4. Allgemeines ebenes Kräftesystem

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1 4. llgemeines ebenes Kräftesystem Eine Gruppe von Kräften, die an einem starren Körper angreifen, bilden ein allgemeines Kräftesystem, wenn sich ihre Wirkungslinien nicht in einem gemeinsamen Punkt schneiden. f 3 P 2 2 f P 3 P 3 f 2 Das allgemeines Kräftesystem beinhaltet das zentrale Kräftesystem als Sonderfall.

2 4. Äquivalenz von Kräften und Momenten 4.. Zusammensetzen von Kräften eim allgemeinen Kräftesystem sind neben etrag und Richtung im Kräfteplan auch der ngriffspunkt der Resultierenden im Lageplan zu bestimmen Lageplan f 3 P R f 2 2 P r f 3 Kräfteplan Zwei Kräfte mit gemeinsamen Schnittpunkt bilden mit ihrer Resultierenden ein zentrales Kräftesystem. Durch Einzeichnen der Wirkungslinien im Lageplan lässt sich schrittweise der ngriffspunkt der Endresultierenden konstruieren R R 3 2 r 2

3 ei parallelen oder fast parallelen Kräften versagt das vorgestellte Verfahren, da keine gemeinsamen Schnittpunkte konstruiert werden können. Das Verfahren wird dahingehend abgeändert, indem Hilfskräfte eingeführt werden, die sich gegenseitig aufheben. R H Lageplan R 2 P 2 h P P r 2 r H R 2 Die Resultierende wirkt parallel zu den Kräften. Der Schnittpunkt P teilt den bstand der Kräfte im umgekehrten Verhältnis zu ihren eträgen. R R 2 H 2 Kräfteplan R 3

4 4..2 Kräftepaare Die Reduktion auf eine einzige Resultierende gelingt nicht für den all gleich großer, parallel und entgegengesetzt gerichteter Kräfte. R r 2 h P H 2 P 2 r H R 2 r r 2 = und 2 r r R = R 2 Versucht man, ein solches Kräftepaar zusammenzufassen, erhält man Resultierende, die wiederum ein Kräftepaar bilden. r und R R2 Zwei parallele Kräfte mit gleichem etrag und entgegengesetzter Orientierung werden als Kräftepaar bezeichnet. Die Resultierende eines Kräftepaares ist null. r r r 4

5 4..3 Momente Da sich Kräftepaare nicht auf Einzelkräfte reduzieren lassen, bilden sie selbständige Grundelemente eines allgemeinen Kräftesystems. Kräftepaare üben auf einen Körper ein Drehmoment aus. Die Wirkung eines Moments auf einen starren Körper besteht in dem estreben, ihn um eine chse zu drehen. z y positiv M x a negativ M Das Drehmoment ist wie die Kraft eine gerichtete Größe. Der Momentenvektor M r steht senkrecht zur Ebene, die das Kräftepaar aufspannt. 5

6 Der Momentenvektor gibt die Richtung der Drehachse an und wird durch einen Doppelpfeil gekennzeichnet. Symbolisch kann ein Moment auch durch einen gekrümmten Pfeil dargestellt werden. Die Orientierung ergibt sich nach der Rechten-Hand-Regel: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung des Momentenvektors, zeigen die inger in Drehrichtung des Moments. Momente, die entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn drehen, sind positiv (+) definiert, Momente mit Drehrichtung im Uhrzeigersinn sind negativ (-). Der etrag des Momentenvektors M ist das Produkt aus dem etrag und dem bstand a des Kräftepaares M = a [Nmm, Nm = kgm 2 /s 2, knm] 6

7 Der etrag des Moments eines Kräftepaares ist unabhängig vom ezugspunkt M b a M Moment des Kräftepaars: M = a Moment bezüglich : M = (a + b) b = a = M Daraus folgt, dass Kräftepaare beliebig parallel verschoben werden dürfen, ohne dass sich ihre Wirkung auf das Kräftesystem ändert. Im Gegensatz zu den liniengebundenen Kräften handelt es sich bei Momenten an starren Körpern um freie Vektoren. M M M M 7

8 4..4 Versetzungsmoment Eine Kraft kann an einem starren Körper parallel zu ihrer Wirkungslinie f r verschoben werden, wenn das Versetzungsmoment berücksichtigt wird. a a a ' f f ' f Es ergibt sich ein Kräftepaar, das durch das Versetzungsmoment M= a ersetzt werden kann. f ' f M = a ' Hierzu werden auf der Wirkungslinie f r im bstand a zwei entgegengesetzte Kräfte mit dem etrag von eingetragen, die sich gegenseitig aufheben. f 8

9 Das Versetzungsmoment einer Kraft bezüglich eines beliebigen Punktes wird auch als statisches Moment bezeichnet. a M= a f eispiele: a) Winkelhaken b) Welle mit Zahnrad a r M= a = = M= r 9

10 4.2 Statische estimmtheit Liegen alle Lasten und Reaktionskräfte eines starren Körpers in einer Ebene, so bezeichnet man diesen Körper als starre Scheibe. y Die Lage einer starren Scheibe in ihrer Ebene wird durch genau drei unabhängige Koordinaten eindeutig bestimmt. ϕ r ψ ' x,y und ϕ oder r,ψ und ϕ Eine ungefesselte, starre Scheibe besitzt f = 3 unabhängige reiheitsgrade (ewegungsmöglichkeiten). Durch Lagerungen wird die nzahl der reiheitsgrade reduziert. Eine starre Scheibe ist statisch bestimmt gelagert, wenn ihr reiheitsgrad f = 0 ist. Dies stellt eine notwendige, aber nicht hinreichende edingung dar. y x x 0

11 Stäbe fixieren eine Scheibe nur in eine Richtung. Sie binden jeweils einen reiheitsgrad. s r s r s r 3 2 s r s r s r s r s r P s r 3 a) Stabile Lagerung, Wirkungslinien der Lagerkräfte haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. b) Labile Lagerung, Wirkungslinien der Lagerkräfte gehen durch einen Pol, um den sich die Scheibe drehen kann. c) Instabile Lagerung, Wirkungslinien der Lagerkräfte sind parallel, die Scheibe kann sich verschieben.

12 4.3 uflagerreaktionen Ein starrer Körper muss in bestimmter rt und Weise gelagert werden, damit er sich nicht unter der Wirkung äußerer Kräfte verschiebt. In den uflagerpunkten wirken Reaktionskräfte, die mit den vorgegebenen Kräften im Gleichgewicht stehen. Sämtliche Lagerungen, die in der Technik vorkommen, lassen sich auf drei Grundtypen zurückführen: Gelenk ührung und Einspannung Ein Gelenk kann kein Moment, eine ührung keine Kraft übertragen. In der Ebene ist ein Lager je nach nzahl der auftretenden unabhängigen uflagerreaktionen ein-, zwei- oder dreiwertig, 2

13 a) Einwertige Lager Rollen bzw. Gleitlager Pendelstütze Gleithülse Seil ei einwertigen Lagern tritt die Kraft als einzige Unbekannte auf. Die Kraftrichtung ist durch die Konstruktion vorgegeben b) Zweiwertige Lager Gelenklager α Pendelstützen ührung ei zweiwertige Lagern treten grundsätzlich zwei Unbekannte auf, entweder eine Kraft und eine Richtung (Gelenklager), zwei Kräfte (Pendelstützen) oder eine Kraft und ein Moment (ührung). 3

14 eim Gelenklager kann die Kraftrichtung mit unbekanntem Winkel durch zwei unbekannte Kräfte mit beliebiger Richtung ersetzt werden. α = = Die Kraftrichtungen werden zweckmäßigerweise senkrecht zueinander gewählt. c) Dreiwertige Lager α Einspannung = ei dreiwertige Lagern treten drei Unbekannte auf: Kraft, Kraftrichtung und Moment bzw. zwei Kräfte und ein Moment. 4

15 Rollen- oder Gleitlager, Pendelstütze, Seil Lagerungstyp Symbol Lagerreaktion reiheitsgrad Wertigkeit Gelenklager 2 ührung 2 Einspannung kein 3 5

16 In der Ebene werden einwertige Lager (Rollen- oder Gleitlager, Pendelstütze) als Loslager, zweiwertige (Gelenklager, ührung) als estlager bezeichnet. ür Einspannungen ist auch der egriff estpunkt gebräuchlich Die ilder zeigen die technische usführung des Loslagers einer historischen Eisenbahnbrücke, welches als reibungsfreies uflager idealisiert werden kann. (nach Gabbert/Raecke: Technische Mechanik für Wirtsschaftsingenieure) 6

17 4.4 Gleichgewicht von Kräften und Momenten Ein allgemeines Kräftesystem ist im statischen Gleichgewicht, wenn alle Kräfte sich gegenseitig aufheben und kein Kräftepaar (Moment) auftritt. Neben der Einspannung ist die Kombination aus est- und Loslager sowie die Lagerung durch drei Pendelstützen bei statisch bestimmt gelagerten Scheiben von besonderer edeutung. a) est- und Loslager b) Pendelstützen C C ei der Lagerung durch est- und Loslager treten mindestens drei, bei der Lagerung durch Pendelstützen mindestens vier Kräfte auf. 7

18 4.4. Grafische ehandlung Drei-Kräfte-Verfahren Im Gleichgewichtsfall muss die Reaktionskraft im estlager die Resultierende aus der eingeprägten Kraft und der Kraft im Loslager aufheben. Lageplan b a P Kräfteplan b a f Die Resultierende bildet mit der Kraft im Loslager nur dann kein Kräftepaar, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden. Drei Kräfte bilden im Gleichgewichtsfall stets ein zentrales Kräftesystem. 8

19 Übung: Scheibe mit Einzellast Gegeben: Horizontale Last = 3 kn Gesucht: uflagerkräfte und Lageplan Kräfteplan f a Kraftmaßstab: cm = kn 2a 9

20 Vier-Kräfte-Verfahren eim Vier-Kräfte-Verfahren nach Culmann werden aus der eingeprägten Kraft und einer Lagerkraft eine Resultierende gebildet, die im Gleichgewicht mit den restlichen Lagerkräften steht. Lageplan f c r b r P 2 P C r a r C Kräfteplan Es tritt nur dann kein Kräftepaar auf, wenn die Resultierende auf der Verbindungslinie der Schnittpunkte P und P 2 der beteiligten Kräfte liegt. b C R c r a r 20

21 Übung: Scheibe mit Einzellast Gegeben: Kraft = 8 kn Gesucht : uflagerkräfte,, C Lageplan Kräfteplan C Kraftmaßstab: cm = 2 kn 2

22 4.4.2 Rechnerische ehandlung Ein allgemeines Kräftesystem ist im Gleichgewicht, wenn alle Kräfte und alle Kräftepaare null werden, d. h. wenn die resultierende Kraft und das resultierendes Moment verschwinden. Kräftegleichgewicht: Momentengleichgewicht: R r r M n = R i = 0 n n r = M i = i In Komponentendarstellung ergeben sich in der Ebene drei notwendige und hinreichende Gleichgewichtsbedingungen, wobei P ein willkürlich gewählter ezugspunkt für das Momentengleichgewicht ist: n P = 0 = 0 = 0 ix n iy n M iz r i = 0 22

23 Die Kräftegleichungen lassen sich durch Momentengleichungen ersetzen, sofern die ezugspunkte zur ildung der Momentengleichgewichte unterschiedlich gewählt werden und nicht auf einer Linie liegen. Die Gleichgewichtbedingung kann somit auch durch eine Kräftegleichung und zwei Momentengleichungen n P = 0 = P2 M 0 = 0 ix oder drei Momentengleichungen n iz n M iz n P = P2 P3 M 0 M = 0 = 0 iz n iz n M iz mit unterschiedlichen ezugspunkten P, P 2 und P 3 ersetzt werden. In der Ebene sind jeweils nur drei Gleichgewichtbedingungen linear von einander unabhängig. 23

24 Obwohl die Lage der ezugspunkte mit den o.g. Einschränkungen prinzipiell beliebig ist, hängt von der geschickten Wahl der Rechenaufwand entscheidend ab. Grundsätzlich gilt, nur solche ezugspunkte für die ufstellung von Momentengleichgewichten zu wählen, deren bstände bekannt oder aus der Geometrie leicht ermittelbar sind und die auf der Wirkungslinie mindestens einer unbekannter Kraft liegen. Dies trifft immer für uflager zu. n = 0 M = 0 = 0 ix n iz n M iz ezugspunkte zur ufstellung von Momentengleichgewichten sind in der Regel in die uflagerpunkte zu legen. ei der analytischen estimmung von uflagerreaktionen werden diese meist als Druckkräfte, d. h. mit der Pfeilspitze zum reikörperbild orientiert eingetragen. Die tatsächliche Orientierung ergibt sich aus dem Vorzeichen des erechnungsergebnisses. bhebende Kräfte besitzen negative Vorzeichen. 24

25 eispiel: Scheibe mit Einzellast y h = m x =3 kn reikörperbild b = 2 m Gleichgewichtsbedingungen 25

26 eispiel: Gelagerte Scheibe mit Momentenlast M=2 knm reikörperbild M y L=0,8 m x Gleichgewichtsbedingungen 26

27 Übung: Gelagerte Scheibe mit Kraft- und Momentenlast Gegeben: = 5 kn, M = 2 knm, L = 2 m, h = m, α = 30 Gesucht: uflagerreaktionen y h x M Gleichgewichtsbedingungen L α reikörperbild M 27

28 Ergänzung: Durch drei Gleitlager gelagerte Scheibe mit Einzellast α h = m α x = 0 y = 0 x =8 kn C C = + C + M P y x y x b = 2 m = + C + aus (3): y x α = 45 = ( + C+ ) cosα y = ( C+ ) sinα + 3b 3b h 2h = 0 = + y x = + y x b 2 = 8 ( cos45 sin 45 ) = 3, 77 kn 3 2 3,77 C = = = 2, 67kN 2 sinα 2 sin45 aus () (2): aus (): x c y y a x 28 C x C y P + + C =0 () + C = (2) sinα 2h = cosα sinα (3) 3b = C = 2,67 8= 5, 33kN

29 lternativ: erechnung durch Momentengleichgewichte b a α h = m α C b = 2 m =8 kn α = 45 C a f a 3 P a 4 a 2 P 2 P 3 c P M = 0 = a + a 2 M P M P 2 = 0 = a + C a 3 h 2 3 b 2h = + = = 8= 3, 77kN 2 4 3b 3 2 h 2 3 h 2 8 = + C C = = = 2, 67kN h = h 2 = = = 5, 33kN 3 = 0 = a a