Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

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1 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 1 für die Übung am Mittwoch den 23. bzw. Donnerstag den 24. März Kreuzen Sie bis spätestens Dienstag, , 15:00 Uhr also vor dem Besuch Ihrer Übungsgruppe über TUWEL an, welche Beispiele Sie bearbeitet und gelöst haben. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: TUWEL (https://tuwel.tuwien.ac.at) Kurs Algorithmen und Datenstrukturen 1 (VL 4.0) Thema 1. Übungsblatt Link 1. UE - Details & Bewertung Button Meine Lösung bearbeiten Bearbeitete Beispiele anhaken und Änderungen speichern. Beachten Sie: Sie können vor der Deadline beliebig oft ihre Auswahl an Beispielen verändern, aber Es gibt keine nachträgliche Veränderung ihrer angekreuzten Beispiele! Wenn Sie zur Präsentation Ihrer Lösung eines von Ihnen angekreuzten Beispiels ausgewählt werden und dieses aber nicht bearbeitet haben, verlieren Sie alle Punkte dieser Übungseinheit!

2 Aufgabe 1 Beweisen oder widerlegen Sie, dass für die folgende Funktion f(n) die Beziehung f(n) = Θ(n 3 log 2 n) gilt: { n 2 log f(n) = 2 n n n 3, falls n gerade n 3 log 3 n n2, sonst Bedenken Sie, dass für einen Beweis gegebenenfalls auch geeignete Werte für die Konstanten c 1,c 2 und n 0 angegeben werden müssen. Aufgabe 2 Fügen Sie bei den folgenden Aufwandsabschätzungen die entsprechenden Symbole Θ,O oder Ω in die dafür vorgesehenen Kästchen ein: 4 n = X ( 3 n) n4 n = X (4 n ) 8 n = X (2 3n ) log(n n ) = X (n 4 n) Ist die Lösung in jedem Fall eindeutig? Begründen Sie ihre Antwort. Aufgabe 3 Bestimmen Sie die Laufzeiten der unten angegebenen Codestücke A und B in Abhängigkeit von n in Θ-Notation. A i = 1; j = n; k = 1; solange i < j { k = k + n; j = j 2 ; l = 1; für i = 1,...,k { für j = 1,...,i { l = l + 1; j = n; für i = 1,...,l { j = 2 j + i; B a = 1; b = n 3 ; für i = 1,...,n { solange b > 0 { b = b n; falls b < n dann { a = 2 a; für k = 1,...,a { b = 2 b + a; 2

3 Aufgabe 4 Seien f(n), g(n) und h(n) Funktionen mit positivem Wertebereich. Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle jeweils alle richtigen Folgerungen an. Annahme f(n) = Θ(g(n)) h(n) = Θ(g(n)) f(n) = Ω(f(n) + h(n)) h(n) = Θ(g(n)) ( f(n) = Θ(n2 g(n)) ) ( h(n) = Ω(n 2 ) ) h(n) = Ω(g(n)) h(n) = Θ(f(n)) Folgerung: f(n) ist in Ω(g(n)) O(g(n)) Ω(h(n)) O(h(n)) Aufgabe 5 Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige positive Funktionen f(n) und g(n) die folgenden Beziehungen gelten: (a) (b) f(n) = O(g(n)) f(n) = Θ(g(n)) f(n) = Θ(g(n)) g(n) = Θ(f(n)) Aufgabe 6 Sortieren Sie die folgende Zahlenfolge mit Hilfe von Quick-Sort 111, 11, 1, 1, 110, 111, 1. Schreiben Sie dabei nach jedem Schritt des Algorithmus die entstandene Zahlenfolge auf und markieren Sie jeweils die aktuellen Pivotelemente, alle bereits sortierten Elemente und die im jeweiligen Schritt vertauschten Elemente. Geben Sie eine beliebige Eingabefolge an, die für Quick-Sort (Implementierung laut Skriptum) einen Worst-Case bezogen auf die Anzahl der Schlüsselvergleiche darstellt. Wieviele Schlüsselbewegungen und Schlüsselvergleiche, in Θ-Notation in Abhängigkeit der Eingabegröße n, werden für Ihre Eingabefolge benötigt? 3

4 Aufgabe 7 Gegeben ist ein Feld, das die folgenden Elemente in der angegebenen Reihenfolge enthält: 111, 11, 1, 1, 110, 111, 1. Handelt es sich hierbei um einen gültigen Maximum-Heap (das größte Element steht in der Wurzel)? Falls nicht führen Sie den ersten Teil des Heap-Sort Algorithmus durch, um einen gültigen Maximum-Heap zu bekommen. Weiters soll die Folge aufsteigend sortiert werden. Führen Sie dazu an dem erstellten Heap den zweiten Teil des Heapsort-Algorithmus (die endgültige aufsteigende Sortierung) durch. Stellen Sie auch hier den Heap nach jedem Schritt sowohl als Feld (inklusive der bereits sortierten Zahlen) als auch als Baum dar. Begründen Sie in wenigen Sätzen, warum für die aufsteigende Sortierung eines Feldes ein Maximum-Heap verwendet werden sollte und nicht ein Minimum-Heap. Aufgabe 8 Wie müssten Sie den Algorithmus Selection Sort ändern, damit eine beliebige Eingabefolge absteigend sortiert wird? Schreiben Sie den Pseudocode für Ihren veränderten Algorithmus und führen Sie ihn auf der folgenden Eingabe aus: 8, 9, 10, 6, 3, 5, 13, 9 Stellen Sie die Daten nach jeder Iteration dar. Markieren Sie jeweils die Datenelemente, deren Positionen sich verändert haben. Aufgabe 9 Welche in der Vorlesung behandelten Sortierverfahren eignen sich am besten für die unten angeführten Folgen. Begründen Sie ihre Antwort. (a) Eine beliebige Folge soll absteigend sortiert werden. (b) In eine bereits absteigend sortierte Folge wird ein beliebig großes Element am Ende angehängt. Die neu entstandene Folge soll nun erneut absteigend sortiert werden. (c) Eine beliebig große Anzahl an Rechnungen, die jeweils mit einer Jahreszahl und einer 9-stelligen Rechnungsnummer versehen sind, soll sortiert werden. (d) Bei einem Transport sollen schwere Pakete aufsteigend nach ihrer Bezeichnung sortiert werden. Die Länge der Bezeichnung eines Paketes ist nicht bekannt. 4

5 Aufgabe 10 Gegeben ist der folgende Algorithmus: Sortiere(A, l, r): falls r l > 1 dann { min = Position des minimalen Elementes in A[l...r]; max = Position des maximalen Elementes in A[l...r]; Vertausche A[l] und A[min]; Vertausche A[r] und A[max]; Sortiere (A, l + 1, r 1); sonst { falls r l = 1 dann { falls A[l] > A[r] dann { Vertausche A[l] und A[r]; Nehmen Sie an, der Algorithmus wird auf eine Folge A aus n Zahlen angewendet. Der entsprechende Funktionsaufruf ist dann Sortiere(A,1,n). Warum sortiert der Algorithmus nicht jede Folge korrekt? Ändern Sie den Algorithmus so ab, dass er korrekt funktioniert. Ihre Änderung sollte die zentrale Idee des Algorithmus beibehalten, also das kleinste Element nach vorne bringen, das größte nach hinten und dann den Mittelteil rekursiv sortieren. Geben Sie den Pseudocode Ihres neuen Algorithmus an. 5

Übungsblatt 1. f(n) = f(n) = O(g(n)) g(n) = O(f(n)) Zeigen oder widerlegen Sie: 3 n = Θ(2 n ) Aufgabe 1.2 Gegeben sei die folgende Funktion:

Übungsblatt 1. f(n) = f(n) = O(g(n)) g(n) = O(f(n)) Zeigen oder widerlegen Sie: 3 n = Θ(2 n ) Aufgabe 1.2 Gegeben sei die folgende Funktion: Übungsblatt 1 Aufgabe 1.1 Beweisen oder widerlegen Sie, dass für die im Folgenden definierte Funktion f(n) die Beziehung f(n) = Θ(n 4 ) gilt. Beachten Sie, dass zu einem vollständigen Beweis gegebenenfalls

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