die poissonverteilten Ausfälle in Kombination mit der gammaverteilten durchschnittlichen Ausfallsrate ergeben eine negative Binomialverteilung 21 der Ausfälle im Sektor k: mit P( n Ausfälle) = (1 p ) 2 2 α k = µ k / σ k 2 2 p = σ /( σ + µ ) k k k k k α n + α k 1 p n k n k für n = 0,1,2,..., eine Die durchschnittliche Ausfallsrate im Sektor k ist µ k mit der Standardabweichung σ k, wobei die Ausfallsverteilungen der einzelnen Sektoren voneinander unabhängig sind. Ein Schuldner kann anteilsmäßig mehreren Sektoren zugeordnet werden. In der Regel variieren die Kreditbeträge in einem Portfolio. Deshalb ist es notwendig, alle Verluste bei Ausfall (Loss Given Default = LGD) mit dem gerundeten ganzzahligen Vielfachen einer zu wählenden Einheit L in einem Sektor darzustellen: Schuldner LGD Einheit (L) = LGD pro Einheit ν k im Sektor k , , ,35 5 Tabelle 4: Einteilung der LGD s in Klassen 20 Die Gammaverteilung wird für die Untersuchung von Zufallsvariablen mit einer schiefen (linkssteil und rechtsschief) Verteilung verwendet (zb. Warteschlangenanalysen). Sie hat den Vorteil, dass sie durch die beiden Parameter Mittelwert und Standardabweichung vollständig beschrieben werden kann 21 Vgl. Technical Document, S

14 Diese Einteilung setzt voraus, dass der Verlust bei Ausfall eine ex ante bekannte und nichtstochastische Größe ist, im Gegensatz zu CreditMetrics, wo eine stochastische Wiedergewinnungsrate angenommen wird. Die Ausfälle innerhalb eines Sektors sind ebenfalls poissonverteilt, da die Ausfälle im gesamten Portfolio nur dann poissonverteilt sind, wenn die Ausfälle in den einzelnen Sektoren poissonverteilt sind (Satz von Raikow) 22. Anschließend wird mit Hilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion 23, die für den Sektor k folgendes Aussehen hat: n G k ( z) = P( loss = nl) z = P( n Ausfälle) n= 0 n= 0 z nv k die Wahrscheinlichkeit für den Verlust von n Einheiten L dargestellt. CreditRisk+ hat den großen Vorteil, dass die Verlustverteilung eines Kreditportfolios analytisch hergeleitet werden kann und deshalb im Vergleich zu CreditMetrics wesentlich weniger Computerrechenzeit beansprucht. 22 Vgl. Rau-Bredow, Vgl. Fisz (1980) 14

15 4. KMV KMV 24 modelliert die Ausfälle aufgrund des Asset-Value-Modells von Merton (1974) 25. Beim Merton-Ansatz kauft die Bank eine Put-Option auf den Firmenwert des Unternehmens und eliminiert damit das Kreditrisiko. Wenn der Firmenwert am Ende der Laufzeit geringer ist als der Kredit (man spricht auch von Überschuldung oder negativem Eigenkapital), dann wird der Verlust aus dem Kreditgeschäft durch den Gewinn mit der Put-Option kompensiert. Die Prämie des Puts kann mit Hilfe der Black/Scholes-Formel ermittelt werden. Der Merton-Ansatz basiert allerdings auf sehr restriktiven Annahmen: - Ausfall vor Laufzeitende ist ausgeschlossen - Konstanter risikoloser Zinssatz - Firmenwert folgt einer geometrischen Brownsche Bewegung ( Random Walk ) 26 - Einfache Kapitalstruktur des Unternehmens (nur eine Klasse von Fremdkapital) Beim Merton-Ansatz tritt der Ausfall bereits ein, wenn der Firmenwert unter den Wert der Verbindlichkeiten fällt. Dies würde allerdings zu einer Überschätzung der Ausfallswahrscheinlichkeit führen. KMV hat empirisch ermittelt, dass die Ausfallsbarriere (default point) dann erreicht wird, wenn der Firmenwert zwischen den gesamten Verbindlichkeiten und den kurzfristigen Verbindlichkeiten liegt. Nach der Berechnung der Ausfallsschwellen für alle Schuldner werden die Unternehmen mit der annähernd gleichen Differenz zwischen aktuellem Firmenwert und Ausfallsbarriere (DD distance do default) in einer Klasse zusammengefasst, und das Modell wird so kalibriert, dass die Ausfallswahrscheinlichkeit mit der empirisch beobachteten Ausfallswahrscheinlichkeit übereinstimmt. 24 Vgl. Crouhy,Galai, Mark: S Vgl. Merton, Firmenwert folgt einem stochastischen Prozess; der Name Brownsche Bewegung kommt vom Botaniker Brown, der die zufällige Bewegung von Teilchen auf der Wasseroberfläche aufgrund von Molekularbewegungen entdeckte 15

16 5. CreditPortfolioView Das Modell CreditPortfolioView 27 von McKinsey ist ein Multi-Faktor-Modell 28, das die Ausfallswahrscheinlichkeit aufgrund von makroökonomischen Variablen ermittelt. Diese makro-ökonomischen Inputs können das BIP-Wachstum, die Höhe der langfristigen Zinsen, Wechselkurse, Sparquote usw. sein. Dieses Modell basiert auf der Tatsache, dass bei einem wirtschaftlichen Abschwung die Ausfallswahrscheinlichkeit steigt und vice versa. Dieser Zusammenhang wird mit Hilfe der Logit-Funktion 29 modelliert: P 1 = 1+ e j, t Y j, t P j, t ist die bedingte Ausfallswahrscheinlichkeit in der Periode t im Land/in der Industrie j und kann Werte zwischen 0 (kein Ausfallsrisiko) und 1 (sicherer Ausfall) annehmen. Die Wirtschaftslage wird mit Hilfe eines multi-faktoriellen Modells dargestellt: Y j, t = β j,0 + β j,1 X j,1, t + β j,2 X j,2, t β j, m X j, m, t + v j, t mit Y j, t...wirtschaftslage Land/Industrie j zur Periode t X j 1, t, = ( j 1 t X,,, X j 2, t X,,,..., j, m t )...makroökonomische Variablen β = β, β,..., β )...geschätzte Koeffizienten j ( j, 0 j,1 j, m v j, t... i.i.d Störterm 30 CreditPortfolioView schätzt die konjunkturelle Lage endogen mit einer multiplen Regression, während bei CreditRisk+ die Wirtschaftslage eine exogene stochastische Größe ist. 27 Vgl. Crouhy,Galai, Mark: S Ein Multi-Faktor-Modell ist ein Regressionsmodell, das aus mehreren erklärenden Variablen (Faktoren besteht) 29 Bei der Logit-Funktion liegt die Zielvariable zwischen 0 und 1 30 unabhängig und identisch verteilter Störterm 16

17 6. Vergleichsanalyse von CreditMetrics und CreditRisk+ In diesem Abschnitt werden die beiden Modelle CreditMetrics und CreditRisk+ an Hand eines hypothetischen Kreditportfolios verglichen. Damit ein aussagekräftiger Vergleich möglich ist, werden folgende Annahmen getroffen: - Analog zur CreditRisk+ wird bei CreditMetrics nur zwischen Ausfall und Nicht- Ausfall unterschieden (keine Ratingänderungen) - es wird eine konstante Wiedergewinnungsrate angenommen Beide Modelle messen zwar dasselbe Risiko (Kreditrisiko), wobei sie allerdings verschiedene Restriktionen und Verteilungsannahmen verwenden. Trotzdem ist es möglich, die Parameter beider Modelle so zu kalibrieren, dass die Abweichungen in den Ergebnissen minimiert werden. Zu diesem Zweck werden die Renditekorrelationen (CreditMetrics) und die Volatilität der durchschnittlichen Ausfälle pro Jahr in einem Sektor (CreditRisk+) so gewählt, dass in beiden Modellen die selbe Ausfallskorrelation r besteht. 31 Berechnung Ausfallskorrelation in CreditMetrics: Die Korrelation zweier Zufallsvariablen X und Y beträgt: r = Cov( X, Y ) Var( X ) Var( Y ) = E( X, Y ) E( X ) E( Y ) Var( X ) Var( Y ) Die beiden Zufallsvariablen X und Y sind binomialverteilt, d.h. sie können nur die Werte 1 (Ausfall) mit der Wahrscheinlichkeit p und 0 (kein Ausfall) mit der Wahrscheinlichkeit 1 - p annehmen. Die Mittelwerte und Varianzen binomialverteilter Zufallsvariablen bei gleicher Ausfallswahrscheinlichkeit p werden berechnet: Mittelwert: E ( X ) = E( Y ) = p Varianz: Var( X ) = Var( Y ) = p(1 p) 31 Siehe Wahrenburg, Niethen 17

18 E( X, Y ) ist die Wahrscheinlichkeit, dass X und Y den Wert 1 (gemeinsame Ausfallswahrscheinlichkeit) annehmen: E ( X, Y ) = P( X = 1, Y = 1) = PD XY Durch Einsetzen in die Korrelationsformel ergibt sich: r = PDXY p p(1 p) 2 Die gemeinsame Ausfallswahrscheinlichkeit in CreditMetrics wird durch die Renditekorrelationen bestimmt, d.h. je höher die Renditekorrelation ist, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit von gemeinsamen Ausfällen. Die gemeinsame Ausfallswahrscheinlichkeit wird durch die bivariate Normalverteilungsfunktion 32 beschrieben: 1 1 Φ ( p ) Φ ( py ) X PDXY = Φ( Φ ( p X ), Φ ( py ), ρ XY ) = 2 2π 1 ρ XY exp x 2 2ρ 2(1 xy + XY 2 ρ XY ) y 2 dxdy mit p x, p y ρ xy Φ() Φ -1 () Ausfallswahrscheinlichkeit Unternehmen X,Y Renditekorrelationen Unternehmen X,Y Wahrscheinlichkeit einer standardnormalverteilten Zufallsvariable Quantile der Standardnormalverteilung 32 Die bivariate Normalverteilungsfunktion beschreibt die gemeinsame Dichtefunktion zweier normalverteilter Zufallsvariablen 18

19 Abb. 2: Bivariate Normalverteilungsfunktion beide Kredite fallen aus: je größer die Renditekorrelation ist, umso mehr Wahrscheinlichkeitsmasse befindet sich über dieser Fläche Berechnung Ausfallskorrelation in CreditRisk+: Da sich alle Kreditnehmer im gleichen Sektor mit der gleichen Ausfallswahrscheinlichkeit befinden, wird die Ausfallskorrelation in CreditRisk+ berechnet: 33 r = σ p p 2 σ = r p mit p Ausfallswahrscheinlichkeit σ Volatilität der gammaverteilten durchschnittlichen Ausfallsrate Es ist also möglich, den Parameter Renditekorrelation ρ x,y in CreditMetrics und den Parameter Volatilität σ der Ausfallsrate in CreditRisk+ so zu kalibrieren, dass in beiden Modellen dieselbe Ausfallskorrelation r berechnet wird. Ein Problem ist die Wahl des richtigen Zeitraums für die Schätzung der Renditekorrelation bzw. Volatilität. Da sich die Parameter ständig ändern, ist die Bestimmung der historischen 33 Vgl. Technisches Dokument, Seite 57 19

20 Zeitreihe von entscheidender Bedeutung. Die statistische Theorie besagt nur, dass im Schnitt die Schätzung bei einem längeren Beobachtungsintervall besser wird. Es gibt allerdings keine Regel für die Bestimmung des richtigen Zeitraums. Ebenfalls ist zu berücksichtigen, dass bereits eine kleine Änderung der Inputparameter einen signifikanten Einfluss auf das Ergebnis hat. Die Analyse der unterschiedlichen Modellergebnisse muss auf der Ebene der Subportfolios stattfinden: Das Modell CreditMetrics ist für ein Kreditportfolio mit einem hohen Anteil börsennotierter Unternehmen geeignet, während CreditRisk+ für ein Privatkundenportfolio interessant ist. Für den Modellvergleich wird ein hypothetisches Kreditportfolio mit homogenen Krediten verwendet, d.h. alle Kredite haben eine identische Ausfallswahrscheinlichkeit von 2,28% und alle Kreditnehmer befinden sich im selben Sektor. Mit den o.a. Parametern und einer Renditekorrelation von 0,5 ergibt sich eine gemeinsame Ausfallswahrscheinlichkeit von zwei Unternehmern in CreditMetrics von: PD XY = Φ( Φ 1 (0,0228); Φ 1 (0,0228); 0,5) 0,00405 Daraus ergibt sich die Ausfallskorrelation mit: r = 2 0, ,0228 = 0,1652 0,0228 (1 0,0228) Damit die Ausfallskorrelation r in beiden Modellen identisch ist, errechnet sich die Volatilität der Ausfallsraten in CreditRisk+ als: σ = 0,1652 0,0228 = 0,

21 Somit ergeben sich die Parameter α und β der gammaverteilten Ausfallsraten für 100 Kreditnehmer 34 : mit µ σ = α β = 2,28 2 = α β = 37,69 α = 0,138 β = 16, 518 µ σ = µ 100 = 2,28 2 = σ = 37,69 Die Tabelle 5 zeigt die Auswirkungen der Renditekorrelation in CreditMetrics auf die gemeinsame Ausfallswahrscheinlichkeit und Ausfallskorrelation. Die letzte Spalte zeigt die Volatilität der Ausfallsrate in CreditRisk+, damit in beiden Modellen die Ausfallskorrelation identisch ist. Renditekorrelation Gemeinsame Ausfallswahrscheinlichkeit Ausfallskorrelation Volatilität der Ausfallsrate 0,1 0,0008 0,0126 0,0169 0,5 0,0042 0,1652 0,0614 0,8 0,0101 0,43 0,099 Tabelle 5: Analyse der Parameter abhängig von der Renditekorrelation in CreditMetrics In der folgenden Tabelle werden die Ergebnisse der beiden Modelle gegenübergestellt, wobei CreditMetrics mit einer Renditekorrelation von 0,5 und CreditRisk+ mit einer Ausfallsvolatilität von 0,0615 rechnen, d.h. bei beiden Modellen wird eine Ausfallskorrelation von 0,1652 impliziert. Es wird die Anzahl der Ausfälle zu einem Konfidenzniveau von 99% berechnet, d.h. mit 99%iger Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der Ausfälle nicht größer als der ermittelte Wert. 34 Siehe CreditRisk+ Technical Document, S

22 Anzahl Kredite im Portfolio Anzahl Ausfälle CreditRisk Tabelle 6: Vergleich der Ergebnisse CreditRisk+ und CreditMetrics Anzahl Ausfälle CreditMetrics Man kann deutlich sehen, dass die beiden Modelle beinahe identische Ergebnisse liefern. Ein Teil der Differenzen kann auf die statistischen Abweichungen der Monte- Carlo Simulationen zurückgeführt werden. In der Tabelle 7 werden die Auswirkungen der Renditekorrelationen in CreditMetrics bzw. der Volatilität der Ausfallsraten in CreditRisk+ auf den CVaR des Kreditportfolios mit 100 Krediten bei einer Ausfallswahrscheinlichkeit von 2,28% gezeigt: Renditekorrelation Anzahl Ausfälle CreditMetrics Volatilität der Ausfallsrate Tabelle 7: Anzahl Ausfälle abhängig von der Renditekorrelation Anzahl Ausfälle CreditRisk+ 0,1 13 0, ,5 33 0, ,8 52 0, Abschließend kann festgestellt werden, dass die Parameter der beiden Modelle so kalibriert werden können, dass sie beinahe identische Resultate erzeugen, obwohl zwei verschiedene mathematische Ansätze verwendet werden. Die richtige Schätzung der Inputparameter ist von entscheidender Bedeutung für die Berechnung der CVaR-Werte. 22

23 7. Literatur Bluhm, C., Overbeck, L., Wagner, C. (2002): An Introduction to Credit Risk Modeling, Chapman&Hall/CRC Cech, C. (2004): Die IRB-Formel Zur Berechnung der Mindesteigenmittel für Kreditrisiko; FH des BFI Wien CreditMetrics Technical Document (1997), J.P. Morgan. Download: CreditPortfolioView - Approach Document and User s Manual (1998), McKinsey CreditRisk + - Technical Document (1997), Credit Suisse Financial Products. Download: Crouhy, M., Galai, D., Mark, R. (2000) : A comparative analysis of current credit risk models. In: Journal of Banking & Finance, Vol.24: S Crouhy, M., Galai, D., Mark, R. (2001) : Risk Management, McGraw-Hill Duffie, D., Singleton K.J. (2003): Credit Risk, Princeton Series in Finance Finger, C.C. (1999): Conditional Approaches for CreditMetrics Portfolio Distributions, in: CreditMetrics Monitor: S Fisz, M. (1980): Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin Gordy, M.B. (1998): A Comparative Anatomy of Credit Risk Models, in: Journal of Banking and Finance, Vol. 24, S Gordy, M.B. ( ): Credit Risk Modeling (Technical Papers ), Risk Books Merton, R. (1974): On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, in: The Journal of Finance, Vol. 29, S Rau-Bredow, H. (2002): Kreditrisikomodelle und Diversifikation; Universität Würzburg Schwaiger, W., Vernydub, A.: Vergleich von Kreditrisikomodellen anhand des ATX- Portfolios; Technische Universität Wien Wahrenburg, M., Niethen, S. (2000): Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle. In: Kredit und Kapital Heft 2: S

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