Expertenpuzzle Quadratische Funktionen

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1 Phase 1 Lösung für die Expertengruppe I Im Folgenden sollen die in IR definierten Funktionen a : x x, b : x x 0,5, c : x x und d: x x 3 untersucht werden. Die Abbildung zeigt den Graphen G a von a, also die Normalparabel. 1 Zeichnet die Graphen der Funktionen b, c und d x a x b x x 0,5 4,5 1,5 0,5 1,5 4,5 c x x d x x Sicher könnt ihr jetzt ohne Verwendung einer Zeichnung den Graphen der in IR definierten Funktion e : x x 8 beschreiben. Ergänzt dazu sinnvoll die folgende Aussage Der Graph von e hat die gleiche Form wie die Normalparabel. Er ist gegenüber dem Graphen der Funktion a um 8 nach _oben_ verschoben. Das ist auch ganz logisch, denn wenn man einen Funktionswert von e berechnet, muss man zu dem Wert, der sich aus a x x ergibt, 8 addieren. Der Scheitel der Parabel zur Funktion e hat die Koordinaten ( 0 8 ). 3 Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass die Graphen von b, c und d die x-achse nicht schneiden; die drei Funktionen haben also keine Nullstellen. Gebt in der Tabelle zu b, c und d jeweils die Gleichung an, mit deren Hilfe man die Nullstellen berechnen könnte. Zeigt anschließend jeweils rechnerisch, dass die Funktionen keine Nullstellen haben. Nullstellen von b Nullstellen von c Nullstellen von d x 0,5 0 x 0,5 quadriert 0,5 ergibt. x 0 x quadriert ergibt. x 3 0 x 3 quadriert 3 ergibt.

2 Phase 1 Lösung für die Expertengruppe II Im Folgenden sollen die in IR definierten Funktionen h : x x, i : x x 0,5, j : x x 1 und k : x x 3 untersucht werden. Die Abbildung zeigt den Graphen G h von h, also die Normalparabel. 1 Zeichnet die Graphen der Funktionen i, j und k x h x i x x 0,5 3,5 0,5 0,5 0,5 3,5 j x x k x x Sicher könnt ihr jetzt ohne Verwendung einer Zeichnung den Graphen der in IR definierten Funktion m: x x 7 beschreiben. Ergänzt dazu sinnvoll die folgende Aussage Der Graph von m hat die gleiche Form wie die Normalparabel. Er ist gegenüber dem Graphen der Funktion h um 7 nach _ unten _ verschoben. Das ist auch ganz logisch, denn wenn man einen Funktionswert von m berechnet, muss man von dem Wert, der sich aus h x x ergibt, 7 subtrahieren. Der Scheitel der Parabel zur Funktion m hat die Koordinaten ( 0 7). 3 Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass die Graphen von i, j und k die x-achse jeweils genau zweimal schneiden; die drei Funktionen haben also jeweils genau zwei Nullstellen. Gebt in der Tabelle zu i, j und k jeweils die Gleichung an, mit deren Hilfe man die Nullstellen berechnen kann. Bestimmt anschließend jeweils rechnerisch die Nullstellen von i, j und k; vergleicht eure Ergebnisse mit der Abbildung. Nullstellen von i Nullstellen von j Nullstellen von k x 0,5 0 1 x x oder x x 1 0 x 1 x 1 oder x 1 x 3 0 x 3 x 3 oder x 3

3 Phase 1 Lösung für die Expertengruppe III n : x x, Im Folgenden sollen die in IR definierten Funktionen o : x x 1, p : x x und q: x x 3 untersucht werden. Die Abbildung zeigt den Graphen G von n, also die Normalparabel. n 1 Zeichnet die Graphen der Funktionen o, p und q x n x o x x p x x q x x Sicher könnt ihr jetzt ohne Verwendung einer Zeichnung den Graphen der in IR definierten Funktion r : x x 4,5 beschreiben. Ergänzt dazu sinnvoll die folgende Aussage Der Graph von r hat die gleiche Form wie die Normalparabel. Er ist gegenüber dem Graphen der Funktion n um 4,5 nach rechts verschoben. Das kann man so erklären: Alle Funktionswerte von r erhält man durch Quadrieren. Die kleinste Zahl, die beim Quadrieren einer Zahl entstehen kann, ist die Zahl 0. Bei n x x ergibt sich diese kleinste Zahl, wenn man für x die Zahl 0 in die Funktionsgleichung einsetzt. Bei r x x 4,5 ergibt sich die kleinste Zahl, wenn man für x die Zahl 4,5 einsetzt. Zu diesem x-wert gehört auch der tiefste Punkt, also der Scheitel der Parabel. 3 Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass die Graphen von o, p und q die x-achse jeweils in genau einem Punkt berühren; die drei Funktionen haben also jeweils genau eine Nullstelle. Gebt in der Tabelle zu o, p und q jeweils die Gleichung an, mit deren Hilfe man die Nullstelle berechnen kann. Bestimmt anschließend jeweils rechnerisch die Nullstellen von o, p und q; vergleicht eure Ergebnisse mit der Abbildung. Nullstellen von o Nullstellen von p Nullstellen von q x 1 0 x 1 0 x 1 x 0 x 0 x x 3 0 x 3 0 x 3

4 Phase 1 Lösung für die Expertengruppe IV s : x x, Im Folgenden sollen die in IR definierten Funktionen t : x x 1, u : x x und v : x x 3 untersucht werden. Die Abbildung zeigt den Graphen G von s, also die Normalparabel. s 1 Zeichnet die Graphen der Funktionen t, u und v x s x t x x u x x v x x Sicher könnt ihr jetzt ohne Verwendung einer Zeichnung den Graphen der in IR definierten Funktion w : x x 3,5 beschreiben. Ergänzt dazu sinnvoll die folgende Aussage Der Graph von w hat die gleiche Form wie die Normalparabel. Er ist gegenüber dem Graphen der Funktion s um 3,5 nach _ links _ verschoben. Das kann man so erklären: Alle Funktionswerte von w erhält man durch Quadrieren. Die kleinste Zahl, die beim Quadrieren einer Zahl entstehen kann, ist die Zahl 0. Bei s x x ergibt sich diese kleinste Zahl, wenn man für x die Zahl 0 in die Funktionsgleichung einsetzt. Bei w x x 3,5 ergibt sich die kleinste Zahl, wenn man für x die Zahl 3,5 einsetzt. Zu diesem x-wert gehört auch der tiefste Punkt, also der Scheitel der Parabel. 3 Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass die Graphen von t, u und v die x-achse jeweils in genau einem Punkt berühren; die drei Funktionen haben also jeweils genau eine Nullstelle. Gebt in der Tabelle zu t, u und v jeweils die Gleichung an, mit deren Hilfe man die Nullstellen berechnen kann. Bestimmt anschließend jeweils rechnerisch die Nullstellen von t, u und v; vergleicht eure Ergebnisse mit der Abbildung. Nullstellen von t Nullstellen von u Nullstellen von v x 1 0 x 1 0 x 1 x 0 x 0 x x 3 0 x 3 0 x 3

5 Phase 1 Lösung für die Gemischten Gruppen 1 Betrachtet werden die in IR definierten Funktionen f 1, f, f 3 und f 4 mit: f1 x x f x x 1,5 f 3 x x 4 f 4 x x,5 Für jede dieser Funktionen ist ein Mitglied eurer Gruppe Experte. Dieser Experte soll jeweils beschreiben, was man dem Funktionsterm über Form und Lage der zugehörigen Parabel entnehmen kann, und diesen Zusammenhang begründen. Der Experte soll seine Ausführungen durch eine Zeichnung im nebenstehenden Koordinatensystem unterstützen. Die anderen Gruppenmitglieder hören und sehen dabei jeweils aufmerksam zu, ohne selbst etwas zu zeichnen. Bei den folgenden in IR definierten Funktionen sind jeweils mehrere Experten nötig, um Form und Lage der zugehörigen Parabel zu bestimmen. Zeichnet die Graphen der vier Funktionen mit unterschiedlichen Farben in das nebenstehende Koordinatensystem ein. Eine Wertetabelle soll dazu nicht erstellt werden; stützt euch auf euer Expertenwissen. 1 g : x x g : x x 1,5 g : x x 1,5 1 g : x x,5 4 3 Haltet in der Tabelle für die in IR definierte Funktion h : x x a b mit a,b IR die Bedeutung der Koeffizienten a und b für Form und Lage des Graphen von h fest. Bedeutung von a Bedeutung von b Koordinaten des Scheitels a positive x-richtung a negative x-richtung b positive y-richtung b negative y-richtung ( a b ) Ergänzt sinnvoll: Die Anzahl der Nullstellen von h hängt nur vom Koeffizienten b ab. Der Graph von h hat für b > 0 keine Nullstelle, für b = 0 genau eine Nullstelle und für b < 0 genau zwei Nullstellen. g x 0 x x 3 1 x 3 1 Für schnelle Gruppen: 1 x 3 1 x 4 oder x

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