5 Reihen. s n := a k. k=0

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1 5 Reihen 5. Folgen von Partialsummen Definitionen und Beispiele Ist a. eine beliebige Folge von Zahlen oder Vetoren, so heisst der formale Ausdruc a = a 0 + a + a () eine Reihe, die einzelnen a sind die Glieder dieser Reihe. Es ist natürlich unmöglich, unendlich viele Additionen tatsächlich auszuführen. Man ann aber die Folge s. der endlichen Partialsummen n s n := betrachten und das Verhalten dieser Folge untersuchen. Existiert der (eigentliche) Grenzwert lim n s n =: s, so heisst die Reihe onvergent, und s ist ihre Summe. Ist eine Reihe () als onvergent erwiesen, so bezeichnet () gerade auch deren Summe s. Besitzt die Folge s. einen eigentlichen Grenzwert, so heisst die Reihe () divergent. Die geometrische Reihe a z (2) besitzt für beliebiges z C, z, die Partialsummen s n = + z z n = zn+ z Ist z <, so gilt z n 0 (n ), wir erhalten daher mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte:.

2 70 5 Reihen z = z (z C, z < ). Für z ist die Reihe (2) divergent, da sie die nachfolgende Konvergenzbedingung (3) nicht erfüllt. (5.) Ist die Reihe a onvergent, so gilt jedenfalls lim a = 0. (3) Man hat a n = s n s n s s = 0 (n ). Die Bedingung (3) ist für Konvergenz notwendig, aber nicht hinreichend: Damit die Reihe a onvergiert, müssen die a genügend schnell gegen 0 gehen. Hierzu das folgende Standardbeispiel: 2 Die harmonische Reihe = = ist divergent, trotz / 0 ( ). Für beliebiges n gilt nämlich s 2n s n = n + + n n n 2n = 2, und hieraus folgt mit vollständiger Indution: s 2 r + r 2 (r 0). Eine Reihe mit unbeschränten Partialsummen ist natürlich divergent. Für das Rechnen mit Reihen gelten die folgenden Regeln: (5.2) Ist a = s, b = s und λ R, so folgt (a + b ) = s + s, (λ a ) = λs. Aufgrund der Rechenregeln für endliche Summen und für Grenzwerte von Folgen gilt n n n (a + b ) = a + b = s n + s n s + s (n ). Analog schliesst man für die zweite der behaupteten Formeln.

3 5. Folgen von Partialsummen 7 Erste Konvergenzriterien Es folgen die zwei allgemeinen Konvergenzriterien (5.3) und (5.4). Mit ihrer Hilfe werden wir verschiedene gebrauchsfreundliche Konvergenztests gewinnen, die dann zum ständigen Repertoire gehören. Wir beginnen mit dem Hauptriterium für Reihen mit positiven Gliedern; das sind Reihen () mit reellen Gliedern a 0. Die Partialsummen einer derartigen Reihe bilden wegen s n+ s n = a n+ 0 (n 0) eine monoton wachsende Folge. Mit Satz (4.2) ergibt sich daher sofort: (5.3) Eine Reihe () mit positiven Gliedern ist genau dann onvergent, wenn ihre Partialsummen s n beschränt sind, das heisst: wenn es ein M gibt mit s n M für alle n. 3 Die Reihe = besitzt beschränte Partialsummen: n s n = n ( ) = + n ( ) =2 =2 =2 ( = + ) ( ) ( n ) = + n n < 2, (eine sogenannte telesopierende Summe), und ist folglich onvergent. Die Summe dieser Reihe ist π 2 /6, wie Euler als erster gefunden hat. 2 Es folgt das Cauchy-Kriterium für Reihen: (5.4) Eine Reihe () mit Gliedern in X ist genau dann onvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 gibt mit m a < ε m n > n 0. =n+ Wegen m =n+ a = s m s n ist (5.3) nichts anderes als das Cauchy- Kriterium (4.5), angewandt auf die Folge der Partialsummen. Eine unmittelbare Konsequenz von (5.4) ist der folgende Sachverhalt: (5.5) Ist a = b für alle 0, so sind die Reihen a und b beide onvergent oder beide divergent.

4 72 5 Reihen Restsummen Ist die Reihe () onvergent mit Summe s, so heisst die Reihe R n := =n+ die n-te Restsumme von () oder auch der Abbrechfehler. Wie zu erwarten, gilt (5.6) (a) R n = s s n, a (b) lim R n = 0. n Betrachte für ein festes n die Partialsummen m r m := a (m n) =n+ der Reihe R n. Es gilt r m = s m s n und folglich R n := lim m r m = s s n. Damit ist (a) bewiesen, und (b) folgt unmittelbar aus (a). Aufgaben. Es seien a und b zwei feste Vetoren im dreidimensionalen Raum, b <, und es sei die Vetorfolge a. reursiv definiert durch a 0 := a, a + := b a (Vetorprodut). Berechne a. Hinweis: Benutze die geometrische Definition des Vetorproduts. Figur! 2. Es sei {, wenn die Dezimaldarstellung von eine 9 enthält, ε := 0 sonst. ε Zeige, dass die Reihe onvergiert. = 3. Aus zwei reellen Folgen a. und b. wird vermöge (a) c := max{a, b }, (b) c := a b eine dritte Folge c. gebildet. Beweise oder widerlege: Konvergieren die Reihen a und b, so onvergiert auch die Reihe c.

5 5.2 Absolute Konvergenz Eine Reihe a mit Gliedern in X heisst absolut onvergent, wenn die zugehörige Betragsreihe a, eine Reihe mit positiven Gliedern, onvergiert. (5.7) (a) Absolut onvergente Reihen sind onvergent. (b) a Für beliebige m n gilt m m a =n+ =n+ a. a = m =n+ a. Hieraus folgt (a) mit (5.4). Setzt man weiter n :=, so ergibt sich mit m die Behauptung (b). Die Umehrung von (5.7)(a) gilt nicht, in anderen Worten: Es gibt Reihen, die gerade noch onvergieren, da sich positive und negative a gegenseitig fast herausheben; die Beträge a gehen aber nicht schnell genug nach 0, um a onvergent zu machen. Solche Reihen heissen bedingt onvergent (s.u.); für die numerische Berechnung der betreffenden Summe taugen sie nichts. Majorantenriterium Konvergiert eine vorgelegte Reihe a absolut, so lässt sich das im allgemeinen leicht nachweisen. Man benötigt dazu das folgende Majorantenriterium sowie einen Vorrat an beannten Reihen c mit positiven Gliedern, die als onvergente Majoranten bzw. als divergente Minoranten der Reihe a in Frage ommen. (5.8) (a) Gilt a c für alle 0 und ist die Reihe c onvergent, so ist die Reihe a absolut onvergent. (b) Gilt 0 c a für alle 0 und ist die Reihe c divergent, so ist auch die Reihe a divergent. Für beliebige m n gilt m =n+ a m =n+ c.

6 74 5 Reihen Die Behauptung (a) ergibt sich daher wie im vorangehenden Satz mit (5.4), und (b) folgt durch Kontraposition. Für die Reihe a mit dem allgemeinen Glied gilt a := sin + 5 (2 ) 3 a = 2 A, A := sin + 5 / (2 / ) 3. Im Ausdruc A strebt der Nenner mit gegen 8, der zweite Summand des Zählers gegen 0, ferner ist sin für alle. Es gibt daher ein 0, so dass für alle 0 gilt: A 2/7, und a besitzt die nach 2 Beispiel onvergente Majorante. Die betrachtete Reihe ist 7 2 = also absolut onvergent. 2 Für die Reihe a mit dem allgemeinen Glied hat man a := ( 2) a = ( 2/ ) / 4. Hier onvergiert der zweite Fator mit gegen /2; es gibt somit ein 0 mit a /(3) für alle 0, und die Reihe a divergiert auf Grund der Divergenz der harmonischen Reihe ( Beispiel ). Reihen mit exponentiell abnehmenden Gliedern Satz (5.8) liefert zusammen mit dem Ergebnis von Beispiel 5.. das folgende Kriterium: (5.9) Gibt es ein q <, ein C > 0 und ein 0 mit a C q ( 0 ), so ist die Reihe a absolut onvergent. Etwas schwächer ist das folgende Quotientenriterium:

7 5.2 Absolute Konvergenz 75 (5.0) Sind alle c > 0 und gibt es ein q < sowie ein 0 mit so ist die Reihe c onvergent. c + c q ( 0 ), () gilt Aus () ergibt sich mit vollständiger Indution: Für beliebige 0 c q 0 c 0 = c 0 q 0 q, und dies beweist nach (5.9) die Konvergenz der Reihe c. 3 Bei der Reihe c := betragen die Quotienten c + /c alternierend 2 und /8. Das Quotientenriterium gibt somit einen Aufschluss. Hingegen hat man c = 2 +( ) 2 ( ) ( 0), 2 so dass (5.9) die betrachtete Reihe als onvergent erweist. Die nach (5.9) bzw. (5.0) onvergenten Reihen onvergieren mindestens so gut wie eine geometrische Reihe. Bei einer geometrischen Reihe hat die Restsumme bzw. der Abbrechfehler den Wert s s n = q qn+ q = qn+ q, nimmt also mit wachsendem n exponentiell ab. Dies lässt sich folgendermassen interpretieren: Mit jedem zusätzlich berücsichtigten Glied erhält man log 0 (/q) weitere Dezimalstellen der gesuchten Summe. Man spricht in diesem Zusammenhang von linearer Konvergenz.

8 76 5 Reihen An der Grenze zur Divergenz Die onvergente Reihe = /2 von Beispiel onvergiert schlechter. Für beliebiges q < ist ja lim 2 q = 0 und somit / 2 lim q =. Hieraus zieht man den Schluss, dass es eine Abschätzung der Form 2 Cq ( 0 ) geben ann. Wie dieses Beispiel zeigt, folgt aus dem Versagen eines Konvergenzriteriums noch lange nicht, dass die betrachtete Reihe divergiert. Die allfällige Divergenz muss vielmehr mit Hilfe eines Divergenzriteriums, zum Beispiel (5.) oder (5.8)(b), ausdrüclich bewiesen werden. Um weitere Vergleichsreihen zur Verfügung zu stellen, beweisen wir noch den folgenden Satz, der das Resultat von Beispiel 5. 3 wesentlich verbessert (ein einfacherer Beweis wird in Abschnitt 9.5 gegeben): (5.) Die Reihe ist für jedes feste ε > 0 onvergent. = +ε Es gibt ein natürliches p mit p < ε, und hieraus folgt +ε +/p ( ). Wir stellen die folgende Hilfsbetrachtung an: Ist 0 < x < y, so gilt y p x p = (y x)(y p + y p 2 x x p ) < (y x) p y p y2 xy, wobei wir rechter Hand den Fator y 2 /(xy) > hinzugefügt haben. Es folgt y p x p y p+ ( < p x ) y Setzen wir x := ( ) /p und y := /p, so geht dies über in ( < p +/p ( ) ) /p /p.,

9 5.2 Absolute Konvergenz 77 und durch Summation ergibt sich (das meiste hebt sich heraus): n =2 +ε < n =2 ( < p ) < p (n 2). +/p n /p Hieraus folgt mit (5.3) die Behauptung (p ist fest!). Satz (5.) und das Beispiel der harmonischen Reihe ( Beispiel ) zusammen genommen lassen vielleicht die Vermutung aufommen, es existiere eine letzte onvergente Reihe oder eine erste divergente Reihe mit positiven Gliedern c. Die betreffenden Folgen c. lägen irgendwo in der Nähe der Folge / und müssten dann ein universelles Vergleichsriterium liefern. Um solche Vorstellungen ein für allemal auszuräumen, beweisen wir den folgenden Satz: (5.2) Zu jeder onvergenten Reihe c, alle c > 0, gibt es eine Folge d. mit d /c, so dass die Reihe d immer noch onvergiert. Die Restsummen R n := =n+ c onvergieren nach (5.6) und nach Voraussetzung über die c monoton fallend nach 0. Setzen wir daher d := R R ( ), so gilt für die Partialsummen s n der Reihe = d : s n = n ( R ) R = R 0 R n R 0 (n ). = Die Reihe = d ist also onvergent. Ferner hat man wegen der Monotonie der R : und hieraus ergibt sich d = d c R R R + R c 2 R, 2 R ( ). Auf ähnliche Art beweist man den zu (5.2) omplementären Satz für eine divergente Ausgangsreihe c : Hier gibt es eine Folge d. mit d /c 0, so dass die Reihe d immer noch divergiert.

10 78 5 Reihen Aufgaben. Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz: (a) ( + ), (b) ( ) + i 2 (3i) 2, (c) = 2 2, (d) =!. = 2. Für welche x R sind die folgenden Reihen onvergent? ( ) (a) sin(x/), (b) cos(x/), (c) = = ( x ) tan, (d) = = ( ) 2 x (Quotientenriterium). 3. Zeige: Konvergieren die a monoton fallend gegen 0 und ist die Reihe a onvergent, so gilt ( ) lim a = 0. Hinweis: na 2n 2n =n+ a. 4. Es sei K die Menge der Punte in der (α, β)-ebene, für die die Reihe β α = onvergiert. Zeichne die Menge K, mit Angabe von Gründen. 5. Zeige: Zu jeder divergenten Reihe c mit positiven Gliedern c gibt es eine Folge d. mit d /c 0, so dass die Reihe d immer noch divergiert. 6. Schreibt man eine Binärfolge β. : Z B, β mit β = 0 ( < r) als unendlichen Dualbruch β r... β β 0. β β 2 β 3..., so wird dadurch eine reelle Zahl x bestimmt, nämlich x := β 2. = r Umgeehrt: Jedes x 0 lässt sich in der Form ( ) darstellen, und zwar besitzen die x D >0 genau zwei derartige Darstellungen, alle übrigen x 0 genau eine. Hinweis: Ist x > 0 gegeben, so lassen sich die zugehörigen β n reursiv bestimmen, indem man zunächst ein zulässiges r findet und dann die Grössen x n = r β 2 betrachtet. ( )

11 5.3 Bedingt onvergente Reihen Alternierende Reihen Bei absolut onvergenten Reihen a ommt die Konvergenz allein durch das Kleinwerden der Beträge a zustande, bei bedingt onvergenten Reihen hingegen in erster Linie durch den Ausgleich zwischen positiven und negativen Gliedern. Am anschaulichsten ommt dies bei den sogenannten alternierenden Reihen zum Ausdruc, das sind Reihen ( ) c mit positiven und streng monoton nach 0 abnehmenden c : Es gilt der folgende Satz: c > c + > 0 ( 0), lim c = 0. () (5.3) (a) Alternierende Reihen sind onvergent. (b) Ist ( ) c eine alternierende Reihe mit Summe s, so bilden die Partialsummen s 2, s 4, s 6,... eine streng monoton fallende und die Partialsummen s, s 3, s 5,... eine streng monoton wachsende Folge, und für alle n gilt s = s n + θ ( ) n+ c n+ (2) mit einem (von n abhängigen) θ ] 0, [. In anderen Worten: Der Abbrechfehler ist ein echter Bruchteil des ersten vernachlässigten Gliedes. Für beliebiges m 0 gelten die Ungleichungen s 2m+2 = s 2m c 2m+ + c 2m+2 < s 2m, s 2m+3 = s 2m+ + c 2m+2 c 2m+3 > s 2m+ (Fig. 5.3.). Die beiden Folgen (s 2m ) m 0 und (s 2m+ ) m 0 sind somit streng monoton wie angegeben, und es folgt weiter s s 2m+ = s 2m c 2m+ < s 2m s 0 (m 0). Aufgrund von Satz (4.2) onvergieren daher die s 2m+ gegen einen Grenzwert s und die s 2m gegen s. Wegen s 2m s 2m+ = c 2m+ 0 (m ) ist notwendigerweise s = s =: s. Man hat daher s 2m+ < s < s 2m+2 = s 2m+ + c 2m+2,

12 80 5 Reihen c 2m+3 +c 2m+2 c 2m+ 0 s s 2m+ s 2m+3 s s 2m+2 s 2m s 2 s 0 Summenspeicher Fig und dies ist äquivalent zu (2) für n := 2m +. Analog schliesst man für gerades n. () und (2) zusammen liefern schliesslich lim n s n = s. Das Standardbeispiel einer bedingt onvergenten Reihe ist die alternierende harmonische Reihe ( ) + = = Wie wir später zeigen werden, besitzt sie die Summe log 2. Mit dieser Reihe verwandt ist die Leibnizsche Reihe ( ) 2 + = mit der Summe π/4. Zur numerischen Berechnung von log 2 und π/4 sind diese Reihen natürlich ungeeignet. Satz (5.3)(a) ist enthalten in dem folgenden Konvergenzriterium von Abel: (5.4) Genügt die Folge c. der Bedingung () und besitzt die Reihe α, α C, beschränte Partialsummen, so ist die Reihe c α onvergent. Bei den hier betrachteten Reihen c α erbringen die α (sie brauchen nicht zu onvergieren) die für bedingte Konvergenz erforderliche Oszillation, während die Dämpfungsfatoren c dafür sorgen, dass jedenfalls c α 0 ( ) gilt. Charateristische Kandidaten für das Abelsche Konvergenzriterium sind die Reihen = cos(φ), = sin(φ) φ fest. Die in Beispiel betrachteten Reihen sind Spezialfälle hiervon. Wir werden darauf zurücommen.,

13 5.3 Bedingt onvergente Reihen 8 Zum Beweis von (5.4) benötigen wir den Kunstgriff der partiellen Summation, die offensichtlich der partiellen Integration (Abschnitt 9.3) nachempfunden ist. Für beliebige Folgen s. und c. und für beliebige m n 0 gilt: m m m (s s )c = s c s c =n+ = =n+ m =n+ s c =n+ m =n s c + m = s m c m s n c n + s (c c + ). Beweis von (5.4): Wir setzen n α =: s n. Nach Voraussetzung gibt es ein M > 0 mit s n M für alle n. Es sei nun ein ε > 0 vorgegeben und n 0 so bestimmt, dass gilt: c n < ε 2M =n (n > n 0 ). Wegen s s = α ergibt sich nun mit (3), dass folgende Abschätzung für alle n > n 0 zutrifft: m m α c s m c m + s n c n + s c + c =n+ =n ( ) m M c m + c n + (c c + ) = M 2c n < ε. =n Da ε > 0 beliebig war, folgt mit (5.3) die Behauptung. Umstellung der Reihenglieder Absolut onvergente Reihen sind ziemlich robust und haben in vielerlei Hinsicht dieselben Eigenschaften wie endliche Summen. Insbesondere önnen ihre Glieder beliebig umgestellt werden, und die Summe bleibt dieselbe. Im Gegensatz dazu sind bedingt onvergente Reihen sehr subtile Kreaturen. Wird die Reihenfolge der Glieder verändert, so ändert sich im allgemeinen auch die Summe noch schlimmer: Durch geeignete Umstellung der Glieder lässt sich jedes vorgegebene σ R als Summe realisieren. Wir beweisen darüber: (5.5) Es sei a, a X, eine absolut onvergente Reihe mit Summe s. Dann besitzt auch jede durch Vertauschung der a erhaltene Reihe j=0 b j die Summe s. (3)

14 82 5 Reihen Die Umstellung der Ausgangsreihe wird durch eine bijetive Abbildung φ : N N realisiert; es ist b j := a φ(j) (j 0). Zu vorgegebenem ε > 0 gibt es ein n 0 mit a < ε. =n 0 + Es gibt ein r 0, so dass die Menge der Zahlen φ(j), 0 j r 0, wenigstens alle Zahlen von 0 bis n 0 enthält. Für alle r r 0 und für alle n n 0 gilt daher r n N b j a a < ε, (4) j=0 =n 0 + dabei bezeichnet N die grösste der Zahlen n, φ(0), φ(),..., φ(r). Beide Summen liner Hand enthalten nämlich wenigstens die Glieder a 0, a,..., a n0, aber ein a mit > N. Aus (4) folgt mit n : r b j s ε (r r 0), was zu beweisen war. j=0 (5.6) Es sei a eine bedingt onvergente Reihe mit reellen Gliedern a, und es sei ein Wert σ R beliebig vorgegeben. Dann gibt es eine Permutation φ von N mit j=0 a φ(j) = σ. Für beliebige a R bezeichnet man mit a + := max{a, 0}, a := max{ a, 0} den positiven und den negativen Anteil von a. Es gilt a = a + a, a = a + + a. Da die Reihe (a+ + a ) divergiert, muss wenigstens eine der beiden Reihen a +, a (5) divergieren, und da (a+ a ) onvergiert, müssen dann gleich beide Reihen (5) divergieren. Hieraus folgt mit (5.5): ( ) Zu jedem n und zu jedem C gibt es ein m und ein m mit m =n+ a + > C, m =n+ a > C.

15 5.3 Bedingt onvergente Reihen 83 Wir onstruieren nun reursiv eine Permutation φ, die die Glieder der Ausgangsreihe so umstellt, dass eine Reihe j=0 b j, b j = a φ(j), mit Summe σ R entsteht (die Fälle σ = ± überlassen wir dem Leser). Mit s n bezeichnen wir die Partialsummen der umgestellten Reihe, s := 0. Die Reursionsvorschrift lautet folgendermassen: { { min a > 0 φ(j) (0 j < n) } (s n < σ) φ(n) := min { a 0 φ(j) (0 j < n) } (s n σ). In Worten: Ist s n < σ, so wählt man als b n das erste noch unverbrauchte a > 0, und ist s n σ, so wählt man als b n das erste noch unverbrauchte a 0. Durch ( ) ist sichergestellt, dass die Partialsummen s n nie definitiv auf einer Seite von σ bleiben (siehe die Fig ), so dass sowohl die a > 0 wie die a 0 nach und nach aufgebraucht werden. Durch das beschriebene Verfahren wird also in der Tat eine Permutation φ von N definiert. b n = a φ(n) Summenspeicher s n 2 σ s n+ s n s n Fig Um nun j=0 b j = σ zu beweisen, geben wir ein ε > 0 vor und beachten, dass die a gegen 0 onvergieren. Es gibt daher ein 0 mit a < ε für alle > 0. Weiter gibt es ein r 0 mit φ(j) > 0 (j > r 0 ), (6) denn nach einer gewissen Anzahl Schritten sind a 0, a,..., a 0 bestimmt aufgebraucht. Aus (6) folgt Schliesslich gibt es ein r > r 0, so dass gilt: b j = a φ(j) < ε (j > r 0 ). (7) s r < σ s r = s r + b r. (8) Wir behaupten: Für alle n r gilt s n σ < ε. Wegen (8) trifft dies jedenfalls zu für n = r. Im weiteren Verlauf liegt s n+ jeweils näher bei σ als s n, falls ein Sprung über σ hinweg erfolgt, und wegen (7) gilt s n+ σ b n+ < ε, wenn s n und s n+ auf verschiedenen Seiten von σ liegen.

16 84 5 Reihen Aufgaben. Man stelle die Glieder der alternierenden harmonischen Reihe so um, dass eine divergente Reihe entsteht. Es sind so viele Glieder der umgestellten Reihe anzuschreiben, dass ein Konstrutionsgesetz erennbar wird. Hinweis: Divergenzbeweis für die harmonische Reihe. 2. Behandle den Fall σ = in Satz (5.6).

17 5.4 Potenzreihen I Funtionenreihen Die bis dahin betrachteten Reihen a waren onstante Reihen: Für jedes ist a eine bestimmte Zahl bzw. ein Vetor. Die Summe einer derartigen Reihe ist wieder eine gewisse Zahl, zum Beispiel π, bzw. ein Vetor. Wesentlich aufregender sind Funtionenreihen, mit deren Hilfe wir vom Boden der rationalen Funtionen abheben und in vielfältiger Weise neuartige Klassen von Funtionen produzieren önnen. Ist für jedes N eine Funtion f : A X, x f (x) () erlärt, so spricht man von einer Funtionenfolge auf A und bezeichnet diese Folge mit (f ) 0 oder ähnlich. Die allgemeine Untersuchung von Funtionenfolgen findet in Kapitel statt; insbesondere wird man erlären müssen, was Konvergenz gegen eine Grenzfuntion f bedeutet. Ist eine Funtionenfolge () gegeben, so stellt f (x) für jedes feste x A eine onstante Reihe dar. Für einige x A wird diese Reihe onvergieren, für andere nicht. Die erstgenannten x A onstituieren zusammen den Konvergenzbereich A ( A) der Funtionenreihe f. Die Summe dieser Funtionenreihe ist dann wie erwartet die Funtion s( ) : A X, x s(x) := f (x). Von den Funtionenreihen sind die Potenzreihen am verbreitetsten und am leichtesten zu handhaben, theoretisch und rechnerisch. Von Newton stammt das folgende Prinzip: Jede vernünftige Funtion f lässt sich an jeder Stelle x 0 im Innern von dom (f) in eine Potenzreihe entwiceln oder als Potenzreihe ansetzen. Die Theorie der Potenzreihen wird am besten verständlich, wenn man sie im Komplexen betrachtet. Wir werden also wahlweise die reelle Variable t (bzw. x) oder die omplexe Variable z benützen. Es sei a. eine beliebige Folge von reellen oder omplexen Zahlen. Dann heisst a z = a 0 + a z + a 2 z (2) eine Potenzreihe (mit Mittelpunt 0), etwas allgemeiner ist a (x x 0 ) = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )

18 86 5 Reihen eine Potenzreihe mit Mittelpunt x 0. Für grundsätzliche Erwägungen genügt es natürlich, Reihen der Form (2) zu betrachten. Die einzelnen Summanden in (2) sind Monome z a z, die Partialsummen s n (z) sind Polynome in der Variablen z und damit auf ganz C definiert. Der Konvergenzbereich einer Reihe (2) hängt natürlich ab von den Koeffizienten a : Werden die Beträge a mit rasch sehr lein, so darf z ziemlich gross sein, und die Reihe (2) onvergiert immer noch. Wenn die Beträge a im Gegenteil mit rasch anwachsen, so wird die Reihe nur für sehr leine z onvergieren. Im einzelnen gilt der folgende Satz: Potenzreihen onvergieren auf Kreisscheiben (5.7) (a) Jede Potenzreihe (2) besitzt einen wohlbestimmten Konvergenzradius ρ, 0 ρ : Für z < ρ ist die Reihe absolut onvergent und für z > ρ divergent. (b) Der Konvergenzradius ρ hat den Wert ρ = lim a a + ( ), (3) falls dieser Grenzwert existiert, und in jedem Fall den Wert ρ = lim sup a, (4) wobei /0 :=, / := 0 gesetzt werden soll. Es sei ρ definiert durch (3). Ist z > ρ, so gibt es ein 0 mit a a + < z ( > 0), und hieraus folgt a + z + > a z ( > 0 ). Mit a z 0 ( ) ist dies jedenfalls nicht vereinbar; somit ist die Reihe (2) für ein derartiges z divergent. Ist z < ρ ( ), so gibt es ein ρ mit z < ρ < ρ und weiter ein 0 mit a a + > ρ ( > 0 ). Hieraus folgt a + z + a z < z ρ < ( > 0 ) ;

19 5.4 Potenzreihen I 87 die Reihe a z ist daher nach dem Quotientenriterium (5.0) onvergent. Es sei jetzt ρ definiert durch (4). Ist z > ρ ( 0), so gilt < lim sup a z und folglich a > / z für unendlich viele. Dies impliziert a z > für unendlich viele ; somit ist die Reihe (2) für dieses z divergent. Ist z < ρ, so gibt es wieder ein ρ mit z < ρ < ρ ( ), und man hat > lim sup a. ρ Es gibt daher ein 0 mit a < /ρ für alle > 0, und hieraus folgt weiter ( ) z a z < ρ ( > 0 ). Wegen q := z /ρ < folgt hieraus mit (5.9), dass die Reihe (2) für das betreffende z absolut onvergiert. Die geometrische Reihe z onvergiert auf der offenen Kreisscheibe D := { z C } z < und stellt dort, aber nicht darüber hinaus, die Funtion z /( z) dar. Allgemeiner: Gibt es ein p N, ein C > 0 und ein 0 mit C p a C p ( > 0 ), (5) so besitzt die Potenzreihe a z den Konvergenzradius. Aus (5) folgt nämlich ( ) C p a ( ) p C, und hier onvergieren die äusseren Glieder mit gegen. Die Reihe j=0 z j2 j! = + z + z4 2! + z9 3! + z ! muss erst auf die Form (2) gebracht werden. Es ergibt sich { /j! ( = j 2, j N) a = 0 (sonst)

20 88 5 Reihen und somit lim sup a = lim sup j j 2 /j!. Für alle j gilt j! j j und folglich j2 j! j j. Da hier die rechte Seite mit j gegen onvergiert, ergibt sich auch in diesem Beispiel: ρ =. Satz (5.7) sagt nichts aus über das Verhalten der Reihe (2) auf der Kreislinie z = ρ. Dieses Verhalten ist tatsächlich von Reihe zu Reihe verschieden, wie die folgenden Beispiele zeigen. 2 Die Reihe z ist in allen Punten von D := { z C } z = divergent. Die Reihe = z / divergiert an der Stelle z := und onvergiert an der Stelle z :=. Mit Hilfe des Abelschen Konvergenzriteriums lässt sich zeigen, dass diese Reihe tatsächlich in allen Punten z D \ {} onvergiert (s.u.). Die Reihe = z / 2 onvergiert nach dem Majorantenriterium in allen Punten von D. Vor allem sagt (5.7) nichts aus über die Eigenschaften der von der Reihe (2) dargestellten Funtion f(z) := a z ( ) z < ρ. Ist f stetig (differenzierbar,... )? Wir werden in Abschnitt.5 sehen, dass ein derartiges f so schön ist, wie man nur will. Bis wir so weit sind, müssen wir gegebenenfalls ad hoc Stetigeitsbetrachtungen durchführen. Es seien f(z) := a z, g(z) := b z (6) zwei in der Kreisscheibe z < ρ durch Potenzreihen dargestellte Funtionen. Dann gilt natürlich f(z) + g(z) = (a + b )z ( z < ρ).

21 5.4 Potenzreihen I 89 Produt zweier Reihen Lässt sich auch das Produt f g durch eine Potenzreihe ausdrücen? Werden die zwei Reihen (6) wie Polynome distributiv ausmultipliziert und die sich ergebenden Terme nach ihrem Grad in Paete zusammengefasst, so ergibt sich rein formal f(z)g(z) = a z ( ) b l z l? = a b l z +l? = a b l z r. (7) l, l r=0 +l=r Dies legt nahe, die Grössen c r := +l=r a b l = r a b r C (r N) (8) einzuführen. Jedes einzelne c r ist eine endliche Summe; die Folge c. =: a. b. heisst das Faltungsprodut der beiden Folgen a. und b.. Der folgende Satz handelt von onstanten Reihen (bzw. vom Spezialfall z := ), wobei wir uns natürlich von (7) inspirieren lassen. (5.8) Die beiden (reellen oder omplexen) Reihen a und l=0 b l seien absolut onvergent, und es sei c. := a. b.. Dann ist auch die Reihe r=0 c r absolut onvergent, und es gilt r=0 c r = r=0 a b l. (9) Aus (8) folgt zunächst N N N c r a b l l=0 l=0 (,l) a b l =: R, (0) dabei bezeichnet die Menge der (, l) [0..N] [0..N] mit + l > N. Ist + l > N, so ist wenigstens eine der Zahlen und l grösser als N/2. Wir haben daher weiter (siehe die Fig. 5.4.): R N/2< N >N/2 a N b l + l=0 N a a b l + a l=0 l>n/2 N/2<l N b l. b l

22 90 5 Reihen N l 0 0 N/2 N Fig Da die Ausgangsreihen absolut onvergieren, strebt hier die rechte Seite nach (5.6) mit N gegen 0, also auch die line Seite von (0). Damit ist (9) bewiesen. Weiter gilt c r +l=r a b l =: c r, und die Reihe r=0 c r ist nach dem schon Bewiesenen onvergent. Folglich ist die Reihe r=0 c r absolut onvergent. Besitzen die beiden Reihen (6) Konvergenzradien ρ, so genügen sie für jedes feste z mit z < ρ den Voraussetzungen von Satz (5.8). Für jedes solche z gilt daher ( r ) ( r ) f(z)g(z) = a z b r z r = a b r z r, r=0 r=0 mit absoluter Konvergenz. Damit haben wir bewiesen: (5.9) Besitzen die beiden Reihen f(z) := a z, g(z) := b z Konvergenzradien ρ und ist c. := a. b., so besitzt f g die Darstellung f(z)g(z) = c r z r ( ) z < ρ. r=0 3 Für z < gilt z = z.

23 5.4 Potenzreihen I 9 Faltet man die Folge (,,,...) mit sich selbst, so ergibt sich r = r + für alle r N. Die Funtion z /( z) 2 besitzt daher die folgende Reihenentwiclung: ( z) 2 = (r + )z r = + 2z + 3z ( z < ). r=0 Die Exponentialreihe Die Reihe z! = + z + z2 2 + z3 6 + z () heisst Exponentialreihe. Wegen a ( + )! = = + ( )! a + besitzt sie den Konvergenzradius, somit ist exp : z exp z := eine in der ganzen z-ebene definierte omplexwertige Funtion, genannt Exponentialfuntion. Für reelle z ist natürlich auch exp z reell. Wir werden diese Funtion im nächsten Kapitel eingehend untersuchen und beweisen hier nur die folgenden drei Grundtatsachen: Erstens die Funtionalgleichung der Exponentialfuntion, eine fundamentale Identität, die man als Additionstheorem von exp auffassen ann: (5.20) Für beliebige z, z 2 C gilt z! exp(z + z 2 ) = exp z exp z 2. Faltet man die Folgen a := z /! und b l := z l 2/l!, so erhält man nach dem binomischen Lehrsatz: c r := r a b r = r! und mit (5.8) ergibt sich exp z exp z 2 = r r!!(r )! z z2 r = (z + z 2 ) r r! a b l = l=0 c r = exp(z + z 2 ). r=0 (r N),

24 92 5 Reihen Zweitens gibt es einen Grenzwert: exp z (5.2) lim =. z 0 z Wir dürfen von vorneherein z < annehmen. Aus () folgt exp z z wobei sich R(z) durch = + z 2 + z =: + R(z), R(z) z 2 + z z z ( + z + z ) = 2 z 2( z ) abschätzen lässt. Hier strebt die rechte Seite mit z 0 gegen 0, somit ist auch lim z 0 R(z) = 0. Drittens ergibt sich mit Hilfe der beiden ersten: (5.22) Die Exponentialfuntion ist auf ganz C stetig. Betrachte ein festes z 0 C. Nach (5.20) gilt für alle z C \ {z 0 }: exp z = exp z 0 + exp z 0 (exp(z z 0 ) ) = exp z 0 + exp z 0 exp(z z 0 ) z z 0 (z z 0 ). Nach (3.5) und (5.2) strebt hier der Bruch rechter Hand mit z z 0 gegen, und es folgt lim z z 0 exp z = exp z 0. Da z 0 C beliebig war, ist hiermit die Behauptung bewiesen. Aufgaben. Es bezeichne β n die Anzahl der Ziffern in der Binärdarstellung von n. Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe n= β nz n. 2. Es seien α, α 2,..., α p gegebene nichtnegative Zahlen. Bestimme den Konvergenzradius der Reihe ( α + α αp ) t 2.

25 5.4 Potenzreihen I Es bezeichne a n die Anzahl Arten, n Leute im Verhältnis : 2 in zwei Gruppen einzuteilen. Berechne den Konvergenzradius der Potenzreihe a n z n = + 3z n=0 4. Es seien α und β positive Zahlen. Wie gross ist der Konvergenzradius der Reihe + α + β z? 5. Mit Hilfe der Fibonacci-Folge a 0 := 0, a := a := a + a 2 ( 2) wird folgende Potenzreihe gebildet: a z = z + z 2 + 2z 3 + 3z 4 + 5z ( ) (a) Die Reihe ( ) onvergiert mindestens für z < /2 und stellt dort eine Funtion f(z) dar. z (b) Es ist f(z) = z z 2. Hinweis: Verifiziere ( z z2 )f(z) z. (c) Die Funtion f besitzt eine Zerlegung der Form f(z) = A λz + B µz und lässt sich daher als Summe von zwei geometrischen Reihen schreiben. Dies liefert eine zweite Darstellung von f als Potenzreihe und damit einen geschlossenen Ausdruc für die -te Fibonacci-Zahl a. (d) Bestimme den Konvergenzradius der Reihe ( ). 6. Zeige (ohne Verweis auf die Exponentialfuntion): Die Funtion genügt der Funtionalgleichung f(z) := z 2 (2)! f(2z) = 2 ( f(z) ) 2 (z C). Hinweis: Beginne mit der rechten Seite der behaupteten Identität. Es werden Potenzen ( ± ) r auftreten.