Übungsaufgaben Mengenlehre

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Übungsaufgaben Mengenlehre"

Transkript

1 Übungsaufgaben Mengenlehre Die folgenden Übungsaufgaben beziehen sich auf den Stoff des Skriptes zur Mengenlehre der Lehrveranstaltung Wirtschaftsmathematik und dienen der Klausurvorbereitung. Zuvor werden noch einige wichtige Symbole erläutert. Für alle Existiert mindestens ein Wofür gilt oder teilt ohne Rest Ist Kongruent 1 () Indikatorfunktion, ist 1 wenn Bedingung in Klammern stimmt, sonst 0 Detailliertere Informationen, bzw. weitere Symbolerläuterungen finden Sie im Skript. WICHTIG: Versuchen Sie die Aufgaben zu lösen, bevor Sie in die Lösungen schauen. NOCH WICHTIGER: Falls Sie Fehler finden, welcher Art auch immer, schreiben Sie mir bitte an: Vielen Dank! Aufgabe 1 Machen Sie sich mit den wichtigsten Mengen und deren Zusammenhang vertraut: P = {2, 3, 5,...}, die Menge der Primzahlen. N = {1, 2, 3,...}, die Menge der natürlichen Zahlen. Z = {0, 1, 1,...}, die Menge der ganzen Zahlen. Q, die Menge der rationalen Zahlen (also alle Zahlen welche sich als Brüche darstellen lassen). R, die Menge der reellen Zahlen. TIPP: Zeichnen Sie ein Mengendiagramm. Aufgabe 2 Geben Sie die folgenden Mengen im aufzählenden und beschreibenden Verfahren an. a) die Teilmenge A der natürlichen Zahlen, die durch 3 teilbar sind, größer sind als 10 und kleiner als 25. 1

2 b) die Teilmenge B der natürlichen Zahlen, die echte Vielfache (d.h. nicht 4) von 4 und kleiner oder gleich 96 sind. c) die Teilmenge C der Primzahlen zwischen 1 und 30, welche mindestens einen Primzahlzwilling haben (Primzahlzwillinge sind Primzahlen mit einem Abstand zueinander von 2, z.b. 11 und 13). d) die Teilmenge D der natürlichen Zahlen, welche perfekt sind, größer 2 und kleiner 30 (die Summe der Teiler ergeben wieder die Zahl selbst, z.b. 6 = ). Aufgabe 3 Geben Sie folgende Intervalle in Klammernschreibweise und beschreibender Schreibweise wieder. Grundmenge seien die reellen Zahlen. a) Offenes Intervall von 2 3 bis b) Rechts halboffenes Intervall von x bis y. c) Links halboffenes Intervall von 8 bis z. d) Geschlossenes Intervall von 3 bis 4 5. e) Das Intervall aller Zahlen größer oder gleich 2. Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Mächtigkeit folgender Mengen. a) A = {1, 2, 3} b) B = {a, b, c} c) C = A B {1,..., 11} Aufgabe 5 Geben Sie zu folgenden Mengen die Relationen (=,,, ) und Verknüpfungen (,, \, ) an (die Grundmenge sei E). A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {2, 4, 6, 8} 2

3 C = {1, 3, 5} D = {4, 7, 8, 9} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} TIPP: Schreiben Sie Tabellen. Aufgabe 6 Das Spielfeld des Glücksspiels Roulette ist in drei Farben aufgeteilt: Rot, Schwarz und Grün. Alle Felder haben zudem eine natürliche Zahl und können als Menge aufgeführt werden. Menge Zahlen auf rotem Grund R = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}. Menge Zahlen auf schwarzem Grund S = {2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35}. Menge Zahlen auf grünem Grund G = {0}. Es gibt nun die Möglichkeit sein sauerverdientes Geld auf Rot, Schwarz, Gerade, Ungerade, einzelne Zahlen etc. zu setzen. Sie nehmen an diesem Spiel Teil und setzen den gleichen Betrag auf Rot und Gerade. Das bedeutet, bleibt die Kugel auf einer schwarzen ungeraden Zahl liegen verlieren Sie. Vereinfachend gilt, gewinnen Sie, gibt es den Einsatz doppelt zurück und 0 zählt zu den ungeraden schwarzen Zahlen. Geben Sie nun die Verknüpfung der Mengen für folgende Ereignisse an und zählen die dazugehörigen Zahlen auf. a) Sie verlieren den gesamten Einsatz. b) Sie machen keinen Gewinn. c) Sie machen keinen Verlust. d) Sie machen weder Gewinn noch Verlust. e) Sie machen einen Gewinn. HILFE: Skizzieren Sie ein Venn-Diagramm und tragen Sie die Zahlen in die richtige Menge ein, ähnlich der folgenden Abbildung. 3

4 Aufgabe 7 Geben Sie die Potenzmenge zu folgenden Mengen an. Bestimmen Sie vorher die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge. a) A = {{1, 2}, {3, 4}} b) B = {1, 2, 3, 4} Aufgabe 8 Geben Sie folgende kartesischen Produkte (A B) explizit wieder, stellen Sie sie graphisch dar und bestimmen Sie die Anzahl der Elemente des kartesischen Produktes. Beachten Sie die angegebenen Relationen. (A auf x-achse, B auf y-achse) a) A = [1, 3] und B = (1, 3] mit A,B N. b) A = (1, 6) und B = [ 1, 3] mit A,B Z. c) A = [0, 5] und B = [0, 5] mit A,B Z und Relation a + b < 6. Die Variablen a und b beschreiben Elemente aus A bzw. B. d) A = [ 5, 5] und B = [ 5, 5] mit A,B Z und Relation a = b. e) A = ( 2, 2) und B = ( 2, 2) mit A,B R und Relation a 2 + b 2 = 1. 4

5 Lösung zu Aufgabe 1 Es gilt: P N Z Q R. Das bedeutet, anschaulich: Lösung zu Aufgabe 2 Im folgenden werden die Lösungen, in dieser Reihenfolge, angegeben: Aufzählendes Verfahren, beschreibendes Verfahren (mathematisch), beschreibendes Verfahren (ausreichend für diese Lehrveranstaltung). a) A = {12, 15, 18, 21, 24} = {x N 10 < x < 25 x(mod 3) 0} = {x N 10 < x < 25 x ist durch 3 teilbar} b) c) d) B = {8, 12, 16,..., 92, 96} = {x N 8 x 96 x = a 4, a N, a > 1} = {x N 8 x 96 x ist Vielfaches von 4} C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} = {x, y P x y : x y = 2} = {x P es gibt einen Primzahlzwilling zu x} { } x 1 D = {6, 28} = x N i 1 (i x) = x i=1 = {x N die Summe der Teiler von x ist x} 5

6 Bemerkung: Wie Sie, besonders in den Aufgabenteilen c) und d), sehen, ist die mathematische Ausdrucksweise nicht immer sonderlich einfach. Deswegen sollten Sie die letzte Schreibweise nutzen, besonders in Hinsicht auf die Klausur, da hier eine Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich geringer ist. Lösung zu Aufgabe 3 a) ( 2, 19) = { x R 2 < x < } b) [x, y) = {z R x z < y} c) (8, z] = {x R 8 < x z} d) [ 3, 4] = { } x R 3 x e) [2, ) = {x R 2 x} Lösung zu Aufgabe 4 a) A = 3 b) B = 3 c) C = (11 3) = 14 Lösung zu Aufgabe 5 = A B C D E A B C D E A A B B C C D D E E A B C D E A B C D E A A B B C C D D E E 6

7 A B C D E A B C D E A A A A A E A A B C D A B A B {1, 2, 3, 4, {2, 4, 6, E B B B {} {4, 8} B 5, 6, 8} 7, 8, 9} C A {1, 2, 3, 4, C {1, 3, 4, 5, E C C {} C {} C 5, 6, 8} 7, 8, 9} D A {2, 4, 6, {1, 3, 4, 5, D E D D {4, 8} {} D D 7, 8, 9} 7, 8, 9} E E E E E E E A B C D E \ A B C D E Negation der Menge A {} {1, 3, 5 {2, 4, 6 {1, 2, 3 {} A 7, 9} 7, 8, 9} 5, 6} A = {10} B {} {} B {2, 6} {} B B = {1, 3, 5, 7, 9, 10} C {} C {} C {} C C = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10} D {} {7, 9} D {} {} D D = {1, 2, 3, 5, 6, 10} E {10} {1, 3, 5, {2, 4, 6, {1, 2, 3, {} E 7, 9, 7, 8, 9, 5, 6, E = {} 10} 10} 10} Lösung zu Aufgabe 6 a) G R = {0, 11, 13, 15, 17, 29, 31, 33, 35} b) G R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35} c) G R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36} d) (G\R) (R\G) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28} e) G R = {12, 14, 16, 18, 30, 32, 34, 36} Lösung zu Aufgabe 7 a) Anzahl Elemente 2 A = 4 P(A) = {{}, {{1, 2}}, {{3, 4}}, {{1, 2}, {3, 4}}} b) Anzahl Elemente 2 B = 16 P(B) = {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} 7

8 Lösung zu Aufgabe 8 a) A B = 6 A B = {(1, 2),(1, 3),(2, 2),(2, 3),(3, 2),(3, 3)} b) A B = 20 A B = {(2, 1),(2, 0),(2, 1),... (5, 1),(5, 2),(5, 3)} c) A B = 36 A B = {(0, 0),(0, 1),(0, 2),... (5, 3),(5, 4),(5, 5)} arb = {(0, 0),(0, 1),(0, 2),(0, 3),(0, 4),(0, 5),(1, 0),(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 0), (2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 0),(3, 1),(3, 2),(4, 0), (4, 1),(5, 0)} 8

9 d) A B = 121 A B = {( 5, 5),( 5, 4),( 5, 3),... (5, 3),(5, 4),(5, 5)} arb = {( 5, 5),( 4, 4),( 3, 3),( 2, 2),( 1, 1),(0, 0),(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5)} e) A B = A B ist explizit nicht aufschreibbar. arb ist explizit nicht aufschreibbar. 9

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen.

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Mengenlehre 2 Mengenlehre Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Üblicherweise werden Mengen mit Großbuchstaben

Mehr

2 ZAHLEN UND VARIABLE

2 ZAHLEN UND VARIABLE Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als

Mehr

Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener

Mehr

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 1 1.2 Mengenlehre Definition: Menge, Element, Variablenraum Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Mengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname:

Mengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich  Name: Vorname: Mengenlehre ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre 1 1.1 Die Menge im mathematischen

Mehr

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem

Mehr

Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie

Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie Mengen, speziell Zahlenmengen Aussagenlogik, Beweistechniken Funktionen, Relationen Kombinatorik Abzählverfahren Binomialkoezienten Komplexität von Algorithmen

Mehr

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe: Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition N N 0 Z Q Z + + Q 0 A = {a 1,, a n } Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen

Mehr

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe: Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen inkl. der 0 ganzen Zahlen rationalen

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 10.03.2015 Mengen und Relationen Mengen Motivation Beschreibung von Mengen Mengenoperationen

Mehr

Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,

Mehr

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.

Mehr

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man x / M. Man sagt, M ist Teilmenge von N und schreibt M N, wenn für jedes x M auch x N gilt.

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Euler-Venn-Diagramme

Euler-Venn-Diagramme Euler-Venn-Diagramme Mengendiagramme dienen der graphischen Veranschaulichung der Mengenlehre. 1-E1 1-E2 Mathematische Symbole c leere Menge Folge-Pfeil Äquivalenz-Pfeil Existenzquantor, x für (mindestens)

Mehr

1 Mengen. 1.1 Definition

1 Mengen. 1.1 Definition 1 Mengen 1.1 Definition Eine Menge M ist nach dem Begründer der Mengenlehre Georg Cantor eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen(verschiedenen) Elementen. Eine Menge lässt sich durch verschiedene

Mehr

1.2 Mengenlehre-Einführung in die reellen Zahlen

1.2 Mengenlehre-Einführung in die reellen Zahlen .2 Mengenlehre-Einführung in die reellen Zahlen Inhaltsverzeichnis Repetition 2 2 Dezimalzahlen 3 3 weitere irrationale Zahlen 4 3. Zusatz: Der Beweis, dass 2 irrational ist.......................... 5

Mehr

Inhaltsverzeichnis Mathematik

Inhaltsverzeichnis Mathematik 1. Mengenlehre 1.1 Begriff der Menge 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 1.3 Verknüpfungen von Mengen (Mengenoperationen) 1.4 Übungen 1.5 Übungen (alte BM-Prüfungen) 1.6 Zahlenmengen 1.7 Grundmenge (Bezugsmenge)

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johann-von-Neumann-Haus Fachschaft Menge aller Studenten eines Institutes

Mehr

Lösungen Arbeitsblatt Mengenlehre

Lösungen Arbeitsblatt Mengenlehre Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften Dozent: - Brückenkurs Mathematik 2016 Lösungen Arbeitsblatt Mengenlehre Modul: Mathematik Datum:

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2008/09 Dr. J. Jordan Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen und Beweise

Mehr

1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik

1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik 1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik Übersicht 1.1 Junktoren......................................................... 1 1.2 Quantoren......................................................... 4 1.3

Mehr

ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE MATHEMATIK

ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE MATHEMATIK ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE MATHEMATIK Lehreinheit 08 Grundbegriffe der Mengenlehre 8. GRUNDBEGRIFFE

Mehr

2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen

2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3

1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3 Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Rechnen mit Kongruenzen. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft (MSG) im Jahr 2013. Die vorliegende

Mehr

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Grundbegriffe der Mengenlehre 2 Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Georg Cantor begründet. Der Begriffsapparat der Mengenlehre hat sich als so nützlich für

Mehr

13. Funktionen in einer Variablen

13. Funktionen in einer Variablen 13. Funktionen in einer Variablen Definition. Seien X, Y Mengen. Eine Funktion f : X Y ist eine Vorschrift, wo jedem Element der Menge X eindeutig ein Element von Y zugeordnet wird. Wir betrachten hier

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Wirtschaftsmathematik earbeitet von Prof. Dr. Horst Peters., aktualisierte uflage 202 202. Taschenbuch. 298 S. Paperback ISN 978 3 7 02295 6 Format ( x L): 5,5 x 23,2 cm Gewicht: 7 g Wirtschaft > etriebswirtschaft:

Mehr

Primzahlen Primzahlsatz Der Satz von Green und Tao Verschlüsselung mit RSA. Primzahlen. Ulrich Görtz. 3. Mai 2011

Primzahlen Primzahlsatz Der Satz von Green und Tao Verschlüsselung mit RSA. Primzahlen. Ulrich Görtz. 3. Mai 2011 Primzahlen Ulrich Görtz 3. Mai 2011 Sei N := {1, 2, 3,... } die Menge der natürlichen Zahlen. Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Beispiel

Mehr

Zusammenstellung aus ehemaligen DDR Prüfungsaufgaben (Aufgabe 6)

Zusammenstellung aus ehemaligen DDR Prüfungsaufgaben (Aufgabe 6) (Aufgabe 6) 0. Klasse Abschlussprüfungen Jahrgänge 970 99 Fach Mathematik Material für Fachberater, gedacht als Beispiele für die Aufgabe der neuen brandenburger Prüfungsaufgaben 970 6 a) Ermitteln Sie

Mehr

Nummer Seite Bemerkungen

Nummer Seite Bemerkungen Zahlenmengen A. Zahlenmengen A.1 Einführung siehe Frommenwiler Kapitel 1.1.1 ab Seite 8! A.2 Übungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgaben: Nummer Seite Bemerkungen 3 8 4 9 A.3 Doppelstrich-Buchstaben

Mehr

WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Grundlagen

WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Grundlagen Die WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Grundlagen Wer lange genug über hunderten von Problemen gebrütet hat, kann bei vielen bereits erraten, aus welchem Land sie kommen. So lieben die Briten etwa die

Mehr

Lösungen Arbeitsblatt Mengenlehre

Lösungen Arbeitsblatt Mengenlehre Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösungen Arbeitsblatt Mengenlehre Dozent: Roger Burkhardt Büro: - Klasse: BWZ (Gruppe A) 2012/2013

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten:

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: Aussagen Aussagen Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: verbale Aussage formale Aussage Wahrheitswert 1) 201 ist teilbar durch 3 3 201 wahre Aussage (w.a.) 2)

Mehr

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt

Mehr

M_G7 EF Pvn Klausurvorbereitung: Lösungen 13. Oktober Klausurvorbereitung. Lösungen

M_G7 EF Pvn Klausurvorbereitung: Lösungen 13. Oktober Klausurvorbereitung. Lösungen Klausurvorbereitung Lösungen I. Funktionen Funktionen und ihre Eigenschaften S. 14 Aufg. 2 f(-2)=0,5 f(0,1)=-10 f(78)= 1 78 g(-2)=-7 g(0,1)=-2,8 g(78)=153 h(-2)=57 h(0,1)=23,82 h(78)=11257 D f = R/{0}

Mehr

Arbeitsblatt Mengenlehre

Arbeitsblatt Mengenlehre Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Arbeitsblatt Mengenlehre Dozent: Roger Burkhardt Klasse: BWZ 2013/2014 Büro: 5.1C05 Semester: -

Mehr

Basiswissen Zahlentheorie

Basiswissen Zahlentheorie Kristina Reiss Gerald Schmieder Basiswissen Zahlentheorie Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche Zweite Auflage Mit 43 Abbildungen ^y Springer Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen und Voraussetzungen 1.1

Mehr

Logik, Mengen und Abbildungen

Logik, Mengen und Abbildungen Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen

Mehr

Einführung in die Mengenlehre

Einführung in die Mengenlehre Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Vollständige Induktion Aktualisiert: 1 Dezember 01 vers 100 Eine der wichtigsten Beweistechniken der Mathematik überhaupt ist die (vollständige) Induktion Wir nehmen

Mehr

Die Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt.

Die Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt. 1 1 Funktionen 1.1 Grundlegende Zahlenmengen Georg Cantor (1845-1918) hat den Begriff der Menge eingeführt. Man versteht darunter die Zusammenfassung einzelner Dinge, welche Elemente genannt werden, zu

Mehr

Testprüfung (Abitur 2013)

Testprüfung (Abitur 2013) Testprüfung (Abitur 2013) Steve Göring, stg7@gmx.de 3. April 2013 Bearbeitungszeit: Zugelassene Hilfsmittel: 270 Minuten Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig), Tafelwerk Name: Punkte:

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Hauptschule Klasse Mathematik - Lernen und Lösen - Übungsaufgaben

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Hauptschule Klasse Mathematik - Lernen und Lösen - Übungsaufgaben Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Hauptschule Klasse 7 + 8 - Mathematik - Lernen und Lösen - Übungsaufgaben Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen Dozentin: Wiebke Petersen 1. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 6 Frage Was ist eine Menge? 1 Minute zum Nachdenken

Mehr

Die Sprache der Mathematik

Die Sprache der Mathematik Die Sprache der Mathematik Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Diese Lehrveranstaltung...... ist Pflicht für alle Studenten der Informatik und

Mehr

Eine kurze Tabelle soll uns erste Einsichten erleichtern. Der Strich heißt, dass es eine solche Darstellung nicht gibt.

Eine kurze Tabelle soll uns erste Einsichten erleichtern. Der Strich heißt, dass es eine solche Darstellung nicht gibt. Summen von Quadraten 1 Physikalische Motivation Eine schwingende Saite hat eine Grundfrequenz F, die von Länge, Dicke, Beschaffenheit der Saite und so fort abhängt Neben dieser Grundfrequenz gibt es auch

Mehr

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Definition Sei A eine Menge und ɛ A A A eine zweistellige

Mehr

Mathematik 1 für Chemische Technologie 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N =

Mathematik 1 für Chemische Technologie 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit

Mehr

Primitiv? Primzahlen und Primfaktoren schätzen lernen. Dr. Heinrich Schneider, Wien. M 1 Grundlegende Zahlenmengen wiederhole dein Wissen!

Primitiv? Primzahlen und Primfaktoren schätzen lernen. Dr. Heinrich Schneider, Wien. M 1 Grundlegende Zahlenmengen wiederhole dein Wissen! S 1 Primitiv? Primzahlen und Primfaktoren schätzen lernen Dr. Heinrich Schneider, Wien M 1 Grundlegende Zahlenmengen wiederhole dein Wissen! Die natürlichen Zahlen n 1, 2, 3, 4, 5, heißen natürliche Zahlen.

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung

Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Mathematisches Institut II.06.004 Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg SS 05 Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Vorlesung 3: Elementare Beweismethoden: Direkter Beweis,

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016

Mehr

Betrags-Gleichungen und -Ungleichungen

Betrags-Gleichungen und -Ungleichungen Betrags-Gleichungen und -Ungleichungen W. Kippels 16. August 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen zu Beträgen 2 1.1 Gleichungen mit Beträgen.......................... 2 1.2 Ungleichungen mit Beträgen.........................

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Mathematische Zeichen und Abkürzungen 11. Grundlagen der Aussagenlogik und der Mengenlehre 13

Mathematische Zeichen und Abkürzungen 11. Grundlagen der Aussagenlogik und der Mengenlehre 13 Inhaltsverzeichnis Mathematische Zeichen und Abkürzungen 11 Grundlagen der Aussagenlogik und der Mengenlehre 13 1 Grundbegriffe der Aussagenlogik und ihre Verwendung in der Datenverarbeitung 13 1.1 Aussagen

Mehr

3 Mengen, Logik. 1 Naive Mengenlehre

3 Mengen, Logik. 1 Naive Mengenlehre 3 Mengen, Logik Jörn Loviscach Versionsstand: 21. September 2013, 15:53 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.j3l7h.de/videos.html This work is

Mehr

1 Algebraische Strukturen

1 Algebraische Strukturen Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen

Mehr

Mengenlehre. Spezielle Mengen

Mengenlehre. Spezielle Mengen Mengenlehre Die Mengenlehre ist wie die Logik eine sehr wichtige mathematische Grundlage der Informatik und ist wie wir sehen werden auch eng verbunden mit dieser. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

1 Mengen und Mengenoperationen

1 Mengen und Mengenoperationen 1 Mengen und Mengenoperationen Man kann verschiedene Objekte mit gemeinsamen Eigenschaften zu Mengen zusammenfassen. In der Mathematik kann man z.b. Zahlen zu Mengen zusammenfassen. Die Zahlen 0; 1; 2;

Mehr

Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion

Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion Äquivalenzrelation Nehmen wir die Menge A = {,,,,,,,,}, z.b. nummerierte Personen. Unter Berücksichtigung

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

1 Mengenlehre. 1.1 Grundbegriffe

1 Mengenlehre. 1.1 Grundbegriffe Dieses Kapitel behandelt Grundlagen der Mengenlehre, die in gewisser Weise am nfang der Mathematik steht und eine Sprache bereitstellt, die zur weiteren Formulierung der Mathematik sehr hilfreich ist.

Mehr

Funktionen. Mathematik-Repetitorium

Funktionen. Mathematik-Repetitorium Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.2 Eigenschaften von Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Funktionen 1 4. Funktionen Funktionen 2

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6.

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6. Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den 7.9.01 Vorkurs Mathematik WS 01/13 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Kombinatorik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente 2 Teil 1 Endliche Mengen Eine endliche Menge M ist eine Menge,

Mehr

perfekt für Klassenarbeiten Videos zu jeder Übungsaufgabe alle Themen sehr übersichtlich alle Anforderungsbereiche StrandMathe GbR

perfekt für Klassenarbeiten Videos zu jeder Übungsaufgabe alle Themen sehr übersichtlich alle Anforderungsbereiche StrandMathe GbR perfekt für Klassenarbeiten Videos zu jeder Übungsaufgabe alle Themen sehr übersichtlich alle Anforderungsbereiche Unsere Übungshefte sind für alle Schülerinnen und Schüler, die keine Lust auf 300-seitige

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen 1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine

Mehr

FMS 2 / HMS 2 Erster Teil - ohne Taschenrechner. Name:... Kandidatennummer/ Gruppennummer Vorname:... Aufgabe Nr.: Summe

FMS 2 / HMS 2 Erster Teil - ohne Taschenrechner. Name:... Kandidatennummer/ Gruppennummer Vorname:... Aufgabe Nr.: Summe Aufnahmeprüfung 2012 Mathematik FMS 2 / HMS 2 Erster Teil - ohne Taschenrechner Name:....................... Kandidatennummer/ Gruppennummer Vorname:....................... Aufgabe Nr.: 1 2 4 5 6 7 Summe

Mehr

Übungsbuch Algebra für Dummies

Übungsbuch Algebra für Dummies ...für Dummies Übungsbuch Algebra für Dummies von Mary Jane Sterling, Alfons Winkelmann 1. Auflage Wiley-VCH Weinheim 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 527 70800 0 Zu Leseprobe

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Wenn ich pro Sekunde eine natürliche Zahl aufzählen kann, kann ich in 2000 Sekunden alle natürlichen Zahlen aufsagen.

Wenn ich pro Sekunde eine natürliche Zahl aufzählen kann, kann ich in 2000 Sekunden alle natürlichen Zahlen aufsagen. Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Unendliche Mengen Immer eins mehr als du 1 Was ist unendlich? Michi sagt zu Anna: Wenn ich pro Sekunde eine natürliche Zahl aufzählen

Mehr

BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG MATHEMATIK

BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG MATHEMATIK BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG 003 MATHEMATIK Arbeitszeit: Hilfsmittel: 150 Minuten 1. Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I und II. Berlin: Paetec, Ges. für Bildung und Technik. Formeln und Tabellen

Mehr

Stochastik Lehr-und Aufgabenbuch. Skriptum zum Vorbereitungskurs

Stochastik Lehr-und Aufgabenbuch. Skriptum zum Vorbereitungskurs Stochastik Lehr-und Aufgabenbuch Skriptum zum Vorbereitungskurs 1 WICHTIGER HINWEIS: Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen

Mehr

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte Einige mathematische Konzepte 1 Mengen 1.1 Elementare Definitionen Mengendefinition Die elementarsten mathematischen Objekte sind Mengen. Für unsere Zwecke ausreichend ist die ursprüngliche Mengendefinition

Mehr

Jahresplanung 2.Klasse 100% Mathematik

Jahresplanung 2.Klasse 100% Mathematik Jahresplanung 2.Klasse 100% Mathematik Unterrichtswoche Schuljahr 2015/2016 Kapitel Seitentitel Schulbuchseiten 1 - Wiederholung von Lerninhalten der 5. Schulstufe 2 1 Eigenschaften 3 1 Eigenschaften 4

Mehr

Vorkurs Mathematik. Vorbereitung auf das Studium der Mathematik. Übungsheft

Vorkurs Mathematik. Vorbereitung auf das Studium der Mathematik. Übungsheft Vorkurs Mathematik Vorbereitung auf das Studium der Mathematik Übungsheft Dr. Johanna Dettweiler Institut für Analysis 0. Oktober 009 Aufgaben zu Kapitel Die Nummerierung der Aufgaben bezieht sich auf

Mehr

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen 3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob

Mehr

3 Vollständige Induktion

3 Vollständige Induktion 3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft. Gleichungen verstehen, umstellen und lösen. Fernstudium-Guide präsentiert. Mathe-Basics

Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft. Gleichungen verstehen, umstellen und lösen. Fernstudium-Guide präsentiert. Mathe-Basics Fernstudium-Guide präsentiert Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft Mathe-Basics Gleichungen verstehen, umstellen und lösen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

4 Einige Grundstrukturen. Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper

4 Einige Grundstrukturen. Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper 4 Einige Grundstrukturen Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper Abbildungen Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X Y ordnet jedem x X genau ein Element

Mehr

Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/

Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/ 14. November 2006 Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/07 31.10.06 Präsenzaufgaben: 1) Welche rationale

Mehr

Relationen und Partitionen

Relationen und Partitionen Relationen und Partitionen Ein Vortrag im Rahmen des mathematischen Vorkurses der Fachschaft MathPhys von Fabian Grünig Fragen, Anmerkungen und Korrekturen an fabian@mathphys.fsk.uni-heidelberg.de Inhaltsverzeichnis

Mehr