Mehrdimensionale Numerische Integration mittels hierarchischer Basen
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- Lieselotte Schuster
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1 Mehrdimensionale Numerische Integration mittels hierarchischer Basen JobSis October 004 Darko Zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen
2 WAS? Hierarchische Basen Dünne Gitter darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004
3 WARUM? Zusammenhang mit der Lösung partieller Differentialgleichungen Probleme, bei den die Auswertung zwischen gegebenen Stützstellen gefragt ist Lösung partieller Differentialgleichungen Quadratur / Numerische Integration Schwierigkeit: Fluch der Dimension Interpolation Hierarchische Basen und Dünne Gitter darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 3
4 Probleme mit Auswertungen zwischen den Stützstellen Interpolation Numerische Integration Lösungen von partiellen Differentialgleichungen darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 4
5 WIE? Mehrdimensionale Quadratur nach Archimedes führt auf Hierarchische Basen und Dünne Gitter Lösung partieller Differentialgleichungen Quadratur / Numerische Integration Interpolation Hierarchische Basen und Dünne Gitter darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 5
6 Überblick 1D Quadratur nach Archimedes mehrdimensionale Quadratur nach Archimedes 1D Hierarchische Basen mehrdimeansionale Hierarchische Basen Konstruktion Dünne Gitter Eigenschaften Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 6
7 Zur Erinnerung: Einfache Numerische Integration darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 7
8 Numerische Quadratur nach Archimedes [1D] Schritt 1: Fläche = Unterbau + Dach Schritt : rekursive Dachberechnung darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 8
9 Numerische Quadratur nach Archimedes [1D] Prinzip: Fläche = Unterbau + Dach f ( a) f ( b) F1 ( f ( x), a, b) ( b a) S1 ( f ( x), a, b) Unterbau läßt sich direkt berechnen Dach wird rekursiv berechnet darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 9
10 Rekursive Dachberechnung darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
11 Nebenbemerkung: Dreieck = Dreieck h g h A = gh = h g h darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
12 Rekursive Dachberechnung Hierarchische Überschüsse darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 1
13 darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October nummerische integration mittles hierarchischer basen Numerische Quadratur nach Archimedes [1D] rekursive Dachberechnung: ), ), ( ( ), ), ( ( ), ), ( ( b b a x f S b a a x f S D b a x f S ) ( 1 a b b a f D Dreiecksfläche: Rekursive Berechnung des linken und rechten Restes
14 Der Algorithmus fläche (f(x),a,b,eps){ // F1 unterbau = (a-b)*(f(a)+f(b))/; dach = archimedes_1d(f(x),a,b,eps); } return unterbau + dach; archimedes_1d(f(x),a,b,eps) { //S1 // berechne fläche des aktuellen dreiecks wert := (f((a+b)/) (f(a)+f(b))/)*(b-a)/; // falls genauigkeit ausreichend ist... if ( abs(wert) <= eps) return wert; } //...sonst gehe in nächste rekursionsstufe else return wert + archimedes_1d(f(x), a, (a+b)/, eps) + archimedes_1d(f(x), a+b)/, b, eps); darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
15 Aufrufstruktur Fläche_1D Unterbau_1D Dach_1D Dreieck_1D Ergebnis darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
16 Erste Erkenntnisse: Adaptivität Mit der Quadratur nach Archimedes wird automatisch eine Problemabhängige Wahl der Stützstellen vorgenommen darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
17 Weiterführendes Verschiedene Abbruchbedingungen beim Algorithmus sind möglich Anstatt stückweise linearer Funktionen ( Dreiecke ) können auch Polynome höheren Grades / andere Funktionen (auf verschiede Arten) verwendet werden Verbesserung der Genauigkeit durch Extrapolation möglich darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
18 Überblick 1D Quadratur nach Archimedes mehrdimensionale Quadratur nach Archimedes 1D Hierarchische Basen mehrdimeansionale Hierarchische Basen Konstruktion Dünne Gitter Eigenschaften Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
19 Was ist hier eigentlich anders...? Stützpunktbasis...Hierarchische Basen! darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
20 Stützpunktbasis und Hierarchische Basis darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 0
21 Stützpunktbasis alle Koeffizienten haben gleiche Größenordnung Funktionswerte direkt ablesbar vorhanden Knoten können bei Erweiterung i.a. nicht beibehalten werden darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 1
22 Hierarchische Basis Die Koeffizienten werden kleiner (Zusammenhang zur Fourieranalyse) Unterscheidung zwischen wichtiger und unwichtiger Information einzelne Funktionswerte müssen berechnet werden vorhandene Knoten können bei Erweiterung beibehalten werden darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004
23 Unterschiede zwischen den Basen Größe der Koeffizienten Zugriff auf einzelne Funktionswerte Erweitbarkeit darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 3
24 Stützpunktbasis und Hierarchische Basis im Vergleich (Im Kontext der Finite-Element-Methode) darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 4
25 Überblick 1D Quadratur nach Archimedes mehrdimensionale Quadratur nach Archimedes 1D Hierarchische Basen mehrdimeansionale Hierarchische Basen Konstruktion Dünne Gitter Eigenschaften Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 5
26 Numerische Quadratur nach Archimedes [D] Schritt 1: Volumen = Unterbau + Dach = T + S Schritt : Rekursive Dachberechnung Verwendung des Prinzips von Cavalieri Rückführung auf das 1D-Problem darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 6
27 Einschub: Das Prinzip von Cavalieri Integriere ein Volumen: Zerlege Volumen in dünne Scheiben berechne Fläche der Scheiben Summiere Flächen auf multipliziere mit Scheibendicke darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 7
28 darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October nummerische integration mittles hierarchischer basen 1. Fläche Unterbau. Fläche Unterbau Scheibendicke Numerische Quadratur nach Archimedes [D] Berechne Unterbau mit Cavalieri F1 (1D Archimedes) ), ),, ( ( ), ),, ( ( ),, ( a b b a b x f F b a a x f F b a x T
29 darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October nummerische integration mittles hierarchischer basen Numerische Quadratur nach Archimedes [D] Berechne Dach rekursiv mit Cavalieri F1 (1D Archimedes) ),,, ),, ( ( ),,, ),, ( ( ),, ), ( ), ( ), ( ( ),,, ),, ( ( b b a b a x x f S b a a b a x x f S a b b a b x f a x f b a x f F b a b a x x f S Rekursive Berechnung des linken und rechten Restes Berechnung des dreieckigen Dachteils mit F1
30 D Numerische Quadratur Integral_D Unterbau_D (T) Dach_D (S) Fläche_1D (F1) Fläche_1D (F1) Ergebnis darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
31 Mehrdimensionale Numerische Quadratur Die Dimension des Problems nimmt während der Rekursion ab Mehrdimensionale Probleme lassen sich über die gleiche rekursive Struktur lösen darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
32 Vergleich: D Trapezsummme und Archimedes Kategorie Trapezsumme Archimedes Fehler O ( h ) O ( h log h ) Stützstellen O ( h - ) O ( h -1 log h ) h = -n ist die Maschenweite, n ist die Tiefe der Rekursion Mit (wesentlich) weniger Stützstellen erreicht die Quadratur nach Archimedes fast die Genauigkeit der Trapezregel darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 3
33 Überblick 1D Quadratur nach Archimedes mehrdimensionale Quadratur nach Archimedes 1D Hierarchische Basen mehrdimeansionale Hierarchische Basen Konstruktion Dünne Gitter Eigenschaften Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
34 D Hierarchische Basen Grund-Basisfunktion: Funktion in x-richtung: Funktion in y-richtung: D-Basisfunktion (Pagode): darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
35 Stützpunktbasis und Hierarchische Basis darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
36 Vergleich: Stützpunkt- und hierarchische Basen Kategorie Stützpunktbasis Hierarchische Basis Unterscheidung der Wichtgkeit der Information nicht möglich, alle Punkte gleich wichtig möglich, erste Punkte geben erste Näherung Zugriff auf einzelne Elemente direkter Zugriff möglich Berechnung erforderlich Wiederverwendung bestehender Daten nur in Ausnahmefällen möglich (Aufwand) Problemlos möglich Adaptivität nicht möglich möglich Datenstruktur Felder Bäume darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
37 Überblick 1D Quadratur nach Archimedes mehrdimensionale Quadratur nach Archimedes 1D Hierarchische Basen mehrdimeansionale Hierarchische Basen Konstruktion Dünne Gitter Eigenschaften Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
38 Stützstellen der Archimedes-Quadratur über f(x,y)=x²y² darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
39 Stützstellen der Archimedes-Quadratur über f(x,y)=x²y² mit steigender Genauigkeit der Quadratur darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
40 Beobachtungen Das Gitter hat eine gewisse Regelmäßigkeit Es ist rekursiv konstruierbar Das Gitter besteht aus hierarchischen Basen Hat das Gitter eventuell günstige Eigenschaften für Numerische Anwendungen? darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
41 Beobachtungen ein Spiel Spieler A: versucht in einem Quadratischen Gebiet möglichst große rechteckige Flächen unterzubringen Spieler B: versucht mit möglichst wenigen Schüssen das Platzieren der Flächen zu verhindern darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
42 Beobachtungen ein Spiel Man kann die rechteckigen Flächen des Spielers A als mögliche Fehler bei der Integration auffassen (Der Fehler, den man macht, wenn das Gebiet nicht bei der Integration durch eine Stützstelle berücksichtigt wird.) Man kann zeigen, daß Spieler B mit dünnen Gittern optimal handelt Dies wird auf eine Art Effizienzoptimalität der Dünnen Gitter führen darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 4
43 Dünne Gitter und Schiffe-Versenken...? Quelle: darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
44 Überblick 1D Quadratur nach Archimedes mehrdimensionale Quadratur nach Archimedes 1D Hierarchische Basen mehrdimeansionale Hierarchische Basen Konstruktion Dünne Gitter Eigenschaften Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
45 Konstruktion von Dünnen Gittern - Basisfunktionen Grund-Basisfunktion: Funktion in x-richtung: Funktion in y-richtung: D-Basisfunktion (Pagode): darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
46 Konstruktion von D Dünnen Gittern Zerlegung in Teilräume darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
47 Volle Gitter äquidistante Gitter Konstruktion durch Summe aller kleinerer Teilräume darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
48 Konstruktion von D Dünnen Gittern Konstruktion durch Summe aller Teilräume oberhalb einer Diagonale darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
49 Konstruktion von Dünnen Gittern darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
50 Überblick 1D Quadratur nach Archimedes mehrdimensionale Quadratur nach Archimedes 1D Hierarchische Basen mehrdimeansionale Hierarchische Basen Konstruktion Dünne Gitter Eigenschaften Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
51 Anzahl der Gitterpunkte im D im D Vollen Gitter: O( n ) = O( h - ) im D Dünnen Gitter: O( n n ) Anzahl Punkte d= n=10 n=0 Volles Gitter ~10 6 Dünnes Gitter ~10 3 ~10 1 ~*10 7 h = -n ist die Maschenweite, n ist die Tiefe der Rekursion darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
52 Fehler auf Gittern Fehler = ( Eigenschaft der Funktion ) x ( Eigenschaft des Gitters ) Variation (Glattheitsmaß) Diskrepanz Eigenschaften der Funktion und des Gitters lassen sich entkoppeln darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 5
53 Approximationsfehler für das D Dünne Gitter D Volles Gitter: Maximumsnorm: O( -n ) = O ( h ) Euklid sche Norm: O( -n ) = O ( h ) Energienorm: O( -n ) = O ( h ) D Dünnes Gitter: Maximumsnorm: O( -n n ) = O ( h log h ) Euklid sche Norm: O( -n n ) = O ( h log h ) Energienorm: O( -n ) = O ( h ) h = -n ist die Maschenweite, n ist die Tiefe der Rekursion darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
54 Mehrdimensionale Dünne Gitter Über das Konstrukt der Tensorprodukträume läßt sich die Konstruktion der D Dünnen Gitter ins mehrdimensionale erweitern Anzahl Knoten für d Dimensionen: O( n (d-1) n ) Fehler für d Dimensionen: Maximumsnorm: O( -n n d-1 ) = O ( h log h d-1 ) Euklid sche Norm: O( -n n d-1 ) = O ( h log h d-1 ) Energienorm: O( -n ) = O ( h ) h = -n ist die Maschenweite, n ist die Tiefe der Rekursion darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
55 Vergleich: Volle und Dünne Gitter Kategorie Volle Gitter Dünne Gitter Anzahl der Stützstellen O( nd ) = O( h -d ) O( n (d-1) n ) Approximationsfehler: Maximumsnorm: Euklid sche Norm: Energienorm: O( -n ) = O ( h ) O( -n ) = O ( h ) O( -n ) = O ( h ) O( -n n d-1 ) = O ( h log h d-1 ) O( -n n d-1 ) = O ( h log h d-1 ) O( -n ) = O ( h ) h = -n ist die Maschenweite, n ist die Tiefe der Rekursion Mit Dünnen Gittern hat man (zumindest teilweise) ein Gegenmittel für den Fluch der Dimension darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
56 Vergleich: Volle und Dünne Gitter Anzahl Punkte d= n=10 n=0 d=3 n=10 n=0 d=4 n=10 n=0 Volles Gitter ~10 6 ~10 1 ~10 9 ~10 18 ~10 1 ~10 4 Dünnes Gitter ~10 3 ~*10 7 ~5*10 5 ~*10 8 ~*10 5 ~10 9 Genauigkeit d= n=10 n=0 d=3 n=10 n=0 d=4 n=10 n=0 Volles Gitter ~10-6 ~10-1 ~10-6 ~10-1 ~10-6 ~10-1 Dünnes Gitter ~10-5 ~*10-11 ~10-4 ~4*10-10 ~10-3 ~7*10-9 Verlust Gewinn bei gleicher Anzahl Punkte ~5*10 9 ~6*10 6 ~8*10 14 h = -n ist die Maschenweite, n ist die Tiefe der Rekursion darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
57 Optimalität von Dünnen Gittern Es läßt sich zeigen, daß für Dünne Gitter folgendes Verhältnis optimal ist (für die Maximums- und Euklid sche Norm) Anzahl der Gitterpunkte Genauigkeit darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
58 Adaptivität Dünne Gitter beruhen auf hierarchischen Basen Die Möglichkeit lokaler Anpassung bleibt somit erhalten darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
59 Adaptivität das Schiffe-Versenken-Beispiel An Stellen von besonderem Interesse verfeinert man lokal Man beachte das Ergebnis ;-) Quelle: darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
60 Adaptivität darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
61 Überblick 1D Quadratur nach Archimedes mehrdimensionale Quadratur nach Archimedes 1D Hierarchische Basen mehrdimeansionale Hierarchische Basen Konstruktion Dünne Gitter Eigenschaften Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
62 Kombinationsmethode ermöglicht eine einfache Parallelisierung von Dünnen Gittern beruhend auf kleineren Standard-Vollgitterlösungen Vorteile: Lösung setzt sich aus günstigeren Standardlösungen zusammen Berechnung ist einfach parallelisierbar darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October 004 6
63 Kombinationsmehtode Idee: = ( ) ( + + ) Lösung auf Dünnem Gitter Lösung auf kleineren Vollen Gittern Dünnes Gitter darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
64 Kombinationsmehtode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
65 darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October nummerische integration mittles hierarchischer basen Kombinationsmehtode in D 1, 1 1, j i n j i ij j i n j i ij n T T T y x k l y x l k ij h h h l h k f g c T i j 0 0 ), ( T ij ist die Lösung auf vollem Gitter [ Trapezregel im D ] = ( ) ( )
66 T ij ist die Lösung auf vollem Gitter [ Trapezregel in D ] Beispiel T 1 darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
67 T ij ist die Lösung auf vollem Gitter [ Trapezregel in D ] T ij i j k0 l 0 c k g l f ( k h x, l h y ) h x h y Beitrag der Fläche Funktionswert am Stützpunkt Fläche j,y c k, g l : Gewichte der einzelnen Stützpunkte (1 im Inneren und ½ am Rand) c k * g l : 1 im Inneren ½ am Rand ¼ an den Ecken i, j : Anzahl der Stützpunke in der entsprechenden Richtung h y i,x h x, h y : Stützpunktabstand in jeweilige Richtung h x h y : Fläche, die mit dem Funktionswert am Stützpunkt multipliziert wird darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October h x
68 Parallelisierung mit der Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
69 Eigenschaften der Kombinationsmethode Laufzeit / Anzahl Auswertungen: Gesamt: n( n -1)+(n-1)( n-1-1) Größte einzelne Auswertung: n -1 Dünnes Gitter: n n darko zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen 1 October
70 Abschließender Überblick Diskretisierung von Funktionen Hierarchische Basen Mehrdimensionale Numerische Integration Dünne Gitter Kombinationsmethode darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
71 Literatur Vorlesung Algorithmen des Wissenschaftlichen Rechnens, Michael Bader und Christoph Zenger, 004, Technische Universität München, Rekursive Verfahren und hierarchische Datenstrukturen in der numerischen Analysis, Hans-Joachim Bungartz, 1999, Institut für Informatik, Technische Universität München Sparse Grids, Hans-Joachim Bungartz, Michael Griebel, Cambridge University Press, 004 Error Control for Adaptive Sparse Grids, Hans-Joachim Bungartz, Christoph Zenger, Institut für Informatik, Technische Universität München Film Dünne Gitter, Hans-Joachim Bungartz, Thomas Gerstner und Andreas Paul, 004, FORTWIHR und Institut für Informatik, Technische Universität München, darko zikic institut für informatik technische universität münchen 1 October
1. Hierarchische Basen. 1. Hierarchische Basen Perlen der Informatik I, Hans-Joachim Bungartz page 1 of 33
Perlen der Informatik I, Hans-Joachim Bungartz page 1 of 33 1.1. Quadratur nach Archimedes Näherungsweise Berechnung von F 1 := 1 0 4 x (1 x) dx = 2 3 1 t=1 t=2 ¼ 0 ½ 1 ¼ 0 ½ 1 0 ½ 1 Perlen der Informatik
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