Elektronen im periodischen Potential

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1 Elektronen im periodischen Potential Blochfunktionen / Blochelektronen Elektronenwellen unterscheiden sich von ebenen Wellen durch eine gitterperiodische Modulation. Diese Bloch-Wellen werden in einem perfekt periodischen Festkörper nicht gestreut. Nur Abweichungen von der strengen Periodizität führen zu Streuprozessen Bloch-Wellen: Modulationsfunktion: Besitzt die Periodizität des Gitters Felix Bloch ( ) Nobelpreis f. Physik 1952 Bloch-Theorem: Die Eigenfunktionen der Schrödinger-Gleichung für ein periodisches Potential sind durch das Produkt von ebenen Wellen e ık r mit einer gitterperiodischen Funktion u k (r) = u k (r + R) gegeben. Bloch-Wellen, deren Wellenvektoren sich um einen reziproken Gittervektor G unterscheiden, sind identisch

2 Bloch-Welle Die Konstruktion einer Bloch-Welle aus einer ebenen Welle, die durch eine gitter-periodische Funktion moduliert wird Konstruktion einer Blochwelle Ψ k (x) = u k (x) e ıkx für ein eindimensionales Gitter aus einer ebenen Welle e ıkx, die mit einer gitterperiodischen Funktion u k (x) moduliert ist. Experimentalphysik IV; SoSe2008; Petra Tegeder

3 Proof of Bloch s theorem kinetic energy term potential energy term

4 Schrödinger equation in new form every term has to vanish a set of equations for every k in the first Brillouin zone

5 Energy dispersion for nearly free electrons in one dimension A very weak periodic potential is sufficient to repetitively shift the freeelectron parabolic dispersion by reciprocal lattice vectors The resulting dispersion relation in the first Brillouin zone (BZ) is composed of parts from all the shifted parabolas when they reach the zero point. We can then describe the complete band structure in a reduced scheme, where only the states in the 1st BZ are plotted Translational symmetry in reciprocal space

6 Nearly free electrons in a periodic lattice A stronger lattice potential U(r) opens gap states in the crossing points, i.e. at the Boundary of the Brillouin Zone ± U The resulting bands flatten as they cross through the Brillouin Zone Boundary

7 Bragg-reflection for nearly free electrons consider only one direction (x) free electron wave function with a de Broglie wavelength Bragg condition with this gives a Bragg condition for electron waves:

8 Another point of view of gap opening: Bragg-reflection for nearly free electrons Bragg condition for electron waves: Bragg reflection results in standing, not travelling electron waves two possible linear combinations of

9 Gap opening for nearly free electrons Bragg reflection results in standing, not travelling electron waves vg = 0 Standing waves

10 ...yet another point of view ion cores a k=π / a k=0

11 Elektrische Leitfähigkeit Die Fermi-Kugel umschließt alle besetzten Elektronenzustände im k-raum. (a) Für F = 0 ist der Gesamtimpuls Null, da es zu jedem Wellenvektor k einen entsprechenden Wellenvektor k gibt. (b) Für F 0 wächst jeder Wellenvektor im Zeitintervall t um δk = Ft/ћ an. Dies entspricht einer Verschiebung der Fermi-Kugel um δk.

12 Effektive Masse m* Einfluss des periodischen Potentials in einen Kristall auf die Bewegung des Elektrons m* ij : effektive Massetensor Die effektive Masse gibt die inverse Krümmung der Dispersionsrelation E n (k) an Schematischer Verlauf der Bandstruktur und der effektiven Masse: (a) eine starke Bandkrümmung resultiert in einer kleinen effektiven Masse. (b) eine schwache Bandkrümmung resultiert in einer großen effektiven Masse.

13 Metals and insulators / semiconductors

14 Bandstruktur von Kupfer Elektronenkonfiguration: [Ar] 3d 10 4s 1 R. Courths und S. Hüfner, Phys. Rep. 112, 55 (1984) Experimentalphysik IV; SoSe2008; Petra Tegeder

15 Bandstruktur von Germanium Elektronenkonfiguration: [Ar] 3d 10 4s 2 4p 2 nach F. Hermann, R.L. Kortum, C.D. Kuglin, J.L. Shay, in Semiconducting Compounds, D.G. Thomas ed., Benjamin, New York (1967).

16 Experimentelle Bestimmung von Bandstrukturen Eine der wichtigsten Methoden zur Bestimmung der kompletten Bandstruktur stellt die Photoelektronenspektroskopie (PES) dar. Informationen über die k-abhängigkeit erhält man durch winkelaufgelöste Experimente: ARPES (Angle Resolved PhotoElectronSpectroscopy) Experimenteller Aufbau: Experimentalphysik IV; SoSe2008; Petra Tegeder

17 Winkelaufgelöste-Photoemission Dispersion von elektronischen Zuständen Dispersion des Ag(111) Oberflächenzustandes F. Reinert, G. Nicolay, S. Schmidt, D. Ehm, and S. Hüfner, Physical Review B, 63, (2001) Experimentalphysik IV; SoSe2008; Petra Tegeder