Tangenten an Funktionsgraphen (Differenzialrechnung) Aufgaben ab Seite 4

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1 Klasse / Augaben ab Seite 4 rundlagen und Begrie der Dierenzialrecnung Die Zeicnungen und Erklärungen sind etwas ausürlicer als notwendig u versciedene Screibweisen und Darstellungen auzuzeigen. Steigung einer eraden: Es seien P( ) und ( ) P zwei Punkte der eraden g it. Dann gilt ür die Steigung : = Der Steigungswinkel ist: = tanα Dierenzenquotient: Ist der Funktionsgrap eine erade, so ist ire Steigung in jede beliebigen Punkt P( ) durc den Faktor estgelegt. Der Quotient aus der Dierenz der - Werte und der - Werte bezüglic der Stelle nennt an Dierenzenquotient: () ( ) = = = Der Begri des Dierenzenquotienten ist nict nur bei eraden deiniert, sondern wird auc bei gekrüten rapen angewendet. Diese Verallgeeinerung des Steigungsbegris ist in nebensteender Skizze dargestellt. Die Sekante durc P und P ist die bereits bekannte erade. Die Steigung aller Sekanten durc P( ) entsprict jeweils de Dierenzenquotienten bezüglic der Stelle. M_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (M_LU6) (5)

2 Klasse / Die leicung des Dierenzenquotienten läßt sic auc wie olgt screiben: Dierenzenquotient: ( ) ( ) = = Nebenbei beerkt: Die Sekantensteigung ist identisc it der eradensteigung: S = = tanα Dierenzialquotient oder. Ableitung oder Steigung der Tangente Wird ür den Abstand = zur Vereinacung die Variable eingesetzt, dann at der Dierenzenquotient olgende For: = ( ) ( ) Verringert an nun - gedanklic - den Abstand ( = ) so daß dieser den Wert Null annit (an screibt auc ), so erält an den renzwert des Dierenzenquotienten. Dieser renzwert eißt Dierenzialquotient oder ( ) ( ) '( ) = li it > () ( ) '( ) = li it Der Dierenzialquotient ist zugleic die Steigung P der Tangente i Punkt ( ) ( ) ( ) = = = α T '( ) li tan M_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (M_LU6) (5)

3 Klasse / Deinitionen: Der renzwert des Dierenzenquotienten eißt Dierentialquotient oder. Ableitung der Funktion an der Stelle und wird it '( ) bezeicnet. Sonstiges: Die Ableitung '( ) der Funktion an der Stelle ist die Steigung des rapen i Punkt P( ). Für den Neigungswinkel α der Tangente in diese Punkt gilt: tanα= '( ) Es könnte sein, daß es in P keine eindeutige Tangente an den rapen gib. Ein Beispiel ist in der Skizze rects dargestellt. In diese Fall eistiert auc kein renzwert. Für den Fall, daß die Tangente senkrect verläut (siee nebensteende Skizze), ist die Steigung der Tangente nict deiniert. Auc in diese Fall eistiert kein renzwert. Foreln: Nacolgende Foreln sind ier nur der Vollständigkeit angegeben. In den Lösungen zu den Augaben werden sie nict verwendet. leicung der Tangente von = '()( ) () an der Stelle : leicung der Norale von an der Stelle : = ( ) ( ) alls '( ) '( ) M_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (M_LU6) 3 (5)

4 Klasse / Augaben. Bestie jeweils den Neigungswinkel der Tangente an die Parabel olgenden Kurvenpunkten ( Dezialstellen): a) R,8? ( ) b) S(?) c) T? ( ) 4 = in den. egeben ist die Parabel =,5. Berecne die Koordinaten der Berürpunkte von Tangenten die olgende Neigungswinkel aben ( Dezialstellen): a) 6 b) 54, c), 3. Bestie die leicung der Tangente an die Parabel a) parallel ist zur eraden g: =. =, die b) zur eraden : 3 6= ortogonal angeordnet ist. 4. egeben sei die Funktion durc die leicung () = 6 5, a) Bestie die leicung der Tangente t an den rapen von i Punkt P3 ( 4. ) b) Bestie die leicung der Tangente t und der Noralen an den rapen von i Punkt Q ( ). c) Bestie den Scnittwinkel der Tangenten t und t. 5. Bestie die Tangenten an die Parabel scneiden. =, die sic i Punkt S ( 4,5) 6. Bestie die leicung der Tangente an den rapen der Funktion A. i Berürpunkt ( ) 3 : Die Tangente bildet it den Koordinatenacsen ein Dreieck. Berecne die Fläce des Dreiecks Die Tangente an den rapen der Funktion : R scneidet den rapen i Punkt Q. Berecne die leicung der Tangente sowie die Koordinaten das Scnittpunktes Q. i Berürpunkt ( ) 8. Bestie ür den rapen der Funktion :, a) den Neigungswinkel der Tangente i Punkt ( ) B 4?. b) die Koordinaten jenes Kurvenpunktes P, ür den die Tangente an unter 6 gegen die - Acse geneigt ist. M_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (M_LU6) 4 (5)

5 Klasse / 9. In welcen Punkten des rapen it der leicung parallel zur eraden g :,5 =? : = sind die Tangenten. Bestie i Scnittpunkt der beiden rapen it den leicungen = ; und = die Tangenten t und t (an den jeweiligen rap).. Berecne den Neigungswinkel ϕ gegen die - Acse der Tangente i Punkt P? ( ) an die Sinuskurve it der leicung = sin.. Die rapen der Funktionen : sin; [,5;] und g: cos; [,5; ] scneiden sic i Punkt S. Bestie jeweils den spitzen Winkel den die beiden Tangenten i Punkt S it der der - Acse bilden. 3. Bestie die beiden waagerecten Tangenten a rap der Funktion : sin; D = ; π [ ] 4. Wie lautet die leicung der Tangente i Punkt P(?) des rapen von ( ) :,5? 5. An den Parabelbogen ( ),4,5 = soll vo Punkt ( ) R 5 ausgeend eine Tangente so gelegt werden, daß ire Steigung einen negativen Wert einnit. Bestie die leicung der Tangente und die Koordinaten des Berürpunktes B In welcen Punkten des rapen von : ; D = scließt die 3 3 Tangente it der - Acse einen Winkel von 45 ein? Wie ist one Zeicnung erkennbar, daß es keine Tangenten gibt, die it der - Acse einen negativen Winkel einscließen? 7. Berecne den Scnittwinkel der rapen olgender Funktionen: : 8 ; und g:,5 ; M_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (M_LU6) 5 (5)

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