Die gedämpfte Schwingung
|
|
- Hertha Ingeborg Hartmann
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 De gedämpfe Schwngung Bsher wurde de harmonsche Schwngung ohne dsspave Prozesse, d.h. Rebungsverluse, behandel. In der Regel reen allerdngs Rebungsverluse auf und de m Oszllaor gespechere Energe nmm m der Ze ab. Des muss dann auch zu ener Abnahme der Amplude der Schwngung führen, denn de Energe s, we gezeg, proporonal zum Quadra der Amplude. Ene solche Schwngung nenn man gedämpfe Schwngung. De Schwngungsglechung s be Vorlegen von Dämpfung, um den Dämpfungserm (Rebungserm zu ergänzen. I.d.R. handel es sch be der Dämpfung um Sokesche Rebung bzw. enem äquvalenen Prozess, be dem de Rebungskraf proporonal zur Geschwndgke, d.h. der zelchen Ableung der Orskoordnae, s.
2 Krafblanz De (Sokesche Rebungskraf s: Aus der Krafblanz erhäl man dann: F R b v d b d d m d a d b d d d d d b m und m bzw. a m s de Dämpfungskonsane. s de Egenfrequenz der ungedämpfen Schwngung. De Energeblanz führ her nch zum Zel, da de Energe durch de Dsspaon nch erhalen bleb.
3 Lösung der Schwngungsglechung m Dämpfung I De Lösung s we be der ungedämpfen Schwngung ene Snus-Funkon. Allerdngs s dese überlager von ener eponenellen Dämpfung m der /e-abfallze /. Darüber hnaus r ene Verschebung der Oszllaonsfrequenz gegenüber der Frequenz der ungedämpfen Schwngung auf: Aep( sn( ϕ,,5 ep(- A v an( ϕ v v v / A, -,5 -ep(- -, 5 5 ϕ 3
4 Lösung der Schwngungsglechung m Dämpfung II Enen wesenlchen Enfluss auf de Gesal der Lösung ha her offenschlch das Verhälns von Dämpfungskonsane zu der Egenfrequenz der ungedämpfen Schwngung. Ensprechend können dre Grenzfälle unerscheden werden: a < : Schwngfall (gedämpfe Schwngung, a / b : aperodscher Grenzfall (eponenelle Rückkehr n de Ruhelage, b / c > : Krechfall (eponenelle Rückkehr n de Ruhelage, c ± / A,,5, -,5 -, b a c Ze (belebgen Enheen 4
5 Auswerung des Demonsraonsversuches zur gedämpfen Schwngung I (Fadenpendel Amplude (cm R.9975 A ± ±6.39 A ep(- / 5 5 Ze (belebge Enheen Amplude (mm R.9976 ϕ -.46 ± ±.5 56 ±6 A 78.4 ±.7 T 64.7 ±. A ep(-/ sn( ϕ 5 5 Ze (belebge Enheen 5
6 De erzwungene Schwngung Häufg werden Oszllaoren von außen m ener besmmen Frequenz Ω angereg, d.h. von außen wrk ene harmonsche Kraf F auf den Oszllaor. De Frequenz der äußeren Anregung muss nch nowendgerwese densch m der Frequenz des fre schwngenden Oszllaors, sener Egenfrequenz bzw., sen. Aus der Krafblanz erhäl man: d d m d d F H m Hsn( Ω De lnke See beschreb den gedämpfen harmonschen Oszllaor und de reche See de äußere Anregung. 6
7 Lösung der Glechung zur erzwungenen Schwngung I Der Oszllaor schwng m der Frequenz der äußeren Anregung Ω. De Amplude der Schwngung sowe de Phase (relav zur äußeren Anregung hängen sark von der Frequenz ab. Asn( Ω ϕ A ( Ω ( Ω H Ω ϕ aan Ω Ω π Ω> De mamale Amplude erhäl man n Resonanzfall, d.h. für: Ω res 7
8 Lösung der Glechung zur erzwungenen Schwngung II Als charakerssche Größe für de Dämpfung enes harmonschen Q π Oszllaors defner man de Güe Q: T Des s (bs auf enen Fakor π das Verhälns der /e-abfallze τ zur Perodendauer der ungedämpfen Schwngung T. Für Q würde das fre schwngende Sysem also ewa dre Schwngungen ausführen, bevor de Amplude auf /e abfäll. Ensprechend gl: Ωres Q τ Für große Q s also de Resonanzfrequenz Ω res nahezu glech. 8
9 Lösung der Glechung zur erzwungenen Schwngung III Der Oszllaor schwng m der Frequenz der äußeren Anregung. De Amplude der Schwngung sowe de Phase (relav zur äußeren Anregung hängen sark von der Frequenz ab. 5, / H A 4 3 Q 5,5 -ϕ / π,8,6,4 Q 5,5,,,5,,5,,,,5,,5, Ω / Als charakerssche Größe für de Dämpfung enes harmonschen Oszllaors defner man de Güe Q: Ω / Q 9
10 Darsellung der Schwngung Asn( ϕ oder Bsn( Ccos( v Acos( ϕ ( A v ϕ arcan v, v( X,5, v v Bcos( Csn( ( v( v C v B B,5, -,5 m, v, Asn(ϕ B*sn( C*cos( B*sn(C*cos( -, -,
11 Komplee Zahlen I Vel bequemer als m sn( und cos( lassen sch Schwngungen mels kompleer Zahlen beschreben. Zunächs enge Grundlagen zur Ernnerung: yim(z z Re(z ϕ z y Re(z z z z z z und und Re(z Abkürzung bzw. z z z c.c. z Im(z y y und y z z alernave Im(z Schrebwese : (c.c.:conjugae comple De Abkürzung c.c. benuz man wenger für Zahlen als velmehr für umfangreche Ausdrücke. De Bldung des c.c. wrd durch Umkehrung der Vorzechen vor allen Termen m vorgenommen (.
12 Komplee Zahlen II De komplee Eponenalfunkon sez sch aus Snus- und Cosnus- Funkonen zusammen. Umgekehr lassen sch de Snus- und Cosnus- Funkonen durch komplee Eponenalfunkonen ausdrücken. yim(z z Re(z ϕ Jede komplee Zahl kann auf zwe Aren dargesell werden: a Realel und Imagnärel b Berag und Phase e cos( sn( cos( sn( z y z e ( e e ( e e ϕ z cos( ϕ z cos( ϕ und und y e z sn( ϕ z sn( ϕ
13 Lösungsansaz für de Schwngungsglechung Dam läss sch nun folgender allgemener Ansaz für de Lösung ener Schwngungsglechung machen: ( Ae c.c. A m ( ϕ ( ϕ ( e e A cos( ϕ A Für de Ableung nach der Ze erhäl man: A e ϕ & && ( Ae c.c. ( Ae c.c. Offenschlch reproduzer sch de Eponenalfunkon bem Dfferenzeren n allen Ordnungen. Nur de Vorfakoren ändern sch. Des s ener der Vorele der kompleen Schrebwese. 3
14 4 Lösungsweg: Homogene Schwngungsglechung Nun kann man den Ansaz n de homogene Schwngungsglechung ensezen: De konjuger kompleen Tele blden en völlg analoges Glechungssysem, das som abgespalen werden kann. Des s en weerer Vorel der kompleen Schrebwese. Man erhäl also: ( c.c. Ce ( c.c. Ce m d d d d h h h h λ λ λ λ λ λ De Lösung der quadraschen Glechung s: λ ± ± ( c.c. Ce e C e C h Dam erhäl man: De komplee Konsane C ergb sch aus den Anfangsbedngungen.
15 Lösung: Krechfall De Lösung läss sch naürlch auch ohne komplee Zahlen darsellen: h ( Ce c.c. C e cos( α m Der Krechfall ( > s nun lech anzugeben, denn: cos( cosh( sn( snh( De Lösung der Glechung s dann: e ( Acosh( Bsnh( 5
16 Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung I Nun berachen wr de Schwngungsglechung m äußerer Anregung: d d Hsn( Ω d d Des s ene sogenanne nhomogene Dfferenalglechung, da de reche See von Null verscheden s. De Glechung s lnear, da de lnke See n allen Termen lnear n s. Als Konsequenz deser Lnearä kann de Lösung der Glechung n zwe Anele aufgespalen werden. En Tel s de Lösung der nhomogenen Glechung p (parkuläre Lösung und der zwee Tel s en belebges Velfaches C der Lösung der homogenen Glechung h (Tasächlch gb es ja zwe unabhängge Lösungen der homogenen Glechung: h p C h h C h 6
17 Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung II Zunächs en enfaches Bespel (konsane Kraf: d d d d H En Bespel wäre en gedämpfes senkrech hängendes Federpendel. Ene parkuläre Lösung s dann offenschlch: p H De vollsändge Lösung s dann m der beres besmmen Lösung der homogenen Glechung: H C H ( C e C e e c.c. e De Lösung der homogenen Glechung s für klene Zeen wchg ( <, für große Zeen verschwnde se aber aufgrund der eponenellen Dämpfung und es verbleb nur de parkuläre Lösung. (De Feder ruh am Ende lech durchhängend. 7
18 Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung III De Aussage deses Ergebnsses gl generell auch für komplzerere Inhomogenäen. De homogene Lösung verschwnde mmer für große Zeen ( >> und es verbleb de parkuläre Lösung. De Anfangsbedngungen gehen über de beden Kosanen nur n de homogene Lösung en. Dam wrd für große Zeen de Lösung unabhängg von den Anfangsbedngungen. Offenschlch gl dann nch mehr de Zeumkehr, obwohl es en deermnssches Sysem s. De Ursache s de Dsspaon der Energe durch Rebung, de n gewssem Snne auch enen Informaonsverlus (über de Anfangsbedngungen bedeue. Des gl allgemen be Dsspaon. Trvales Bespel s en ruhendes Pendel, von dem nemand sagen kann, ob und we of es zuvor geschwungen ha. 8
19 Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung IV Nun kann der allgemene Ansaz, der auch für de parkuläre Lösung gl, n de nhomogene Schwngungsglechung ensez werden: d d ( d d Ae H cos( Ω c. c. H e Ω c. c. De konjuger kompleen Tele blden en völlg analoges Glechungssysem, das som abgespalen werden kann. Man erhäl also: H ( Ω A ( e Da A zeunabhängg s, muss offenschlch Ω gelen: H Ω Ω A 9
20 Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung V Dam s de Schwngungsglechung offenschlch beres gelös. Nun kann A noch n Amplude und Phase aufgeel werden. Dazu erweern wr zunächs m der konjuger kompleen Größe des Zählers, um so de Aufelung n Imagnär und Realel vom Nenner n den Zähler zu verlagern: ( an( ( ( ( ( ( ( ( ( Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ϕ ϕ m e H H H H A
21 Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung VI De vollsändge Lösung laue dam (Inegraonskonsanen: C bzw. C und α m C e C e ( cos( α und Ω H ( an( ϕ ( Ω Ω H Ω Ω e ( Ω ϕ ( Ω c.c. cos( Ω ϕ Der Enschwngvorgang s durch de Anfangsbedngungen ((, d(/d besmm. Deser s aber nach enem Zeraum von ewa / ausgedämpf. Dann s das Sysem engeschwungen und unabhängg von den Anfangsbedngungen.
22 Bespele für Lösungen m Enschwngvorgang / G , G ( Ω,5 blau : C G,ro : C 3G blau : α, ro : α H Ω ( Ω Der Enschwngvorgang s nach ener Ze / (bzw. / 5 wegehend abgeschlossen und be / (bzw. / nahezu völlg ausgedämpf. Das Sysem geh n den engeschwungenen Zusand über. De Lösung s dann unabhängg von den Anfangsbedngungen.
23 Besmmung der Inegraonskonsanen aus den Anfangsbedngungen De Anfangsbedngungen geben den Zusand zum Zepunk (oder jeder anderen als Sarzepunk defneren Ze an. Dazu werden be ener Dfferenalglechung zweer Ordnung zwe Angaben benög. Alle Bewegungsglechungen der Mechank snd Dfferenalglechungen zweer Ordnung (. Newonsches Gesez und de benögen Angaben snd: ( ( und ( v( v. Des gl dam auch für de Schwngungsglechung: ( ( ( v e ( [ Acos( Bsn( ] d d A G cos( ϕ ( G cos( Ω ϕ A BΩGsn( ϕ De Konsanen A und B lassen sch aus desem lnearen Glechungssysem lech besmmen. Man kann dann z.b. A und B n de Amplude C und den Phasenfakor α umrechnen. 3
24 Schwebung Überlagern sch zwe Schwngungen nahezu glecher Frequenz und verglechbarer Amplude, so komm es zu ener sogenannen Schwebung: A [ sn( sn( ] m / ± und << Trgonomersche Umformung ergb: Acos( sn( Des s ene Snus-Schwngung m der Frequenz, deren Amplude langsam m moduler s: B( sn( B( Acos( / A /
25 Gekoppele Schwngungen I Häufg snd mehrere Oszllaoren anenander wederum harmonsch gekoppel. Wr berachen her nur den enfachen Fall zweer denscher Oszllaoren, z.b. zwe densche Pendel, de durch ene Feder gekoppel snd: De gekoppelen Schwngungsglechungen haben dann de Form: m&& m&& D D D D ( ( D mg / L g L und D m 5
26 6 Gekoppele Schwngungen II De beden Telchen können grundsäzlch n zwe verschedenen Moden schwngen: a glechphasg ( oder b gegenphasg ( > sn( sn( cos( cos( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ± ± ± ± und A A Allgemen ergb sch naürlch ene Überlagerung deser Moden. De allgemene Lösung laue:
27 Gekoppele Schwngungen III De Lösung ha offenschlch de Form ener Schwebung. Es kann also de Energe von enem Pendel auf das andere Pendel und zurück perodsch / A - - überragen werden. 5 5 / A
Gewöhnliche Differentialgleichungen, erste Ordnung
Gewöhnlche Derenalglechungen erse Ordnung wr haben beres gesehen daß sch ele Probleme n der Phsk durch gewöhnlche Derenalglechungen beschreben lassen besmme Varable als Funkon der Ze d d M den Anangsbedngung
Mehr1.6 Energie 1.6.1 Arbeit und Leistung Wird ein Körper unter Wirkung der Kraft F längs eines Weges s verschoben, so wird dabei die Arbeit
3.6 Energe.6. Arbe und Lesung Wrd en Körper uner Wrkung der Kraf F längs enes Weges s verschoben, so wrd dabe de Arbe W = F s Arbe = Kraf Weg verrche. In deser enfachen Form gülg, wenn folgende Voraussezungen
MehrDie Fouriertransformation und ihre Eigenschaften
De Fourerransormaon und hre Egenschaen Klene Formelsammlung zusammengesell von Pro. Dr. ajana Lange Fachberech Elekroechnk Fachhochschule Merseburg Inhal: Fourerrehe und Fourernegral ransormaon enger wchger
MehrI, U : Momentanwerte für Strom und Spannung I 0, U 0 : Scheitelwerte für Strom und Spannung
Wechselsrom B r A B sn( sn( Wrd de eerschlefe über enen Wdersand kurzgeschlossen fleß en Srom: sn( sn(, : Momenanwere für Srom und Spannung, : Scheelwere für Srom und Spannung ~ sn( sn( Effekvwere für
MehrHittorfsche Überführungszahl
Insu für Physkalsche Cheme Forgeschrenenprakkum 4. Horfsche Überführungszahl Sand 06/04/05 Horfsche Überführungszahl Grundlagen zum Versuch Komponenen - Glechspannungsquelle - Elekrolyse-Apparaur - P-Elekroden.
MehrLösungen der Übungsaufgaben zu Kapitel 7
Kapel 7: Prmzahlen Lösungen der Übungsaufgaben zu Kapel 7 Ü: Se p IP belebg gewähl. IA: n = : Zu zegen s p a a p a p a, des s aber genau de Aussage von Saz 7. und dam beres bewesen. IS: Se IN m belebg
MehrVorlesung II. Schwingungsbewegung und Chaos
Vorlesun II. Schwnunsbeweun und Chaos Bespele des Schwnunsverhalens können n velen Gebeen der Physk efunden werden: De Beweun von Elekronen n Aomen Das Verhalen von Srömen und Spannunen n elekrschen Sromkresen
Mehr1 Definition und Grundbegriffe
1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen
Gewöhnlche Dfferenalglechungen (von Mchael Ddas, Wnersemeser 2001/2002) 1. Exsenz- und Endeugke von Lösungen 2. Trennung der Varablen 3. Syseme lnearer Dfferenalglechungen 1. Ordnung 4. Syseme m konsanen
MehrDie Hamilton-Jacobi-Theorie
Kaptel 7 De Hamlton-Jacob-Theore Ausgearbetet von Rolf Horn und Bernhard Schmtz 7.1 Enletung Um de Hamlton schen Bewegungsglechungen H(q, p q k = p k H(p, q ṗ k = q k zu verenfachen, führten wr de kanonschen
MehrCayleys Formel. Drei Beweise durch geschicktes. Zahlen. Marc Wagner. Ferienakademie, September 1999
Cayleys Formel Dre Bewese durch geschces Zahlen Marc Wagner mcwagnersud.nforma.un-erlangen.de Ferenaademe, Sepember 999 Vorberachungen Labeled Trees (nummerere Baume) En Labeled Tree s en zusammenhangender,
Mehr2 Anwendung der Laplace- Transformation auf gewöhnliche Differenzialgleichungen
nwendng der aplace- Transformaon af gewöhnlche Dfferenzalglechngen. Häfg afreender Typ von Dfferenzalglechngen Das dynamsche Verhalen echnscher Syseme wrd häfg, zmndes näherngswese, drch lneare Dfferenzalglechngen
Mehr6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen
196 6.5. Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen
MehrMserlösng zr Afgabe, H5. as Pnk Nach Messng könne es ach ene -Schalng sen. Für ene -Schalng würe aber be Messng e gesame Spannng über em Wersan as abfallen. 5 µf,sec Ω as as en as en as as as Pnke. = +
MehrNMR-Spektroskopie. (Bloch-Gleichungen) (Puls-Fourier-Spektroskopie) D. Leibfritz
NR-Sekrske (lch-glechungen (Puls-Furer-Sekrske D. Lebfr lch-glechungen Zur eschrebung ur eschrebung der Zeabhänggke der agneserung vn Snensembles: Drehmmen:: D r r r (vgl. Elekrmr D r dl r r r di Drall-Sa
Mehr2. Periodische nichtsinusförmige Größen
. Perodsche nchsnusförge Größen n der Eleroechn haben neben den Snusgrößen auch nchsnusförge Größen erheblche Bedeuung. Generaoren lefern n eleronschen Schalungen Rechec-, puls- oder Sägezahnspannungen;
Mehr3. Echtzeit-Scheduling Grundlagen
3. Echze-Schedulng Grundlagen 3.1. Grundbegrffe, Klassfkaon und Bewerung Grundbegrffe Job Planungsenhe für Schedulng e wce r d Ausführungsze, Bearbeungsze (execuon me) maxmale Ausführungsze Fregabeze,
MehrMC Datenexport und Übernahme in Excel
MC Daenexpor und Übernahme n Excel Schr-für-Schr-Anleung zur Daenübernahme aus der MC- Applkaon und Überführung der Daen n en lokales Excel-Fle. Tel A: Daenübernahme aus MC (Wndows XP):. See 1 Tel B: Daenkonverson
Mehr1 EINLEITUNG. Leitstation. Automatisierungstechnik. Sensor- System. Aktor- System. Antriebstechnik. Messtechnik. Anlage (Prozess) Energie, Produkt
Prof. r. U. Schwellenberg, Vorlesung Messechnk - INLITUNG Lernzel: Vermlung von grundlegenden Kennnssen n a den wchgsen Messprnzpen für de elekrsche Messung nchelekrscher Größen, b Aufbau von Messenrchungen
MehrMi , Dr. Ackermann Übungsaufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Serie 13
M. 3. 5-4. 45, Dr. Ackermann 6..4 Übungsaufgaben Gewöhnlche Dfferentalglechungen Sere 3.) Bestmmung ener homogenen Dfferentalglechung zu gegebenen Funktonen y (partkuläre Lösungen) enes Fundamentalsystems.
Mehr4. Ratenmonotones Scheduling Rate-Monotonic Scheduling (LIU/LAYLAND 1973)
4. Raenmonoones Schedulng Rae-Monoonc Schedulng (LIU/LAYLAND 973) 4.. Tasbeschrebung Tas Planungsenhe. Perodsche Folge von Jobs. T = {,..., n } Tasparameer Anforderungsze, Bereze (release me) Bearbeungs-,
MehrFachbereich Mathematik Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch WS 2007/08 10./ Gruppenübung
Fachberech Mathematk Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frsch WS 27/8./.. 6. Übungsblatt zur Lnearen Algebra für Physker Gruppenübung Aufgabe G7 (Kern, Bld, Rang und Orthogonaltät) Gegeben se ene lneare Abbldung
MehrGröße Definition, Bemerkungen 1 Stromempfindlichkeit C I
Messung der Kenndaen enes Torsons-Drehspulgalvanomeers Kenndaen Das alvanomeer s en erä zur Messung sehr klener Sromsärken Be enem Drehspul- nsrumen m Torsonssysem s der Wnkelausschlag des Lchzegers proporonal
Mehr(4) NURBS. Vorlesung Computergraphik III S. Müller U N I V E R S I T Ä T KOBLENZ LANDAU
URS Vorlesung Compuergraph III S. Müller U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - - Wederholung I -Splnes ass-splnes Reursve Defnon der assfunonen ähnlch e be ézer durch
MehrExperimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat TU - Dortmund. de Kapitel 1
ermenalhysk III TU Dormund WS03/4 Shauka Khan @ TU - Dormund. de Kael d d s Paul. M. Drac 90-984 Wederholung Wellenfunkonen Vekoren m "Hlber-Raum" n desem Raum s en Skalarroduk defner zu jeder Observablen
Mehr3. Echtzeit-Scheduling Grundlagen
3. Echze-Schedulng Grundlagen 3.1. Grundbegrffe, Klassfkaon und Bewerung Grundbegrffe Job Planungsenhe für Schedulng e wce r d Ausführungsze, Bearbeungsze (execuon me) maxmale Ausführungsze Fregabeze,
Mehr18. Vorlesung Sommersemester
8. Vorlesung Sommersemester Der Drehmpuls des starren Körpers Der Drehmpuls des starren Körpers st etwas komplzerter. Wenn weder de Wnkelgeschwndgket um de feste Rotatonsachse st, so wrd mt Hlfe des doppelten
MehrBerechnung des next-arrays
Berechnung des nex-arrays Ernnerung: nex[] Länge des längsen Präfxes von P, das eches Suffx von P 1.. s Inalserung: nex[1] 0 Annahme: se nex[-1] j: P 1 P 2 P -1 P? Berache zwe Fälle: 1. P P j+1 nex[] j
Mehr1 Mehrdimensionale Analysis
1 Mehrdmensonale Analyss Bespel: De Gesamtmasse der Erde st ene Funton der Erddchte ρ Erde und des Erdradus r Erde De Gesamtmasse der Erde st dann m Erde = V Erde ρ Erde Das Volumen ener Kugel mt Radus
Mehr3. Lineare Algebra (Teil 2)
Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw
Mehr- Theorie - 3. Dynamik
K.Bräuer: Phlosophsche Aspeke der modernen Physk, SS 5 - Theore -. Dynamk Wel erschen n sändger Veränderung Veränderung wrd beschreben durch Kräfe Impuls=Kraf*Ze 'sammel' Krafwrkungen Klassschen Mechank:
MehrLineare Regression (1) - Einführung I -
Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:
MehrInduktive Strombegrenzung für AC-gespeiste SGTC mit netzsynchroner rotierender Funkenstrecke
Induktve Strombegrenung für AC-gespeste SGTC mt netsynchroner roterender Funkenstrecke Es wrd von ener SGTC ausgegangen, welche mt ener 5 H-netfrequen-synchron roterenden prmären Funkenstrecke ausgestattet
MehrEnergieeffizienz-Betrachtung einer Anlage durch Energiemessung
Applcaon Noe DK9221-1109-0007 Messechnk Keywords Energemessung Lesungsfakor Energeanalyse EherCAT-Klemme Busklemme KL3403 EL3403 Energeeffzenz-Berachung ener Anlage durch Energemessung Deses Applcaon Example
Mehr15 Erzwungene Schwingungen
11 Unwuchen in elasischen Rooren oder Fahrbahnunebenheien bei Fahrzeugen führen auf erzwungene Schwingungen. Berache werden soll im Folgenden der Fall der Schwingungserregung durch eingepräge Kräfe. Bei
Mehr22. Vorlesung Sommersemester
22 Vorlesung Sommersemester 1 Bespel 2: Würfel mt festgehaltener Ecke In desem Fall wählt man den Koordnatenursprung n der Ecke und der Würfel st durch den Berech x = 0 a, y = 0 a und z = 0 a bestmmt De
MehrVorlesung 3 Differentialgeometrie in der Physik 13
Vorlesung 3 Dfferentalgeometre n der Physk 13 Bemerkung. Ist M Manngfaltgket, p M und φ : U R n Karte mt p U, so nennt man U auch Koordnatenumgebung und φ auch Koordnatensystem n p. Bespel 2.4 Seen R >
MehrControlling (Nebenfach) Wintersemester 2012/2013
echnsche Unversä München Conrollng (Nebenfach) Wnersemeser 22/23 Mschrf der orlesung vom 3..22 Dr. Markus Brunner Lehrsuhl für Berebswrschafslehre Conrollng echnsche Unversä München Conrollng WS 22/3 2
Mehr6. Elektrische Wechselgrössen
Grundlagen der Elektrotechnk GE 2 [Buch GE 2: Seten 72-14] Grundbegrffe Wechselgrössen Perodsche Wechselgrössen Lnearer und quadratscher Mttelwert Der Effektvwert Bezugspfele Verallgemenerte Zetfunktonen
Mehr3. Vorlesung Sommersemester
3. Vorlesung Sommersemester 1 Bespele (Fortsetzung) 1. Der starre Körper: Formulerung der Zwangsbedngungen später. Anschaulch snd schon de Frehetsgrade: dre der Translaton (z. B. Schwerpuntsoordnaten)
MehrD. Dorninger: Angaben für die Übungsaufgaben zu Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik 1 AUFGABEN
D. Dornnger: Angaben für de Übungsaufgaben zu Mahemak für Wrschafsnformak I. INTEGRALRECHNUNG. Konsumenenrene AUFGAEN Für enen Monopolsen se = (p) de Nachfrage n Abhänggke vom Pres p. p h : Höchspres,
Mehr8. Elementare Zeitreihenanalyse
8 Elemenare Zerehenanalse De Komponenen ener Zerehe: Suaon: De Schprobenwere enes Merkmals Y werden m Zeablauf, also zu besmmen Zepunken, =,, n, beobache Zerehe In wrschaflchen Anwendungen wrd häufg unersell,
MehrAerodynamik des Flugzeugs Numerische Strömungssimulation
Aerodnamk des Flgzegs Nmersche Srömngssmlaon Enleng Srömngssmlaon n Wndkanälen 3 Nmersche Srömngssmlaon 4 Poenalsrömngen 5 Tragflügel nendlcher Sreckng n nkompressbler Srömng 6 Tragflügel endlcher Sreckng
MehrEin Skript der Vorlesung. Höhere Mathematik für Physiker Kapitel Jordan-Normalform
En Skrp der orlesung Höhere Mahemak für Physker Kapel Jordan-Normalform Dr. Peer Gesl TU München 4. Semeser SS Daum: 6.6. von Mchael Wack Chrsoph Moder Manuel Saebel ( ) hp://www.skrpweb.de Hnwese (z.b.
MehrProtokoll zum Grundversuch Mechanik
Protokoll zum Grundversuch Mechank 3.6. In desem Grundversuch zur Mechank werden dre verschedene Arten von Pendeln untersucht. Das Reversonspendel, das Torsonspendel und gekoppelte Pendel. A. Das Reversonspendel
MehrGrundgedanke der Regressionsanalyse
Grundgedanke der Regressonsanalse Bsher wurden durch Koeffzenten de Stärke von Zusammenhängen beschreben Mt der Regressonsrechnung können für ntervallskalerte Varablen darüber hnaus Modelle geschätzt werden
MehrAusgleichsgerade Seite 1/6. Computerunterstütze Suche nach einer symbolischen Lösung
Ausglechsgerae See 1/6 Wlfre Rohm Ausglechsfunonen - Varanen zur Berechnung Zur Auswahl sehen folgene Möglcheen: Compuerunersüze Suche nach ener smbolschen Lösung Numersche Lösung es Opmerungsproblems
MehrRegressionsgerade. x x 1 x 2 x 3... x n y y 1 y 2 y 3... y n
Regressonsgerade x x x x 3... x n y y y y 3... y n Bem Auswerten von Messrehen wrd häufg ene durch theoretsche Überlegungen nahegelegte lneare Bezehung zwschen den x- und y- Werten gesucht, d.h. ene Gerade
MehrPhysik I Ausarbeitung mündliche Prüfung
Physk I usarbeung ündlche Prüfung Ene usarbeung für de ündlche Prüfung Physk I ersell den VO-olen o W 4, de Buch Physk für Bachelors (3. uflage, 3) und Wkpeda. as Kapel Mechank on lüssgkeen/hydrodynak
Mehr8. Elementare Zeitreihenanalyse
8 Elemenare Zerehenanalse Suaon: v De Schprobenwere enes Merkmals Y werden m Zeablauf, also zu besmmen Zepunken,,, n, beobache Zerehe v In wrschaflchen Anwendungen wrd häufg unersell, dass sch de Beobachungswere
MehrAufgaben mit Lösungen zur Ökonometrie I. 1. Ökonometrie und empirische Wirtschaftsforschung
Aufgaben m Lösungen zur Ökonomere I 1. Ökonomere und emprsche Wrschafsforschung 1.1 Erläuern Se de konsuonellen Elemene der Ökonomere! De Ökonomere s ene Schnmenge aus ökonomscher Theore, der Mahemak und
MehrVerweilzeitspektren. Gruppe III-2: Tillmann Kleine Marius Strunk
Verwelzespekren Gruppe III-: Tllmann Klene Marus Srunk Verwelzespekren Was snd Verwelzespekren? Darsellungen Messechnk Bespel Was snd Verwelzespekren? Chemscher Reakor Reakonsgefäß Dskonnuerlche Reakonsführung
MehrSS 2017 Torsten Schreiber
SS Torsten Schreber e den Ebenen unterscheden wr de und de prmeterfree Drstellung. Wenn wr ene Ebenenglechung durch dre Punkte bestmmen wollen, so müssen de zugehörgen Vektoren sen, d es sonst nur ene
Mehr6. Numerische Lösung von Anfangswertproblemen
6.. Problemsellung 9 6. Numersche Lösung von Anangswerproblemen 6.. Problemsellung Be Anangsweraugaben soll dejenge Lösung (x ener Derenalglechung n-er Ordnung ( x,,,..., ( n ( n (6.- ermel werden, de
MehrKonkave und Konvexe Funktionen
Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage
MehrGruppe. Lineare Block-Codes
Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung
Mehr4 Bipolare Logikschaltungen
Das Großsgnalverhalen des polarranssors 4-1 4 polare Logkschalungen 4.1 Das Großsgnalverhalen des polarranssors m Klensgnalbereb waren de Ampluden der Wechselsröme und -spannungen wesenlch klener als de
MehrTheoretische Physik 2 (Theoretische Mechanik)
Theoretsche Physk 2 (Theoretsche Mechank Prof. Dr. Th. Feldmann 28. Oktober 2013 Kurzzusammenfassung Vorlesung 4 vom 25.10.2013 1.6 Dynamk mehrerer Massenpunkte Dynamk für = 1... N Massenpunkte mt.a. komplzerter
MehrGrundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt
Mathematsches Insttut der Unverstät München Wntersemester 3/4 Danel Rost Lukas-Faban Moser Grundlagen der Mathematk I Lösungsvorschlag zum. Tutorumsblatt Aufgabe. a De Formel besagt, daß de Summe der umrahmten
MehrÜbungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen
Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen
Mehr3.3 Lineare Abbildungen und Matrizen
33 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 87 33 Lneare Abbldungen und Matrzen Wr wollen jetzt de numersche Behandlung lnearer Abbldungen zwschen Vektorräumen beschreben be der vorgegebene Basen de Hauptrolle
MehrTransformation in der Gesichtserkennung
Transformaon n der Geschserkennung en Proek m Rahmen des Proekkurses Bldanalse und Obekerkennung Seffen Mankecz Mchael Rommel Rober Sen Sebasan Thebes. Enleung De Erkennung von Geschern und Gennung von
MehrELASTISCHE BETTUNG (ZUSAMMENFASSUNG) y z
(ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt. ALLGEEINES. Sstem und Belastung Längsanscht: q( x) z, w x, u Begestefgket EI h Bettung c l Querschnttsdarstellung: q( x) q ( x) ( verschmert) z h Bettung c
MehrLösungen aller Aufgaben und Lernkontrollen
Oft gbt es be den Aufgaben mehr als nur enen rchtgen Lösungsweg. Es st jedoch mest nur ene Lösung dargestellt. Aufgaben u Kaptel Lösung u Aufgabe a) nach Defnton von. b) 4 ( ) ( ). c) 5 4. d) ( ) (( )
Mehr12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2
1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:
MehrVorlesung: "Grundlagen ingenieurwissenschaftlichen Arbeitens (GIA)"
6 Zuverlägke und Produklebenzyklu 6. Genaugke und Fehlerverhalen 6.2 Technche Zuverlägke 6.2. Klafkaon von Aufällen 6.2.2 Aufall- und Überlebenwahrchenlchke 6.2.3 Fehlerrae 6.3 Zuverlägke von Hardware-Funkonen
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 2
Lösungen der Aufgaben zu Kaptel Abschntt 1 Aufgabe 1 Wr benutzen de Potenzrechenregeln, um ene Potenz von mt geradem Eponenten n oder mt ungeradem Eponenten n + 1 we folgt darzustellen: n n und n+1 n n
Mehr16. Vorlesung Sommersemester
16. Vorlesung Sommersemester 1 Das Egenwertproblem In allgemener Form hat das Egenwertproblem de Form A x = λ x, (1) wobe A ene n n-matrx, x en n-dmensonaler Vektor und λ der Egenwert st (n Englsch: egenvector,
Mehr{ } { } { } δ F. Die Knotenspannungen (Matrix u) nach dem Schritt k+1 erhält man entsprechend der Gleichung (*) aus den Werten des Schrittes k durch:
2. Grndlagen der nmerschen Schalngsberechnng (Analysearen 2. D-Analyse Vor der weeren Berechnng der Vorgänge n Schalngen mß der D-Arbespn als Sarwer für alle Sröme nd Spannngen ermel werden. Dese D-Analyse
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferenkurs Theoretsche Physk: Mechank Sommer 018 Vorlesung 4 (mt freundlcher Genehmgung von Gramos Qerm, Jakob Unfred und Verena Walbrecht) Technsche Unverstät München 1 Fakultät für Physk Inhaltsverzechns
MehrPhysik im Studiengang Elektrotechnik
Physk m Suengang Elekroechnk - Dynamk von Drehbewegungen - Prof. Dr. Ulrch Hahn WS 015/016 Bewegung ausgeehner Objeke Sysem aus (velen) Massenpunken sarrer Körper: Fese Posonen er Massenpunke unerenaner
MehrSchriftliche Prüfung aus Systemtechnik am
U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Schrftlche Prüfung aus Systemtechnk am 4.. 5 Name / Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte: 4 errechbare Punkte 4 5 7 5 errechte Punkte U Graz, Insttut
MehrWechselstrom. Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets wie folgt dargestellt werden : U t. cos (! t + " I ) = 0 $ " I
Wechselstrom Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets we folgt dargestellt werden : U t = U 0 cos (! t + " U ) ; I ( t) = I 0 cos (! t + " I ) Wderstand m Wechselstromkres Phasenverschebung:!"
MehrKlasse : Name1 : Name 2 : Datum : Nachweis des Hookeschen Gesetzes und Bestimmung der Federkonstanten
Versuch r. 1: achwes des Hook schen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten achwes des Hookeschen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten Klasse : ame1 : ame 2 : Versuchszel: In der Technk erfüllen
MehrRelexionsseismik Prozessingschema
Refleonssesmk Prnzp Daenbearbeung KGH Sesmsche Eploraonserfahren Tel 9 - Slde Releonssesmk Prozessngschema Feld 'apes' Obserer's log PREPROCESSING Demulple Edng Gan recoery Feld geomery Applcaon of feld
MehrDeterminanten - I. den i-ten Zeilenvektor der n n-matrix A bezeichnet.
Determnanten - I Ene Determnante st ene Abbldung, welche ener quadratschen (!) Matrx ene Zahl zuordnet. Wr verwenden n desem Zusammenhang de Schrebwese A = a 2, wobe den -ten Zelenvektor der n n-matrx
MehrDefinition des linearen Korrelationskoeffizienten
Defnton des lnearen Korrelatonskoeffzenten r xy x y y r x xy y 1 x x y y x Der Korrelatonskoeffzent st en Indkator dafür, we gut de Punkte (X,Y) zu ener Geraden passen. Sen Wert legt zwschen -1 und +1.
Mehr9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
Mehr9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
MehrZwei Sätze von Joseph Wolstenholme. Johann Cigler
Zwe Sätze von Joseh Wolstenholme Johann Cgler Vor enger Zet sandte mr Herr P., en hlosohsch gebldeter älterer Mann, enge Bemerkungen zu enem Resultat von Joseh Wolstenholme, das er folgendermaßen formulerte:
MehrAufgabenkomplex 2: Umrechung von Einheiten, Ungleichungen, Komplexe Zahlen
Technsche Unverstät Chemntz 0. Oktober 009 Fakultät für Mathematk Höhere Mathematk I.1 Aufgabenkomplex : Umrechung von Enheten, Unglechungen, Komplexe Zahlen Letzter Abgabetermn: 19. November 009 n Übung
Mehr( ) Ph ys ik al is ch e G ru nd la ge n. ψ ( r, t ) ρ : = ψ * ψ. ρ e : = e ψ * ψ. ρ e
Ph ys al s ch e G ru nd la ge n De Kontnutätsgle chung De Schrödnger-Gle chung für en Eneletronensy ste lautet: h t ψ ( r, t ) = h 2 2 Δ + V ψ ( r, t ) Mt Hlfe der Wellenfunton ψ ( r, t ), d.h. ener Lösung
Mehrp : Impuls in Ns v : Geschwindigkeit in m/s
-I.C9-4 Impuls 4. Impuls und Kraftstoß 4.. Impuls De Bewegung enes Körpers wrd bespelswese durch de Geschwndgket beschreben. Um de Bewegung enes Körpers zu ändern braucht man ene Kraft (Abb.). Dese führt
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik Fb SS 18
Karlsruher Insttut für Technologe Insttut für Theore der Kondenserten Matere Übungen zur Theoretschen Physk Fb SS 8 Prof Dr A Shnrman Blatt PD Dr B Narozhny Lösungsvorschlag Thermodynamk von Phononen:
MehrPotenzen einer komplexen Zahl
Potenzen ener komplexen Zahl 1-E1 1-E Abraham cc de Movre Abraham de Movre (17 175) französscher Mathematker Abraham de Movre der als Emgrant n London lebte glt als ener der Ponere der Wahrschenlchketsrechnung.
Mehr29 zweite Ableitungen der thermodynamischen Potentiale spezifische Wärme (thermischer response) E = = = T V N V N V N = = κ T.
hermodynamsche resonse -unktonen: 9 zwete Abletungen der thermodynamschen Potentale sezfsche Wärme (thermscher resonse) E C S be konstantem olumen (sochor):,,, be konstantem Druck (sobar): C S Komressbltät
MehrRotation (2. Versuch)
Rotaton 2. Versuch Bekannt snd berets Vektorfelder be denen das Lnenntegral über ene geschlossene Kurve Null wrd Stchworte: konservatve Kraft Potentalfelder Gradentenfeld. Es gbt auch Vektorfelder be denen
MehrMultilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel
ultlneare Algebra und hre Anwendungen Nr. : Normalformen Verfasser: Yee Song Ko Adran Jenn Rebecca Huber Daman Hodel 9.5.7 - - ultlneare Algebra und hre Anwendungen Jordan sche Normalform Allgemene heore
MehrI)1. Kinematik. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler
I)1. Knematk I) Mechank 1.Knematk (Bewegung) 2. Dynamk on Massenpunkten (Enfluss on Kräften) 3. Starre Körper 4.Deformerbare Meden 5. Schwngungen, Wellen, Akustk I)1. Knematk Bewegungslehre (Zel: Quanttate
MehrNachtrag Nr. 72 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständigen Verkaufsprospekt
London Branch Nachrag Nr. 72 a gemäß 10 Verkaufsprospekgesez (n der vor dem 1. Jul 2005 gelenden Fassung) vom 6. November 2006 zum Unvollsändgen Verkaufsprospek vom 31. März 2005 über Zerfkae auf * über
MehrBerechnung der Kriech- und Schwindwerte
Berehnung der Kreh- und Shwndwere Grundlagen Beon zeg bere uner üblhen Gebrauhbedngungen en augepräge zeabhängge Verhalen wodurh Dehnungen aufreen können de en Mehrfahe der elahen Dehnung beragen: laabhängge
MehrSelbstinduktion. 1. Versuch: RSp. 2. Versuch: (a) Einschaltvorgang: Der Schalter S wird zum Zeitpunkt t o 0 geschlossen. R S p I R.
elbsndukn Versuch: ule m geschlssenem Wechesenkern chalzechen für ene ule m geschlssenen Wechesenkern p p x G x G G und G snd zwe glecharge Glühlampen De hmschen Wdersände und snd glech grß Der chaler
MehrExperimentalphysik II TU Dortmund SS2012 Shaukat. TU - Dortmund. de Kapitel 2
Expermenalphysk T Dormund SS Shauka. Khan @ T - Dormund. de Kapel Drfgeschwndgke der Elekronen n enem Drah Elekronen bewegen sch uner dem Enfluss enes elekrschen Felds durch en Meall, wobe se of Söße m
MehrProf. Dr.-Ing. P. Eberhard, Prof. Dr.-Ing. M. Hanss SS 2016 A 1.1
Insttut für Technsche und Num. Mechan Technsche Mechan IV Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard, Prof. Dr.-Ing. M. Hanss SS 16 A 1.1 Aufgabe 1: En mechansches Sstem wrd durch folgende lnearserte Bewegungsglechungen
MehrTheoretische Physik II Elektrodynamik Blatt 2
PDDr.S.Mertens M. Hummel Theoretsche Physk II Elektrodynamk Blatt 2 SS 29 8.4.29 1. Rechnen mt Nabla. Zegen Se durch Auswertung n kartesschen Koordnaten de folgende Relaton und werten Se de anderen Relatonen
Mehr1.11 Beispielaufgaben
. Bespelaufgaben Darstellung komplexer Zahlen Aufgabe. Man stelle de komplexe Zahl z = +e 5f n algebrascher Form, also als x + y dar. Damt man de Formel für de Dvson anwenden kann, muss zunächst der Nenner
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Merln Mtschek, Verena Walbrecht Ferenkurs Theoretsche Physk: Mechank Sommer 2013 Vorlesung 3 Technsche Unverstät München 1 Fakultät für Physk Merln Mtschek, Verena Walbrecht Inhaltsverzechns 1 Symmetren
Mehr