Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur"

Transkript

1 Hauptseminar Elektronentransport in anostrukturen Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur Michael Kühn

2 Inhalt Inhalt:. Vorbemerkung 2. Die Hartree-Fock-Theorie (HF) 3. Die Dichtefunktionaltheorie (DFT) Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

3 . Vorbemerkung.. Der Begriff ab initio Was bedeutet ab initio? ab initio (lat.) = von Anfang an Berechnung der elektronischen Struktur von Systemen durch (näherungsweises) Lösen der Schrödinger-Gleichung unter alleiniger Verwendung von aturkonstanten Keine empirischen Parameter, die aus experimentellen Daten bestimmt wurden Wofür? Energieniveaus und zugehörige Wellenfunktionen benötigt bei GreenschenFunktionen: G 0 r r r r φi i ( x, x', E) = E ε i * ( x) φ ( x') i Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 2

4 . Vorbemerkung.2. Die Born-Oppenheimer-äherung Die Born-Oppenheimer-äherung Hamilton-Operator eines Moleküls: Hˆ = Tˆ + Tˆ + Vˆ + Vˆ + Vˆ = Tˆ + Hˆ M K K e Ke ee KK K e >> m e Elektronen bewegen sich schneller als Kerne und passen sich veränderter Kerngeometrie praktisch instantan an Entkopplung von Elektronen- und Kernbewegung Gesamtwellenfunktion als Produkt ansetzen: ur r r ur Ψ ges ( R, r) = Ψ e ur ( r) Ψ K ( R) R e r r Ψur R ( ) Elektronenwellenfunktion hängt parametrisch von Kernkoordinaten ab Bei vorgegebenen Kernkoordinaten ergibt sich das Eigenwertproblem: r r ˆ e e e H Ψ ur ( r) = Eur Ψur ( r) e R R R elektronische Schrödinger-Gleichung Im Folgenden nur elektronische Schrödinger-Gleichung betrachtet ur R Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 3

5 2. Die Hartree-Fock-Theorie Die Hartree-Fock-Theorie (HF) Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

6 2. Die Hartree-Fock-Theorie 2.. Der Hamilton-Operator eines Moleküls Der Hamilton-Operator eines Moleküls Elektronischer Hamilton-Operator in Born-Oppenheimer-äherung: Hˆ = Tˆ + Vˆ + Vˆ + Vˆ e e Ke ee KK Tˆ e = 2 verwende atomare Einheiten : Kin. Energie der El.:, Kern-El.-WW: i= 2 i Coulomb-WW der Elektronen/Kerne : Vˆ ee = ur ur r r i= j> i i j V ˆ e = m e = h = K = Z a a= i= a i, in BO-äherung a= b> a a b Ke K K ˆ ZaZb VKK = uur uur = const. R R uur ur R r ˆ e H umschreiben: H ˆ ˆ ˆ ˆ e = hi + gij + V { KK i= i= j> i setze = 0 o Einelektronenoperator: a (El. i im Feld aller Kerne) o Zweielektronenoperator: hˆ i g K 2 Z = i uur ur 2 a= Ra ri = ur ur r r ˆij i j (El.-El.-Abstoßung) Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 4

7 2. Die Hartree-Fock-Theorie 2.2. Die Slaterdeterminante Die Slaterdeterminante Ansatz für elektronische WF: anti-symmetrisiertes Produkt aus Orbitalen Ψ =! φ φ2 φ () ()... () φ (2) φ (2)... φ (2) φ ( ) φ ( )... φ ( ) 2 φi φ j = δij Slaterdeterminante Ein-Elektronen-WF = Molekülorbital (MO) = Spinorbital: φ ( r ur ) χ i k Koordinate von El. 2 φ i Ein-Elektronen-WF (Orbital) = Ortsfunktion, = Spinfunktion: oder (orthogonal) Anmerkung: Im Folgenden immer auch über Spin integrieren und Orthonormalität der Orts- und Spinfunktionen verwenden φ uur ur φ ( k) = φ ( x ) = φ ( r ) χ i i k i k Slaterdeterminanteist antisymmetrisch bezüglich Vertauschung zweier Elektronen, wie gefordert für Fermionen Pauliprinzip(Ein Spinorbital kann nur mit 0 oder Elektron besetzt werden) Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 5

8 2. Die Hartree-Fock-Theorie 2.3. Der Energieerwartungswert Der Energieerwartungswert ˆ e H Erwartungswert von gebildet mit Slaterdeterminante Orthonormalitätsbeziehungen: ˆ E = Ψ H Ψ = h + J K 2 ( ) e i ij ij i= j= i= o Einelektronenintegral: h = φ () hˆ φ () i i i Ψ unter Verwendung der o Coulombintegral: J = φ (2) φ () g φ () φ (2) ij j i ˆ2 i j o Austauschintegral: K φ (2) φ () g φ () φ (2) ij j i ˆ2 j i = klassische Coulombabstoßungzwischen Elektronendichten, J ij K ij = 2 φ () φ (2) kein klassisches Analogon, aus Antisymmetrie der WF Kij nur 0, wenn Spin in Orbital j und i gleich, also WW-Energie der El. Jij Kij für parallele und antiparallele Spins verschieden J ij K = 0 ij für i=j keine Selbstwechselwirkung i φ j 2 Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 6

9 2. Die Hartree-Fock-Theorie 2.4. Die Hartree-Fock-Gleichungen Die Hartree-Fock-Gleichungen Variationsprinzip: Ψ Sei eine Testwellenfunktion für die exakte Grundzustandswellenfunktion: E ( Ψ ) = Ψ ˆ H e Ψ E exakt 0 Ψ Ψ Finde also Minimum unseres Energieerwartungswertes unter ebenbedingung orthonormaler Orbitale: Lagrange-Funktion: ( ) E( Ψ) Variation von L bezüglich der Orbitale = 0 ( ) liefert: L = E λ φ φ δ i, j ij i j ij δ L = 0 ˆ Fφ = λ φ i i ij j j λ ij Unitäre Transformation diagonalisiert Matrix der Lagrange-Multiplikatoren und liefert kanonische HF-Orbitale: ' ˆi i Hartree-Fock-Gleichungen mit Fock-Operator: (effektiver Einelektronenoperator) ' i i Fφ = ε φ ( ) Fˆ = hˆ + Jˆ Kˆ i i j j j= Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 7

10 -- 2. Die Hartree-Fock-Theorie 2.4. Die Hartree-Fock-Gleichungen Fock-Operator hängt selbst von allen anderen besetzten Orbitalen ab ' φ i HF-Orbitale Fock-Operator ˆF iterative Self-Consistent-Field -(SCF)-Prozedur HF-Gleichungen sind Pseudoeigenwertgleichungen mit Eigenwert = Energie des i- ten Orbitals Kanonische MOs in atomare Basis entwickeln: mit M Basis ' φi = F α = c α i χ χ α Fˆ χ αβ α β r Fc r = εsc χ χ S αβ = α β ε i Roothaan-Hall-Gleichungen Atomare Basisfunktion = Funktion, die an Atom α zentriert ist o Slaterfunktion: aheliegend, da Eigenfunktion des Wasserstoffatoms o Gaußfunktion: χ α S χ α G χ α = f n, l, m ' n, l, m = f r e κ r e κ Integrale besser berechenbar, jedoch Linearkomb. benötigt 2 Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 8

11 2. Die Hartree-Fock-Theorie 2.5. Energien und Koopmans-Theorem Energien und Koopmans-Theorem HF-Gesamtenergie: sonst El.-El.-WW Energie des i-ten Orbitals: Anwendung: E = ε J K ( ) i ij ij i= 2 j= i= ( ) ε = h + J K E i= ε i doppelt gezählt Ionisierungsenergie I (Energie, um ein Elektron aus dem Molekül zu entfernen) ist gegeben durch die Energie des Orbitals, aus dem das Elektron entfernt wird: I = ε a Koopmans-Theorem i i ij ij j= ε a Annahme: Energieniveaus verschieben sich nicht, wenn Elektron entfernt wird. Ionisierungsenergie [ev] Experiment [ev] Differenz [ev] H 2 6,2 5,9 0,3 CO 4,9 3,9,0 2 7, 5,6,6 Quelle: A. Szabo and. S. Ostlund, Modern Quantum Chemistry, First Edition Revised, Dover Publications, 996 Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 9

12 2. Die Hartree-Fock-Theorie 2.6. Molekülorbitaldiagramm von F 2 Molekülorbitaldiagramm (MO-Diagramm) von F 2 Quelle: Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 0

13 2. Die Hartree-Fock-Theorie 2.7. Verbesserung der HF-Theorie Verbesserung der HF-Theorie HF-Gesamtenergie nicht exakt, da Elektron-Elektron-WW nur gemittelt eingeht Elektronen werden nur im gemittelten Feld aller anderen Elektronen betrachtet Mean-Field -äherung Jedoch ist Bewegung der Elektronen korreliert, sie weichen einander aus Elektronenkorrelation E = E E < C exakt HF (Energiegewinn) Verbesserung der HF-Theorie um Elektronenkorrelation zu berücksichtigen: WF als Linearkombination von mehreren Slaterdeterminanten ansetzen Configuration-Interaction -(CI)-Methode Ψ = a Ψ + a Ψ CI 0 HF S S fach( S ) + a Ψ fach( D) D D 0 HF-Grundzustand -fach- 2-fach-Anregungen Andere Methode zur Verbesserung von HF: Dichtefunktionaltheorie (DFT) Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

14 3. Die Dichtefunktionaltheorie Die Dichtefunktionaltheorie (DFT) Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

15 3. Die Dichtefunktionaltheorie 3.. Das Hohenberg-Kohn-Theorem Das Hohenberg-Kohn-Theorem. Die elektronische Grundzustandsenergie ist eindeutig durch die Elektronendichte ρ bestimmt: E = E[ ρ] 2. Für E[ρ] gilt das Variationsprinzip: E[ % ρ] E[ ρ ] exakt ABER:liefert keine Vorschrift, wie E[ ρ] zu bilden ist Walter Kohn, obelpreis 998 Elektronendichte: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte für alle Elektronen am Punkt : ρ ( r ur )... ( r ur, r uur, r ur..., r uur ) dr uur dr ur... dr uur ( r ur ) 2 2 = Ψ = φ i i= r ur Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 2

16 3. Die Dichtefunktionaltheorie 3.. Das Hohenberg-Kohn-Theorem Hohenberg-Kohn-Theorem plausibel ( handwaving ): ur ur ρ ( r ) dr = Maxima der Elektronendichte ( Cusps ) legen Kernpositionen fest Entsprechende Kernladung über Cusps bestimmbar Hamilton-Operator und somit System vollständig bestimmt durch Elektronendichte Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 3

17 3. Die Dichtefunktionaltheorie 3.2. Die Beiträge zur Energie Die Beiträge zur Energie E[ ρ] = E [ ρ] + E [ ρ] + E [ ρ] + E [ ρ] + T[ ρ] Kern-Elektron-WW: Ke J X C Coulomb-WW der Elektronendichten: r K ( ) Ke [ ] Za ρ r E ρ = uur r d r a= Ra r r r ρ( ) ρ( r ') ur r EJ [ ρ] = d r d r ' 2 r ur r r ' Kinetische Energie der Elektronen (Thomas-Fermi): TF Problem: keine chemische Bindung Annahme eines homogenen Elektronengases 3 r r 2 2/3 5/3 T [ ρ] = (3 π ) ρ( r) d r 0 Korrelationsenergie: EC [ ρ ] E [ ] X ρ Austausch-Energie (Dirac): Herleitung an Tafel Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 4

18 3. Die Dichtefunktionaltheorie 3.3. Herleitungdes Dirac-Austauschs E X Herleitungdes Dirac-Austauschs E X Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

19 3. Die Dichtefunktionaltheorie 3.4. Der Kohn-Sham-Formalismus Der Kohn-Sham-Formalismus Lösung des Problems mit der kinetischen Energie durch Wiedereinführung von Orbitalen Vorgehen: o Hypothetisches System mit nicht wechselwirkenden Elektronen: exaktelösung der Schrödingergleichungist Slaterdeterminante aus MOs exakte kinetische Energie: o Reales, wechselwirkendes System: T S 2 S = i 2 i i= T φ φ nur äherung, aber besser als TF kinetische Energie E XC fehlende Energie (kinetische Korrelationsenergie, klein) in unterbringen φ i Energiebeiträge: KS DFT = Ke + J + XC + S E E E E T Austauschkorrelations-Energie E XC ( ) E = E + E + T T XC X C S noch unbekannt Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 5

20 Die Kohn-Sham-Gleichungen Die Dichtefunktionaltheorie 3.5. Die Kohn-Sham-Gleichungen Analog zu den HF-Gleichungen Herleitungüber Lagrange-Funktion und Bedingung, dass : mit δ L = 0 ˆKS ' ' h φ i = ε iφ i ur ' ur 2 ˆ ˆ ρ( r ) ur ' h = + V + d r + Vˆ 2 r ur ' r r KS Ke XC h Kohn-Sham-Gleichungen wobei KS-Operator hängt selbst von Elektronendichte ab ˆKS ' i φ ρ hˆks KS-Orbitale Elektronendichte KS-Operator ˆ δ EXC [ ρ V ] XC = δρ iterative SCF-Prozedur wie bei HF Vergleich mit HF-Theorie: gleiche Beiträge, bis auf KS-MOs in atomare Basis entwickeln (analog zu HF): K E XC hks r c r = εsc Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 6

21 -- Das Austauschkorrelations-Funktional Austauschkorrelations-Funktional (XC-Funktional, Funktional ) 3. Die Dichtefunktionaltheorie 3.6. Das Austauschkorrelations-Funktional EXC [ ρ ] nicht exakt bekannt und keine systematische Verbesserung existent Betrachte Austausch-und Korrelationsanteil wieder getrennt in a) Local Density Approximation (LDA) ρ( r r ) EXC [ ρ ] EXC [ ρ ] o Dichte kann lokal wie die eines homogenen Elektronengases behandelt werden, d.h. sie variiert nur sehr schwach mit o Austausch: X α -Methode von Slater E LDA X α 3 = α E 2 Dirac X [ ρ] Local Spin Density Approximation (LSDA) r r α = α = 0,75 ursprünglich, aber besser Unterschiedliche Dichten für Elektronen mit Spin- und Spin- o Korrelation: Vosko, Wilk, usair(vw) E C tabelliert, erhalten aus Simulationsrechnungen für verschiedene ρ( r r ) Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 7

22 -- 3. Die Dichtefunktionaltheorie 3.6. Das Austauschkorrelations-Funktional b) Generalized Gradient Approximation (GGA) o Verbesserung von LSDA durch Gradientenkorrektur Moleküle homogenes Elektronengas, da Elektronendichte inhomogen GGA EXC = EXC[ ρ, ur ρ ] 2 ur ρ o Verwendung von höheren Ableitungen bringt kaum Verbesserung o Austausch: Becke (B oder B88) B88 Dirac B88 EX = EX [ ρ] + EX [ ρ, ur ρ ] 2 B88 4/3 x EX = β ρ + 6β x sinh mit wobei E X β B88 Dirac E X r d r x x = kleine Korrektur zu, aber für Chemie wichtig ur ρ gefittet an exp. Daten von Edelgasatomen (semi-empirisch ab initio ) o Korrelation: Lee, Yang, Parr (LYP) Enthält 4 Parameter, die an exp. Daten des Helium-Atoms gefittet werden ρ 4/3 Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 8

23 -- 3. Die Dichtefunktionaltheorie 3.6. Das Austauschkorrelations-Funktional c) Hybrid-Funktionale o Motivation: Bei Hauptgruppenverbindungen exp. Wert oft zwischen HF und GGA o LDA- und GGA-Funktionale gemischt mit (exaktem) HF-Austausch o Ergeben in der Regel Ergebnisse in guter Übereinstimmung mit Experiment Hybrid-Funktionale: z.b. B3LYP (B88-Austausch, 3 Parameter, LYP-Korrelation) B3LYP LSDA exakt B88 LSDA LYP XC = ( ) X + X + X + ( ) C + C E a E ae b E c E ce Parameter an experimentelle Daten von Hauptgruppen-Elementen gefittet: a 0,20; b 0,72; c 0,8 Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 9

24 3. Die Dichtefunktionaltheorie 3.7. Vergleich von HF und DFT mit Experiment Vergleich von HF und DFT mit Experiment D C + O CO D 0 : Bindungsenergie von CO 2 Methode Funktional Funktionaltyp D 0 [ev] Abweichung zum Exp. [ev] HF -0,8 6,38 DFT SVW LDA -20,47-3,9 BLYP GGA -7,03-0,47 B3LYP Hybrid -6,38 0,8 B3PW9 Hybrid -6,52 0,04 Exp. -6,56 Quelle: J. B. Foresman, Exploring Chemistry with Electronic Structure Methods, Second Edition, Gaussian, 995 ab-initio-programmpakete: TURBOMOLE(Uni Karlsruhe, Prof. Ahlrichs) Grundzustands- und Anregungsenergien, Molekülgeometrien, Schwingungsfrequenzen, Verschiedene Methoden implementiert (HF, DFT mit verschiedenen Funktionalen, ) Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur 20

25 Literatur Literatur F. Jensen, IntroductiontoComputationalChemistry Second Edition, Wiley-VCH, 2007 A. Szabo and. S. Ostlund, Modern Quantum Chemistry First Edition Revised, Dover Publications, 996 J. Reinhold, Quantentheorie der Moleküle Zweite Auflage, Teubner Verlag, 2004 W. Koch andm. C. Holthausen, A Chemist sguide todft Second Edition, Wiley-VCH, 200 R. G. Parr andw. Yang, DFT ofatoms andmolecules First Edition, Oxford University Press, 989 Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

26 Fragen Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Fragen? Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

Einführung in die numerische Quantenchemie

Einführung in die numerische Quantenchemie Einführung in die numerische Quantenchemie Michael Martins michael.martins@desy.de Characterisation of clusters and nano structures using XUV radiation p.1 Literatur A. Szabo, N.S. Ostlund, Modern Quantum

Mehr

6.1 Hohenberg-Kohn-Theoreme 6.2 Kohn-Sham-Ansatz 6.3 Funktionale 6.4 TD-DFT KAPITEL 6: DICHTEFUNKTIONALTHEORIE

6.1 Hohenberg-Kohn-Theoreme 6.2 Kohn-Sham-Ansatz 6.3 Funktionale 6.4 TD-DFT KAPITEL 6: DICHTEFUNKTIONALTHEORIE 6.1 Hohenberg-Kohn-Theoreme 6. Kohn-Sham-Ansatz 6.3 Funktionale 6.4 TD-DFT KAPITEL 6: DICHTEFUNKTIONALTHEORIE 6.1 Dichtefunktionaltheorie (DFT) 51 Überlegung: Anstelle der Wellenfunktion könnte man auch

Mehr

Kapitel 4 Zur Theorie der ab-initio-rechnungen In diesem Abschnitt soll die Theorie, welche den Berechnungen der Potentialfachen zugrunde liegt, naher vorgestellt werden. Ausgehend von der Born-Oppenheimer-

Mehr

Quantenchemie auf dem Rechner

Quantenchemie auf dem Rechner Physikalisch-Chemische Praktika Quantenchemie auf dem Rechner Versuch S1 Einleitung Dieser Praktikumsversuch ist der erste Teil eines dreiteiligen Blocks von Versuchen im Rahmen des Praktikums zur Molekülspektroskopie

Mehr

Theoretische Grundlagen der ab initio -Quantenchemie

Theoretische Grundlagen der ab initio -Quantenchemie Kapitel 4 Theoretische Grundlagen der ab initio -Quantenchemie Mit dem Bewußtsein für die Notwendigkeit einer neuen, über die klassische Newtonsche Physik hinausgehende, physikalisch-theoretische Beschreibung

Mehr

7. Übungsaufgabe: Angeregte Zustände und Dissoziation

7. Übungsaufgabe: Angeregte Zustände und Dissoziation Theoretische Chemie II Übungen am Computer Prof. Bernhard Dick Christian Neiß Uni Regensburg WS 003/004 7. Übungsaufgabe: Angeregte Zustände und Dissoziation A. Exkurs: Methoden zur Bestimmung angeregter

Mehr

Computer-Chemie. Skript für das. Anorganisch-Chemische Fortgeschrittenen-Praktikum an der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg.

Computer-Chemie. Skript für das. Anorganisch-Chemische Fortgeschrittenen-Praktikum an der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg. Computer-Chemie Skript für das Anorganisch-Chemische Fortgeschrittenen-Praktikum an der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg Matthias Hofmann (Vers. 07.04.2003) X Einleitung Die Computer-Chemie kann als

Mehr

Selbstkonsistente Modelle/Solvatationsenergie. Generalized Born Solvation Model SM12

Selbstkonsistente Modelle/Solvatationsenergie. Generalized Born Solvation Model SM12 Selbstkonsistente Modelle/Solvatationsenergie Generalized Born Solvation Model SM12 Marenich, A.; Cramer, C.; Truhlar, D.; J. Chem. Theroy Comput, 2013, 9, 609-620 Das Solventmodell SM12 We present a new

Mehr

Grundzustand und erster angeregter Zustand des Heliumatoms Studienprojekt Molekül- und Festkörperphysik

Grundzustand und erster angeregter Zustand des Heliumatoms Studienprojekt Molekül- und Festkörperphysik Grundzustand und erster angeregter Zustand des Heliumatoms Studienprojekt Molekül- und Festkörperphysik Manuel Zingl 83433 WS 2/2 Einleitung Helium (in stabiler Form) setzt sich aus zwei Protonen, ein

Mehr

1 Chemische Bindung in Festkörpern

1 Chemische Bindung in Festkörpern Chemische Bindung in Festkörpern In diesem Kapitel befassen wir uns mit verschiedenen Mechanismen, die zu einer Bindung zwischen Atomen führen, sodass daraus ein Festkörper entsteht. Dabei werden wir verschiedene

Mehr

1 Zwei Teilchen in einem Kastenpotenzial

1 Zwei Teilchen in einem Kastenpotenzial 1 Zwei Teilchen in einem Kastenpotenzial Es geht hier darum herauszu nden, welche prinzipiellen Eigenschaften die Wellenfunktion für mehrere Teilchen im gleichen Potenzial aufweisen muss. Wir unterscheiden

Mehr

9 Weitreichende Wechselwirkungen zwischen zwei Molekülen

9 Weitreichende Wechselwirkungen zwischen zwei Molekülen 9 Weitreichende Wechselwirkungen zwischen zwei Molekülen 9.1 Elektrostatische Wechselwirkungen als Beiträge erster Ordnung Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen zwei Molekülen A und B kann durch

Mehr

Kapitel 4. Das HMO-Modell

Kapitel 4. Das HMO-Modell Kapitel 4 4. HMO-Theorie:!-Elektronensysteme 4.. Die Annahmen der HMO-Theorie, Strukturmatrix 4.2. Butadien als Beispiel 4.3. Analytische Lösung für lineare Ketten UV-vis-Absorption: HMO und Freies Elektronen

Mehr

Theoretisch-chemische Übungen Quantenchemischer Teil

Theoretisch-chemische Übungen Quantenchemischer Teil Theoretisch-chemische Übungen Quantenchemischer Teil Gunther Zechmann Universität Wien Institut für Theoretische Chemie Sommersemester 2006 1 Berechnung der Rotationsbarriere von Ethan Auswahl der Rechenmethoden

Mehr

Die Nebenquantenzahl oder Bahndrehimpulsquantenzahl l kann ganzzahlige Werte von 0 bis n - 1 annehmen. Jede Hauptschale unterteilt sich demnach in n

Die Nebenquantenzahl oder Bahndrehimpulsquantenzahl l kann ganzzahlige Werte von 0 bis n - 1 annehmen. Jede Hauptschale unterteilt sich demnach in n 1 1. Was sind Orbitale? Wie sehen die verschiedenen Orbital-Typen aus? Bereiche mit einer bestimmten Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons werden als Orbitale bezeichnet. Orbitale sind keine messbaren

Mehr

ihr Vorzeichen wechselt, wenn man zwei Zeilen oder Kolonnen vertauscht,

ihr Vorzeichen wechselt, wenn man zwei Zeilen oder Kolonnen vertauscht, 10 MEHRELEKTRONENATOME 6 ihr Vorzeichen wechselt, wenn man zwei Zeilen oder Kolonnen vertauscht, erhält man die gewünschten antisymmetrischen Wellenfunktionen als Determinanten, deren Kolonnen jeweils

Mehr

UNIVERSITÄT GREIFSWALD. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät INSTITUT FÜR BIOCHEMIE. Arbeitskreis Biophysikalische Chemie

UNIVERSITÄT GREIFSWALD. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät INSTITUT FÜR BIOCHEMIE. Arbeitskreis Biophysikalische Chemie UNIVERSITÄT GREIFSWALD Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät INSTITUT FÜR BIOCHEMIE Arbeitskreis Biophysikalische Chemie Prof. Dr. Walter Langel Modelle für elektronische Zustände Einfachstes klassisches

Mehr

22. Chemische Bindungen

22. Chemische Bindungen .05.03. Chemische Bindungen Molekül: System aus zwei oder mehr Atomen Kleinste Einheit einer Substanz, die deren chemische Eigenschaften ausweist Quantenmechanisches Vielteilchensystem: Exakte explizite

Mehr

Theoretische Untersuchungen zur elektronischen Struktur von Galliumclustern

Theoretische Untersuchungen zur elektronischen Struktur von Galliumclustern Institut für Physikalische Chemie Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Technische Universität Dresden Theoretische Untersuchungen zur elektronischen Struktur von Galliumclustern Diplomarbeit zur

Mehr

Praktikumskurs SCF-Rechnungen

Praktikumskurs SCF-Rechnungen Praktikumskurs SCF-Rechnungen SCF-1 Lernziele: - Sie können SCF-Rechnungen durchführen (SCF = Self Consistent Field) - Sie verstehen qualitativ was SCF-Rechnungen sind, wo sie relativ zu anderen Methoden

Mehr

7. Übungsblatt - 1. Teil

7. Übungsblatt - 1. Teil Praktikum Theoretische Chemie Universität Regensburg Prof. Martin Schütz, Dr. Denis Usvyat, Thomas Merz Themenblock - Jenseits von Hartree Fock 7. Übungsblatt - 1. Teil In vielen Fällen liefert die Hartree-Fock-Methode

Mehr

Einführung in die Struktur der Materie. Studierende des Lehramtes und des Nebenfachs SS 2013

Einführung in die Struktur der Materie. Studierende des Lehramtes und des Nebenfachs SS 2013 Einführung in die Struktur der Materie für Studierende des Lehramtes und des Nebenfachs SS 2013 Michael Martins und Erika Garutti Inhalt Einleitung Teil A (M. Martins): I. Molekülphysik II. Festkörperphysik

Mehr

Chemische Bindungsanalyse in Festkörpern

Chemische Bindungsanalyse in Festkörpern Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Chemie und Lebensmittel Chemie Professur AC2 Dr. Alexey I. Baranov Chemische Bindungsanalyse in Festkörpern Sommersemester 2015 Bindung in Orbitaldarstellung:

Mehr

Praktikumskurs SCF-Rechnungen

Praktikumskurs SCF-Rechnungen Praktikumskurs SCF-Rechnungen SCF-1 Lernziele: - Sie können SCF-Rechnungen durchführen (SCF = Self Consistent Field) - Sie verstehen qualitativ was SCF-Rechnungen sind, wo sie relativ zu anderen Methoden

Mehr

VL 19 VL 17 VL 18. 18.1. Mehrelektronensysteme VL 19. 19.1. Periodensystem. Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, 25.06.

VL 19 VL 17 VL 18. 18.1. Mehrelektronensysteme VL 19. 19.1. Periodensystem. Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, 25.06. VL 19 VL 17 17.1. Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) Maser = Laser im Mikrowellenbereich, d.h. Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation) VL 18 18.1. Mehrelektronensysteme

Mehr

COMPUTERÜBUNG (HAUSAUFGABE): HARTREE-FOCK IN DER PRAXIS

COMPUTERÜBUNG (HAUSAUFGABE): HARTREE-FOCK IN DER PRAXIS COMPUTERÜBUNG (HAUSAUFGABE): HARTREE-FOCK IN DER PRAXIS Abgabe 30.6. CIP-Pool mit Betreuung: Fr. 20.6. 9-12 (Takustr. 6) Fr. 27.6. 9-12 Loggen Sie sich unter Ihrem Chemnet-Nutzernamen an den Computer ein

Mehr

Praktikumskurs SCF-Rechnungen

Praktikumskurs SCF-Rechnungen Praktikumskurs SCF-Rechnungen Privat Script 1 Beginn im Computerlabor: - Als Hilfsmittel zur Inputerstellung wird das Programm GaussView verwendet (ein ähnliches Programm ist molden -> freeware auf linux)

Mehr

Grundlagen der Monte Carlo Simulation

Grundlagen der Monte Carlo Simulation Grundlagen der Monte Carlo Simulation 10. Dezember 2003 Peter Hofmann Inhaltsverzeichnis 1 Monte Carlo Simulation.................... 2 1.1 Problemstellung.................... 2 1.2 Lösung durch Monte

Mehr

Q2: Detaillierte Eingabebeschreibungen

Q2: Detaillierte Eingabebeschreibungen Q2: Detaillierte Eingabebeschreibungen Martin Lehner, Gymnasium Biel-Seeland, Schweiz martin.lehner@gymbiel-seeland.ch Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 2 Elektronische Rechnungen 2 2.1 Elektronische

Mehr

8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens

8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens phys4.013 Page 1 8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens phys4.013 Page 2 8.6.3 Beispiel: Orts- und Impuls-Erwartungswerte für

Mehr

Forschungszentrum Karlsruhe in der Helmholtz-Gemeinschaft Wissenschaftliche Berichte FZKA 7302

Forschungszentrum Karlsruhe in der Helmholtz-Gemeinschaft Wissenschaftliche Berichte FZKA 7302 Forschungszentrum Karlsruhe in der Helmholtz-Gemeinschaft Wissenschaftliche Berichte FZKA 732 Berechnung der Gitterdynamik und thermischen Ausdehnung ausgewählter Verbindungen der YBaCuO-Familie in normalleitendem

Mehr

Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen

Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen Christoph Bischko, Lukas Einkemmer, Dominik Steinhauser Fakultät für Mathematik, Informatik und Physik Universität Innsbruck 2. Juli, 2010 Christoph,

Mehr

Das Schwingungsspektrum von Wasser

Das Schwingungsspektrum von Wasser Das Schwingungsspektrum von Wasser Vortrag im Rahmen des Seminars zum anorganisch-chemischen Fortgeschrittenenpraktikum Institut für Anorganische Chemie Universität Karlsruhe Matthias Ernst Freitag, 29.6.2006

Mehr

5 Theorie der chemischen Bindung

5 Theorie der chemischen Bindung Kaitel 5 Seite 5 Theorie der chemischen Bindung 5. Heteroolare und homöoolare Bindung Die heteroolare Bindung eines Moleüls z. B. des Kochsalzmoleüls NaCl vgl. Abb. ann eletrostatisch erlärt werden: Bei

Mehr

D.R. Hartree V.A. Fock J.C. Slater

D.R. Hartree V.A. Fock J.C. Slater Praktikum Theoretische Chemie Universität Regensburg Prof. Martin Schütz, Dr. Denis Usvyat, Thomas Merz Themenblock - Die Grundlagen 1. Übungsblatt Wiederholung In der Vorlesung Theoretische Chemie haben

Mehr

Molekularfeldtheorie (MFT)

Molekularfeldtheorie (MFT) 29.06.2006 Motivation Anwendungen der MFT MFT-Herleitung mittels Variationsansatz und Anwendung Grenzen der Anwendung der MFT Motivation Meisten Probleme nur unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen

Mehr

Bandstrukturen III: Berechnung mit FP-LAPW DFT-Methoden

Bandstrukturen III: Berechnung mit FP-LAPW DFT-Methoden Bandstrukturen III: Berechnung mit FP-LAPW DFT-Methoden Quantenchemische Rechenmethoden: Grundlagen und Anwendungen Caroline Röhr, Universität Freiburg M+K-Kurs, 3.2016 Bandstrukturrechnungen: Einleitung

Mehr

4.2 Metallkristalle. 4.2.1 Bindungsverhältnisse

4.2 Metallkristalle. 4.2.1 Bindungsverhältnisse 4.2 Metallkristalle - 75 % aller Elemente sind Metalle - hohe thermische und elektrische Leitfähigkeit - metallischer Glanz - Duktilität (Zähigkeit, Verformungsvermögen): Fähigkeit eines Werkstoffs, sich

Mehr

5 Mehrelektronensysteme

5 Mehrelektronensysteme 5.1 Übersicht und Lernziele Thema Im ersten Teil dieses Kapitels behandeln wir Atome, die mehr als ein Elektron besitzen. Anschliessend betrachten wir im zweiten Teil die Bildung von Bindungen zwischen

Mehr

Von der Abteilung Chemie der Universität Dortmund. genehmigte. Dissertation

Von der Abteilung Chemie der Universität Dortmund. genehmigte. Dissertation Implementierung und Verwendung der Normalkoordinatenanalyse in einer integrierten graphischen Benutzeroberfläche sowie quantenmechanische Untersuchungen an organischen Zinn/Silizium-Verbindungen Von der

Mehr

Aufbau der Elektronenhülle des Wasserstoffatoms

Aufbau der Elektronenhülle des Wasserstoffatoms Aufbau der Elektronenhülle des Wasserstoffatoms Wasserstoff, H: ein Proton im Kern, (+) Elektronenhülle mit nur einem Elektron, (-)( Kern und Elektron ziehen sich aufgrund der Coulombkraft an. Das Elektron

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE INSTITUT FÜR PHYSIKALISCHE CHEMIE

UNIVERSITÄT KARLSRUHE INSTITUT FÜR PHYSIKALISCHE CHEMIE UNIVERSITÄT KARLSRUHE INSTITUT FÜR PHYSIKALISCHE CHEMIE Diplomarbeit Bestimmung stationärer Punkte auf Potentialenergiehyperflächen Matthias Ernst 18. August 2009 Diplomarbeit am Lehrstuhl für Theoretische

Mehr

Dissertation. zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) vorgelegt der

Dissertation. zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) vorgelegt der Beschreibung der elektronischen Struktur von Übergangsmetalloxiden mittels selbstwechselwirkungskorrigierter Dichtefunktionaltheorie: Volumenkristalle, Oberflächen und Punktdefekte Dissertation zur Erlangung

Mehr

3.3. Das Periodensystem

3.3. Das Periodensystem 3.3. Das Periodensystem Nachdem wir nun mit dem Wasserstoff das einfachste aller Atome behandelt haben, wollen wir uns mit den weiteren Atomen beschäftigen. Da das Wasserstoffatom uns schon einiges Kopfzerbrechen

Mehr

Beschreibung von Grenzächen-induzierten elektronischen Phasen in Oxid-Heterostrukturen mittels Dichtefunktionaltheorie

Beschreibung von Grenzächen-induzierten elektronischen Phasen in Oxid-Heterostrukturen mittels Dichtefunktionaltheorie Beschreibung von Grenzächen-induzierten elektronischen Phasen in Oxid-Heterostrukturen mittels Dichtefunktionaltheorie Dissertation der Fakultät für Geowissenschaften der Ludwig-Maximilians-Universität

Mehr

(FP-LAPW-Methode (z.b. Wien2K)

(FP-LAPW-Methode (z.b. Wien2K) AFP-Seminar, CR Bandstrukturen III: Berechnungen mit FP-LAPW-Methoden (FP-LAPW-Methode (z.b. Wien2K) AFP-Seminar, CR Übersicht I. Einleitung: Elektronische Strukturen von Festkörpern = Problemstellung

Mehr

Die Klein-Gordon Gleichung

Die Klein-Gordon Gleichung Kapitel 5 Die Klein-Gordon Gleichung 5.1 Einleitung Die Gleichung für die Rutherford-Streuung ist ein sehr nützlicher Ansatz, um die Streuung von geladenen Teilchen zu studieren. Viele Aspekte sind aber

Mehr

Ferienkurs Experimentalphysik 4

Ferienkurs Experimentalphysik 4 Ferienkurs Experimentalphysik 4 Vorlesung 5 Quantenstatistik Florian Lippert & Andreas Trautner 31.08.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Quantenstatistik 1 1.1 Vorüberlegungen............................... 1 1.2

Mehr

Rastertunnelmikroskopie

Rastertunnelmikroskopie Rastertunnelmikroskopie Michael Goerz FU Berlin Fortgeschrittenenpraktikum A WiSe 2006/2007 20. November 2006 Gliederung 1 Einführung Historischer Überblick Konzept, Zielsetzung und Anwendung 2 Aufbau

Mehr

Theoretische Chemie I: Quantenchemie

Theoretische Chemie I: Quantenchemie Theoretische Chemie I: Quantenchemie Bernd Hartke Theoretische Chemie Institut für Physikalische Chemie 5. Stock, Raum 519 Tel.: 0431/880-2753 hartke@phc.uni-kiel.de http://ravel.phc.uni-kiel.de Sprechstunde:

Mehr

Bauchemie 1. 1. Welche elementaren Teilchen enthält a) der Atomkern und b) die Atomhülle?

Bauchemie 1. 1. Welche elementaren Teilchen enthält a) der Atomkern und b) die Atomhülle? Bauchemie 1 1. Welche elementaren Teilchen enthält a) der Atomkern und b) die Atomhülle? a) Der Atomkern besteht aus Neutronen und Protonen, die zusammen auch Nukleonen genannt werden. Er befindet sich

Mehr

Finite Elemente in Materialwissenschaften

Finite Elemente in Materialwissenschaften Finite Elemente in Materialwissenschaften Dieter Süss Institut für Festkörperphysik (8. Stock gelb) Vienna University of Technology dieter.suess@tuwien.ac.at http:/// http:///suess/papers Outline Geschichte

Mehr

Allg. u. Anorg. Chemie

Allg. u. Anorg. Chemie Allg. u. Anorg. Chemie Übungsaufgaben Atommodell SoSe 2014, Amadeu Daten: h=6,6 10-34 J.s, C=3 10 8 m/s. 1) Stellen Sie das klassische Modell für die elektromagnetische Strahlen graphisch dar. Erklären

Mehr

F-Praktikum Physik: Photolumineszenz an Halbleiterheterostruktur

F-Praktikum Physik: Photolumineszenz an Halbleiterheterostruktur F-Praktikum Physik: Photolumineszenz an Halbleiterheterostruktur David Riemenschneider & Felix Spanier 31. Januar 2001 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Auswertung 3 2.1 Darstellung sämtlicher PL-Spektren................

Mehr

3 Moleküle. X = (R 1,R 2,...R M ) und x = (r 1,s 1,r 2,s 2,...r N,s N ).

3 Moleküle. X = (R 1,R 2,...R M ) und x = (r 1,s 1,r 2,s 2,...r N,s N ). 3 Moleküle Bei M gebundenen Atomen werden die gleichen Näherungen wie bei den Atomen zugrunde gelegt, wobei aber die Koordinaten R J der Atomkerne, ihre Massen M J und Ladungen Z J e 0 mit J = 1,2,...M

Mehr

2. H Atom Grundlagen. Physik IV SS H Grundl. 2.1

2. H Atom Grundlagen. Physik IV SS H Grundl. 2.1 . H Atom Grundlagen.1 Schrödingergleichung mit Radial-Potenzial V(r). Kugelflächen-Funktionen Y lm (θ,φ).3 Radial-Wellenfunktionen R n,l (r).4 Bahn-Drehimpuls l.5 Spin s Physik IV SS 005. H Grundl..1 .1

Mehr

SO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012

SO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012 SO(2) und SO(3) Martin Schlederer 06. Dezember 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Wiederholung 2 2.1 Spezielle Orthogonale Gruppe SO(n)..................... 2 2.2 Erzeuger.....................................

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

1 Grundlagen der optischen Spektroskopie

1 Grundlagen der optischen Spektroskopie Vorbemerkungen 1 Grundlagen der optischen Spektroskopie Gegenstand: Wechselwirkung von Licht mit Materie Licht im engeren Sinn: Licht im infraroten bis ultravioletten Spektralbereich Wir werden uns meist

Mehr

Elektronenkonfigurationen von Mehrelektronenatomen

Elektronenkonfigurationen von Mehrelektronenatomen Elektronenkonfigurationen von Mehrelektronenatomen Der Grundzustand ist der Zustand, in dem alle Elektronen den tiefstmöglichen Zustand einnehmen. Beispiel: He: n 1 =n 2 =1 l 1 =l 2 =0 m l1 =m l2 =0 Ortsfunktion

Mehr

Wolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab

Wolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab Wolfgang Kohn Riza Öztürk Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab 3., erweiterte und überarbeitete Auflage ^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil

Mehr

2. Übungsaufgabe: Geometrieoptimierung, Verwendung der Z-Matrix

2. Übungsaufgabe: Geometrieoptimierung, Verwendung der Z-Matrix Theoretische Chemie II Übungen am Computer Prof. Bernhard Dick Christian Neiß Uni Regensburg WS 2003/2004 2. Übungsaufgabe: Geometrieoptimierung, Verwendung der Z-Matrix A. Vorbemerkungen: Angabe der Molekülgeometrie

Mehr

3. Bindungen im Festkörper

3. Bindungen im Festkörper Prof. Dieter Suter Festkörperphysik WS 95 / 96 3.. Grundlagen 3... Übersicht 3. Bindungen im Festkörper Die Struktur eines Festkörpers ergibt sich aus der Wechselwirkung zwischen den darin enthaltenen

Mehr

Kapitel 3: Lokale Dichte Näherung LDA

Kapitel 3: Lokale Dichte Näherung LDA 0 Kapitel 3: Lokale Dichte Näherung LDA 3.1 Dichte Funktional Hohenberg und Kohn [3.1] gehen davon aus, daß die Grundzustandsenergie eines wechselwirkenden und außerdem inhomogenen Elektronengases in einem

Mehr

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv

Mehr

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die

Mehr

Claudia Schrodt (Autor) Untesuchungen binärer Metall- und Halbleitercluster mit Dichtefunktionalmethoden

Claudia Schrodt (Autor) Untesuchungen binärer Metall- und Halbleitercluster mit Dichtefunktionalmethoden Claudia Schrodt (Autor) Untesuchungen binärer Metall- und Halbleitercluster mit Dichtefunktionalmethoden https://cuvillier.de/de/shop/publications/2377 Copyright: Cuvillier Verlag, Inhaberin Annette Jentzsch-Cuvillier,

Mehr

Man nimmt an, dass sich der Kernspin zusammensetzt aus der Vektorsumme der Nukleonenspins und der Bahndrehimpulse der Nukleonen

Man nimmt an, dass sich der Kernspin zusammensetzt aus der Vektorsumme der Nukleonenspins und der Bahndrehimpulse der Nukleonen 2.5.1 Spin und magnetische Momente Proton und Neutron sind Spin-½ Teilchen (Fermionen) Aus Hyperfeinstruktur der Energieniveaus vieler Atomkerne kann man schließen, dass Atomkerne ein magnetisches Moment

Mehr

Bestimmung der Primärstruktur kleiner Moleküle mittels 1D-NMR-Spektroskopie

Bestimmung der Primärstruktur kleiner Moleküle mittels 1D-NMR-Spektroskopie Bestimmung der Primärstruktur kleiner Moleküle mittels 1D-NMR-Spektroskopie Zusammenfassung Mit Hilfe von 1D 1 H- und 13 C-NMR-Spektren und gegebener Summenformel wird die Primärstruktur eines unbekannten

Mehr

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Stochastische Analysis für Zufallsmatrizen Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Was ist eine Zufallsmatrix? Zufallsmatrix = Matrix mit zufälligen Einträgen A : Ω M N (C) Was ist eine Zufallsmatrix?

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,

Mehr

Praktikum Physikalische Chemie II

Praktikum Physikalische Chemie II Praktikum Physikalische Chemie II Licht-Absorption und -Emission von Übergangsmetallkomplexen Experimentelle Bestimmung eines Orgeldiagramms für Chrom(III)-Komplexe Universität Regensburg Institut für

Mehr

c = Ausbreitungsgeschwindigkeit (2, m/s) λ = Wellenlänge (m) ν = Frequenz (Hz, s -1 )

c = Ausbreitungsgeschwindigkeit (2, m/s) λ = Wellenlänge (m) ν = Frequenz (Hz, s -1 ) 2.3 Struktur der Elektronenhülle Elektromagnetische Strahlung c = λ ν c = Ausbreitungsgeschwindigkeit (2,9979 10 8 m/s) λ = Wellenlänge (m) ν = Frequenz (Hz, s -1 ) Quantentheorie (Max Planck, 1900) Die

Mehr

Symmetrie und Anwendungen

Symmetrie und Anwendungen PC II Kinetik und Struktur Kapitel 6 Symmetrie und Anwendungen Symmetrie von Schwingungen und Orbitalen, Klassifizierung von Molekülschwingungen Auswahlregeln: erlaubte verbotene Übergänge IR-, Raman-,

Mehr

Modellierung eines molekularen Magneten. Modeling a molecular magnet

Modellierung eines molekularen Magneten. Modeling a molecular magnet Fakultät für Physik Bachelorarbeit Modellierung eines molekularen Magneten Modeling a molecular magnet angefertigt von Robert Schade aus Rodeberg am Institut für Theoretische Physik Bearbeitungszeit: 19.

Mehr

Physikalische Chemie IV Statistische Thermodynamik, SS2013

Physikalische Chemie IV Statistische Thermodynamik, SS2013 Physikalische Chemie IV Statistische Thermodynamik, SS013 Inhaltsverzeichnis mit Referenzen 1. Einführung 1.1 Vergleich makroskopische und mikroskopische Systeme: Beispiel: ideales Gas, Herleitung eines

Mehr

Fortsetzung der Erkundungen im Periodensystem

Fortsetzung der Erkundungen im Periodensystem Fortsetzung der Erkundungen im Periodensystem Wiederholung Für die chemischen Eigenschaften der Elemente sind die Elektronen der äußersten Schale verantwortlich Valenzorbitale Valenz- oder Außenelektronen

Mehr

Dichtefunktionalberechnungen. Seltenerd- und Übergangsmetall- Verbindungen

Dichtefunktionalberechnungen. Seltenerd- und Übergangsmetall- Verbindungen Dichtefunktionalberechnungen für Seltenerd- und Übergangsmetall- Verbindungen D I S S E R T A T I O N zur Erlangung des akademischen Grades Doctor rerum naturalium (Dr rer nat) vorgelegt der Fakultät Mathematik

Mehr

D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski. Serie 9

D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski. Serie 9 D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski Serie 9 Best Before: 24.5/25.5, in den Übungsgruppen (2 wochen) Koordinatoren: Alexander Dabrowski, HG G 52.1, alexander.dabrowski@sam.math.ethz.ch

Mehr

Einheiten und Einheitenrechnungen

Einheiten und Einheitenrechnungen Chemie für Studierende der Human- und Zahnmedizin WS 2013/14 Übungsblatt 1: allgemeine Chemie, einfache Berechnungen, Periodensystem, Orbitalbesetzung, Metalle und Salze Einheiten und Einheitenrechnungen

Mehr

Mathematik für Ökonomen

Mathematik für Ökonomen Springer-Lehrbuch Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab Bearbeitet von Wolfgang Kohn, Riza Öztürk 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xv, 377 S. Paperback

Mehr

Dichtefunktionaltheorie: Theoretische Grundlagen und Anwendung auf Graphen und Diamant. Bachelorarbeit

Dichtefunktionaltheorie: Theoretische Grundlagen und Anwendung auf Graphen und Diamant. Bachelorarbeit Dichtefunktionaltheorie: Theoretische Grundlagen und Anwendung auf Graphen und Diamant Nikita Reichelt 24. November 2014 in Graz Bachelorarbeit betreut von Assoz.-Prof. Dr. Peter Puschnig 1 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Die Hückel-Theorie (HMO)

Die Hückel-Theorie (HMO) Die ückel-theorie (MO) Voraussetzungen: Rechenregeln für Integrale, Matrizen, Determinanten, LCAO-Methode, Überlappungsintegrale/Erwartungswerte, Dirac-Schreibweise, Ritzquotient, Variationsprinzip, Säkulardeterminante

Mehr

Toll! Wir wissen nun eine Menge über den Bau von Atomen. Wir können Infos über Elemente aus dem PSE ablesen. Aber als Chemiker wollen wir auch

Toll! Wir wissen nun eine Menge über den Bau von Atomen. Wir können Infos über Elemente aus dem PSE ablesen. Aber als Chemiker wollen wir auch Toll! Wir wissen nun eine Menge über den Bau von Atomen. Wir können Infos über Elemente aus dem PSE ablesen. Aber als Chemiker wollen wir auch Verbindungen untersuchen, ihre Zusammensetzung verstehen und

Mehr

Welche wichtigen Begriffe gibt es?

Welche wichtigen Begriffe gibt es? Welche wichtigen Begriffe gibt es? Moleküle Beispiel: Kohlendioxid CO 2 bestehen aus Protonen (+) bestehen aus Atomkerne Chemische Elemente bestehen aus Atome bestehen aus Neutronen Beispiele: Kohlenstoff

Mehr

Atom- und Molekülphysik - Zusammenfassung

Atom- und Molekülphysik - Zusammenfassung Atom- und Molekülphysik - Zusammenfassung Vorlesung: Prof. Tünnermann Zusammenfassung: Fabian Stutzki 12. Juli 2007 Die Zusammenfassung bezieht sich auf Atom- und Molekülphysik (SS 2007). Fehler (auch

Mehr

er atomare Aufbau der Materie

er atomare Aufbau der Materie er atomare Aufbau der Materie 6. Jhd. v. Chr.: Thales von Milet Wasser = Urgrund aller Dinge 5. Jhd. v. Chr.: Demokrit Atombegriff 5. Jhd. v. Chr.: Empedokles vier Elemente: Erde, Wasser, Feuer, Luft (unterstützt

Mehr

Grundlagen der physikalischen Chemie 1 - Aufbau der Materie

Grundlagen der physikalischen Chemie 1 - Aufbau der Materie Grundlagen der physikalischen Chemie 1 - Aufbau der Materie Michael Schlapa Phillippe Laurentiu 17. April 2012 Semester Thema Dozent Klausurzulassung Klausur Übung Literatur 2012 SS Michael Schmitt mschmitt@uni-duesseldorf.de

Mehr

Masterstudiengang Chemie Vorlesung Struktur und Funktion (WS 2014/15) Struktur und Funktion: (Kap. 2)

Masterstudiengang Chemie Vorlesung Struktur und Funktion (WS 2014/15) Struktur und Funktion: (Kap. 2) Masterstudiengang Chemie Vorlesung Struktur und Funktion (WS 2014/15) Übersicht 2 Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallen 2.1 Erzeugung von Röntgenstrahlen 2.2 Streuung an Elektronen 2.3 Streuung an

Mehr

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung

Mehr

Quelle: (1) Brixner, Physik. Blätter, 2001. Kohärente Kontrolle von chemischen Reaktionen mittels Lasern

Quelle: (1) Brixner, Physik. Blätter, 2001. Kohärente Kontrolle von chemischen Reaktionen mittels Lasern Quelle: (1) Brixner, Physik. Blätter, 2001 Kohärente Kontrolle von chemischen Reaktionen mittels Lasern Gliederung 1. Motivation 2. Einfache Kontrollschemata 3. Optimale Kontrolle und Lernschleife 4. Ausblick

Mehr

2 λ 2 λ E 2 R 2(R R 0) E

2 λ 2 λ E 2 R 2(R R 0) E Praktikum Theoretische Chemie Universität Regensburg Prof. Martin Schütz, Dr. Denis Usvyat, Thomas Merz Themenblock - Moleküleigenschaften und Reaktionen 1 4. Übungsblatt Frequenzrechnungen Bis jetzt haben

Mehr

2. Übungsblatt. Praktikum Theoretische Chemie. Themenblock - Die Grundlagen. Molekülgeometrie

2. Übungsblatt. Praktikum Theoretische Chemie. Themenblock - Die Grundlagen. Molekülgeometrie Praktikum Theoretische Chemie Universität Regensburg Prof. Martin Schütz, Dr. Denis Usvyat, Thomas Merz Themenblock - Die Grundlagen 1 2. Übungsblatt Molekülgeometrie Kartesische Koordinaten Eine Möglichkeit,

Mehr

2 Was ist Theoretische Chemie?

2 Was ist Theoretische Chemie? 2 Was ist Theoretische Chemie? 2.1 Motivation Slide 12 Theoretische Chemie Paul Adrian Maurice Dirac (1902-1984, Nobelpreis 1933) 10 wird der Satz zugeschrieben, dass Once the laws of quantum mechanics

Mehr

Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas Arbeit verrichtet

Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas Arbeit verrichtet Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas Arbeit verrichtet Unterrichtsmaterial - schriftliche Informationen zu Gasen für Studierende - Folien Fach Schultyp: Vorkenntnisse: Bearbeitungsdauer Thermodynamik

Mehr

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Einführung Vita Rutka Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Was ist FEM? Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung,

Mehr

Rechnen auf Grafikkarten. Christian Wiebeler

Rechnen auf Grafikkarten. Christian Wiebeler Rechnen auf Grafikkarten Christian Wiebeler 1 Einleitung Geschichte des Spiels Entwicklung Videospiel Bedeutung der Grafikkarte Hauptteil Anwendungen in der Teilchenphysik QC auf GPU Schlussteil Kommerzielle

Mehr

Schalenmodell des Atoms

Schalenmodell des Atoms Lernaufgabe zum Thema Schalenmodell des Atoms für das Unterrichtsfach Chemie. Schultyp: Mittelschule Adressat: 1. Semester Chemieunterricht Bearbeitungsdauer gesamt: 45 min. Hinführung zur Lernaufgabe:

Mehr

29. Lektion. Atomaufbau. 39. Atomaufbau und Molekülbindung

29. Lektion. Atomaufbau. 39. Atomaufbau und Molekülbindung 29. Lektion Atomaufbau 39. Atomaufbau und Molekülbindung Lernziele: Atomare Orbitale werden von Elektronen nach strengen Regeln der QM aufgefüllt. Ein Orbital darf von nicht mehr als zwei Elektronen besetzt

Mehr