3.3 Das arithmetische Mittel

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1 3 Beschrebug vo Verteluge vo umersche Merkmale Das arthmetsche Mttel Defto 3.4 Arthmetsches Mttel se ee umersche Varable mt Werte x, x, x. Wr bezeche das arthmetsche Mttel als amttel ( ) oder x. Es wrd defert als x : =. x+ x + + x Wr wolle us jetzt mt Egeschafte des arthmetsche Mttels beschäftge, sbesodere mt der Frage, ob bzw. wefer das arthmetsche Mttel der Mtte der Vertelug eer Varable legt. Wr betrachte das Extrembespel eer Varable mt = 00 Fälle, davo habe 99 de Wert ud eer de Wert 00, da st x = = 4,99, das heßt % der Werte vo sd kleer als der arthmetsche Mttelwert. Das arthmetsche Mttel wäre her kee besoders gute Zusammefassug der Date. We ma also mal de Mede lest, 80% sd schlechter als der Durchschtt da st das oft cht falsch, de uter dem Durchschtt wrd.d.r. das arthmetsche Mttel verstade. Bem Meda ka des cht zutreffe, de es sd ach Satz 3. höchstes 50 % kleer als der Meda. Mathematsch ka ma über das arthmetsche Mttel ur sage, dass es mmer zwsche dem Mmum ud dem Maxmum eer Vertelug legt. Das st haltlch plausbel. Ma köte de Aussage durch Argumetere mt Uglechuge begrüde. Es glt:. Summert ma dese Uglechuge, so er- max, also max. Mt eem aaloge Argumet erhält x max ( ), x max ( ), x max ( ) hält ma x + x + x ( ) x ( ) ma x m ( ). Satz 3.5 Lage-Egeschaft des arthmetsche Mttels se ee umersche Varable, da glt ( ) x ( ) zwe Werte verschede sd glt sogar ( ) < x < ( ) m max. Falls mdestes m max. Wr köe wetere Egeschafte des arthmetsche Mttels herlete, dem wr de Abwechuge der Date vo x utersuche ud Egeschafte für se herlete. Defto 3.5 Resdue bezüglch des arthm. Mttelwerts se ee umersche Varable mt Werte x, x, x De Resdue bezüglch des arthmetsche Mttels sd da ( ) : ka se als Werte des trasformerte Merkmals R amttel( ) x r x = x x. Ma = auffasse. Wr betrachte e Bespel. Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

2 80 Collecto Res_aMttel Res_Meda amttel ( ) Meda ( ) = ,73 -,3 5,5 0,77 0, 6,7 0,7 3 -,73 -,3 -,73-3,3 5,7 0,97 0,4 6,7 0,7-3,73-4,3 0 5,7 4,7 5, 0,37-0, Collecto Puktdagramm amttel ( ) = 4,73 Meda ( ) = 5,3 De Tabelle zegt, we ma de Resdue erreche ka. Wr schaue us de Vertelug der Resdue a ud zeche das arthmetsche Mttel ud de Meda e. De rechte (blaue) Le stelle jewels de Meda dar. Wr etdecke: Der arthmetsche Mttelwert der Resdue bezüglch des arthmetsche Mttels der Ausgagsdate st 0, der Meda der Resdue bezüglch des Medas st 0 (sehe Satz 3.4). Aschaulch heßt das: Der (passede) Mttelwert der Resdue st mmer glech 0. Im Mttel sd de Abwechuge vom Mttelwert 0. Wr köe dese wesetlche Egeschaft der Resdue durch Nachreche begrüde: amttel ( Res_aMttel ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) r x r x r x x x x x x x = = x + x + x x x x 0 = = = Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

3 3 Beschrebug vo Verteluge vo umersche Merkmale 8 Satz 3.6 Egeschafte des arthmetsche Mttels se ee umersche Varable. Wr bezeche de Resdue bezüglch x mt r, da glt: (a) ( ) x x = r = 0 = =, dabe bezechet r das arthmetsche Mttel der Re- (b) ( x x) = r = r = 0 = = sdue. (c) ( x x) = ( x x) = ( x x ) (d) x> x x< x x< x x x = x x x> x x< x (e ) x = x+ x + + x Bewes: Wr habe der Vorüberlegug de Aussage (b) algebrasch achgewese. Daraus folgt de Aussage (a) umttelbar. Be (c) ud (d) wurde de Glechug so umgeformt, dass de postve ud de egatve Terme getret werde. (e) st ee efache Umformug der Defto des arthmetsche Mttels. Obwohl alle Aussage ur lechte Umformuge der Defto des arthmetsche Mttels sd, lasse se uterschedlche aschaulche Iterpretatoe zu. Iterpretatoe (e) Glechvertelugsegeschaft x st der Wert, de ma erhält, we ma de Summe aller Werte zu gleche Atele auf alle Fälle vertele würde. Ket ma x ud de Azahl der Fälle, so ka ma mmer de Summe ermttel. I zahlreche Veröffetlchuge de Mede, dee ma das arthmetsche Mttel eer Varable agegebe bekommt, wurde dese aus der Summe ermttelt ud cht als Durchschtt aus ezele vorlegede Rohdate. Das glt z.b. für de durchschttlche Berkosum pro Jahr deutscher Bürger, welcher auf eer Schätzug oder Ermttlug des Gesamtkosums beruht. (a), (b) Ausglechsegeschaft x wurde so gewählt, dass de Resdue sch gegesetg aufhebe : Geauer de Summe aller Abwechuge st 0, bzw. de durchschttlche Abwechug vo x st 0. (c) (d) Schwerpuktegeschaft De Summe der Abwechuge ach obe (absolut geomme) st glech der Summe der Abwechuge ach ute (absolut geomme). Ma et des aus folgedem Grud de Schwerpuktegeschaft. Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

4 8 Würde ma de Datepukte durch e Gewcht der Masse etlag eer Skala, eem Balke, aorde, da wäre deser Balke geau da m Glechgewcht, we er m Schwerpukt, d. h. m arthmetsche Mttelwert uterstützt würde. Des beruht auf dem Hebelgesetz: Lastarm*Last = Kraftarm*Kraft. Wr betrachte dazu folgede Vsualserug, de auf demselbe artfzelle Bespel beruht, das wr berets obe beutzt habe. Wr habe de 8 vorkommede Werte auf der Hochachse aufgetrage (cht äqudstat). De Balke repräsetere de Resdue bezüglch a. Wr habe a = als Startwert gewählt ud alle Resdue sd egatv, also auch dere Summe. Wähle wr z. B. a = 0, da sd Collecto Bar Chart a alle Resdue also auch dere Summe postv. We wr a vo Rchtug 0 verschebe, da komme wr rgedwa a ee Pukt, a dem de Abwechuge sch gegesetg aufhebe, d. h. de Summe der Resdue 0 st. Dese Stelle st be a= x = 4,73 (lke Grafk ute) errecht. Be a = x = 5,3 st errecht, dass der Meda der Resdue 0 st, d. h. wr habe glech vele postve we egatve Resdue (rechte Grafk ute). Collecto Bar Chart Collecto Bar Chart a a Wr wolle jetzt überlege, we sch das arthmetsche Mttel verhält, we ma Date trasformert, also überall ee Zahl addert oder multplzert. Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

5 3 Beschrebug vo Verteluge vo umersche Merkmale 83 Satz 3.7 Arthmetsches Mttel be Trasformatoe Es se e umersches Merkmal ud see a, b reelle Zahle. Da ka ma eue Merkmale folgedermaße defere: Y = + a ud Z = b dem ma de etsprechede Recheoperatoe auf de ezele Werte des Merkmals awede. Es glt da y = x + a ud z = b x oder alteratver Notato a) amttel ( + a) = amttel( ) + a b) amttel b = amttel b ( ) ( ) Bewes: a) y+ y + + y ( x + a) + + ( x + a) x+ + x + a x+ + x y = = = = + a= x + a b) bewest ma durch ee ählche Umrechug. 3.4 Meda ud arthmetsches Mttel: Robusthet des Medas Wr wolle desem Abschtt ege Egeschafte der Mttelwerte Bezehug setze. We äder sch Meda ud arthmetsches Mttel, we sch ezele Datewerte äder? Wr betrachte e küstlches Bespel, be dem wr de erste Datewert der Varable var abhägg vo eer Varable a gemacht habe. Der Meda vo var st 4,75 ud telt de Datesatz exakt zwe Hälfte. Es st amttel(var) > Meda(var) be a = 0. Was passert, we wr a erhöhe? Bem Expermetere sehe wr, dass () das arthmetsche Mttel sch erhöht, () der Meda sch cht verädert, (3) be eer Regleramato sehe wr, dass sch das arthmetsche Mttel scheller verädert, als der sch veräderde Datepukt. Collecto Puktda Collecto = var var we ( Idex = ) var + a var var amttel ( ) = 5,4667 Meda ( ) = 4,75 a = ,5 4, Es st zuächst a = 0. Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

6 84 Collecto Puktdagramm Collecto Puktdagramm var amttel ( ) = 6,08333 Meda ( ) = 4,75 a = var amttel ( ) = 6,75 Meda ( ) = 4,75 a = 8 We köe wr dese Beobachtuge erkläre? () Der Meda ädert sch cht, wel weterh auf bede Sete vo 4,75 dre Werte lege. Erst we 0 + a < 4,75 wrd, würde sch auch der Meda veräder, also be a < - 5,5. () Ädert ma x zu x+ amt postvem a, so wrd aschaulch gesproche de be 5,4667 uterstützte Balkewaage aus dem Glechgewcht gebracht, se egt sch zur rechte Sete, da sch der Lastarm verlägert. Um se weder s Glechgewcht zu brge, muss ma de Uterstützugspukt ach rechts verlager, d. h. der arthm. Mttelwert wrd größer. Dese qualtatve geometrsch-physkalsche Überlegug ka ma auch durch Algebra utermauer ud quattatv präzsere: ( x+ a) + x + x x+ x + x a = +, d. h. der eue Mttelwert st um de -te Tel der Äderug größer. Das erklärt auch de lagsamere Äderugsgeschwdgket be der Amato. We also eem Datesatz wet etfert legede Werte vorkomme, sog. Ausreßer, da wrd des m arthmetsche Mttel berückschtgt, der Meda st geauso groß, we we de Ausreßer äher am Zetrum lege würde. Der Effekt auf das arthmetsche Mttel st relatv gerger je größer der Dateumfag st. Ma sagt kurz: Robusthet des Medas Das arthmetsche Mttel st empfdlch gegeüber Ausreßer (cht-robust), der Meda st robust gegeüber Ausreßer. Bem Vorkomme vo Ausreßer st deshalb de Agabe des arthmetsche Mttels oft cht formatv, bzw. ka zu Mssverstädsse Alass gebe. 3.5 Arthmetsches Mttel, Meda ud Schefe der Vertelug Wr habe scho bem Egagsbespel gesehe, dass be de mest lksstele (rechtsschefe) Verteluge der Frezetvarable glt x > x. Wr sehe us och mal Bespele a. Dabe bedeutet ahe legeder Wese mea = arthmetsches Mttel. Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

7 3 Beschrebug vo Verteluge vo umersche Merkmale 85 Frezet Cout Hstogram Frezet Cout Hstogram Zet_Jobbe mea ( ) = meda ( ) = Zet_Istr mea ( ) =.5094 meda ( ) = 0 Frezet Cout Hstogram Frezet Cout Hstogram Zet_HA mea ( ) = meda ( ) = Zet_Lese mea ( ) = meda ( ) = 3 We ka ma sch das erkläre, dass her mmer glt x > x? Wr betrachte e efaches Bespel: e symmetrscher Datesatz aus 6 Pukte. amttel ud Meda sd glech. Das glt für jede exakt symmetrsche Vertelug, de jedem postve Resduum etsprcht geau e egatves Resduum ud umgekehrt, d.h. der Schwerpukt st mt dem Meda detsch, amttel ud Meda führe zur gleche Stelle. Das glt ageähert auch für de Varable Nettozet aus de Muffs-Date. Collecto Dot Plot mea ( ) = 5 meda ( ) = 5 Frezet Cout Hstogram Nettozet mea ( ) = meda ( ) = 55.5 Aus eer symmetrsche Vertelug macht ma ee lksstele (rechtsschefe) przpell dadurch, dass ma lks vom Meda de Pukte äher a de Meda herarückt ud de Pukte rechts vom Meda weter vo hm wegzeht. Währed dabe der Meda glech blebt, führe bede Aktoe dazu, dass sch der Schwerpukt ( x ) zu höhere Werte verschebt. Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

8 86 Collecto Dot Plot Collecto Dot Plot mea ( ) = 5.69 meda ( ) = mea ( ) = meda ( ) = 5 Im lke Plot habe wr ur de Pukte lks heragerückt, m rechte Plot de Pukte rechts zusätzlch och vom Meda etfert, so dass de Dfferez zwsche Meda ud amttel och größer wrd. Ee rechsstele (lksschefe) Vertelug bekommt ma dadurch, dass ma etsprechede Operatoe auf der jewels adere Sete vormmt. Be usere Frezetdate sd lksschefe Verteluge selte. Bespele für lecht lksschefe Verteluge auf der Bass der Muffs-Date sd de folgede. Frezet Cout Hstogram Netto_Comp mea ( ) = meda ( ) = Netto_Comp := Nettozet - Zet_TV-Zet_Comp - Zet_Musk Frezet Cout Hstogram DoFrezet mea ( ) = meda ( ) = 8.5 Machmal wrd de Dfferez x x als Schefemaß terpretert, jestärker de Abwechug vo Null desto schefer bzw. desto usymmetrscher st de Vertelug: x x 0 Symmetre x x > 0 Lksstel (Rechtsschef) x x < 0 Rechtsstel (Lksschef) Ma muss vorschtg mt desem Maß umgehe ud darf es ur Verbdug mt graphsche Darstelluge verwede. Ma ka ämlch Verteluge kostruere, be dee das Schefemaß etwas aderes sagt als der optsche Edruck. Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

9 3 Beschrebug vo Verteluge vo umersche Merkmale 87 De rechtsstehede Vertelug st aus de Orgaldate etstade, dem ma de Säule be 0 ach 4 verschobe hat. Dadurch wrd das arthmetsche Mttel größer als der Meda, also x x > 0 ud wäre somt ach obger Regel de Vertelug lksstel. Se seht aber eher we rechtsstel aus, mt ege Ausreßer. Frezet Hstogram DoFrezet mea ( ) = meda ( ) = 8.5 Cout 3.6 Mmaltätsegeschafte des arthmetsche Mttels ud des Medas De Mttelwerte habe wetere relevate Egeschafte, se erzeuge gewssem Se mmal Abwechuge vo he. Zur Erläuterug starte wr mt eer egekledete Aufgabe. Der optmale Stadort Auf eer gerade Straße sd Häuser ageordet. De Etferuge der Häuser zum lke Radpukt der Straße betrage x, x, x. Es soll e Supermarkt dort gebaut werde, wo de Etferuge, de jewels zu hm zurückzulege sd, rgedwe mmal werde. Wr habe ee Skzze agefertgt ud ee möglche Stadort durch de Varable a gekezechet. Collecto Collecto Dot Plot a = 5 Optmaltätskrtere köte se: De maxmale Etferug soll möglchst kle se. Oder, de Summe aller Etferuge soll möglchst kle se. Wr etschede us, de Summe der Abstäde H(a) zum Stadort a des Supermarktes mmere zu wolle. Wr suche das Mmum emprsch. Mt der ute abgebldete Arbetsumgebug fde wr das Mmum be a = 6. H(6) hat de Wert 3. Als Formel habe wr H( a) : = x a = a + a + 4 a + 6 a + 8 a + 0 a + a = Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

10 88 Wr varere a solage mt Fathom bs de Summe der absolute Abwechuge mmal wrd, wr erreche de Mmalwert H(a) = 3 für a = 6. Der Mmalwert fällt mt dem Meda x = 6 zusamme. Köe wr das verstehe? We wr vo a = 0 ausgehed a um Δ a erhöhe, da verkürze sch de Abstäde zu alle 7 Pukte. We ma a um Δa erhöht, so verrgert sch H(a) also um Δa 7. Hat ma de Pukt x = überschrtte, so verkürze sch de Abstäde zu 6 Pukte, zu eem verlägert sch der Abstad, d. h. eer Veräderug um Δ a etsprcht ee Verrgerug vo H(a) um Δa 5 bs zum Erreche vo x =. Daach Verlägerug zu Pukte, Verkürzug zu 5 Pukte, also Nettoverrgerug vo H(a) um Δa 3für jede Zuwachs Δ a. Nach x 3 = 4 wrd de Nettoverrgerug Δa für jede Zuwachs vo Δ a. Hat ma de Pukt x 4 = 6 überschrtte, so führt ee Zuahme um Δ a u zu eer Erhöhug vo H(a) um Δ a! Das Mmum muss also be x 4 = 6 lege, dem Pukt, der lks ud rechts de gleche Azahl vo Pukte lässt, das st aber laut Defto geau der Meda. Des glt jedefalls dem her vorlegede Fall, dass ugerade st. Über dese Aalyse köe wr berets sehr gute Aussage über de Fukto H(a) mache; das aschleßede Plotte bestätgt dese Aalyse. Berech Egeschafte Berech Egeschafte a< x Lear falled mt Stegug -7 x4 < a< x Lear steged mt 5 Stegug + x < a< x Lear falled mt Stegug -5 x5 < a< x Lear steged mt 6 Stegug +3 x < a< x Lear falled mt Stegug -3 3 x6 < a< x Lear steged mt 7 Stegug +5 x3 < a< x Lear falled mt Stegug - 4 x7 < a Lear steged mt Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

11 3 Beschrebug vo Verteluge vo umersche Merkmale 89 Stegug +7 Ma ka de Fukto H(a) auch plotte, um das zu verfzere. o data 50 Fucto Plot 45 y x y = a + a + a 4 + a 6 + a 8 + a 0 + a Das Mmum der stückwese leare Fukto ka cht durch Dfferetalrechug ermttelt werde, da de Fukto a de Kckpukte cht dfferezerbar st. Wr betrachte kurz de Fall, dass gerade st, dem wr de Pukt x 7 = aus de Bespeldate heraus ehme. o data Fucto Plot y x y = a + a + a 4 + a 6 + a 8 + a 0 Es gbt desem Fall cht ur e Mmum, soder der Mmalwert wrd m gaze Itervall x( ); x 3 ( 4) = [ 4;6] ageomme. Im Zetrum des Itervalls legt der Meda x( ) + x 3 ( 4). Aus der Sache heraus st plausbel, dass sch H(a) desem Itervall cht verädert, we ma a erhöht: de höher werdede Etferug zu de 3 lke Pukte wrd kom- Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

12 90 pesert durch de gerger werdede Etferug zu de dre rechte Pukte. Gaz allgeme glt für gerades, dass de Fukto H(a) eem gaze Itervall, desse Mtte der Meda legt, kostat st ud dort auch mmal. Im Fall, das Bduge auftrete, muss ma etwas feer argumetere, m Przp glt aber mmer folgede Aussage: Satz 3.8 Mmaltäts- Egeschaft des Medas se ee umersche Varable mt Werte x, x, x ud a R. Da se defert ( ). Da st ( ) mmal für = = H a : = x a = r( a) eem Itervall um a = x kostat ud dort mmal. H a a = x (u. U. sogar * Bem.: De Fukto ( ) H a H a : = = x a bezechet de mttlere absolute Abwe- = * H a st m Meda mmal. Ma ka de Satz 3.8 jetzt so deute: chug vo a. Auch ( ) ( ) Als Statstker wolle wr ee Datesatz durch ee Zahl zusammefassed beschrebe. De Zahl soll so gewählt werde, dass de reale Date möglchst weg vo hr abweche, dass dese Zahl optmal a de Date agepasst st. We wr als Abwechugsmaß de mttlere absolute Abwechug ehme, da st geau der Meda usere beste Wahl. Wr formulere de Satz 3.8 aschaulch um. Satz 3.9 Der Meda als optmaler Apassugswert se ee umersche Varable mt Werte x, x, x. Da st x e Wert, zu dem de mttlere absolute Abwechug der Date mmal st. Mmaltätsegeschaft des arthmetsche Mttels Das arthmetsche Mttel st de Lösug ees adere Mmaltätsprzps. We wr de quadratsche Abwechuge betrachte, mmert das arthmetsche Mttel de durchschttlche quadratsche Abwechuge. Wr ehme dasselbe Bespel ud ermttel das Mmum der quadratsche Abwechuge emprsch. Es ergbt sch zu a = 6,4 (we ma auf Kommastelle Geaugket arbetet). Das arthmetsche Mttel st x = 6,486! We ka ma dese Egeschaft verstehe? Wr betrachte m Bespel = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G( a) : = x a = a + a + 4 a + 6 a + 8 a + 0 a + a A welcher Stelle hat dese Fukto e Mmum? Auch we der Term komplzert ausseht, so st er doch ee quadratsche Fukto. Ee Parabel mmt hr Mmum m Schetelpukt a, ma köte atürlch hr Mmum auch durch Abletug ermttel. Es st Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007

13 3 Beschrebug vo Verteluge vo umersche Merkmale 9 {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} { a} G ' ( a) = a + a + 4 a + 6 a + 8 a + 0 a + a = = 7 a 7 = 7 ( x a) De Abletug st 0 geau für a= x. Ee elemetarere Argumetato beutzt de quadratsche Ergäzug. Wr argumetere herfür glech mt allgemee Date. ( ) ( ) = = = = = = = ( ) = G( a): = x a = x ax + a = x a x + a = a a x + x = a ax + x + x x = a x + x x Wr habe de Term so umgeformt, dass ee quadratsche Fukto a deutlch wrd. De vorletzte Umformug folgt dem Przp der quadratsche Ergäzug. Der Schetelpukt der Parabel G(a) legt also be a = x. G(a) wrd für a= xmmal. Satz 3.0 Mmaltäts-Egeschaft des arthmetsche Mttels se ee umersche Varable mt Werte x, x, x ud a R. Da se defert ( ) ( ) G a : = x a = r( a) G a a = x.. Da st ( ) mmal für = = Wr köe des auch so formulere, dass das arthmetsche Mttel der optmale ach der Methode der kleste Quadrate ermttelte Apassugswert st. Satz 3. Das arthmetsche Mttel als optmaler Apassugswert (ach der Methode der kleste Quadrate ) se ee umersche Varable mt Werte x, x, x. Da st x der Wert, zu dem de mttlere quadratsche Abwechug der Date mmal st. * De mttlere quadratsche Abwechug wrd defert als ( ) Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007 ( ) G a G a : = = ( x ) a. Se = G a mmal st. st offeschtlch geau dem Pukt mmal, dem auch de Fukto ( ) De Suche ach eem optmale Apassugswert ka ma auch so formulere. Gesucht st ee Zerlegug Date = Modellwert + Resdue x = a+ r( a) = a+ ( x a)

14 9 wobe de Größe der Resdue möglchst kle se soll. Präzsert ma des Krterum dahgehed, dass de Summe der absolute Resdue mmal se soll, so erhält ma de Meda, präzsert ma das Krterum dahgehed, dass de Summe der quadrerte Resdue mmal se soll, so erhält ma das arthmetsche Mttel. Dese Dekwese st auch leted, we ma Fuktoe sucht, de optmal zu eer Puktwolke passe. 3.7 Streuugsmaße als mttlere Abwechuge vo eem Mttelwert Um de Ausdehug der Vertelug eer statstsche Varable zu messe, gbt es verschedee tutve Gruddee. Gruddee : Wr messe, we stark de Date vom Zetrum, vo eem Mttelwert abweche. Gruddee : Wr messe, we bret sch de Date ausdehe, ud zwar sgesamt, oder für de mttlere 90%, de mttlere 75% oder de mttlere 50% etc. Wr wolle zuächst de erste Idee weter verfolge. Defto 3.6 Streuugsmaße als mttlere Abwechug vo x se ee umersche Varable mt Werte x, x, x. Folgede Streuugsmaße sd als Abwechuge vom arthmetsche Mttel dekbar: = () Mttlere Abwechug vo x : ( x x ) 3.6). Deses Streuugsmaß st deshalb ubrauchbar.. Deser Wert st mmer glech 0 (Satz = = () Mttlere absolute Abwechug vo x : x x : MAD ( ) devato) () Mttlere quadratsche Abwechug vo x : ( x x) : var( ) ) (v) Stadardabwechug s( ) : = ( x x) = var( ) = Ma ka dese Maße Fathom ausreche lasse: = = Summe x x : MADmea( ) ( amttel( )) = = Azahl( ) ( x x) : var( ) Summe ( amttel( )) mea (mea absolute = (Varaz vo = ( ) Azahl( ) ( ( )) = amttel amttel oder PopVar () Elemetare Stochastk Rolf Behler WS 006/007