5 Grundwissen der 5. Klasse

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1 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 1 Grundwissen 5. Klasse 5 Grundwissen der 5. Klasse 5.1 Natürliche Zahlen und ganze Zahlen Definition: 1. Alle natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4,... fasst man zur Zahlenmenge N der natürlichen Zahlen zusammen, also N = {1, 2, 3, 4,... } 2. Soll die Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen dazugehören, so schreibt man N 0 = {0, 1, 2, 3, 4,... } 3. Die Menge der negativen und positiven glatten Zahlen einschließlich der Zahl 0 heißt Menge der ganzen Zahlen Z. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Der Abstand zweier benachbarter ganzer Zahlen auf dem Zahlenstrahl heißt Einheit. Zahlenstrahl mit der Einheit 1 cm: Beispiel: Zahlenstrahl mit der Einheit 2 cm Satz: 1. Bei einer Alleereihe (Zahlenmenge mit gleichen Abständen!) ist die Anzahl der Bäume (Zahlen) immer um eins größer als die Anzahl der Zwischenräume. 2. Die Anzahl der Zwischenräume erhält man durch Differenzbildung und Teilung durch den Abstand. a) Gib das 80. Element der Zahlenfolge 121, 133, 145, 157,... an. Lösung: Es gibt 79 Zwischenräume der Größe 12, also ist das 80. Element: = = 1069 b) Alleebäume stehen jeweils im Abstand von 5 m. Der erste Baum wurde 100 m von einer Abzweigung gepflanzt, der letzte 1200 m von dieser Abzweigung. Lösung: Gesucht ist die Anzahl der Elemente von {100, 105, 110,..., 1200} Anzahl der Abstände: ( ) : 5 = 1100 : 5 = 220 Anzahl der Bäume ist also 221. Das Zählprinzip Situationen, in denen man mehrere Dinge auswählen und miteinander kombinieren muss, kann man in einem Baumdiagramm darstellen. a) Wähle je eine Figur aus zwei Quadraten, drei Dreiecken und zwei Kreisen =12 Möglichkeiten Die Quadratzahlen bis 25 2 sind: , 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625 b) Wie viele verschiedene Wörter kann man aus den Buchstaben des Wortes HANS bilden? 4 Möglichkeiten, um H zu platzieren, 3 Mögl. für A...: =4!=24

2 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 2 Grundwissen 5. Klasse 5.2 Rechnen mit ganzen Zahlen Terme Sinnvolle Rechenausdrücke heißen Terme. in Zeichen Termname a b Addition a + b Summe 1. Summand 2. Summand Subtraktion a b Differenz Minuend Subtrahend Multiplikation a b Produkt 1. Faktor 2. Faktor Division a : b Quotient Dividend Divisor Potenzen 1. Die Potenz a n ist die abkürzende Schreibweise für ein Produkt mit n gleichen Faktoren a: a n = a a a... a (n Faktoren). a 1 = a 2. Die Potenz a n besitzt die Basis a und die Hochzahl (= Exponent) n. 3. Die Potenzen a 1, a 2, a 3, a 4,... werden Stufenzahlen des Zahlensystems a > 1 genannt. a) 2 5 = = 32 b) 5 2 = 5 5 = 25 c) Zweierpotenzen: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 = 2 8, 512, 1024 = Die Vorrangregeln beim Rechnen Hauptregel: Innerste Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich Regel: Sind nur Punktrechnungen oder nur Strichrechnungen vorhanden, wird streng von links nach rechts gerechnet. a) Gliederung des Terms ( : 3) 6 5 Der Term ist eine Differenz mit dem Subtrahenden 5. Der Minuend ist ein Produkt mit dem 2. Faktor 6; der 1. Faktor ist eine Differenz, wobei der Minuend das Produkt aus 2 und 12 ist und der Subtrahend ein Quotient mit dem Dividenden 18 und dem Divisor 3 ist. Die Vereinfachung des Term ergibt 103. b) ( ) 6 5 = (2 64 6) 6 5 = (128 6) 6 5 = = = 727. Achtung: Die Rechnung lässt sich nicht abkürzen! c) : 2 5 : 6 = : 2 5 : 6 = 5 36 : 2 5 : 6 = : 6 = = 5 90 : 6 = 5 15 = K-, A-, D Gesetz 1. Kommutativgesetz (K Gesetz / Vertauschungsgesetz): der Addition a + b = b + a für alle a, b Z der Multiplikation: a b = b a für alle a, b Z 2. Assoziativgesetz (A Gesetz / Klammergesetz) der Addition a + (b + c) = (a + b) + c für alle a, b, c Z der Multiplikation: a (b c) = (a b) c für alle a, b, c Z 3. Distributivgesetz (D Gesetz): a (b + c) = a b + a c für alle a, b, c Z Merke: Das Distributivgesetz ist das einzige Gesetz, das die Addition mit der Multiplikation verbindet. Es hilft häufig beim Kopfrechnen: z.b = (20 + 8) 7 = = = Rundungsregel der Mathematik Regel: Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 aufgerundet. Beispiele Runde auf ganze Tausender: Runde auf ganze Hunderter: Runde auf zwei gültige Ziffern: Runde auf drei gültige Ziffern:

3 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 3 Grundwissen 5. Klasse Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Subtrahiert man eine größere positive Zahl von einer kleineren, so ist das Ergebnis negativ: z.b.: = -(93-70) = -23 Eine Zahl und ihre Gegenzahl sind auf der Zahlengeraden gleich weit vom Nullpunkt entfernt. z.b : -7 ist die Gegenzahl von 7; 19 ist die Gegenzahl von -19 Eine negative Zahl addiert man, indem man ihre Gegenzahl subtrahiert. Eine negative Zahl subtrahiert man, indem man ihre Gegenzahl addiert (-80) = = (-80) = = Multiplikation und Division ganzer Zahlen Minus mal/geteilt durch Minus ist Plus Minus mal/geteilt durch Plus ist Minus Plus mal/geteilt durch Minus ist Minus (-3) 12 = (-2) = 24 2 (-5) = -10 Potenzen mit negativer Basis: (-1) 2 =1; (-2) 3 = -8; (-3) 4 =81; (-1) 999 = -1 Bei geradem Exponent erhält man ein positives Ergebnis, bei ungeradem Exponent ein negatives Stellenwertsystem Satz: 1. Die Potenzen s 1, s 2, s 3, s 4,... werden Stufenzahlen des Zahlensystems s genannt. s N muss größer 1 sein. 2. Die Zehnerpotenzen sind die Stufenzahlen des Zehnersystems (= Dezimalsystems), die Zweierpotenzen die Stufenzahlen des Zweiersystems (= Dualsystems). 1 In einem Stellenwertsystem mit der Basis s gibt es genau s Ziffern, nämlich 0, 1, 2,..., s 1. 2 In einem Stellenwertsystem gibt die Stelle, an der die Ziffer steht, an, um welche Stufenzahl es sich handelt; die Ziffer an, um welches Vielfache der Stufenzahl sich die Zahl additiv zusammensetzt. Zur Kennzeichnung einer Zahl a im Zahlensystem s wird die Schreibweise a s verwendet. Nur im Zehnersystem entfällt der Index s = 10. Für Zahlensysteme mit s > 10 werden die Ziffernsymbole 0,1,2,...,8,9,A,B,C,... verwendet. Dezimalsystem (Zehnersystem): Die Basis ist 10, 10 Ziffern 0, 1, 2, 3,..., 8, 9 Stufenzahlen: 1, 10, 100, 1000, 10000,... Dualsystem (Zweiersystem): Die Basis ist 2, nur die 2 Ziffern 0, 1 Stufenzahlen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,... a) 2034 = b) = = = = 43 d) = =

4 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 4 Grundwissen 5. Klasse 5.3 Größen Längen Längen, Entfernungen, Abstände werden in Meter gemessen. 1 Meter ist die Längeneinheit. Sie entspricht ungefähr dem 40-millionsten Teil des Erdumfangs. Gebräuchlich sind Mikrometer (µm), Millimeter (mm), Zentimeter (cm), Dezimeter (dm), Meter (m) und Kilometer (km). Bedeutungen: Dezi = Zehntel, Zenti = Hundertstel, Milli = Tausendstel, Mikro = Millionstel und Kilo = Tausend. Es gilt: 1 m = 10 dm = 100 cm = mm = µm 1 dm = 10 cm = 100 mm = µm 1 cm = 10 mm = µm und 1 km = m a) 6 m 64 cm + 8 m 79 cm = 14 m 143 cm = 15 m 43 cm b) 8 m 3 mm 2 dm 4 cm = 8003 mm 240 mm = 7763 mm = 7 m 763 mm Masse Die Masse (Materiemenge) wird in Milligramm, Gramm, Kilogramm, und Tonnen gemessen. Es gilt: 1 t = 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg Verwendet werden noch folgende Einheiten: 1 ztr = 50 kg (Zentner) 1 Pfd = 500 g (Pfund) 573kg 742g + 703kg 554g = 1276kg 1296g = 1277kg 296g = 1t 277kg 296g 2t 412kg 12g = 1t 999kg 1000g 412kg 12g = 1t 587kg 988g Zeit Zeiten misst man in Sekunden (s), Minuten (min), Stunden (h), Tagen (d), Jahr (a) (vom Lateinischen hora, dies, annus) Es gilt: 1 d = 24 h = 1440 min = s 1 h = 60 min = s 1 min = 60 s Beachte: Zeitpunkt, z.b Uhr Zeitspanne, z.b. 45 min a) Zwischen 7.25 Uhr und Uhr liegen 4h 40min. b) 2h 47min 9s + 1h 21min 59s = 3h 68min 68s = 3h 69 min 8s = 4h 9min 8s c) 5 (21 min 17 s) = 105min 85s = 106min 25s = 1h 46min 25s d) 4h 22min 7s 1h 32min 9s = 3h 82min 7s 1h 32min 9s = 2h 50min 2s = = 2h 49 min 58s Flächen Flächen werden in Quadratmeter, Quadratdezimeter, usw. gemessen. Die Umrechnungszahl ist 100, d.h. das 100-fache einer Flächeneinheit ergibt jeweils die nächst größere Flächeneinheit: Es gilt: 1 km² = 100 ha 1 ha = 100 a (Hektar) 1 a = 100 m² (Ar) 1 m² = 100 dm² 1 dm² = 100 cm² 1 cm² = 100 mm² Fläche des Quadrats: Fläche des Rechtecks: Fläche eines Dreiecks: A Q = a a = a 2, wobei a die Seitenlänge ist. A R = l b, wobei l die Länge und b die Breite ist. ist die halbe Fläche eines geeigneten Rechtecks. a) 20787cm 2 = 207dm 2 87cm 2 = 2m 2 7dm 2 87cm 2 b) 2km 2 20ha 5m 2 = m m 2 + 5m 2 = = m m 2 + 5m 2 = m 2 c) Umfang U eines Rechtecks mit l = 48m und b = 25m U = 2 (l + b) = 2 (48m + 25 m) = 2 73m = 146m d) Oberfläche eines Quaders mit den Maßen, l = 5 dm, b = 4 dm und h = 3 dm Lösung: A Q = 2 (l b + b h + h l) = 2 ( ) dm 2 = = 2 47 dm 2 = 94 dm 2

5 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 5 Grundwissen 5. Klasse Rechnen mit Größen Addition und Subtraktion Man kann nur Größen mit derselben Einheit addieren und subtrahieren. Dabei werden die Maßzahlen addiert bzw. subtrahiert, die Einheit bleibt gleich. Multiplikation Multiplikation von Größen macht (in der 5. Klasse) nur bei der Flächenund Volumenmessung einen Sinn, z.b. 1m 1m 1m = 1m 3 Achtung: 3 1m = 3m, aber 3m 1m = 3m 2 Division von Größen Teilen: Messen: 5.4 Textaufgaben Größe : Zahl = Größe Größe : Größe = Zahl Problemlösungen vom Typ Addition und Division Begegnungsaufgaben (Bahn, Auto, Radfahrer, Fußgänger, Sportler) und Aufgaben, bei denen Mengen zusammenkommen (fließen, schütten, vermengen), gehören zum Typ Addition und Division. Fragen: Was passiert, bis alle aktiv sind? Was passiert in einer Zeiteinheit? Welcher Zeitbedarf ist nötig? (Subtraktion!) (Division!) 1. Ein Zug A fährt um 10:20 von Stuttgart mit der Geschwindigkeit von m pro Minute ins 177km entfernte Augsburg. Ein Zug B fährt um 10:45 mit 25 m pro Sekunde von Augsburg in Richtung Stuttgart. Wann und wo begegnen sich beide Züge? Lösung: Was passiert, bis beide Züge fahren? Von 10:20 bis 10:45 vergehen 25 min, in denen Zug A m = m = 60km zurücklegt. Verbleibende Strecke: 177 km 60 km = 117 km Pro Minute kommen sich die Züge um 2.400m + 25m 60 = 2.400m m = 3.900m näher (Addition!) Zeitbedarf ab 10:45 in min: m : 3.900m = 30 [min] (Division!) Die Züge begegnen sich um Uhr. Begegnungsort: Zug A nach 30 min: m = 45km von Augsburg 2. Ein Wasserbecken wird mit 520 hl Wasser gefüllt. Dazu stehen zwei Hähne zur Verfügung. Hahn 1 liefert 20 l pro Minute, Hahn 2 nur einen Viertelliter pro Sekunde. Von 8.00 Uhr bis Uhr sind beide Hähne voll geöffnet. Ab 20:00 wird Hahn 1 halb abgedreht, so dass nur noch 10 l pro min fließen, während Hahn 2 weiterhin voll läuft. Um wieviel Uhr ist das Becken gefüllt? Lösung: Pro Minute bis 20:00: Hahn 2 füllt in 1 min: 60l :4 = 15l Beide Hähne füllen also 20l + 15l = 35l (Addition) Was passiert bis 20:00? In 12h fließen also l = l = l. = 252 hl Pro Minute ab 20:00: Beide Hähne füllen nun mit 10l + 15l = 25l (Addition) Zeitbedarf ab 20:00 in min: (520hl 252hl) : 25hl = 26800l : 25l = 1072[min]. 1072min = 17h 52min. (Division!) Das Wasserbecken ist am nächsten Tag um Uhr gefüllt Problemlösungen vom Typ Subtraktion und Division Überholaufgaben (Bahn, Auto, Radfahrer, Fußgänger, Sportler) und Aufgaben, bei denen Mengen auch weggenommen werden, gehören zum Typ Subtraktion und Division. Lösungsfragen wie 5.4.1: Was passiert, bis alle aktiv sind? Was passiert in einer Zeiteinheit? Welcher Zeitbedarf ist nötig? (Subtraktion!) (Division!)

6 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 6 Grundwissen 5. Klasse 5.5 Teilbarkeit und Primzahlen Teilbarkeitsregeln 1 Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist (also auf 0, 2, 4, 6, 8 endet). 2 Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. 3 Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 4 Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. 5 Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern eine Zahl bilden, die durch 4 teilbar ist. 6 Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die drei letzten Ziffern eine Zahl bilden, die durch 8 teilbar ist. 7 Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre Springsummendifferenz durch 11 teilbar ist. 8 Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern 00, 25, 50 oder 75 sind. 9 Eine Zahl ist durch eine Stufenzahl teilbar, wenn sie mit mindestens so vielen Nullen endet, wie die Stufenzahl Nullen hat. a) 3 teilt nicht 791, da Quersumme QS(791) = = 17 V 3 b) 9 teilt 1287, da QS(1287) = = 18 V 9 c) 11 teilt , da ( ) ( ) = 18 7 = 11 V 11 d) 11 teilt nicht 12345, da ( ) (2 + 4) = 9 6 = 3 V Primzahlen, Primfaktorenzerlegung Eine Zahl p > 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, heißt Primzahl. Alle Primzahlen bis 100 lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Die Primfaktorenzerlegung einer Zahl ist die Produktdarstellung einer Zahl mit lauter Primzahlen. Regeln: 1. Die Zerlegung ist immer eindeutig. 2. Für die Primfaktorenzerlegung zerlegt man die Zahl in mehrere möglichst große Faktoren, die dann weiter zerlegt werden. Es ist ungünstig, zunächst durch möglichst kleine Primzahlen zu teilen, wie das Beispiel eindrucksvoll zeigt (siehe Beispiel a). 3. Bei der Prüfung einer Zahl auf Primzahleigenschaft teilt man die Zahl nacheinander durch die obigen Primzahlen 2, 3, 5, 7,..., bis entweder die Division aufgeht oder das Quadrat des Primzahldivisors die zu prüfende Zahl übersteigt. a) Ungünstig wäre = = = = = = = = =... viel besser ist = 10 6 = (2 5) 6 = b) 600 = = = c) 1780 = = = , da 89 eine Primzahl ist. d) 269 ist nicht teilbar durch 2, 3, 5, 7, 11, 13, weiterhin gilt 17 2 = 289 > 269, also ist 269 eine Primzahl.

7 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 7 Grundwissen 5. Klasse 5.6 Geometrische Grundbegriffe Punkte, Strecken, Halbgeraden und Geraden Punkte werden mit großen, Geraden häufig mit kleinen deutschen Buchstaben bezeichnet. Ein Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten in einer Ebene. [AB] = Strecke AB einschließlich A und B ]AB] = Strecke AB ohne A, aber mit B ]AB[ AB [AB AB[ AB = Strecke AB ohne A und ohne B = Länge der Strecke AB = Halbgerade von einschließlich A über B hinaus = Halbgerade von B, aber ohne B selbst, über A hinaus = Gerade durch A und B (kein Anfang, kein Ende, keine Länge) = Gerade g(a,b), kurz Gerade g Ebene Figuren C Dreieck ABC = ABC Rechteck: A B Je 2 gegenüberliegende Seiten sind gleich lang 4 rechte Winkel 2 Symmetrieachsen Quadrat: Alle 4 Seiten sind gleich lang 4 rechte Winkel 4 Symmetrieachsen Raute: Alle 4 Seiten sind gleich lang 2 Symmetrieachsen Kreis: k(m; r) = Kreis um Mittelpunkt M mit Radius r und Durchmesser d = 2r Gitternetz (Koordinatensystem) Jeder Punkt P(a b) eines Gitternetzes wird mit zwei Zahlen (Koordinaten) beschrieben: Die erste Zahl a ist der Rechtswert (Abszisse), die 2. Zahl b der Hochwert (Ordinate). Ursprung = O(0 0), A(3 1), B( 2 1) Punktmengen Strecken, Halbgeraden, Geraden, Kreise,... bestehen aus einer Menge von unendlich vielen Punkten. Man sagt z.b.: Eine Gerade ist eine Punktmenge. Es gilt: A g und C g [AB] g C [AB] A [AB] B g B O M r A

8 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 8 Grundwissen 5. Klasse Winkel Der Winkel ASB entsteht, wenn die Halbgerade [SA durch eine Linksdrehung in die Halbgerade [SB übergeführt wird Räumliche Figuren Würfel: Quader : B S A Prisma (3-seitig): Pyramide: Die Größe eines Winkels misst man mit einer Kreisskala, wie sie z.b. auf dem Geodreieck zu finden ist. Eine volle Drehung entspricht 360, eine halbe Drehung 180 (gestreckter Winkel) und eine Vierteldrehung 90 (rechter Winkel). Kegel: Zylinder:

9 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 9 Grundwissen 5. Klasse Anhang: Mengen, Elemente und Anzahlen von Elementen 1. Eine Menge ist eine Zusammenfassung verschiedener Dinge (Objekte). Jedes Objekt darf nur einmal vorkommen, die Reihenfolge spielt in einer Menge keine Rolle. 2. Die Objekte einer Menge nennt man Elemente. 3. Zeichenerklärungen: heißt ist Element von (rechts muss jeweils heißt ist nicht Element von eine Menge stehen!) heißt ist echte Teilmenge von (links und rechts müssen heißt ist Teilmenge von jeweils Mengen stehen!) heißt ist nicht Teilmenge von 4. Die Restmenge A \ B ist diejenige Menge, die alle Elemente von A enthält, die nicht in B liegen. 5. Die Schnittmenge der Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die in beiden Mengen gleichzeitig vorhanden sind. Man schreibt: A B und spricht A geschnitten mit B. 6. Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B ist die Menge aller ihrer Elemente. Man schreibt: A B und spricht A vereinigt mit B. 7. Eine Menge ohne Elemente heißt leere Menge. Man schreibt oder { }. 8. Die Menge der Vielfachen der natürlichen Zahl n werden mit V n abgekürzt, also V 3 = {0, 3, 6, 9, 12,... }. a) Die Elemente einer Menge werden mit Komma von einander getrennt. Die Menge { 1, {1}, {1, 2} } besitzt also drei Elemente, nämlich das Element 1, die Menge mit dem Element 1 und die Menge mit den zwei Elementen 1 und 2. b) 50 V { 1, 3, 5, 7,... } { } V 4 c) {1} { 1, {1}, {1, 2} }, weil {1} tatsächlich auch als Element in der Menge vorkommt. d) { 1 } { 1, {1}, {1, 2} }, weil 1 auch als Element in der Menge auftritt und folglich zu einer Menge zusammengefasst werden kann. e) {2, 4} V 2 {10} V 5 { } V 4 N {1, 2, 3,...} f) {1, 2, 3} {3, 4, 5, 6} = {3} V 3 V 5 = V 15 {2, 5, 8, 11,...} {1, 3, 5,..., 151} = {5, 11, 17,..., 149} {1, 2, 3, 4, 9} {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} N \ V 2 = {1, 3, 5, 7,... }