Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus

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1 Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus Max Zoller 14. April 8 1 Der klassische euklidische Algorithmus Beispiel: ggt 15, 56? 15 = = = = ggt 15, 56 = 7 Algorithmus 1. Gesucht ggtx,y mit x, y Setze r = x r 1 = y { r i+1 = Rest bei Division r i 1 durch r i falls r i sonst = r i 1 = q i r i + r i+1 Dann gibt es ein kleinstes n N : r n+1 = = ggt x, y = r n Fragen: Wo in welchen algebraischen Strukturen funktioniert dieser Algorithmus? Wie definiert ganz allgemein in einer solchen Struktur ggt und kgv und sind diese eindeutig? Welche Eigenschaften haben diese Strukturen? 1

2 Wie kann man den Algorithmus erweitern um mehr Informationen zu erhalten? Im wesentlichen braucht man für den obigen Algorithmus die Division mit Rest und die Eigenschaft, dass er nach endlich vielen Schritten abbricht. Definition 1. Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit einem von Null verschiedenen Einselement. Definition. Ein Integritätsring mit einer Abbildung δ : R\{} N heißt Euklidischer Ring, wenn gilt:. Beispiele f, g R, g q, r R : f = q g + r und δr < δg Im obigen Beispiel des Ringes Z kann man δ : Z\{} N, z z wählen. = Z, δ ist ein eukl. Ring. Im Ring der Polynome über einen Körper K wählt man δ : K[X]\{} N, p grad p. = K[X], δ ist ein eukl. Ring. Jeder Körper trivial, da Division sogar immer ohne Rest möglich Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Z[i] = {z = a + ib C a, b Z} ist ein eukl. Ring mit δ : Z[i]\{} N, z = a + ib a + b = z. Beweis: Sei z, z 1 Z[i]. Gesucht q 1, r Z[i] : z = q 1 z 1 + z

3 sodass δz < δz 1 z < z 1 oder z = Rechenoperationen definiert wie in C 1.Fall z z 1 Z[i] = z :=, q 1 := z z 1.Fall z z 1 C\Z[i] q 1 Z[i] : z q 1 z 1 < 1 = z q }{{ 1 z } 1 =:z = z < z 1 1 z 1 < z 1 Anmerkung: r und q sind i.a. nicht eindeutig bestimmt. Im obigen Beispiel: 15 = 56 7 statt 15 = möglich! Erinnerung: In einem Ring R heißt x Teiler von y Schreibweise x y, wenn es ein t R gibt mit y = t x Definition 3. In einem Ring R heißt c der ggt von a und b, wenn gilt: 1. c a und c b. d R: d a und d b = d c Weiter heißt v R kgv von a, b R, wenn gilt: 1. a v und b v. d R: a d und b d = v d Frage: Sind ggt, kgv eindeutig bestimmt? Antwort: i.a. Nein! Aber es gibt eine einfache Äquivalenzrelation zwischen allen möglichen ggt/kgv, so dass man einen Repräsentanten der entsprechenden Klasse wählen kann. Definition 4. In einem Ring R mit Einselement heißt ein Element u Einheit unit, wenn das multiplikative Inverse u 1 R exisitert. Die Elemente a, b R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit u R gibt: a = u b Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Beweis leicht 3

4 Beispiele In Z sind 1 und -1 die einzigen Einheiten. Damit sind genau z und -z assoziert z Z. Wähle als Repräsentanten der entsprechenden Äquvalenzklasse z In einem Körper K sind alle Elemente außer Einheiten und damit auch alle Elemente a, b K\{} assoziiert miteinander. Im Polynomring K[X] über einen Körper sind genau die Polynome vom Grad Einheiten. Man kann also z.b. als Repräsentanten einer Klasse assoziierter Polynome z.b. dasjenige mit Leitkoeffizient 1 wählen. Man gewinnt so die Normalform des entsprechenden Polynoms. Allgemein: Definition 5. Zeichne in einem euklidischen Ring einen Repräsentanten jeder Klasse assoziierter Elemente als Normalform aus Bezeichnung normala für a aus der Klasse. Dann heißt die Einheit l R mit a = l normala Leitkoeffizient Schreibweise l=lca von a. Setze lc:=1 und normal:=. Proposition 1. Der ggt zweier Elemente a, b R R eukl. Ring ist bis auf Assoziiertheit eindeutig. Beweis: Sei R eukl. Ring und a, b R a,b nicht beide. Seien weiter g 1, g R ggt von a und b. g i a g i b i = 1, Nach Def. von ggt muss gelten jeder andere Teiler von a,b teilt den ggta,b: g 1 g g g 1 = g 1 = αg g = βg 1 α, β R = g 1 = αβg 1 = g 1 1 αβ = Nun ist g 1 da ggt und R ist nullteilerfrei und kommutativ Integritätsring. = αβ = βα = 1 = α = β 1 α, β sind Einheiten und g 1, g assoziiert. 4

5 Beweis von Algorithmus 1: 1. Sei R eukl. Ring und δ : R\{} N zugeh. Gradabbildung. Wähle x, y R\{} und betrachte die Folge r, r 1, r,... Wegen δr i+1 < δr i oder z i+1 = ist für i> streng monoton fallend, solange z i. δ bildet nach N ab und N ist diskret und nach unten beschränkt. = n N : r n+1 =. Betrachte das endliche LGS r = q 1 r 1 + r 1 r 1 = q r + r 3. r n = q n 1 r n 1 + r n n 1 r n 1 = q n r n Dann folgt von unten nach oben induktiv: Aus n: r n r n 1 da r n 1 = q n r n In n-1: r n = q n 1 q n + 1r n also r n r n usw. In und 1: r n r 1 = y und r n r = x Hat man einen weiteren Teiler t von x,y, so folgt induktiv von oben nach unten: t r und t r 1. Also r = α t und r 1 = α 1 t mit α i R Damit folgt aus 1: r = α q 1 α 1 t also t r In : t r 3 usw. In n-1: t r n Nun zu weiteren Eigenschaften euklidischer Ringe: n Idealtheoretisches Definition 6. Sei R Ring. Eine TM I R heißt Ideal in R, falls gilt: 1. I ist additive Untergruppe von R. r R, i I : r i I In jedem Ring gibt es das Nullideal {} und das Einheitsideal R. Weitere Beispiele a Die Mengen m Z wobei m Z sind Ideale in Z 5

6 b Die Menge der Polynome spanx, x, x 3,... bilden ein Ideal in K[X] Verknüpfung von Idealen I und J R : I + J := {i + j i I, j J} I J := { n k=1 i kj k i k I, j k J; n N} I J sind wieder Ideale. Definition 7. Eine Menge von Elementen i k k aus dem Ideal I heißt Erzeugendensysteme von I, falls I = k R i k wobei R a := {r a r R} Umgekehrt lassen sich aus einer Menge von Elementen aus R so Ideale konstruieren. Schreibweise: i 1,..., i n = Ri Ri n Definition 8. Wird ein Ideal I von einem einzigen Element i erzeugt, so heißt I=i Hauptideal Die Ideale a sind wie man leicht sieht Hauptideale mz = m, das in b ebenfalls, da spanx, x, x 3,... = x Definition 9. Ein Integritätsring R, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist heißt Hauptidealring Satz. Jeder euklidische Ring R ist ein Hauptidealring Beweis: Sei I R Ideal, o.b.d.a. nicht das Nullideal das von erzeugt wird. Wähle von den Elementen aus I ein i, sodass δi minimal in I\{} das geht, da δ nach N abbildet, dann gilt: I=i. Ist nämlich j I so gilt wegen der Euklidizität j = q i + r mit δr < δi oder r=. Wegen der Minimalität von δi folgt r=. Also j = qi i = I i i I ist nach Definition von Idealen trivial. Korollar 3. Die Ringe Z, Z[i] und K[X] sind Hauptidealringe Randbemerkungen: Damit sind in Bsp. a bereits alle möglichen Ideale in Z abgedeckt. In Hauptidealringen gibt es eine bis auf Assoziiertheit und Reihenfolge eindeutige Zerlegegung der Elemente in Primelemente das sind solche p R für die gilt p xy = p x oder p y wobei x, y R Ohne Beweis. 6

7 3 Der erweiterte euklidische Algorithmus Algorithmus. Sei R eukl. Ring, auf dem eine Normalform definiert ist, und x, y R nicht beide, o.b.d.a. y 1.. r = normalx ρ = lcx r 1 = normaly ρ 1 = lcy s = ρ 1 s 1 = t = t 1 = ρ 1 1 r i+1 = { Rest bei Division r i 1 durch r i falls r i sonst = r i 1 = q i r i + r i+1 r i+1 = normal r i+1 ρ i+1 = lc r i+1 s i+1 = s i 1 q i s i ρ 1 i+1 t i+1 = t i 1 q i t i ρ 1 i+1 Beachte: Die ρ i sind Einheiten Wie schon im klassischen eukl. Algorithmus gibt es ein kleinstes l N : r l+1 = = r n ist der normierte ggtx,y. Man erhält als Informationen Die Euklidische Länge l N von x,y Die Quotienten q i R 1 i l Die Reste r i R i l + 1 Die Leitkoeffizienten ρ i R i l + 1 der Reste Die Elemente r i, s i, t i R bilden die sogenannte i-te Reihe des erw. eukl. Alg. Es gilt: Speziell für i=l s i x + t i y = r i i l + 1 s l x + t l y = r l = ggt x, y normiert wobei s l, t l die Bézout Koeffizienten von x,y heißen. 7

8 Beispiel: Sei R = Q[X] und f, g Q[X] mit f = x 3 + 7x + 8x + 3 g = x + 3x + 1 Darstellung als Tabelle i q i ρ i r i s i t i - x x x + x + 3x x x x 3-1 nach Def. x 1 x + 5x + 3 Rechnung Polynomdivision liefert x x + 3 = x x + + x + 1 = q 1 = x + r = 1 x + 1 = r = x + 1 ρ = 1 1 s = t = x + 3 x + 1 = x + 1 x + 1 = q = x + 1 Insbesondere ist damit r 3 = = r 3 = x + x + 1 = 1 = x ρ 3 = 1 nach Definition s 3 = x = x 1 1 t 3 = x = x + 5 x + 3 r = ggt f, g = s f+t g = 1x 3 +7x +8x+3+ x x +3x+1 = x+1 8

9 Korollar 4. Zwei beliebige Elemente x, y R, wobei R ein euklidischer Ring ist, haben einen ggt h, der sich als Linearkombination von x,y darstellen lässt: h = s x + t y mit s, t R Übersichtlichere Darstellung des erw. eukl. Algorithmus: Definiere für 1 i l folgende Matrizen in R s t R = 1 Q s 1 t i = 1 ρ 1 i+1 q i ρ 1 und R i = Q i Q 1 R i+1 Satz 5. beweist u.a. auch den Algorithmus mit 1.,3.,4. Die Tatsache, dass der Algorithmus nach endlich vielen Schritten abbricht wurde oben schon begründet Für i l: f ri 1. R i = g r i+1 si t. R i = i s i+1 t i+1 3. ggt f, g = ggt r i, r i+1 = r l 4. s i f + t i g = r i auch für i=l+1 5. s i t i+1 t i s i+1 = 1 i ρ ρ i ggt r i, t i = ggt f, t i 7. f = 1 i ρ ρ i+1 t i+1 r i t i r i+1 g = 1 i+1 ρ ρ i+1 s i+1 r i s i r i+1 Beweis: 1. Vollst. Ind. nach i: i = 1. Schritt des Algorithmus. IS für i 1 IV: Beh. wahr k < i: f R i = IV ri 1 1 ri 1 Q g i = r i ρ 1 i+1 q i ρ 1 i+1 r i r = i ri r i 1 q i r i ρ 1 = i+1 r i+1. analog zu 1. Im IS verwendet man si 1 t Q i 1 si t i = i s i t i s i+1 t i+1 9

10 3. Sei i {,..., l}, aus 1. folgt: rl f = Q l Q i+1 R i g = Q l Q i+1 ri r i+1 Also ist r l LK von r i, r i+1 = jeder gemeinsame Teiler von r i, r i+1 teilt auch r l. Da die Q i invertierbar sind mit Q 1 qi ρ i = i+1 folgt: 1 ri r i+1 = Q 1 i+1 rl Q 1 l Also sind r i, r i+1 LK von r l und damit durch r l teilbar. Für i= folgt speziell ggt f, g = r l 4. folgt durch Einsetzen von. in s i t i+1 t i s i+1 = detr i = detq i detq 1 detr = ρ 1 i+1 ρ 1 s t 1 }{{} 1 i ρ ρ i+1 1 also eine Einheit! 6. Daraus folgt, dass ggt s i, t i =1 Einheit wird auf 1 normiert, sonst könnte man oben eine Nichteinheit aus der Determinante ziehen Lineatrität in Zeile. Man sagt, s i und t i sind koprim. Sei p R Teiler von t i. Dann gilt: p f = p s i f + t i g = r i p r i = p s i f = r i t i g = p f da ggt s i, t i = 1 Also p f p r i =ρ 1 ρ 1 1 = 7. Mithilfe von 5. erhält man die Inverse von R i : R 1 i = 1 i ti+1 t ρ ρ i +1 i ti+1 t da i s i+1 si t = i+1 t i s i+1 s i t i+1 t i s i+1 s i s i+1 Multipliziere nun beide Seiten von 1. mit R 1 i : f = R 1 ri i und schreibe das LGS aus. g r i+1 s i si t i s i+1 t i+1 1

11 Zurück zur Idealtheorie: Das zeigt, dass mit je zwei Elementen auch deren ggt in einem Ideal eines euklidischen Ringes ist. Spannen also n Elemente i 1,..., i n ein Ideal I auf, so gilt: I = ggt i 1,..., i n = ggt i 1, ggt i,... ggt i n 1, i n... Mit dem Wissen, dass eukl. Ringe Hauptidealringe sind das könnte man damit sogar evtl. beweisen, Schwierigkeit: unendlich erzeugte Ideale kann man sagen, dass ein Ideal I in einem eukl. Ring bereits vom ggt eines bel. Erzeugendensystems erzeugt wird. 11