1 Dualsystem Dualzahlen mit Vorzeichen 4. 2 Hexadezimalsystem Hexadezimalzahlen mit Vorzeichen Oktalsystem 13 4 Zahlenring 14

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1 Zahlensysteme Inhalt: 1 Dualsystem Dualzahlen mit Vorzeichen 4 2 Hexadezimalsystem Hexadezimalzahlen mit Vorzeichen 10 3 Oktalsystem 13 4 Zahlenring 14 Definition: Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. In der Informatik spricht man auch von Stellenwertsystem, d.h. einem System zur Darstellung von Zahlen durch Ziffern, bei denen der Wert einer Ziffer von der Stelle abhängt, an welcher sie innerhalb der Zahl geschrieben ist. Beispiel: Dezimalsystem (mit der Basis 10) Wertigkeit der Stellen Zerlegung nach Potenzen der Basis 10: 1* * *10 +3*1 = Dualsystem Das Dualsystem (auch Binärsystem genannt) ist die Basis der heutigen Computer, da die elementaren Schalt- und Speicherelemente nur über zwei mögliche Zustände verfügen, im Allgemeinen EIN/AUS. Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

2 Das Dualsystem ist ein polyadisches Zahlensystem zur Basis 2. Es verfügt über einen Vorrat von zwei Ziffern, 0 und 1. (Das uns vertraute Dezimalsystem verfügt über die zehn Ziffern, ) Beim Dualsystem steigt der Stellenwert einer Ziffer (Wertigkeit) von rechts nach links in Potenzen zur Basis 2 (beim Dezimalsystem in Potenzen zur Basis 10, siehe Beispiel oben). Der darstellbare Zahlenbereich hängt von der Anzahl der Stellen ab. Dies bedeutet allgemein: Mit N Binärstellen bzw. einer Bitfolge der Länge N können dargestellt werden: N = 4 Natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen) von 0 bis 2 N -1 0 bis 15 Ganze Zahlen (positiv und negativ) zwischen -2 N-1 und 2 N und 7 Ein Intervall von reellen Zahlen mit begrenzter Genauigkeit Natürliche Zahlen (Länge 4 Bit): Dual dezimal Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

3 Definition Bit und Byte : Bit: basic indissoluble information unit : In der Informationstheorie ist dies die kleinste Einheit für den Informationsgehalt einer Nachricht. o Mit 1 Bit lassen sich 2 1 = 2 Zustände darstellen Die Zusammenfassung von acht Bit heißt Byte. Dies ist die minimale Länge eines adressierbaren Datenworts. Der Rechner arbeitet immer mit Gruppen von Bits, entweder mit 8 Bits (1Byte), 16 Bits (2Byte), 32 Bits(4Byte) oder 64 Bits (8Byte), d.h. stets Vielfache von 8. Kilo, Mega, Giga Byte: 1 KByte enthält nicht 1000 Bytes sondern 2 10 gleich 1024 Bytes! 1 MByte enthält 1024x1024 = 2 20 Bytes. 1 GByte enthält 1024x1024x1024 = 2 30 Bytes. Beispiel: Gesucht Dezimaldarstellung der Dualzahl 10110? 1* *2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = = 22 Gewichtsfaktoren der Stellen im Dualsystem: Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

4 Beispiel: Gesucht Dualdarstellung der Dezimalzahl 1641? 1641 : 2 = 820 Rest 1 modulo heißt: 1641 mod 2 = : 2 = 410 Rest : 2 = 205 Rest : 2 = 102 Rest : 2 = 51 Rest 0 51 : 2 = 25 Rest 1 25 : 2 = 12 Rest 1 12 : 2 = 6 Rest 0 6 : 2 = 3 Rest 0 3 : 2 = 1 Rest 1 1: 2 = 0 Rest 1 Ergebnis: ( ) 2 Probe: = (1641) 10 Bedeutet: Zahl ist Dezimalzahl (Basis 10) 1.1 Dualzahlen mit Vorzeichen Das erste Bit (von links) wird als Vorzeichen Bit verwendet. Steht dort eine Null ist die Zahl positiv. Steht dort eine 1, also das komplementäre Bit zu 0, handelt es sich um eine negative Zahl. Dabei wird die Null bei als positive Zahl aufgefasst. Darstellbarer Bereich für 4 Stellen: Eine Stelle wird für das Vorzeichen Bit benötigt, d.h. es bleiben nur noch 3 Stellen und damit 2 3 = 8 Zahlen für den positiven Bereich und 8 Zahlen für den negativen. Da die Null als positive Zahl aufgefasst wird, ergibt sich eine Unsymmetrie: -8 bis -1 und 0 bis 7 Ganze Zahlen (Länge 4Bit): dual dezimal Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

5 Komplementbildung: Die negative Dual-Zahl ergibt sich, indem man bei der entsprechend positiven Zahl stellenweise alle Nullen durch Eins ersetzt und umgekehrt ( d. h. alle Bits invertiert) und eine Eins dazuaddiert. Die gleiche Regel gilt bei Umwandlung von negativer nach positiver Zahl ( Wohldefiniertheit ). Hintergrund: (nur für Informatik-Freaks!) Um in Rechenautomaten mit einem reinen Addierwerk auskommen zu können, versucht man die Subtraktion auf eine Addition zurückzuführen: (-5) 0 0 allgemein: a b = a + b - C wobei b := C b Komplement von b zu C Probe: a b = a + C b - C Bei den folgenden Betrachtungen wird davon ausgegangen, dass zur Darstellung einer Binärzahl gerade N Binärstellen zur Verfügung stehen. Sollen nur positive Zahlen dargestellt werden, so ist 2 N -1 die größte in diesem Bereich darstellbare Zahl. Sie enthält in allen Binärstellen eine Eins. Bei 4 Binärstellen ist dies: = Wählt man: C = 2 N - 1 = heißt: 1er Komplement Für Binärstellen N = 4: C = Subtraktion von C b (wobei für N=4 b 0,1,2,3 15 sein kann) lässt sich einfach realisieren, indem man bei der N-stelligen Zahl b stellenweise alle Nullen mit Einsen vertauscht und umgekehrt. Diese einfache Subtraktions- bzw. Komplementierungsregel der stellenweisen Invertierung hat ihren Grund darin, dass die Zahl C in jeder Binärstelle eine Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

6 Eins enthält und somit bei der Subtraktion C b nie von der nächst höheren Stelle geborgt werden muss. Die Subtraktion von C ist am bequemsten, wenn man sie gar nicht durchführen muss. Dies ist mit C = 2 N = ( heißt: 2er Komplement) mit N Nullen gerade der Fall, da die Eins in der (N+1)ten Stelle nicht mehr im betrachteten Zahlenbereich liegt. Für Binärstellen N = 4 ist C = 2 N = ( 4 Nullen) In die obige Gleichung C = 2 N -1 einsetzen: a - b = a + (2 N -1 b) - ( 2 N ) + 1 Eins addieren Bedeutet: Invertieren aller Bits von b Bedeutet: eine Null substrahieren, d.h. nichts ist zu tun 1.Beispiel: Binärstellen N = 4, a-b a = b = Alle Bits von b invertieren, ergibt addieren, ergibt: 1101 a (-b) (1) 0011 = 3 Überlauf fällt weg, da N = 4. Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

7 2.Beispiel: N = 4, a-b a = b = invertieren: addieren: = Beispiel: N = 4, a-b a = b = (1)0000 = 0 Überlauf entfällt, da Zahl auf 4 Stellen beschränkt ist. Achtung: Umwandeln einer Dualzahl in eine Dezimalzahl anhand der Gewichtsfaktoren gilt nur für positive Dualzahlen. Wenn die Dualzahl mit Vorzeichen zu interpretieren ist und an der ersten Binärstelle (von links) eine 1 hat, also negativ ist, muss diese durch Komplementbildung in die entsprechend positive Zahl (bzw. in ihren Betrag) konvertiert werden. Diese ist mit den Gewichtsfaktoren umzurechnen. Beispiel: Welchen Dezimalwert hat die mit Vorzeichen behaftete Dualzahl (10100) 2. Komplementbildung und 1 addieren: *8 + 1*4 +0*2 + 0*1 = 12 Ergebnis: -12 Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

8 Hexadezimalsystem Polyadisches Zahlensystem zur Basis 16. Es verfügt über einen Vorrat von 16 Hexziffern, 0 bis 9, A, B, C, D, E, F. Der Stellenwert einer Ziffer (Wertigkeit) von rechts nach links steigt in Potenzen zur Basis 16 (vgl. Gewichtsfaktoren). hexadezimal dual dezimal A B C D E F Zusammenhang zum Dualsystem: 4 Bits ( sog. Halb-Byte) werden einer Hex-Ziffer zugeordnet. Dadurch wird für den Menschen eine lange Folge von Nullen und Einsen übersichtlicher. Gewichtsfaktoren der Stellen im Hexadezimalsystem: Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

9 Beispiel: Gesucht Dezimaldarstellung und Dualdarstellung für Hex-Zahl (9CB8) 16? Dezimaldarstellung: Gewichtfaktoren einsetzen 9* * *16 + 8*1 = (40120) Dualdarstellung: 1.Möglichkeit: Sukzessive Division der Dezimalzahl durch : 2 = Rest : 2 = Rest : 2 = 5015 Rest : 2 = 2507 Rest : 2 = 1253 Rest : 2 = 626 Rest 1 626:2 = 313 Rest 0 usw. 2. Möglichkeit: Hexdezimal-Zahl direkt nach Dual umwandeln 9 C B 8 ( ) 2 Im Dualsystem werden 16 Binärstellen benötigt, im Hex-System ¼ der Stellen. Beispiel: Gegeben ist Dezimalzahl Geben sie die zugehörigen hex und binär Zahlen an :16 = 347 Rest : 16 = 21 Rest : 16 = 1 Rest 5 1 : 16 = 0 Rest 1 (1 5 B 3) 16 ( ) 2 Frage: Wie viele hex-stellen hat ein 16-bit Wort? Antwort: 16/4 = 4 Stellen Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

10 Beispiel aus HTML: Die Hintergrundfarben in HTML- Dokumenten werden in hex Zahlen angegeben. Der sog. RGB-Wert ( Red Green Blue Anteil) einer Farbe ergibt sich aus einer 6-stelligen Hex-Zahl, jeweils 2 Stellen für einen Farbanteil. z.b. R G B # schwarz # ff ff ff weiß # ff rot # 00 ff 00 grün Es können auf diese Weise 16 6 verschiedene Farben codiert werden ( 2 24 ca. 16,7 Mio ). 1.2 Hexadezimalzahlen mit Vorzeichen (nur für Informatik-Freaks!) mitvorzeichen ohne Vorzeichen dual hex dez (signed) dez (unsigned) A B C D E F Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

11 Hexadezimalzahlen mit erster Stelle (links) von 0 bis 7 sind positiv, von einschließlich 8 bis F negativ. Beispiel: 16 Bit (2 Byte), N = 16, 2 16 = Bei nur positiven Zahlen (z. B. Datentyp unsigned short mit 2Byte ) liegt der Wertebereich zwischen 0 und Die größte Zahl ist: ( ) 2 bzw Bei Zahlen mit Vorzeichen (z. B. Datentyp signed short mit 2Byte) liegt der Bereich zwischen und Die -1 hat die Binärdarstellung ( ) 2. Beispiel: Gegeben ist Hex-Zahl (9CB8) 16. Gesucht dezimal und dual Darstellung. 1. Fall: Zahl wird nicht mit Vorzeichen (unsigned Datentyp) interpretiert: ( ) 2 9 * * * = Ergebnis: Fall: Zahl wird mit Vorzeichen interpretiert: Da erste Stelle (von links) größer als 8 ist, handelt es sich um eine negative Zahl. Komplementbildung, um die entsprechende positive Zahl (bzw. den Betrag der Zahl) zu erhalten. Dann Gewichtsfaktoren einsetzen. 1. Möglichkeit: Komplementbildung der Hex-Zahl F F F F 1er-Komplement: Hilfszeilen C B 8 Komplementbildung und 1 addieren *4096= *256= 768 4*16 = 64 6* * * = Ergebnis: Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

12 2. Möglichkeit (bevorzugt verwenden!): Komplementbildung der entsprechenden Dual-Zahl (Alle Bits invertieren und Eins Addieren) ( ) 16 6* * * = Ergebnis: Beispiel: (2) 10 entspricht bei 16 Bit (0002) 16 Gesucht Hex-Darstellung von (-2) 10 bei 16 Bit? F F F D + 1 F F F E Ergebnis: F F F E Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

13 2 Oktalsystem Polyadisches Zahlensystem zur Basis 8. Es verfügt über einen Vorrat von 8 Ziffern, 0 bis 7. Der Stellenwert einer Ziffer (Wertigkeit) von rechts nach links steigt in Potenzen zur Basis 8 (vgl. Gewichtsfaktoren). Gewichtsfaktoren der Stellen im Oktalsystem: oktal dual dezimal Beispiel: (177) 8 in Dezimalzahl umwandeln. 1*64 + 7*8 + 7 = (127) 10 Probe: 127 : 8 = 15 Rest 7 15 : 8 = 1 Rest 7 1 : 8 = 0 Rest 1 ( ) 8 Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

14 3 Zahlenring Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel,

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