Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen

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1 Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Veranschauliche alle Lösungen der Gleichung 3x + 5y = 0 in einem Koordinatensystem. Bestimme zwei Lösungspaare der Gleichung. Aufgabe : Bestimme rechnerisch die Lösungsmengen der Gleichungssysteme. a) 3x + y = b) x + y = c) 0,35x + 0,5y = 0,6 x y = d) x y = 4 3 4x y + = Aufgabe 3: Bestimme zeichnerisch die Lösung des Gleichungssystems: x + y = 3 y = x +,5 Aufgabe 4: Ein Rechteck hat den Umfang von 0cm. Vergrößert man die eine Seite um cm und die andere um 3 cm, dann wird der Flächeninhalt um 30 cm² größer. Wie lange sind die Seiten des vergrößerten Rechtecks? Aufgabe 5: Ein Chemiker besitzt Flüssigkeiten. Flüssigkeit A enhält einen Alkoholanteil von 65%, Flüssigkeit B enthält einen Alkoholanteil von 37%. Der Chemiker möchte nun beide Flüssigkeiten so vermischen, dass die Mischung einen Alkoholanteil von 48% enthält. Der Chemiker möchte 3 Liter dieser neuen Flüssigkeit herstellen. Wie viel Liter muss er von A und B jeweils mischen?

2 Lösung Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Zur Veranschaulichung der Lösungen muss die Gleichung nach y aufgelöst werden: 3 3x + 5y = 0 y = x + 5 Diese Gerade wird nun ein Koordinatensystem eingezeichnet: Alle Punkte, die auf der Geraden liegen, sind Lösungspaare der Gleichung. Beispiel für Lösungspaare: Setze x = 0 in die Geradengleichung ein: dies ergibt y = also (0/) Setze x = 5 in die Geradengleichung ein: dies ergibt y = - also (5/-). Aufgabe : a) Damit das Additionsverfahren angewandt werden kann, müssen in beiden Gleichungen entweder vor x oder vor y die gleiche Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen. 3x + y = Damit bei diesem Gleichungssystem vor y dieselbe Zahl steht, wird die.gleichung mit (-) durchmultipliziert. 3x + y = ( ) 6x 4y = 4 Addition der beiden Gleichungen ergibt: x = (y fällt wie gewünscht weg). x =.

3 Einsetzen von x = in die.ausgangsgleichung liefert: 3 + y = y = 3 Die Lösungsmenge lautet L= {(/3)}. b) x + y = Damit beim Addieren die Variable x herausfällt, wird die.gleichung mit durchmultipliziert. x + y = : 4x + y = Addition der beiden Gleichungen liefert: 0 = 8 Dies ist ein Widerspruch, daher besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. Die Lösungsmenge lautet L = { }. c) 0,35x + 0,5y = 0,6 x y = Zunächst werden die Gleichungen so durchmultipliziert, dass die Dezimalzahlen bzw. die Bruchzahlen wegfallen. Die erste Gleichung wird mit 00 multipliziert und die zweite mit dem Hauptnenner 4. 35x + 5y = 60 x y = Auflösen der zweiten Gleichung nach y ergibt y = x (*) Einsetzen von (*) in die erste Gleichung: 35x + 5(x ) = 60 85x = 85 x = Einsetzen von x = in (*) ergibt y = =. Lösungsmenge L = {(/)}. d) x y = 4 3 4x y + = Zunächst werden die Gleichungen so durchmultipliziert, dass die Brüche wegfallen. Die erste Gleichung wird mit dem Hauptnenner, die zweite mit 7 multipliert. 3x 8y = 4 x + y = 3 Aus der zweiten Gleichung folgt y = x + 3 (*) Einsetzen von (*) in die erste Gleichung: 3x 8(x + 3) = 4 93x = 0 x = 0 3

4 Einsetzen von x = 0 in (*) ergibt y = 3. Lösungsmenge L = {(0/3)}. Aufgabe 3: Um ein Gleichungssystem zeichnerisch zu lösen, müssen beide Gleichungen nach y aufgelöst werden und als Gerade in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden: Gleichung : x + y = 3 y = x + 3 Gleichung : y = x +,5 Die Geraden schneiden sich im Punkt P(/). Somit ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems L = {(/)}. Aufgabe 4: Ursprüngliches Rechteck: x = eine Seite des Rechtecks y = andere Seite des Rechtecks Umfang ist 0 cm: x + y = 0 () Neues Rechteck: x + = um cm verlängerte Seite y + 3 = um 3 cm verlängerte Seite Fläche altes Rechteck = x y Fläche neues Rechteck = ( x + ) ( y + 3) Neue Fläche ist um 30cm² größer: x y + 30 = ( x + ) ( y + 3) () 4

5 Umformung der Gleichung (): x y + 30 = x + y + 3 ( ) ( ) x y + 30 = x y + 3x + y + 6 3x + y = 4 Nun entsteht folgendes Gleichungssystem aus () und (): x + y = 0 3x + y = 4 Aus der zweiten Gleichung folgt y = 4 3x (*) Einsetzen von (*) in die erste Gleichung: x + (4 3x) = 0 x = 4 x = 4 in (*) ergibt y = 4 = y = 6 Das ursprüngliche Rechteck ist 4 cm lang und 6 cm breit. Das neue Rechteck ist 6 cm lang und 9 cm breit. Aufgabe 5: a = benötigte Literanzahl von Flüssgkeit A b = benötigte Literanzahl von Flüssigkeit B Insgesamt werden 3 Liter hergestellt: a + b = 3 () In a Liter der Sorte a sind 0,65 a Liter Alkohol enthalten. In b Liter der Sorte b sind 0,37 b Liter Alkohol enthalten. Insgesamt sollen 0, 48 3 =,44 Liter Alkohol in der neuen Mischung enthalten sein. 0, 65a + 0,37b =, 44 Zu Lösen ist folgendes Gleichungssystem: a + b = 3 0, 65a + 0,37b =, 44 Aus der. Gleichung folgt b = 3 a (*) Einsetzen von (*) in die.gleichung: 0, 65a + 0,37(3 a) =, 44 0, 8a = 0,33 a,79 Einsetzen von a =,79 in (*) ergibt b = 3,79 =,8. Der Chemiker muss von Flüssigkeit A ungefähr,8 Liter verwenden und von Flüssigkeit B ungefähr,8 Liter. 5

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