Kapitel 1: ADDITION UND SUBTRAKTION VON BRÜCHEN

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1 BRUCHRECHNEN 2

2 Kapitel 1: ADDITION UND SUBTRAKTION VON BRÜCHEN Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen müssen Sie unterscheiden, ob die Brüche gleichnamig oder ungleichnamig sind. Kapitel 1.1: Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner unverändert läßt. Bei gemischten Zahlen werden zunächst die Ganzen addiert bzw. subtrahiert und dann die Brüche. Gegebenenfalls muss man bei der Subtraktion einen oder mehrere Ganze umwandeln, um rechnen zu können. Beispiele: 1) ) ) ) ) Hier mnssen Sie ein Ganzes in 6) Hier mnssen Sie ein Ganzes in 20 Zwanzigstel umwandeln! 7) Hier mnssen Sie ein Ganzes in Seite 1 15 Fnnfzehntel umwandeln! 9 Neuntel umwandeln! Geben Sie das Ergebnis stets in vollständig gekürzter Form und, wenn möglich, auch als gemischte Zahl an!

3 Aufgabe 1 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Seite 2

4 Aufgabe 2 a) 13-8 b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Seite 3

5 Bei der Subtraktion mehrerer Brüche von einer ganzen Zahl bietet es sich an, wie bei der schriftlichen Subtraktion zunächst die Summe der Brüche zu bilden und diese dann von der ganzen Zahl abzuziehen. Bei gemischten Zahlen werden die Ganzen zunächst als Ganze subtrahiert. Beispiele: 1) Hier mnssen Sie drei Ganze in 2) jeweils 45 Fnnfundvierzigstel umwandeln! Hier mnssen Sie zwei Ganze in Zwanzigstel umwandeln! Aufgabe 3 a) b) c) d) e) Seite 4

6 Bei der Subtraktion mehrerer Brüche von einer gemischten Zahl kann man entsprechend vorgehen. Das heißt: Zunächst werden die Ganzen voneinander abgezogen, dann die Brüche. Beispiel: Hier mnssen Sie drei Ganze in Elftel umwandeln! Aufgabe 4 a) b) c) d) e) f) Seite 5

7 Und jetzt geht's gemischt weiter! Dabei bietet sich folgende Vorgehensweise an: Beispiel: Schritt: -+ Zusammenfassen der Ganzen (hier: ) Schritt: Zusammenfassen der positiven und negativen Zähler (hier: ; ) Schritt: 8+6 Einen Ganzen umwandeln (hier: 1 8 ) (evtl. mehrere) und ausrechnen, kürzen!. Seite 6

8 Aufgabe 5 a) b) c) d) e) f) Seite 7

9 Kapitel 1.2: Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche Haben Sie schon einmal versucht, zu rechnen, ohne die Brüche zu verändern? Sie können das Ergebnis zeichnen, aber wie heißt das Ergebnis? ? Addieren und subtrahieren kann ich nur Gleichartiges, also gleichnamige Brüche! Somit muss ich sie durch Erweitern zunächst gleichnamig machen! Ungleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man sie zunächst gleichnamig macht. Das heißt: Man bringt sie durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner. Anschließend verfährt man dann wie vorher: Ganze extra addieren bzw. subtrahieren, Zähler addieren bzw. subtrahieren, gegebenenfalls Ganze umwandeln, aber den Hauptnenner beibehalten. Der Hauptnenner (HN) ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) der vorgegebenen Nenner, d.h. die kleinste Zahl, die durch alle vorgegebenen Nenner ohne Rest teilbar ist. Seite 8

10 *4 *7 Beispiele: 1) ist die kleinste Zahl, die ohne Rest durch 7 und 4 teilbar ist, also ist 28 der Hauptnenner. Sie erweitern also die einzelnen Brüche so, dass sie gleichnamig sind. Dann addieren oder subtrahieren Sie die Zähler. Am Ende entsteht ein unechter Bruch, den Sie noch einrichten. Hier mnssen Sie ein Ganzes in *3 2) ist die kleinste Zahl, die durch 12 und 36 teilbar ist. Sie erweitern nur die Zwölftel! Hier muss das Ergebnis am Schluss noch gekürzt werden! *18 *10 *15 3) ist die kleinste Zahl, die durch 5 und 9 und 6 gleichzeitig teilbar ist. Am Ende entsteht hier ein unechter Bruch, der eingerichtet werden muss. *6 *20 *15 4) Sechzigstel umwandeln! 60 ist die kleinste Zahl, die durch 10 und 3 und 4 teilbar ist. Hier müssen Sie noch ein Ganzes zu Sechzigstel umwandeln, um alles subtrahieren zu können. Seite 9

11 Aufgabe 6 Addition ungleichnamiger Brüche Geben Sie das Ergebnis stets in gekürzter Form an! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) Seite 10

12 n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) Seite 11

13 z) Aufgabe 7 Subtraktion ungleichnamiger Brüche Geben Sie das Ergebnis in vollständig gekürzter Form an! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Seite 12

14 l) m) n) o) p) Seite 13

15 Wie findet man nun möglichst schnell den Hauptnenner (HN)? Eine Möglichkeit besteht darin, Vielfache des größten vorgegebenen Nenners zu bilden und jeweils zu überprüfen, ob der andere bzw. ob die anderen Nenner darin enthalten sind. Beispiel: größter vorgegebener Nenner: Vielfache von 21: 21, 42, 63, 84, 105, läßt sich ohne Rest durch 4, 7, 21 und 12 teilen, also HN 84 Aufgabe 8 a) b) c) d) e) Seite 14

16 Aufgabe 9 a) b) c) d) e) f) g) h) Seite 15

17 In vielen Fällen, besonders bei den umfangreicheren Aufgaben, empfiehlt es sich jedoch, den Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache, mit Hilfe der Primfaktorzerlegung zu bestimmen. *25 *18 *30 Beispiel: Primfaktorzerlegung: 18 2 * 3 * * * HN kgv 2 * 3 * 3 * 5 * Diese Methode bietet zusätzlich den Vorteil, dass man die jeweiligen Erweiterungszahlen direkt ablesen kann: 18 2 * 3 * * * HN kgv 2 * 3 * 3 * 5 * 5 1) 18 hat die Zerlegung 2 * 3 * 3. Diese drei Zahlen hält man in der Zerlegung des Hauptnenners zu. Übrig bleibt 5 * Also ist 25 die Erweiterungszahl des Bruches * 3 * * * HN kgv 2 * 3 * 3 * 5 * 5 2) 25 hat die Zerlegung 5 * 5. Diese beiden Zahlen werden zugehalten. Übrig bleibt 2 * 3 * Also ist 18 die Erweiterungszahl des Bruches * 3 * * * HN kgv 2 * 3 * 3 * 5 * 5 3) 15 hat die Zerlegung 3 * 5. Diese beiden Zahlen werden zugehalten. Übrig bleibt 2 * 3 * Also ist 30 die Erweiterungszahl des Bruches Seite 16

18 Aufgabe 10 a) b) c) d) e) f) g) h) i) Seite 17

19 Kapitel 1.3: Textaufgaben 1) Von einem Metallvorrat wurden nacheinander 1/2, 1/4 und 1/6 verbraucht. Es blieben 220 kg übrig. Wie groß war der Metallvorrat? 2) Drei Freunde planen eine 5-tägige Wanderung. Am ersten Tag legen sie 1/6, am zweiten Tag 2/9, am dritten Tag 4/15 und am vierten Tag 1/5 der Strecke zurück. Am letzten Tag wandern sie noch 26 km. a) Wie lang ist die gesamte Wanderung? b) Wie lang sind die Strecken an den ersten vier Tagen? 3) Von einer Erbschaft in Höhe von soll der Sohn als Haupterbe Grundbesitz und Haus haben, deren Wert 3/8 des Gesamterbes beträgt. Zwei Töchter erhalten zusammen 5/12 der Erbschaft in bar. Fünf andere Erben bekommen den Rest zu gleichen Teilen. Wie viel erhält jede einzelne Person? 4) In einem Kanister befinden sich 2 Liter Entwicklerflüssigkeit. Der Laborant entnimmt nacheinander 1/2 l, 1/4 l, 3/8 l und 1/3 l. Nun braucht er noch einmal 3/8 l. Reicht der 2-Liter- Kanister aus? 5) Ein Musikstück ist im ¾-Takt geschrieben, d.h. zwischen zwei Taktstrichen ist Platz für Noten im Wert von ¾. In einem Takt sind folgende Notenwerte notiert: ein Viertel, ein Achtel und drei Sechzehntel. Der Rest des Taktes ist Pause. Wie lang ist die Pause? Seite 18

20 Kapitel 2: MULTIPLIKATION VON BRÜCHEN In einem Hotel ist zum Frühstück für jeden Hotelgast ¼ l Milch vorgesehen. An einem Tisch sitzen 6 Personen. Also müssen dort sechsmal ¼ l Milch stehen. Nach der Definition einer Multiplikation können Sie schreiben: Also kürzer: 6 * 1 4 6* Die Multiplikation mit einer ganzen Zahl wirkt sich also nur im Zähler aus. Was ist denn dann 1 2 * 1 2? Ich lese : ein halbes Mal 1 2 oder : die Hälfte von der Hälfte Also: 1 2 * 1 2 1*1 2*2 1 4 Multipliziere ich nun statt mit 1 2 mit 3 2, so erhalte ich das Dreifache, also : 1 2 * 3 2 3*1 2*2 3 4 Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner. Vor dem Multiplizieren sollte man allerdings erst kürzen. Ganze und gemischte Zahlen werden vor dem Multiplizieren in unechte Brüche verwandelt. Seite 19

21 2 Beispiele: 1) 6 * ) 5 * 3 5 * ) 5 * * ) 3 3 * * ) 26 * 5 * 6 * ) 1 31 * 10 * 6 7 * 1 * * 10 * 55 * 1 * Seite 20

22 Multiplizieren Sie die folgenden Brüche! Kürzen Sie, sofern möglich, stets vor dem Multiplizieren! Schreiben Sie das Ergebnis, wenn möglich, auch als gemischte Zahl! Aufgabe 1 a) 5 * 3 b) 11 * c) 9 * 21 d) 7 * e) 26 * 27 f) 21 * g) 7 * 11 h) 18 * i) 5 * 7 j) 5 * k) 42 * 5 l) 28 * m) 5 * Seite 21

23 Aufgabe 2 a) 2 1 * b) 5 3 * c) 15 3 * d) 11 1 * e) 13 3 * f) 8 4 * g) 4 * h) 25 * i) 17 3 * j) 10 7 * Seite 22

24 Aufgabe 3 a) 2 * 1 * b) 11 * 14 * c) 10 * 15 * d) 6 * 3 * 11 * e) 16 * 16 * 19 * f) 18 * 15 * g) 11 * 7 * 8 * 9 * h) 2 1 * 3 1 * i) 3 * 3 4 * 5 * j) 12 1 * 4 * 7 5 * Seite 23

25 Erinnern Sie sich noch an das Potenzieren?(Vgl.Qualifizierungseinheit Grundrechenarten/Multiplikation) Eine Potenz ist eine abgekürzte Schreibweise für eine Multiplikation. Die Hochzahl (der Exponent) gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Lösen Sie zunächst die Potenz in eine Multiplikation auf und kürzen Sie dann! Aufgabe 4 a) À + b) c) * d) * e) * f) * g) * Lösungen: (in ungeordneter Reihenfolge) 4) 1, 16, 1, 1, 1 3, 37 1, Seite 24

26 Textaufgaben 1) Ein PKW, der gekostet hat, wird nach einiger Zeit für 5/8 des Neuwertes wieder verkauft. Wie viel hat der neue Käufer zu zahlen? 2) Ein Behälter von 85 cm Länge, 45 cm Breite und 30 cm Höhe ist zu 2/3 mit Öl gefüllt. Wie viel Liter Öl enthält der Behälter? 3) Ein Schrebergarten ist zu 4/5 als Nutzgarten eingerichtet. 5/6 davon sind Gemüsebeete. Welcher Bruchteil des gesamten Gartens ist das? 4) Wie viel ist 2/3 von einem Fünftel von siebeneinhalb? 5) Wie viele Liter sind in 325 ¾-Liter-Flaschen Wein? 6) Die Hälfte einer Tafel Schokolade liegt im Wohnzimmer. Meine Tochter ist schlau, sie meint zu ihren beiden Brüdern: Ich schenke euch diese halbe Tafel. Allerdings muss mir jeder 3/7 seines Anteils zur Belohnung abgeben. Ihr macht dabei ein gutes Geschäft, denn immerhin bleiben 4/7 für euch! Stimmt das? 7) Eine Druckfarbe enthält 2/3 Yellow und ¼ Magenta. Der Rest ist Verdünnung. a) Berechnen Sie den Bruchteil der Verdünnung! b) Wie viel Verdünnung ist in 84 l Farbe enthalten? 8) In einem Betrieb sind ¾ der Mitarbeiter gelernte Fachkräfte. Die Hälfte der Fachkräfte ist jünger als 35. Von den Fachkräften, die älter als 35 sind, verdienen 3/7, das sind 18 Personen, mehr als 3000 pro Monat. a) Welchen Anteil der Betriebsangehörigen machen die Personen aus, die unter 35 und gelernte Fachkräfte sind? b) Welchen Anteil der Betriebsangehörigen machen die Fachkräfte aus, die älter als 35 sind und mehr als 3000 verdienen? c) Wie viele Beschäftigte hat der Betrieb? 9) Aus einer Filmschachtel mit 240 Blatt wurden von der Repro- Abteilung ein Fünftel und von der Retusche 1/12 entnommen. Von dem Rest wird morgen die Hälfte benötigt. Wie viel Blatt bleiben für übermorgen? Seite 25

27 Kapitel 3: DIVISION VON BRÜCHEN Man dividiert durch einen Bruch bzw. durch Brüche, indem man mit seinem Kehrwert bzw. ihren Kehrwerten multipliziert. Vor dem Multiplizieren wird, sofern möglich, gekürzt. Ganze und gemischte Zahlen werden in unechte Brüche verwandelt. Der Kehrwert eines Bruches entsteht, wenn man den Zähler mit dem Nenner vertauscht, d.h., der Zähler wird als Nenner und der Nenner als Zähler geschrieben. ursprünglicher Bruch Kehrwert Vielleicht erscheint diese Regel zunächst unlogisch, doch besteht tatsächlich ein Zusammenhang zwischen der Multiplikation und der Division. Überlegen Sie: Ob Sie einen Wert halbieren, indem Sie durch 2 dividieren oder mit ½ multiplizieren, das Ergebnis ist gleich! 5 : 2 2 ½ 5 ½ 2 ½ Seite 26

28 Man dividiert durch einen Bruch bzw. durch Brüche, indem man mit seinem Kehrwert bzw. ihren Kehrwerten multipliziert. Vor dem Multiplizieren wird, sofern möglich, gekürzt. Ganze und gemischte Zahlen werden in unechte Brüche verwandelt. 2 2 Beispiele: 1) 6 : 3 6 * ) 3 : 5 3 * ) 5 : 4 5 : 4 5 * ) 7 : : 28 7 * ) 6 4 : : * ) 3 2 : 11 : 3 1 : : 11 : 25 : * 12 * 8 * ) 9 : 22 * 11 9 * 35 * Seite 27

29 Dividieren Sie die folgenden Brüche! Kürzen Sie, sofern möglich, stets vor dem Multiplizieren! Schreiben Sie das Ergebnis, wenn möglich, auch als gemischte Zahl! Aufgabe 1 a) 11 : b) 8 : c) 27 : d) 144 : e) 24 : 6 7 f) 78 : g) 21 : 8 25 h) 45 : i) 80 : Seite 28

30 Aufgabe 2 a) 7 2 : b) 3 : c) 30 : d) 9 3 : 15 8 e) 5 3 : 7 5 f) 77 : g) 12 3 : h) 7 7 : i) 9 9 : j) 8 23 : Seite 29

31 Doppelbrüche Als Zähler oder Nenner erscheint ein Bruch. Das bedeutet, Sie müssen den Zähler durch den Nenner dividieren. Der Bruchstrich auf Höhe des Gleichheitszeichens ist der Hauptbruchstrich. Im Grunde sind Doppelbrüche Divisionsaufgaben in einer kompakten Schreibweise. Diese Darstellung wird für jede Art von Formeln benutzt, um einen mathematischen Ausdruck nicht so lang werden zu lassen. Beispiel : * Aufgabe 3 a) b) c) d) e) Seite 30

32 f) g) h) Seite 31

33 Aufgabe 4 a) 14 : 4 : b) 21 : 11 : c) 3 18 : 6 : d) 85 : 3 : e) 7 17 : 3 : f) 116 : 1 1 : g) 15 : 5 5 : h) 1 7 : 4 5 : Seite 32

34 Aufgabe 5 Passen Sie hier auf! Nur Brüche, durch die Sie dividieren sollen, dürfen mit dem Kehrwert multipliziert werden. a) 2 : 1 19 * b) 96 * 15 2 : c) 4 4 : 27 * d) 4 : 1 1 * e) 18 * 2 9 : f) 1 47 * 1 13 : g) 32 : 1 31 * h) 28 * 18 : Seite 33

35 Textaufgaben 1) Wie viel ist der 5. Teil der Hälfte von 8/9? 2) Wie viel 1/8 kg-tee-päckchen kann man aus 124 1/2 kg Tee herstellen? 3) 36 l Wein zu 7,20 je l sollen in 3/4 l- Flaschen abgefüllt werden. Berechnen Sie die Anzahl der Flaschen und den Preis je Flasche! 4) Eine Unterrichtsstunde dauert ¾ Stunde. a) Wie viel Zeit (in Tagen und Stunden) hat ein Schüler abgesessen, wenn er ca. 28 Unterrichtsstunden pro Woche genießt, und das 10 Jahre lang bei 38 Schulwochen pro Jahr? b) Wie viele Unterrichtsstunden sind vergangen, wenn der Schüler 1000 Zeitstunden hinter sich hat? Seite 34

36 Name: Vorname: Klasse/Kurs: Datum: KONTROLLBOGEN Schicken Sie den ausgefüllten Bogen zurück! 1a) b) 12 * ) 9 : ) ) * ) ) 68 : ) ) 4 1 * 5 1 * Seite 35

37 9.) ) 5 * 7 : ) ) ) 26 : ) ) 3 * ) ) 4 1 : ) Seite 36

38 19.) * ) 91 : ) ) 25 7 : ) ) 121 : 66 * ) Seite 37