Ergebnis- und Ereignisräume

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1 I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt Zufallsexpermet. Bespel:. Würfelwurf: Möglche Ergebsse: Augezahle 6 2. Müzwurf: Möglche Ergebsse: Kopf (K) oder Zahl (Z) 3. Zehe aus eer Ure: Möglche Ergebsse: weße oder grüe Kugel 4. Glücksrad 2 Möglche Ergebsse:, 2 oder 3 5. Roulette (als ee Art Glücksrad) 6. Lebtz dachte, dass be 2 Würfel de Summe ud 2 glech häufg see: S. 2 Nr., Evt. als Gruppearbet 0: Augesumme 2 0: 00, 86, 95, 94, 80, 95 -> 750 : Augesumme : 6, 0, 3, 7, 5, 3 -> 44 2: Augesumme 2: 6, 4, 2, 4, 0, 2 -> 28 2

2 2 Ergebsraum 2. Defto De möglche Ergebsse ees Zufallsexpermetes ω ( =,..., ) werde zu eer Mege zusammegefasst; dese et ma Ergebsraum Ω. Bespel: Werfe ees Würfels Folgede Ergebsräume köe betrachtet werde: Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} Ω2 = {6, kee 6} Ω3 = {g, u} Ω4 = {, 2,..., 6, Kate, Ecke} ω... ω6 ω ω2 Aber: Ω5 = {gerade, prm} st ke Ergebsraum, da der Augezahl 2 bede Elemete vo Ω5 zugeordet werde. Bedgug a ee Ergebsraum: Jedem möglche Ausgag des Zufallsexpermetes darf cht mehr als e Elemet aus Ω zugeordet werde. Defto: De Mächtgket Ω st de Azahl der Elemete zum Ergebsraum Ω. Bespele: 7/2 Ω = {(a b) a {, 2, 3,...6} b {Z, K}} = {( Z), (2 Z), (3 Z), (4 Z), (5 Z), (6 Z), ( K), (2 K), (3 K), (4 K), (5 K), (6 K)} Ω = 2 8/4 Ω = {(a b) a, b {, 2, 3,4} a < b} = {( 2), ( 3), ( 4), (2 3), (2 4), (3 4)} Ω = 6 HA: 8/ 3, 5, 6 3

3 2.2 Mehrstufge Zufallsexpermete a Zehe aus eer Ure ohe Zurücklege I eer Ure befde sch ee rote, ee gelbe ud zwe rote Kugel. De gezogee Kugel werde cht zurückgelegt. Baumdagramm zum Ablese der Ergebsse. (Evt. Zahlewerte für Wahrschelchkete für jede Stufe propädeutsch etrage, be der Wurzel ud der. Stufe jewels de restlche Kugel otere.) Ω = {(r b); (r g); (g r); (g b); (b r); (b g); (b b)} = {(x y) x,y {r, b, g} (x y) (r r) (x y) (g g) } Ω = 7 b Zehe aus eer Ure mt Zurücklege Aus der gleche Ure we 2.2. werde zwe Kugel gezoge ud de Ure zurückgelegt. Baumdagramm we 2.2. mt de zusätzlche Möglchkete (r r) ud (g g) Ω = {(x y) x,y {r, b, g} } Ω = 9 8/5 4

4 c -Tupel als Ergebsse Bespel dremalges Werfe ees Würfels Ergebsse: (ω ω 2_ω 3 )., 2., 3. Wurf Ω ={( ); ( );...} De Ergebsse ees -stufge Zufallsexpermets sd -Tupel (ω ω 2_... ω )wobe ω rgede Ergebs des -te Telexpermets st. Ω st da de Mege aller deser -Tupel. Jedes -Tupel stellt geau ee Pfad m Baumdagramm vom Start bs zum Edpukt dar. 3 Eregsraum (= Potezmege vo Ω; IP(Ω) = Mege aller Telmege vo Ω) 3. Defto Bespel: Emalger Würfelwurf Ergebsse: ω = ; ω2 = 2,...; ω6 = 6 Ergebsraum Ω = Mege der Ergebsse = {ω; ω2,...; ω6} = {, 2, 3, 4, 5, 6} Betrachte ee Telmege E vo Ω: E := Ncht sechs = {, 2, 3, 4, 5} De Mege E st e Eregs. Defto:. Jede Telmege E ees edlche Ergebsraums Ω heßt Eregs. 2. Das Eregs E trtt geau da e, we e ω als Versuchsergebs vorlegt, das E ethalte st. 3. De Mege aller Eregsse heßt Eregsraum. = Mege aller Telmege vo Ω = Potezmege vo Ω = IP(Ω) Bespele: Ω = {, 2, 3} IP(Ω) = {{},{};{2};{3},{,2};{2,3};{,3};{,2,3}} Her och emal Pfel auf e Eregs ud auf e Ergebs; Hwes, das de Eregsse de möglche Spele/Setzuge etsprcht! Besodere Eregsse:. {} = umöglches Eregs 2. Ω = scheres Eregs 3. {ω} Elemetareregs, uterschede zu ω als Ergebs Mächtgket des Eregsraumes: Ist Ω =, so glt IP(Ω) = 2 Mächtgket = Azahl der Elemete Bewes: Vollstädge Idukto ach 5

5 Bemerkug: Alle Eregsse lasse sch schrebe als Veregug vo Elemetareregsse. Bespel: E = {ω, ω 2, _ω 3 } = {ω } {ω 2 } {_ω 3 } = { ω } = Allgeme: E = U{ ω } ω E 3 U 3.2 Megealgebra (Eregsalgebra) Bespel: Emalger Würfelwurf Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} Augezahl gerade : E = {2, 4, 6} Augezahl cht prm : E2 = {, 4, 6} Augezahl gerade oder cht prm : E E2 = {, 2, 4, 6} Augezahl gerade ud cht prm : E E2 = {4, 6} Überscht über de Verküpfugsmöglchkete zweer Eregsse A ud B: Sprechwese Term m math. Veraschaulchug Veraschaulchug Modell Karaughdagramm Vedagramm Gegeeregs zu A; A sprch: A quer cht das Eregs A Eregs A ud Eregs B; Bede Eregsse, Sowohl A als auch B Eregs A oder B; Mdestes ees der Eregsse Kees der Eregsse; Weder A och B Höchstes ees der Eregsse; cht bede Eregsse Geau ees der Eregsse; Etweder A oder B; ausschl. Oder HA 26/, 2 A B A B A B = A B A B = A B (A B) (A B) = (A B) O(A B) Joh Ve ( ) Der eglsche Logker Joh Ve beutzte erstmalg de Termus symbolsche Logk. Er glt als Vorläufer der Wahrschelchketslogk vo Rechebach ud utersuchte Probleme der Modalurtele. Ve st als Schöpfer der ellpsode Dagramme der mathematsche Logk bekat (= Ve-Dagramme), de ee Weteretwcklug der Eulersche Krese sd. Mt Hlfe ees Systems zweer sch überschededer Krese oder Ellpse brachte er de Bezehuge zwsche Klasse bzw. Umfäge vo Begrffe zum Ausdruck. I see Arbete systematserte er das der Algebra der Logk gege Ede des 9. Jh. gesammelte Materal. 6

6 Gesetze der Megealgebra Bewes zu de Morga b) zz U = I = A = A = I = U = A A Aweduge: Verefache (A B) [(A B) (A B)]. Dstr = (A B) [(A A) B] Kompl = (A B) [ Ω B] eutr = (A B) B Dstr = (A B) (B B) = A B 2. 27/6 3.3 Uverebare Eregsse Defto:. De Eregsse A ud B heße uverebar (dsjukt) geau da, we A B = st. 2. De Eregsse A, A2,... A heße uverebar (dsjukt) geau da, we A... A = st. 3. De Eregsse A, A2,... A heße paarwese uverebar (paarwese dsjukt) geau da, we A Aj = für alle, j {,2,...,} mt j st. 7

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