6. Die Gamma-Funktion

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1 6.. Die Gamma-Futio ist für C mit Re > 0 defiiert durch Γ( := 0 t e t dt (Euler-Itegral. Bemerug. Es ist t e t = t x e t mit x = Re. Beatlich overgiert 0 t x e t dt für x > 0 (das ist die reelle Gamma-Futio. Es folgt Γ( Γ(Re für alle mit Re > 0. Durch partielle Itegratio beweist ma die Futioalgleichug Γ( = Γ( + (Re > 0. Da Γ( =, folgt Γ( = (! für alle ga. Aus der Futioalgleichug folgt Γ( = Γ( + = Γ( + ( + =... = Γ( + + ( + ( +. Dies ist uächst richtig für Re > 0. Die rechte Seite stellt eie meromorphe Futio i der Halbebee H( = { C : Re > } dar mit Pole erster Ordug a de Stelle = 0,,,...,. Dadruch wird die Gamma-Futio i die gae omplexe Ebee als meromorphe Futio fortgesett mit Polstelle a de Stelle =, Z, Sat (axiomatische Charaterisierug der Gamma-Futio. Sei F eie meromorphe Futio i C mit folgede Eigeschafte (i F ist holomorph i {Re > 0}; (ii F geügt der Futioalgleichug F ( = F ( + für alle ; (iii F ( ist beschrät im Streife { C : Re }. Da gibt es eie Kostate c C mit F ( = c Γ( für alle C. 0 Mitschrift vo Adreas Wadhwa. Lette Äderug:

2 Bemerug. c = F (. Beweis. Sete c := F ( ud Φ( := F ( cγ(. Φ erfüllt (i, (ii, (iii ud Φ( = 0. Zudem ist Φ( = Φ(+ holomoph bei = 0. Also ist Φ beschrät i {0 Re }. Die Futio Ψ( := Φ(Φ( ist da ebefalls beschrät i {0 Re }. Es gilt Ψ( + = Φ( + Φ( = Φ( Φ( = Φ( Φ( = Ψ(, also ist Ψ periodisch mit Periode ud beschrät. Nach dem Sat vo Liouville muss Ψ ostat sei. Da Ψ( = 0, folgt, dass Ψ idetisch gleich 0 ist. Also ist Φ( = 0 ud die Behauptug folgt Sat. (i Für alle C { Z, 0} gilt! Γ( = lim ( + ( + (Gauß, (ii Γ( = eγ ( + e. = Dabei ist γ die Euler-Mascheroi-Kostate. Beweis.. Schritt. Wir eige, dass das uedliche Produt i (ii ormal i C overgiert. Mit E( :=( e = ! +... = 3 4 3!... + höhere Glieder 6.

3 ist E( für r 0 ud ei gewisses r 0 > 0 (ma a.b. r 0 = sete. Es folgt ( + e = + f (, wobei f ( für r 0. Dies impliiert die ormale Koverge. Also ist G( := e ( γ + e holomorph i C mit Nullstelle erster Ordug a de Stelle =, 0.. Schritt. Mit gilt F ( :=! ( + ( +, F ( G ( = + [ ( = exp log + γ = } {{ } 0 für G ( := e γ ( + e = ( + + e log e γ + = ] für. Es folgt, dass F ( für alle =, 0 gege G( e =: F ( overgiert. 3. Schritt. Es bleibt u eige: F ( = Γ(. Dau wird die axiomatische Charaterisierug der Gamma-Futio beutt. Klar ist F holomorph i {Re > 0}. Zudem ist F ( + =! + ( + ( + +, F ( + F ( also F ( + = F (. Schließlich ist F (! x x(x + (x + F (x = G(x, = ( + +, was wege der Stetigeit ud des Nichtverschwides vo G auf x impliiert, dass F ( = lim F ( beschrät bleibt für x. Mit F ( = lim! (+! = lim = folgt also F ( = Γ(.

4 6.4. Sat (Produt-Darstellug des Sius. Es gilt (i (ii si π = Γ(Γ( π, si π = π (. = Bemerug. Das Produt i (ii overgiert ormal. Beweis. (i Φ( := Γ(Γ( ist meromorph i C mit Pole erster Ordug a de Stelle = Z. Es ist Sei Γ( = Γ( +, Γ( = Γ(. S := { C : 0 Re ud Im }. Da ist Φ( beschrät i S. Sei weiter Ψ( := si(π Φ( = si(π Γ( Γ(. Da si π a de Stelle = Z Nullstelle erster Ordug hat, ist Ψ( überall holomorph. Es gilt Φ( + = Φ(, si π( + = si π, also Ψ( + = Ψ(. Wege der Beschrätheit vo Φ i S folgt ( Ψ( C e π für alle C mit eier gewisse Kostate C > 0. Da Ψ( überall vo 0 verschiede ist, gilt Ψ( = e g( mit eier i C holomorphe Futio g : C C. Nach eiem Sat aus der Theorie der gae Futioe folgt aus (, dass g( = a + b mit Kostate a, b C. Wege Ψ( = Ψ( ist b = 0, d.h. Ψ( ist ostat. Mit Ψ( = si π Γ( + Γ( 6.4

5 erhält ma Ψ(0 = π, also π = si π Γ( Γ(. Dies eigt (i. (ii Aus ud Γ( = eγ ( + e Γ( = ( Γ( folgt Γ( = ( e γ ( e. Dies eigt (ii Corollar. ( (i Γ = π, (ii π = ( ( ( + = = (Wallis-Produt Sat (Partialbruch-Etwiclug des Cotages. Es gilt π cot π = + = = + = ( + +. Beweis durch logarithmisches Differeiere des Sius-Produts. 6.5

6 6.7. Sat Für < gilt ( π cot π = ζ(. = Beweis. π cot π = + = = = = = = ( =. = = 6.8. Die Beroulli-Zahle B sid defiiert durch e = =0 B!. Die Futio auf der lie Seite ist bei 0 holomorph ud hat Sigularitäte geau a de Stelle = πi, Z {0}. Daher ist der Kovergeradius der Potereihe gleich π. Da folgt e ( = =0 B! ( +! ( l=0 (l +! l =. Das Cauchy-Produt der lie Seite ist c mit c =! ( +! B = ( +! ( + B. 6.6

7 Es folgt c 0 = B 0 = ud ( + Es ergibt sich = : B 0 + B = 0 B =, = : B 0 + 3B + 3B = 0 B = 6,. : B 0 + ( + B + ( + B = 0 für. ( + B B = 0. Damit a ma reursiv alle Beroulli-Zahle bereche. Die erste vo 0 verschiedee Beroulli-Zahle sid: B Cotages ud Beroulli-Zahle. Aus cot = ergibt sich also cot = i cos si = + e i iei iei e i e = + i e i = i + i e i i e i, ( cot = i + =0 B! (i Da cot eie gerade Futio ist, folgt B = ud B + = 0 für alle. Aus ( folgt ach Substitutio π π cot π = ( (π B (!. Ei Vergleich mit ( liefert ζ( = ( (π (! B. Eierseits folgt hieraus sig(b = ( für, adrerseits lasse sich so die Werte ζ( = π π4, ζ(4 =,... bereche

8 6.0. Sat. Es gilt ( ( + Γ Γ = π Γ(. Beweis mit der axiomatische Charaterisierug der Gamma-Futio. Sete ( ( + F ( := Γ Γ. F ist holomorph i H(0 ud beschrät für Re. Außerdem gilt ( + F ( + = Γ Γ( + = F (. }{{} = Γ( Es folgt F ( = c Γ( mit c = F ( = Γ ( Γ( = π. Dies eigt die Behauptug. 6.8

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