Übungen zum Verbessern der Raumvorstellung. Josef Molnár

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1 ROMOTE MSc UIT DESCRITOR MATHEMATIK 3 Titel der Einheit Stoffgebiet ame und des Einsenders Ziel der Einheit Inhalt Voraussetzungen Übungen zum Verbessern der Raumvorstellung Geometrie Josef Molnár Verbessern der geometrischen Raumvorstellung durch Übungen verschiedener Schwierigkeitsstufen. Raumgeometrie, Verbesserung der Raumvorstellung. Draht, Körpermodelle. emerkungen M3

2 Übung zur Verbesserung der Raumvorstellung rogramm: Aufgaben: Lektion : Die Aufgaben werden gestellt, und Verbesserungen können bei edarf durchgeführt werden. Die Lösung wird als Hausübung gegeben. Lektion : SchülerInnen zeigen abwechselnd ihre eigenen Lösungen der Aufgaben. Verschiedene Methoden, die Anzahl der möglichen Lösungen, und Modifikationen der Angabe werden diskutiert. SchülerInnen werden aufgefordert, ihre eigenen Aufgaben zu entwickeln. Lektion 3: Die selbst entwickelten Aufgaben werden von der ganzen Klasse gemeinsam gelöst. Wir empfehlen, dass die Lehrperson einige zusätzliche Aufgaben vorbereiter hat, falls die SchülerInnen nicht genügend Aufgaben selbst entwickeln konnten.. Vervollständige das Würfelnetz so mit unkten, dass je zwei gegenüberliegende Seiten immer in Summe 7 unkte aufweisen. a) b). Finde und skizziere so viele Würfelnetze wie möglich. Es gibt davon. (Zwei etze werden als kongruent angesehen, wenn sie ineinander transformiert werden können.) M3

3 3. Ein Sprichwort (die ersten beiden Wörter eines berühmten Zitates) besteht aus neun gleichen Würfeln. Du kannst aber nur die Rückseite sehen. Finde das Sprichwort heraus. Weißt Du, welches berühmte Zitat gemeint ist? I T C I I E L I A 4. Markiere jene Seiten der Quadrate im gegebenen Würfelnetz mit gleichen Zahlen, welche dieselbe Kante des Würfels bilden (siehe Abbildung). Versuche das auch in anderen Würfelnetzen und in den etzen anderer Körper. 5. Ordne jeden der gegebenen Körper alle jene Löcher zu, durch die sie (ohne Spalt) durchpassen. a) b) c) d) M3 3

4 6. Zeichne einen Körper im Schrägriss, der durch alle drei gegebenen Löcher ohne Spalt durchpasst. a) b) 7. Konstruiere die Vorderansicht (Aufriss), die Oberansicht (Grundriss), und die Seitenansicht (Kreuzriss) der hier im Schrägriss fett gezeichneten Drahtfigur. a) b) M3 4

5 8. Zeichne den im Grund-, Auf- und Kreuzriss fett dargestellten Draht in den im Schrägriss gezeichneten Würfel ein. a) b) 9. Konstruiere Grund-, Auf- und Kreuzriss des gegebenen Körpers. a) M3 5

6 b) 0. Skizziere den Kreuzriss und den Schrägriss des hier im Grund- und Aufriss dargestellten Körpers (es gibt mehr als eine Lösung). a) b). Wie sieht der Schrägriss (ormalprojektion) von folgenden Körpern aus? a) Ein regelmäßiger Tetraeder, bei dem zwei Kanten parallel zur rojektionsebene sind. b) Ein Würfel, dessen Raumdiagonale normal zur rojektionsebene steht.. Falte aus den gegebenen etzen alle fünf regelmäßigen olyeder (latonische Körper). a) Tetraeder M3 6

7 b) Würfel c) Oktaeder d) Dodekaeder e) Ikosaeder M3 7

8 3. Stelle Dir eine dreieckige yramide ACV mit der Spitze V vor. Die Ebene ρ schneidet die Kanten A, C, CV, geht aber durch keinen Eckpunkt. Welche Kanten der yramide werden noch von der Ebene geschnitten? 4. Ist es möglich, einen Querschnitt eines Würfels zu bilden, der: a) ein gleichseitiges Dreieck, b) ein gleichschenkliges Dreieck, c) ein ungleichschenkliges Dreieck, d) ein spitzwinkliges Dreieck, e) ein rechtwinkliges Dreieck, f) ein stumpfwinkliges Dreieck, g) ein Quadrat, h) ein Rechteck, i) einen Rhombus, j) ein Trapez, k) ein Fünfeck, m) ein Sechseck, n) ein regelmäßiges Sechseck darstellt? 5. Stelle Dir einen regelmäßigen Tetraeder ACD vor. Die unkte, Q, L, K sind die Mittelpunkte der Kanten AD, D, C, CD. Finde den Winkel zwischen den Strecken Q und KL. 6. Zeige, dass man entlang der Kanten eines Würfels (und eines Dodekaeders) so gehen kann, dass man alle Eckpunkte erreicht, ohne eine Kante doppelt gehen zu müssen. Versuche dies auch bei anderen Körpern. 7. Wir malen die Seiten eines Würfels schwarz oder weiß an. Sie können alle weiß, alle schwarz, oder einige weiß und einige schwarz sein. Wie viele verschiedene Würfel können wir so herstellen? 8. Wie viele Einheitswürfel (Würfel mit Seitenlänge Einheit) können mit der Raumdiagonale eines Quaders mit Kantenlängen 5, 4 und 3 Einheiten geschnitten werden? 9. Wie viele Symmetrieebenen gibt es in den einzelnen latonischen Körpern? 0. Sechs verschiedene Ebenen schneiden einen regelmäßigen Tetraeder. Jeder geht durch eine Kante und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante. Wie viele Körper erhält man, wenn man alle sechs Schnitte gleichzeitig ausführt?. Stelle Dir sechs verschiedene Ebenen und eine Gerade p vor. Die Gerade p liegt in drei der gegebenen Ebenen. Zwei der sechs Ebenen sind parallel und schneiden die Gerade p. Wie viele Schnittgeraden gibt es? M3 8

9 Antworten:. a). b). M3 9

10 3. ALEA IACTA (EST) L A E C I T a-, a-4, b-, c-, c-4, d-3 6. a) 6. b) M3 0

11 7. a) 7. b) 8. a) 8. b) M3

12 9. a) 9. b) 0. a) mögl. Lösungen: M3

13 0. b) mögl. Lösungen:. a) D C A D x, A C M3 3

14 . b) C D C A D A x, D C D C = A A 3. AV 4. a), b), c), d), g), h), i), j), k), l), m) and n) are; e) and f) are not Tetraeder 6, Würfel 9, Oktaeder 9,Dodekaeder 5, und Ikosaeder Andere Aufgaben und Ideen, wie etwa Tangram, Origami, der Soma-Würfel etc., können z.. in Steinhaus (958), ugačov (960), Gardner (968, 983), arr (969), Kuřina (976), Hejný (980), Molnár (986), Opava (989), Hejný a kol. (990), Molnár a Kobza (990 a 99), Adam a Wyss (994), Máca a Macků (996), Šarounová (998), Leischner (003), erný (004) nachgelesen werden; man kann auch die Lehrhilfen von Stopenová (999), verschiedene uzzle und austeine (eg. Žídek, 997) verwenden; ebenso können Computerspiele und andere Software hilfreich sein. M3 4

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