2. Momentanpol. Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: y A ), v Py. =v Ay

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1 ufgabenstellung: Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: Gesucht ist der Punkt П, dessen momentane Geschwindigkeit null ist. Lösung: v Px =x ( y P y ), v Py =y + ( x P x ) Koordinaten: 0=v x =x (y y ) 0=v y =y + ( x x ) } y y = x x x = y Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

2 Der Vektor steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor : y x / =( x x )x +(y y )y = y x + x y =0 α x α -y / x Für den Betrag gilt: = v 2 2 x +y = y = tan (α)= x y Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

3 Ergebnisse: Die augenblickliche Bewegung ist eine reine Drehung um den Punkt. Dieser Punkt wird als Momentanpol bezeichnet. Der Momentanpol kann sich außerhalb des Körpers befinden. Er ist kein ortsfester Punkt. Die Bahn, die der Momentanpol durchläuft, wird als Rastpolbahn bezeichnet. Bei einer reinen Translation ( = 0) liegt der Momentanpol im Unendlichen. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

4 Zeichnerische Ermittlung des Momentanpols: Der Geschwindigkeitsvektor in jedem Punkt P des starren Körpers ist senkrecht auf der Geraden durch den Momentanpol und den Punkt P. Sind die Richtungen der Geschwindigkeiten an zwei Punkten des starren Körpers bekannt, dann ist der Momentanpol der Schnittpunkt der beiden Geraden durch diese Punkte, die senkrecht auf den Geschwindigkeiten stehen. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

5 Für die Geschwindigkeiten gilt: v Q v P = r P, v Q =r Q r Q Q v P P Die Winkelgeschwindigkeit lässt sich ermitteln, wenn von einem der beiden Punkte auch der Betrag der Geschwindigkeit bekannt ist: r P = v P r P = v Q r Q v P v Q = r P r Q Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

6 Beispiel: Rollendes Rad Der Mittelpunkt des Rades bewegt sich mit der Geschwindigkeit v M. Der Punkt des Rades, der den Boden berührt, ist im Moment der Berührung in Ruhe. Dieser Punkt ist der Momentanpol. B M r v M Rollbedingung: v M = r = v M r = 2r=2 v M Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

7 Beispiel: Kurbeltrieb Bekannt ist die Geschwindigkeit = R des Punktes sowie die Richtung der Geschwindigkeit des Kolbens. Damit lässt sich die Lage des Momentanpols des Pleuels zeichnerisch ermitteln. O K v K Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

8 γ δ r K α R L β ε O K v K Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

9 Winkel im Dreieck K: ϵ=90 β, γ=90 α, δ=α+β Sinussatz im Dreieck K: r K sin (δ) = sin (ϵ) r K sin (δ) sin (α+β) (α+β) = = =sin sin (ϵ) sin (90 β) cos (β) Geschwindigkeit des Kolbens: v K = r K r K sin (α+β) v K = = v cos(β) Mit sin (α+β)=sin(α)cos(β)+ cos(α)sin (β) folgt: v K = (sin (α)+cos(α)tan (β)) Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

10 Spezialfall: Die Geschwindigkeitsvektoren stehen senkrecht auf der Geraden durch die beiden Punkte. B Dann liegt der Momentanpol auf dieser Geraden. r B Es gilt: = = r B = r B r B B Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

11 Beispiel: Die Rolle 1 ist von einem Seil umschlungen, das in den Punkten und B abgespult wird und über die gelenkig gelagerte Rolle 2 umgelenkt wird. Punkt P hängt an einem Seil, das im Punkt C von der Rolle 1 abgespult wird. Beide Seile sind dehnstarr. 2 Rolle 1 B Rolle 2 S 1 v S C v P P r B r C Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

12 Gegeben: Geschwindigkeit vs Gesucht: Momentanpol der Rolle 1 Geschwindigkeit vp und Winkelgeschwindigkeiten 1 und 2 B r S v S C v C r B r C Geometrie: Radius von Rolle 2: r 2 = 1 2 ( r B ) Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM

13 Rolle 2: Rolle 1: Der Momentanpol liegt in der Mitte zwischen den Punkten und B. Daher gilt: r = 1 2 ( +r B ) = = 2 r 2 Für die Geschwindigkeiten folgt: v S = 1 r 1 = 2v S +r B v P =v C =(r +r C ) 1 = +r B +2 r C 2 v S 2 +r B = +r B +2 r C +r B =(r r B ) 1 v S = r B 2v S = r B v 2 +r B +r S B 2 = r 2 = 2 r B = 2 v S +r B = 1 Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers TM