Volumen von Rotationskörpern

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1 Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen?

2 Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht ein Rottionskörper. Wir wollen nun herus finden, wie mn mit Hilfe der Integrlrechnung ds Volumen eines Rottionskörpers errechnen knn! Welche Größen sind dbei von Bedeutung bzw. gehen in die Volumenberechnung ein? Also, gegeben sei die Rndfunktion f, die mit der x- Achse ein krummliniges Trpez begrenzt. Dieses soll um die x-achse rotieren. Ds vom Bogen AP oben begrenzte Kru-Li-Trp rotiere nun um die x-achse und erzeuge dbei einen Drehkörper vom Inhlt V (x). Jetzt verschieben wir den Punkt P um die Strecke x nch rechts bis Q. Dmit vergrößert sich uch der Rottionskörper und ht nun ds neue Volumen V (x+ x). Durch diese Verschiebung um x ht sich ds Volumen ntürlich uch vergrößert, und zwr um ds Stück der Abbildung (im Querschnitt) schrffiert. Für den Volumenzuwchs gilt: V = V ( x + x) V ( x). V. Dieser Volumenzuwchs ist in Diesen Volumenzuwchs schätzen wir nun durch zwei zylindrische Körper b. Die in der Abbildung von P us nch rechts gehende horizontle Strecke der Länge x begrenzt ein Rechteck der Breite x und der Höhe f ( x) = yp. Bei der Rottion um die x-achse entsteht drus ein Zylinder, der innerhlb unseres Volumens V liegt. Andererseits entdecken wir eine horizontle Strecke derselben Länge x, die vom Q us nch links geht. Dzu gehört ein Rechteck mit der Höhe yq = f ( x + x). Und bei Rottion wird drus ein größerer Zylinder, der seinerseits ds Volumen V beinhltet. Es gilt lso: Inneres Zylindervolumen < V < Äußeres Zylindervolumen Begründe drus: V π f ( x) < < π f ( x + x) x

3 Wir mchen jetzt unsere Volumenvergrößerung wieder rückgängig: Q rückt wieder nch P, während x 0 geht. Begründe nun mittels dieser Grenzwertbetrchtung, dss: ' V ( x) = π f ( x) q( x) : ( ) = π f x stellt nschulich die Kreisfläche des Querschnitts n der Stelle x dr. Es gilt lso: ' V ( x) = q( x), d.h. die Volumenfunktion ist eine Stmmfunktion der Querschnittsfunktion. Eine Größe zur Volumenberechnung ist dementsprechend die Querschnittsfunktion. Die ndere Größe ist, wie mn sich leicht vorstellen knn, der Rottionsbereich. Drus ergibt sich die Volumenberechnung wie folgt: b b V ( b) = q( x) dx = π f ( x) dx

4 Aufgben:. Berechne ds Volumen des Rottionskörpers, der entsteht, wenn die Fläche begrenzt vom Grphen zu f ( x) = x + und der x-achse zwischen x= und x= um die x-achse rotiert.. Leite die Volumenformel für einen Kegel her.. Leite die Volumenformel für eine Kugel her. 4. Die Schubilder der Funktionen f ( x) = x + 4x + 4, g( x) = x 4x + 4 begrenzen eine Fläche, die sich um die x-achse dreht. Berechne ds Volumen des Rottionskörpers. 5. Die unendliche Fläche zwischen dem Grphen zu x f ( x) = x e rotiere um die x-achse. Besitzt der Rottionskörper ein endliches Volumen? 6. Prboloid entsteht durch Drehen eines Prbelsegments. Wenn mn den Rdius des Grundkreises mit r und die Höhe bis zum Scheitel mit h bezeichnet ergibt sich eine Formel für ds Volumen. Berechne diese. x Die Fläche zwischen dem Grphen zu f ( x) =, der wgerechten Asymptote und den gerden x = und x = 6 wird um die x y-achse gedreht. Berechne ds Volumen des entsprechenden Rottionskörpers. 8. Der Grph zu f ( x) x = e, die Tngente im Schnittpunkt mit der y-achse und die Gerde x = begrenzen eine Fläche. Diese soll um die x-achse rotieren. Berechne ds Volumen des entsprechenden Rottionskörpers. 4

5 Rottion um die y-achse Überlege, wie mn die Rottion um die y-achse uf die Rottion um die x-achse zurück führen knn. Entwickle eine entsprechende Formel. Aufgben:. Drehe ds rechts drgestellte Trpez um die y-achse.. Die beiden Kurven zu y 4 = 4 x und begrenzen nebenstehende Fläche. Sie soll um die y-achse rotieren. y = x. Die schrffierte Fläche dreht um die y-achse. Welche Menge Flüssigkeit, knn mn nschließend in den trichterförmigen Hohlrum füllen? f ( x) = 4 x 4x 4. Berechne den Inhlt der vom Grphen der Funktion f ( x) = ln x den Koordintenchsen und der Gerden mit der Gleichung y= begrenzten Fläche. Ws folgt drus für den Inhlt der Fläche, die vom Grphen zu f, der x-achse und der Gerden mit der Gleichung x=e begrenzt wird? Die betrchtete Fläche rotiere um die y-achse. Wie groß ist ds Volumen des dbei entstehenden Drehkörpers? 5

6 Lösungen (.Aufgbbenteil).. r y = x h π V = r h. 4π y = r x V = r V = e y h = x r 4 f ( x) = x π V = r h 8. Lösungen (.Aufgbenteil)... Umkehrfunktionen (d f nicht streng monoton im entsprechenden Intervll) y = ( ± x) 6

7 0 V = π ( + x) dx π ( x) dx 0 0 = π xdx = π 4. e A = + ( ln( x)) dx = e Fläche bis x = e beträgt e FE. D.h. Restfläche: FE x V = π e dx = π ( e ) 0 7

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