Geometrie Begriffe und Formeln

Transkript

1 Geometrie Begriffe und Formeln Geometrie setzt sich aus den beiden griechischen Wörtern geo (Erde) und metrein (messen) zusammen, bedeutet ursprünglich Erdvermessen. Alle Gegenstände unseres Universums sind dreidimensionale Körper. Körper werden durch Flächen begrenzt; Flächen stoßen in Kanten aufeinander, welche durch gerade oder gekrümmte Linien gebildet werden; Kanten laufen in Ecken (= Punkte) zusammen. Grundbegriffe Ebene Geometrie Grundbegriffe der ebenen Geometrie sind ein Punkt, eine Gerade und eine Ebene. Diese Begriffe Punkt, Gerade und Ebene werden nicht definiert, es werden grundlegende Sätze (Axiome) angegeben, die diese Begriffe zueinander in Beziehung setzen. Strahl (oder auch Halbgerade): Ein Strahl ist ein einseitig begrenztes Geradenstück, er besitzt einen Anfangspunkt P. als Abszisse (vom lateinischen Wort abscisus = abgebrochen) bzw. als. Koordinatenachse bezeichnet. Die senkrecht liegende Gerade wird als y-achse oder auch als Ordinate (vom lateinischen Wort ordinatus = geordnet) bzw. als. Koordinatenachse bezeichnet. Strecke: Eine Strecke ist ein zweiseitig begrenztes Geradenstück, sie hat zwei Endpunkte. AB bezeichnet die Strecke mit den Endpunkten A und B, bezeichnet ihre Länge. Parallele Geraden: Zwei Geraden g und h heißen parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben oder zusammenfallen. Man schreibt g h. Flächeninhalt: Der Flächeninhalt A ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Der Flächeninhalt A wird oft Fläche A genannt. Das Formelzeichen A leitet sich vom Lateinischen "area" ab und bedeutet Grundfläche. Die Einheiten einer Fläche sind z.b. m², cm², mm² etc. Quadratzentimeter ist der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge cm. Quadratdezimeter ist der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge dm. Quadratmeter ist der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge m. Usw Rechtwinkeliges (kartesisches) Koordinatensystem: Ein rechtwinkliges Koordinatensystem besteht aus zwei Geraden, die aufeinander normal stehen. Die horizontal liegende Gerade wird als x-achse oder auch Winkel: Zwei Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt S bestimmen einen Winkel. Die beiden Strahlen heißen Schenkel, S heißt Scheitel des Winkels. Bezeichnung: CAB oder durch griechische Kleinbuchstaben: α, β, γ... Winkelpaare: Es gilt: Nebenwinkel betragen zusammen 80. Scheitelwinkel sind gleich groß. Parallelwinkel: Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind, nennt man Parallel- MMag. Martina Greiler-Zauchner

2 winkel. Drehung Normalwinkel: Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander normal stehen heißen Normalwinkel. Punktspiegelung (Drehwinkel = 80 ) Parallelverschiebung oder Translation Es gilt: Parallelwinkel und Normalwinkel sind gleich groß oder supplementär. Komplementärwinkel betragen zusammen 90. Supplementärwinkel betragen zusammen 80. Kongruenzabbildung: Unter einer Kongruenzabbildung versteht man eine geometrische Abbildung, bei der Form und Größe von beliebigen geometrischen Figuren nicht verändert werden, das heißt jede Figur wird dabei auf eine zu ihr kongruente (=deckungsgleich) abgebildet. Es gibt folgende Kongruenzabbildungen: Achsenspiegelung Schubspiegelung: Schubspiegelungen setzen sich aus einer Verschiebung und einer Achsenspiegelung zusammen. Die Reihenfolge ist dabei egal. Symmetrie Eine ebene Figur heißt symmetrisch, wenn es eine nichtidentische Kongruenzabbildung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn es eine Achsenspiegelung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Die Gerade heißt Symmetrieachse oder Spiegelungsachse. MMag. Martina Greiler-Zauchner

3 Eine Figur heißt punktsymmetrisch oder zentralsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung an einem Punkt Z gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Das Dreieck Allgemeines Dreieck Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn es eine Drehung um einen Punkt Z mit einem Drehwinkel α 60 gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Bezeichnungen: A, B, C Eckpunkte a, b, c Seiten α, β, γ Innenwinkel α, β, γ Außenwinkel Eine Figur heißt verschiebungssymmetrisch, wenn es eine Verschiebung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Eine Figur heißt schubspiegelsymmetrisch, wenn es eine Schubspiegelung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Für jedes Dreieck gilt: Dreiecksungleichungen: Die Summe zweier Seiten ist immer größer als die dritte: a + b > c b + c > a a + c > b Winkelsummensatz: Die Summe der Innenwinkel beträgt Die Summe der Außenwinkel beträgt Formeln für den Flächeninhalt: a ha b hb c hc A a b c A 4r A s s a s b s c (Formel von Heron) A s ab bc ac A sin sin sin MMag. Martina Greiler-Zauchner

4 Einteilung von Dreiecken Nach der Seitenlänge: ungleichseitig a b c α β γ rechtwinkelig γ =90 a,b Katheten c Hypotenuse p,q Hypotenusenabschnitte γ=90 α<90 β<90 gleichschenkelig a,b Schenkel c Basis a=b c α=β γ rechtwinkelig-gleichschenkelig a=b c γ=90 α=β=45 stumpfwinkelig 90 <γ<80 α<90 β<90 gleichseitig a=b=c α=β=γ=60 Besondere Linien und Punkte im Dreieck: Höhen, Höhenschnittpunkt Nach den vorkommenden Winkeln: spitzwinkelig α<90 β<90 γ<90 h a Höhe auf die Seite a, h a a h b Höhe auf die Seite b, h b b h c Höhe auf die Seite c, h c c MMag. Martina Greiler-Zauchner 4

5 F a, F b, F c Höhenfußpunkte H Höhenschnittpunkt = Schnittpunkt der Höhen Er liegt beim spitzwinkeligen Dreieck innerhalb, beim stumpfwinkeligen Dreieck außerhalb der Dreiecksfläche. Beim rechtwinkeligen Dreieck ist er der Scheitel des rechten Winkels. Seitensymmetralen, Umkreismittelpunkt, Umkreisradius M a, M b, M c Mittelpunkte der Seiten a, b, c S Schwerpunkt = Schnittpunkt der Schwerlinien Er liegt stets innerhalb des Dreieckes und teilt jede Schwerlinie innen im Verhältnis : (z.b.: AS : SMa = :) Winkelsymmetralen, Inkreismittelpunkt, Inkreisradius m a Seitensymmetrale der Seite a m b Seitensymmetrale der Seite b m c Seitensymmetrale der Seite c M a, M b, M c Mittelpunkte der Seiten a, b, c U Umkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Seitensymmetralen Er liegt beim spitzwinkeligen Dreieck innerhalb, beim stumpfwinkeligen Dreieck außerhalb der Dreiecksfläche. Beim rechtwinkeligen Dreieck ist er der Mittelpunkt der Hypotenuse. r= AU = BU = CU = Umkreisradius (A=Flächeninhalt des Dreiecks) Schwerlinien, Schwerpunkt s a, s b, s c Schwerlinien Jede Schwerlinie teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Teile. w α Winkelsymmetrale des Winkels α w β Winkelsymmetrale des Winkels β w γ Winkelsymmetrale des Winkels γ D, E, F Berührungspunkte des Inkreises mit den Seiten des Dreiecks: a=y+z, b=x+z, c=x+y I Inkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Winkelsymmetralen Er liegt stets innerhalb des Dreiecks ρ= DI = EI = FI = Inkreisradius (, A = Dreiecksfläche) Kongruenz Vielecke, die nicht nur in der Form, sondern auch in der Größe übereinstimmen, heißen kongruent (=deckungsgleich). Kongruenzsätze Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in einer Seite und zwei Winkeln oder in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel o- der in den drei Seiten. MMag. Martina Greiler-Zauchner 5

6 Ähnliche Vielecke Vielecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis entsprechender Seiten oder in den entsprechenden Winkeln übereinstimmen. Symbol: (~) Ähnlichkeitssätze Zwei Dreiecke ΔABC und ΔDEF (ΔABC ΔDEF) sind ähnlich, wenn sie übereinstimmen in zwei Winkeln oder im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite oder im Verhältnis der drei Seiten. Ähnliche Dreiecke werden durch entsprechende Höhen oder Winkelhalbierenden oder Seitenhalbierenden in ähnliche Dreiecke zerlegt. In ähnlichen Dreiecken verhalten sich entsprechende Höhen, Winkelhalbierenden und Seitenhalbierenden wie ein Paar entsprechender Seiten. Die Umfänge ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie ein Paar entsprechender Strecken (Seiten, Höhen, Seitenhalbierenden usw.): u : u a : a b : b c : c k (Ähnlichkeitsverhältnis, Linearvergrößerung) Die Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate zweier entsprechender Strecken (Seiten, Höhen, Seitenhalbierenden usw.). : A a : a b : b c : c k (k A siehe oben!) Ähnlichkeitslage Ähnliche Vielecke sind in Ähnlichkeitslage, wenn entsprechende Seiten parallel sind und entsprechende Punkte auf Strahlen eines Strahlenbüschels liegen. Der Scheitel S des Strahlenbüschels heißt Ähnlichkeitspunkt. Strahlensätze. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines Strahlenbüschels von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf einem Strahl wie die gleichliegenden Abschnitte auf jedem anderen Strahl. SA : SA MMag. Martina Greiler-Zauchner 6 SA : A A : SA : A SB : SB SC : SC A : SB : SC SB : B B : B B SC : C C : C C. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines Strahlenbüschels von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die entsprechenden Scheitelstrecken auf irgendeinem Strahl. A B : A B BC : BC usw. : A B : B C SA : SA SC : SC : SA : SC Sätze über das rechtwinkelige Dreieck Rechtwinkliges Dreieck: rechtwinkelig γ =90 a,b Katheten c Hypotenuse p,q Hypotenusenabschnitte γ=90 α<90 β<90 c hc a b A Pythagoräischer Lehrsatz Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der beiden Quadrate über den Katheten: c a b Auch die Schreibweise Pythagoreischer Lehrsatz ist richtig.

7 Der Kathetensatz (Euklid) Das Quadrat über der Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist flächengleich dem Rechteck, gebildet aus Hypotenuse und anliegendem Hypotenusenabschnitt: a c p b c q Der Höhensatz (Euklid) Das Quadrat über der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist flächengleich dem Rechteck, gebildet aus den beiden Hypotenusenabschnitten: h p q Pythagoräische Zahlentripel: a pq b p c p q q wobei p > q p q a b c Man erhält weitere pythagoräische Zahlentripel, wenn man die in obiger Tabelle zusammengehörenden Werte a, b, c durch a, b, c ersetzt. Das gleichseitige Dreieck: a h a A 4 Satz von Thales Sei k ein Halbkreis über der Strecke AB. Liegt der Eckpunkt C eines Dreiecks ABC auf k, so hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel. Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks γ =90 c = AB Hypotenuse a = BC Gegenkathete zu b = AC Ankathete zu = 90 Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Gegenkathete zu sin Hypotenuse cos Ankathete zu Hypotenuse sin Gegenkathete zu tan cos Ankathete zu cos Ankathete zu cot tan sin Gegenkathete zu Besondere Funktionswerte: = sin 0 cos tan 0 cot 0 0 Das Viereck Bei jedem Viereck ist die Summe der Innenwinkel gleich 60. Das Parallelogramm MMag. Martina Greiler-Zauchner 7

8 Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht, halbieren einander und halbieren auch die Rhombuswinkel. Das Sehnenviereck A = a ha = b hb (Grundlinie mal zugehörige Höhe) + = + = + = + = 80 Die Diagonalen halbieren einander. Das Rechteck A = a b d = a b Die Diagonalen halbieren einander. Das Quadrat A = a² d = a Die Diagonalen halbieren einander und stehen aufeinander normal. Das Trapez A s a s b s c s d u a b c d wobei s. Das Tangentenviereck a + c = b + d A = s Das Deltoid (Drachenviereck) a c A h m h Der Rhombus (= die Raute) e f A MMag. Martina Greiler-Zauchner 8

9 e f A Vieleck (Polygon) Die Winkelsumme beträgt (n-) 80, wenn n die Eckenanzahl des konvexen Vielecks ist. Regelmäßige Vielecke Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle seine Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. Jedem regelmäßigen Vieleck kann ein Umkreis und ein Inkreis eingeschrieben werden. Der Satz vom Sehnentangentenwinkel Der Sehnentangentenwinkel ist halb so groß wie der Zentriwinkel über demselben Bogen, folglich gleich dem Peripheriewinkel über demselben Bogen. Kreiszahl π =,4597 beschreibt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Kreisumfang: u = r Kreisbogen: r b für in Altgrad 80 b r für im Bogenmaß Kreisfläche: A r Kreisausschnitt (Kreissektor): Der Kreis und Kreisteile Kreis: Ein Kreis ist definiert durch die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M (=Mittelpunkt) den gleichen Abstand r (=Radius) haben. Sehne s: Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte Durchmesser d: Jede Sehne durch den Kreismittelpunkt: d=r Kreistangente: Steht normal auf den Kreisradius im Tangentenberührpunkt Der Satz vom Zentri- und Peripheriewinkel: Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie jeder beliebige Peripheriewinkel über demselben Bogen (über derselben Sehne). r A für in Altgrad 60 r A für im Bogenmaß A b r Kreisabschnitt (Kreissegment): A = A Kreissektor A AMB MMag. Martina Greiler-Zauchner 9

10 b r s A Kreisring: r h A R r Bogenmaß: 80 = π (rad) rad = 57, Umrechnungsfaktoren vom Gradmaß ins Bogenmaß und umgekehrt: 80 bzw. 80 MMag. Martina Greiler-Zauchner 0