Die Aufgabe: Untersuchung der Wirkungsweise von passiven und aktiven Filterschaltungen durch den Einsatz von Operationsverstärkern

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1 Aktive Analogfilter "Bei den analogen Abtastfiltern lassen sich die Signale amplitudenkontinuierlich und zeitdiskret in Verbindung mit einem PC-System verarbeiten." - Dipl.-Ing. Herbert Bernstein, Herbert Bernstein Die Aufgabe: Untersuchung der Wirkungsweise von passiven und aktiven Filterschaltungen durch den Einsatz von Operationsverstärkern Die Lösung: Mit Hilfe von Standard-Operationsverstärkern und verschiedenen RC-Kombinationen werden aktive Filterschaltungen mit gewünschten Bandbreiten und Flankensteilheiten aufgebaut Autor(en): Dipl.-Ing. Herbert Bernstein - Herbert Bernstein Diese Anwenderlösung ist ein Beitrag zum jährlichen VIP-Kongress ( von National Instruments. Der vollständige Beitrag ist auch im kongressbegleitenden Tagungsband VIP 2007 ( nachzulesen. Kurzfassung Die Wirkungsweise von passiven Filterschaltungen lässt sich durch den Einsatz von Operationsverstärkern erheblich verbessern. Mit Hilfe von Standard-Operationsverstärkern und verschiedenen RC-Kombinationen können aktive Filterschaltungen mit gewünschten Bandbreiten und Flankensteilheiten aufgebaut werden. In der Praxis wird zwischen mehreren Filterklassen unterschieden: analoge Filter (aktiv oder passiv), geschaltete oder kontinuierliche IC-Filter, analoge Abtastfilter aus der computerunterstützten PC-Messtechnik mit nachfolgender Umsetzung mittels AD-Wandler, Speicherung des Messergebnisses auf einer Festplatte mit anschließender Berechnung und Ausgabe auf einen Bildschirm oder Drucker, digitale Filter in Verbindung mit den Funktionen der Computertechnik bzw. den Signalprozessoren. Einleitung Der Einsatz aktiver und analoger Filterschaltungen ist heute kein Problem, da die Signale amplituden- und zeitkontinuierlich von der nachfolgenden Elektronik verarbeitet werden. Bei den analogen Abtastfiltern lassen sich die Signale amplitudenkontinuierlich und zeitdiskret in Verbindung mit einem PC-System verarbeiten. In den digitalen Filtern wird die Eingangsspannung amplituden- und zeitdiskret verarbeitet, entweder langsam durch diverse Standard-Mikroprozessoren oder sehr schnell in einem Signalprozessor, der speziell für diese Funktionen ausgelegt ist. Passive Hoch- und Tiefpassfilter Passive Hoch- und Tiefpassfilter lassen sich durch drei Kenngrößen beschreiben: Durch die Grenzfrequenz (das ist die Frequenz, bei der sich die Amplitude in der Übertragungsfunktion um 3 db reduziert hat), durch die Ordnungszahl, durch den Filtertyp. Die Ordnungszahl n des Filters wird vom Filtertyp der entsprechenden Spannungsreduzierung im Amplitudengang des Sperrbereichs der Grenzfrequenz bestimmt. Es gilt: (n 20 db/dekade). Der Filtertyp bestimmt dagegen den Verlauf des Amplitudengangs in der Umgebung der Grenzfrequenz und im Durchlassbereich. Durch den Filtertyp lässt sich der Frequenzgang nach verschiedenen Gesichtspunkten optimieren. Die Schaltungen aller Filtertypen sind identisch. Der gewünschte Filtertyp wird lediglich durch eine unterschiedliche Dimensionierung der einzelnen RC-Werte eingestellt. Bei den aktiven RC-Filtern unterscheidet man im Wesentlichen zwischen vier Typen: Gauß-Filter, Bessel-Filter, Butterworth-Filter und Tschebyscheff-Filter. Für die schaltungstechnische Realisierung aktiver Filter in Verbindung mit Operationsverstärkern gibt es zahlreiche Möglichkeiten, wobei entweder die Einfach- oder die Mehrfachgegenkopplung bzw. die Einfachmitkopplung verwendet werden. Legt man die OP-Schaltung mit einer Gegenkopplung oder Mitkopplung aus, weisen die Filterschaltungen alle gleiches Frequenzverhalten auf. Die Toleranzen der einzelnen Bauelemente müssen in der Praxis kleiner als ±1% sein, andernfalls ist für den Abgleich ein entsprechender Einsteller zu verwenden. Filterschaltungen sind Vierpole, die überwiegend aus frequenzabhängigen Widerständen bestehen, wobei im Wesentlichen fünf Filterschaltungen bekannt sind: Tiefpassfilter, Hochpassfilter, Bandpassfilter, Bandsperrfilter und Allpassfilter. Die vier ersten Filterschaltungen sollen die Signale in bestimmten Frequenzbereichen möglichst wenig bedämpfen und hierbei handelt es sich um den Durchlassbereich der Filterkurve. Wenn bestimmte Frequenzbereiche möglichst stark bedämpft werden sollen, befindet man sich im Sperrbereich der Filterkurve. Durch ein Filter hat man die Möglichkeit, aus einem vorhandenen Frequenzspektrum bestimmte Frequenzen herauszufiltern. Das Allpassfilter ist dagegen nicht frequenzabhängig, wodurch das gesamte Frequenzspektrum diese Schaltung passieren kann. Wichtig bei diesem Filtertyp ist nur die Signallaufzeit oder die Verzögerungszeit zwischen dem Ein- und Ausgangssignal. Filter wirken auf elektrische Signale in verschiedener Hinsicht und haben Einfluss auf die Signalamplitude, die Signalform (zeitlicher Verlauf) und die Laufzeit (Signalverzögerung). Bei reinen Sinusspannungen verändern lineare Filter die Spannungsform kaum. In Abhängigkeit der Frequenz f oder der Kreisfrequenz w = 2 p f ändern sie aber das Amplitudenverhältnis zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung a = U 2/U 1 bzw. U a/u e, sowie der Phasenwinkel zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung mit j = tan U 2/U 1. Bei modulierten Sinusspannungen ist außerdem die Gruppenlaufzeit t = d ß/d w zu beachten, wobei ß der Übertragungswinkel ist. Bei schnellen Spannungsänderungen, wie bei Rechteckimpulsen, spielen die Zeit der Anstiegsgeschwindigkeit und die Einstellzeit eine wichtige Rolle. Frequenzverhalten von Filtern Normalerweise werden Filter in Bezug auf ihr Frequenzverhalten beurteilt und dementsprechend bezeichnet. Man unterscheidet zwischen Tiefpass, Hochpass, Bandpass und Bandsperre, je nach ihrem frequenzabhängigen Übertragungsverhalten. Die komplexe Übertragungsfunktion beschreibt dabei vollständig das Filter. Aus ihr lassen sich das Amplitudenübertragungsmaß a, der Übertragungswinkel ß und die Gruppenlaufzeit t berechnen. Der Wert a wird rechnerisch und zeichnerisch in einem Diagramm in Abhängigkeit der Frequenz angegeben. Da die Frequenz einen großen Wertebereich umfassen kann, empfiehlt sich die zeichnerische Darstellung des Übertragungsverhaltens von Filtern für eine normierte Darstellung. Dabei wird auf der Frequenzachse das dimensionslose Verhältnis der Frequenz zu einer Bezugsfrequenz aufgetragen, wobei man sich zweckmäßigerweise auf die Grenz-, Eck- bzw. Mittenfrequenz des jeweiligen Filters bezieht. Für die Berechnung und Handhabung von Vierpolen und Filtern sind einige Definitionen wichtig: 1/14

2 Übertragungsfunktion: Die Übertragungsfunktion U 2/U 1 ist das komplexe Verhältnis der Ausgangsspannung U 2 im Leerlauf zur angelegten Eingangsspannung U 1. Amplitudengang: Als Amplitudengang bezeichnet man die Abhängigkeit der Übertragungsfunktion von der Frequenz. Es gilt der Betrag der Übertragungsfunktion: Der Tief- und Hochpass berechnet sich aus Tiefpass (1.Ordnung) U 2/U 1 = f (w) Hochpass (1.Ordnung) mit w g = 1/RC. Phasengang: Als Phasengang bezeichnet man die Frequenzabhängigkeit des Phasenwinkels j. Es gilt tan j = f (j). Es folgt für den Tiefpass tan j = -w R C j = arctan w/w g Hochpass tan j = 1/(w R C) j = arctan w g/w Messungen mit virtuellem Speicheroszilloskop Wenn eine Schaltung aus einem ohmschen Widerstand und einem Kondensator besteht, spricht man je nach Zusammenschaltung von einem Hoch- oder Tiefpass 1. Ordnung. Die Schaltung (Bild 1) wurde mit der Simulationssoftware Multisim realisiert. Die Oberfläche besteht aus vier Funktionsleisten, der MS-Windows-Benutzerleiste (oben, horizontal) mit der darunterliegenden Benutzerleiste. Die Bauelemente sind in zwei Funktionsleisten (reale und ideale Typen) unterteilt, die links (vertikal) neben der Arbeitsfläche angeordnet sind. Rechts (vertikal) sind die Messgeräte vorhanden. In der Arbeitsfläche wird ein Funktionsgenerator und ein Oszilloskop simuliert. Widerstand, Kondensator und Operationsverstärker sind ideale Bauelemente, also Bauelemente, die keine Toleranzen aufweisen, und sich in weiten Bereichen einstellen lassen. Statt der virtuellen Bauelemente kann man auch reale Widerstände mit einer Toleranz von 1% oder 5% und Kondensatoren mit einer Toleranz von 10% oder 20% verwenden. Klickt man den Funktionsgenerator und das Oszilloskop an, erscheint Bild 2. Bei dem Funktionsgenerator lässt sich die Sinus-, Dreieck- und Rechteckspannung in weiten Spannungs- und Frequenzbereichen einstellen. Die Sinuskurve wird auf f = 1 khz und U = 2 V (Effektivwert) eingestellt. Das digitale Speicheroszilloskop zeigt die Ein- und Ausgangsspannung, einschließlich der Phasenverschiebung. Da man die Eingangsspannung U 1 und die Ausgangsspannung U 2 messen kann, lässt sich aus diesen Spannungen auch die Dämpfung a bei der gerade eingestellten Frequenz berechnen. Das Verhältnis zwischen der Ausgangsspannung U 2 im Leerlauf und der Eingangsspannung U 1 definiert man in Dezibel (db): Messungen mit virtuellem Bode-Plotter Mit Hilfe des Bode-Plotters lässt sich das Frequenzverhalten von passiven und aktiven Schaltungen untersuchen. Ein Bode-Plotter ist in der Praxis ein hochinteressantes Messgerät, das man aber nur selten findet. Der Grund liegt im hohen Anschaffungspreis. Mittels des Bode-Diagramms kann man die Amplitude und die Phasenverschiebung der Ausgangsgröße einer elektronischen Schaltung bei verschiedenen Frequenzen der Eingangsgröße darstellen. In einem Bode-Diagramm wird der Logarithmus des Amplitudenverlaufs über den Logarithmus der Frequenz in einem Bild ausgetragen. Der Bode-Plotter besitzt einen eigenen Wobbelgenerator, der in Bild 3 einen Frequenzbereich von 10 Hz (Startwert I für Initial) bis 100 khz (Endwert F für Final) durchläuft. Dieser Frequenzbereich lässt sich entsprechend zwischen 1 mhz und 10 GHz einstellen, wobei man noch zwischen einer logarithmischen und einer linearen Darstellung für die X-Achse wählen kann. Der Funktionsgenerator funktioniert nur als Stimulus, der den Bode-Plotter triggert. Auf der vertikalen Achse stellt man entweder den Betrag des Eingangssignals in Dezibel (db) bzw. in Volt (V) oder das Phasenverhältnis in Grad ( ) ein. Mittels der beiden Felder LOG und LIN lässt sich zwischen einer logarithmischen und einer linearen Darstellung wählen. Für die Einstellung Betrag (Magnitude) bewirkt die Option LOG die Skalierung der Y-Achse in Dezibel, während die Option LIN eine direkte Darstellung in Volt zur Folge hat. Stellt man die Phase dar, stellen die Optionen von LOG und LIN keine Auswirkungen dar. Über die beiden Pfeile steuert man den vertikalen Balken nach rechts oder links über das Oszillogramm. Bei Bild 3 erkennt man, dass sich der Balken nach der Grenzfrequenz befindet. Die Messwertanzeige zeigt einen Wert von 3,068 db bei einer Frequenz von 1,613 khz an. Durch die Steuerung über die beiden Pfeiltasten lässt sich der Balken beliebig verschieben und die Messwertanzeige gibt den aktuellen Stand der Dämpfung bei der jeweiligen Frequenz aus. Ein passiver Hoch- bzw. Tiefpass 1.Ordnung besteht in der Praxis aus einem Widerstand und einem Kondensator. Während ein Hochpass die unteren Frequenzen sperrt und nur die hohen durchlässt, verhält sich ein Tiefpass genau umgekehrt. In Bild 3 ist die Schaltung eines Tiefpassfilters mit der dazugehörigen Kennlinie gezeigt. Die Amplitude der Eingangsspannung U 1 wird als konstant angenommen. Hat die Eingangsspannung eine niedrige Frequenz, hat der Kondensator einen großen kapazitiven Blindwiderstand X C, der sich aus errechnet. Damit hat man einen frequenzabhängigen Widerstand, der als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet wird. Die Grenzfrequenz berechnet sich aus Mittels der Fadenkreuzsteuerung lässt sich die Richtigkeit dieser Rechnung überprüfen. Der Kondensator C und der Widerstand R bilden einen Spannungsteiler, der von der Frequenz abhängig ist. Je nach Lage des Kondensators und Widerstandes ergibt sich ein RC-Hoch- oder Tiefpass. Das Verhältnis zwischen der Ausgangsspannung U 2 im Leerlauf und der Eingangsspannung U 1 ist die Übertragungsfunktion und wird in Dezibel (db) angegeben. Es gilt die Gleichung Interessant in diesem Zusammenhang sind die Bezeichnungen -6 db/oktave und -20 db/dekade. Die erste Bezeichnung gilt für den Audiobereich. Der Ton G hat z.b. eine Frequenz von f = 768 Hz und erhöht sich der Ton auf G`, liegt eine Frequenz von 1,536 khz vor, d.h. bei einer Frequenzänderung von G nach G` oder umgekehrt, erhöht oder verringert sich der Ton um je eine Oktave. Dabei wird die Ausgangsspannung angehoben bzw. abgesenkt, und zwar um 6 db. 2/14

3 Ändert sich die Frequenz beispielsweise von 100 Hz nach 1 khz, so wird die Ausgangsspannung um -20 db größer bzw. kleiner, da sich die Frequenz um eine Dekade erhöht bzw. verringert hat. Die Eingangsspannung beträgt U 1 = 2 V und stellt man den Funktionsgenerator auf f = 100 Hz ein, misst man mit dem Oszilloskop eine Ausgangsspannung von U 2 = 100 mv. Mit dem Oszilloskop lässt sich die Messung durchführen Es ergibt sich eine Dämpfung von Erhöht man die Eingangsfrequenz auf f = 1 khz, misst man eine Ausgangsspannung von U 2 = 1 V. Es ergibt sich eine Dämpfung von Passives Hochpassfilter 1.Ordnung Der Hochpass von Bild 4 weist ein umgekehrtes Verhalten auf. Bei niedrigen Frequenzen hat der kapazitive Blindwiderstand X C des Kondensators C einen hohen Wert und über den Widerstand R fällt nur eine geringe Spannung ab. Mit zunehmender Frequenz verringert sich der kapazitive Blindwiderstand und die Ausgangsspannung sinkt. Die Ausgangsspannung verringert sich um -6 db/oktave bzw. um -20 db/dekade. Hat der kapazitive Blindwiderstand X C den gleichen Wert wie der Widerstand R, also X C = R, so definiert man den Wert für die Grenzfrequenz. Der Grenzwinkel beträgt 45 und die Ausgangsspannung hat sich auf 70,7% der Eingangsspannung verringert. Dies ergibt eine Dämpfung von a = -3 db. Die Grenzfrequenz für die Schaltung berechnet sich aus Mit der Fadenkreuzsteuerung des Bode-Plotters lässt sich die Berechnung überprüfen und mit der Grenzfrequenz von f = 154 Hz misst man eine Dämpfung von a = -3 db. Die Eingangsspannung beträgt U 1 = 2 V und stellt man den Funktionsgenerator auf f = 200 Hz ein, misst man mit dem Oszilloskop eine Ausgangsspannung von U 2 = 1,2V. Wichtig hierbei ist, dass die Eingänge des Wobblers nicht angeschlossen sind, d.h. man muss die Verbindungen unbedingt lösen. Es ergibt sich eine Dämpfung von Passive Tiefpassfilter n-ordnung Schaltet man zwei passive Tiefpassfilter 1. Ordnung in Reihe, erhält man einen Tiefpass 2. Ordnung. Bei der Realisierung eines Tiefpassfilters 1. Ordnung setzt man einen ohmschen Widerstand und einen Kondensator als frequenzabhängiges Bauelement ein. Bei der Grenzfrequenz f g reduziert sich die Ausgangsspannung auf 0,707 bzw. 1/Ö2 der Eingangsspannung. Schaltet man einen weiteren Tiefpass nach, reduziert sich die Spannung nochmals um 0,707, wobei aber der nachgeschaltete Tiefpass den vorherigen entsprechend belastet. Durch die Hintereinanderschaltung mehrerer Tief- und Hochpassfilter erreicht man eine höhere Ordnung. Hat man nur einen Tiefpass 1.Ordnung, arbeitet man mit dem Wert n = 1, bei der 2.Ordnung dagegen mit n = 2. Betrachtet man die Übertragungsfunktion U 2/U 1, ergibt sich bei einem Tiefpass 1.Ordnung ein verhältnismäßig flachverlaufender Übergang vom Durchlassbereich in den Sperrbereich. Bei der Realisierung eines passiven Tief- und Hochpassfilters 3.Ordnung schaltet man drei RC-Glieder hintereinander. Ein ideales RC-Glied bewirkt eine Phasenverschiebung von j = 90. Da aber die nachgeschalteten RC-Glieder das vorherige RC-Glied entsprechend belasten, ergibt sich eine reale Phasenverschiebung von j» 60 für jedes RC-Glied. Die Grenzfrequenzen f g lassen sich mit den folgenden Gleichungen berechnen: Tiefpass 3.Ordnung Hochpass 3.Ordnung Es tritt eine Spannungsdämpfung von auf. Für die Realisierung eines Tiefpassfilters höherer Ordnung müssen daher zwischen den einzelnen Filterstufen Elektrometerverstärker mit V = 1 eingeschaltet sein. Damit kann die Belastung der nachgeschalteten Stufen verhindert werden. Bei einem Hoch- oder Tiefpassfilter nach Gauß gelten für alle Filterstufen die gleichen Grenzfrequenzen und die gleichen Dämpfungskonstanten. Dieses Filter zeigt bei den Sprungantworten kein Überschwingen. Wie noch gezeigt wird, verläuft der Übergang vom Durchlassbereich in den Sperrbereich relativ flach. Andere Filter z.b. Bessel, Butterworth, Cauer oder Tschebyscheff weisen im Vergleich dazu steilere Verläufe auf. Durch die Aneinanderreihung von RC-Gliedern für Hoch- und Tiefpässe erhält man Filter der entsprechenden Ordnung. Der Übertragungsfaktor a (Dämpfung d = -a) berechnet sich aus Hat man ein Filter mit n = 1, ergibt sich eine Dämpfung von -3 db, mit n = 2 von -6 db usw. Je höher die Ordnungszahl n, um so steiler die Abgrenzung vom Durchlass- in den Sperrbereich. Die Übertragungsfunktion gilt aber nur, wenn zwischen den einzelnen Tiefpassfiltern ein Verstärker mit V = 1 eingeschaltet ist. Andernfalls belastet jedes nachgeschaltete Filter das vorherige und es tritt eine zusätzliche Dämpfung auf. Filter nach Gauß, Bessel, Butterworth, Cauer und Tschebyscheff Wenn man in der Praxis beispielsweise einen Tiefpass benötigt, der Oberschwingungen unterdrücken und innerhalb einer vorgegebenen Zeit eingeschwungen sein soll, so hat man die Wahl zwischen verschiedenen Filtertypen. In Bezug auf die Unterdrückung der Oberschwingungen wäre ein Tschebyscheff-Tiefpass am günstigsten, in Bezug auf den Einschwingvorgang bei einem Sprung der Eingangsspannung müsste man aber ein Gauß- oder ein Bessel-Filter wählen, weil diese nicht oder nur geringfügig überschwingen. Damit diese Filter aber die betreffende Oberschwingung ausreichend unterdrücken, muss man ihre Grenzfrequenz genügend tief berechnen, und das bedeutet wieder eine längere Steig- und Einstellzeit. Günstig erweist sich hier ein Kompromiss. Man wählt ein Butterworth-Filter mit kurzer Steigzeit bei ausreichend steilem Amplitudenabfall oberhalb der Grenzfrequenz. Bei diesem Filter treten jedoch mit wachsendem Filtergrad recht unterschiedlich verlaufende Überschwingungen auf, so dass die Einstellzeit immer noch sehr lang sein kann. Wenn man jetzt jedoch bei einer der mehreren Filterstufen die Widerstände vergrößert und so die Grenzfrequenz verringert und/oder die Dämpfung vergrößert, vergrößert diese Änderung an einem Teil der Filterstufen die Steigzeit nur geringfügig, als es das Überschwingen verringert. Auf experimentelle Weise lässt sich so das Filter in Bezug auf die Einstellzeit, d.h. die Zeit, bis zu der die Amplitude des Überschwingens unter einen bestimmten Grenzwert abgesunken ist, verbessern. Behält man den Wert der RC-Bauelemente in einer passiven Filterschaltung bei, sinkt mit steigender Ordnungszahl des Filters die Grenzfrequenz f g. Soll die Grenzfrequenz des gesamten Filters konstant bleiben, dann muss mit steigender Ordnungszahl die Grenzfrequenz der einzelnen Filterstufen entsprechend den angegebenen Rechenausdrücken heraufgesetzt werden. 3/14

4 Legt man an eine Filterschaltung eine sinusförmige Wechselspannung, verringert sich mit zunehmender Frequenz der kapazitive Blindwiderstand, d.h. die Dämpfung wird größer und die Ausgangsspannung sinkt. Während die Filterkurven im Sperrbereich sehr ähnlich sind, ergeben sich im Durchlassbereich erhebliche Differenzen. Ideal ist der Punkt f g* für die Grenzfrequenz. Gauß-Filter: Alle Filterstufen eines Tiefpassfilters weisen die gleiche Grenzfrequenz und die gleiche Dämpfungskonstante auf. Das Filter zeigt in der Sprungantwort kein Überschwingen. Der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich verläuft flach. Bessel-Filter: Hier handelt es sich um ein Filter, das in Bezug auf die Phasenlaufzeit optimiert wurde. Die Phasen- oder Gruppenlaufzeit ist ein Maß für die Änderung des Übertragungswinkels mit der Frequenz. Ein Signal wird umso unverfälschter übertragen, je geringer seine Phasenlaufzeit mit der Frequenz schwankt. Beim Bessel-Filter wächst der Phasengang innerhalb eines bestimmten Bereiches proportional mit der Frequenz. Daraus ergibt sich eine konstante Phasenlaufzeit, die auch hier wieder auf die Grenzfrequenz des Filters bezogen wird. Der Übergang ist bei diesem Filter schon etwas ausgeprägter. Das Überschwingen in der Sprungantwort bleibt unter 1% und verschwindet mit steigender Ordnungszahl des Filters fast vollständig, da dann die Phasenlaufzeit über einen immer weiteren Bereich konstant bleibt. Butterworth-Filter: Alle Einzelfilter des Tiefpassfilters weisen die gleiche Grenzfrequenz auf. Dadurch sind die Grenzfrequenzen f g und f g* für alle Ordnungszahlen gleich. Der Amplitudengang im Durchlassbereich verläuft wie bei Bessel- und Gauß-Filtern flach, der Übergang zum Sperrbereich ist jedoch ausgeprägter und wird mit steigender Ordnungszahl zunehmend steiler. Da man dann auch den Amplitudengang dieses Tiefpassfilters im Sperrbereich durch ein Potenzgesetz beschreiben kann, wenn man sich auf die Grenzfrequenz f g bezieht (f g = f g*), spricht man bei diesem Filter von einem Potenzfilter. Weil die Sperrfähigkeit dieses Filters wesentlich günstiger ist als die des Gauß- und Bessel-Filters, kann die Phasenlaufzeit nicht mehr konstant sein. Die Verzögerungszeit wächst proportional mit der Zahl der Filterstufen, ebenso die Anstiegszeit. Das Überschwingen bei diesem Filtertyp in der Sprungantwort nimmt zu. Tschebyscheff-Filter: Bei diesem Tiefpass weisen die einzelnen Filterstufen jetzt unterschiedliche Grenzfrequenzen f g1, f g2 usw. auf. Das Amplitudenübertragungsmaß im Durchlassbereich nimmt dadurch nicht mehr stetig ab, sondern weist verschiedene Minimal- und Maximalwerte auf, bis diese jenseits der Grenzfrequenz f g stetig und mit größerer Steilheit abfällt. Im Durchlassbereich zeigt das Amplitudenübertragungsmaß dieses Filters eine gewisse Welligkeit, die in db (Dezibel) angegeben wird und zur Unterscheidung der verschiedenen Filter dient. Bei Filtern gerader Ordnung ergeben sich durch die Welligkeit bestimmte Abweichungen in positiver Richtung und bei solchen mit ungerader Ordnung eine Abweichung in negativer Richtung, bezogen auf das Amplitudenübertragungsmaß bei der Frequenz Null. Die Grenzfrequenz ist dann erreicht, wenn bei Filtern gerader Ordnung das Amplitudenübertragungsmaß den Wert Null (Wert bei der Frequenz Null) unterschreitet. Bei Filtern ungerader Ordnung wird bei der Grenzfrequenz f g der Wert Null-w unterschritten (w = Welligkeit in db). Bei Tschebyscheff-Filtern ist die Grenzfrequenz f g größer als die Grenzfrequenz f g*. Der Durchlassbereich ist so weit wie möglich ausgedehnt und dadurch ist der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich besser. Der Phasengang zeigt aber ebenfalls eine Welligkeit. Die Phasenlaufzeit ist demgemäß noch weniger konstant, und das führt zu einem um so stärkeren Überschwingen in der Sprungantwort des Tiefpasses, je höher die Welligkeit ist. Auch die Anstiegs- und Verzögerungszeit des Filters werden wegen des schärferen Überganges in den Sperrbereich größer. Cauer-Filter: Wenn der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich auch bei Tschebyscheff-Filtern noch nicht ausreichend steil verläuft, verwendet man Filter mit zusätzlichen Sperrkreisen. Hier wird im Übergangsbereich durch Sperrfilter der Abfall im Amplitudenübertragungsmaß noch mehr versteilert. Der Tiefpass weist auch dann im Sperrbereich eine Welligkeit auf, die sehr ausgeprägt sein kann. Amplitudengang von Filtern Bei der Beurteilung und Berechnung von Filtern muss man den Amplitudengang (Amplitudenübertragungsmaß in Abhängigkeit der Frequenz) beachten. Hierbei unterscheidet man zwischen dem Durchlassbereich und dem Sperrbereich, wobei die Grenzfrequenz f g bei den Filtern zu berücksichtigen ist. Die Grenzfrequenz f g wird durch bestimmte Unterscheidungsmerkmale geprägt. Je weiter die Grenzfrequenz f g unterhalb der Grenzfrequenz f g* liegt, desto flacher verläuft bei diesem Filter der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich. Das Gauß-Filter hat in dieser Hinsicht ein sehr ungünstiges Verhalten, ein Tschebyscheff-Filter dagegen eine günstige Charakteristik. Betrachtet man dagegen die Sprungantwort, tritt ein umgekehrtes Verhalten auf. Beim Bessel-Filter ist der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich etwas ausgeprägter. Das Überschwingen in der Sprungantwort bleibt unter 1% und verringert sich mit steigender Ordnungszahl vollständig. Alle Einzelfilter beim Butterworth-Filter weisen die gleiche Grenzfrequenz auf, wodurch die beiden Grenzfrequenzen f g und f g* identisch sind. Der Amplitudengang im Durchlassbereich verläuft wie beim Bessel- und Gauß-Filter flach, der Übergang in den Sperrbereich ist jedoch ausgeprägter und vergrößert sich mit steigender Ordnungszahl erheblich. Da sich der Amplitudengang bei diesem Filter auch durch ein Potenzgesetz beschreiben lässt, wenn f g = f g* ist, spricht man von einem Potenz-Filter. Bei einem Tschebyscheff-Tiefpass-Filter müssen die Welligkeit w und die Ordnungszahl n berücksichtigt werden. Die einzelnen Filterstufen weisen unterschiedliche Grenzfrequenzen auf, die mit f g1 und f g2 gekennzeichnet sind. Das Amplitudenübertragungsmaß im Durchlassbereich nimmt dadurch nicht mehr stetig ab, sondern es treten Minimal- und Maximalwerte auf, bis diese nach der Grenzfrequenz f g stetig mit größerer Steilheit abfallen. Im Durchlassbereich tritt eine Welligkeit auf, die in db angegeben ist und zur Unterscheidung der verschiedenen Filter dient. Bei Filtern gerader Ordnung treten Welligkeiten in positiver Richtung, bei ungerader Ordnung dagegen in negativer Richtung auf. Die Grenzfrequenz ist bei einem Tschebyscheff-Filter dann erreicht, wenn bei Filtern gerader Ordnung das Amplitudenübertragungsmaß den Wert 0 unterschreitet. Bei Filtern ungerader Ordnung gilt dagegen der Wert 0 - w. Bei diesem Filtertyp ist die Grenzfrequenz f g größer als die Grenzfrequenz f g*, weshalb der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich wesentlich steiler verläuft. Wenn der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich noch steiler verlaufen muss, als dies bei den Tschebyscheff-Filtern der Fall ist, werden Cauer-Filter eingesetzt. Durch zusätzliche Sperrkreise wird der Übergang verbessert. Die Phasengeschwindigkeit und die ihr zugeordnete Phasenlaufzeit sind zwei Größen, die in der Nachrichtentechnik keine große Bedeutung haben. Nur bei Sprache und Musik ist die Phasenlaufzeit interessant, da sich die Signale laufend nach Amplitude und Frequenz verändern. Bei der Realisierung eines Filters soll eine Übertragung verzerrungsfrei erfolgen. Daher müssen die Phasenlaufzeiten aller Frequenzbereiche weitgehend identisch sein. Für den Phasengang bedeutet dies, dass er linear mit der Frequenz ansteigen muss. In der Praxis zeigt sich, dass auftretende Verzerrungen gemeinsam durch Dämpfung und Laufzeiten verursacht werden, da in den Filterschaltungen Kondensatoren und Spulen mit den unvermeidlichen Blindwiderständen vorhanden sind. Allerdings sind die durch Laufzeiten resultierenden Verzerrungen so gering, dass sie praktisch keine Rolle spielen. Nur bei Filterschaltungen höherer Ordnung können diese beachtliche und störende Werte annehmen. Bei Bessel-Filtern nimmt der Phasengang innerhalb eines bestimmten Bereiches proportional mit der Frequenz zu. Daraus ergibt sich eine konstante Phasenlaufzeit. Die Aufgabe von Filtern ist es, bestimmte Frequenzbereiche zu sperren oder durchzulassen. Hierzu können Kondensatoren und Spulen verwendet werden, die in Reihe mit einem Widerstand einen passiven Hoch- oder Tiefpass ergeben. Durch den Einsatz eines Operationsverstärkers lassen sich aktive Hoch- und Tiefpassfilter realisieren, die den passiven Schaltungen weit überlegen sind. Aktiver Tiefpass 1.Ordnung Das aktive RC-Tiefpassfilter 1. Ordnung besteht aus einem Operationsverstärker, der in der Gegenkopplung einen Kondensator hat. Der Kondensator bildet einen frequenzabhängigen Widerstand, mit dem der Verstärkungsfaktor des Filters bestimmt wird. Bild 6 zeigt die Schaltung eines aktiven RC-Tiefpassfilters 1.Ordnung. Bei der Schaltung (Bild 6) handelt es sich im Wesentlichen um einen Integrator, der aber nicht mit Gleichspannung, sondern mit Wechselspannung unterschiedlicher Frequenzen arbeitet. Legt man eine Gleichspannung (Nullfrequenz) an den Eingang, wird die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers solange kontinuierlich linear ansteigen, bis der Wert der Betriebsspannung erreicht ist. Mathematisch kann die Übertragungsfunktion für die Bedingung R 1 = R 2 = R und C 2 = C abgeleitet werden zu: wobei s die komplexe Frequenz darstellt, die sich aus Real- und Imaginärteil, also s + jw, zusammensetzt und w 0 = 1/RC ist. Die Formel bestätigt, dass die Verstärkung umgekehrt proportional zur Frequenz ist. Als nächstes soll nochmals ein passiver RC-Tiefpass betrachtet werden. Seine komplexe Übertragungsfunktion lässt sich beschreiben mit 4/14

5 Mit s = 0 reduziert sich die Funktion auf w 0/w 0, also auf den Wert 1. Mit s gegen unendlich, geht der Wert der Funktion gegen null. Das ist sinnvoll, da es sich um einen Tiefpass handelt. Entsprechend wird bei s = -w 0 der Nenner der Funktion zu null, wodurch der Funktionswert unendlich wird. Sowohl beim Integrator als auch beim RC-Tiefpass geht bei nach unendlich verlaufenden Frequenzen die Antwort gegen null. Dies bedeutet einen Wert von Null für s =. Obwohl sich dieser Wert Null über einen weiten Bereich in der Ebene erstreckt, betrachtet man ihn als einen einzigen Wert. Wie sieht nun die Frequenzabhängigkeit der komplexen Übertragungsfunktion aus? Betrachtet man die Antwort von Schaltungen auf Wechselstromsignale (AC), wird für die Impedanz einer Spule der Ausdruck jwl und für die Impedanz des Kondensators der Ausdruck 1/jwC verwendet. Untersucht man Übergangsvorgänge (Transienten), lauten die entsprechenden Ausdrücke für die Impedanzen sl und 1/sC. Die Ähnlichkeit ist sofort ersichtlich, da jw in der Wechselstrom-Analyse der Imaginärteil von s ist und s sich, wie erwähnt, aus dem Realteil w und dem Imaginärteil jw zusammensetzt. Ersetzt man in einer beliebigen der bisherigen Gleichungen s durch jw, so erhält man direkt die Antwort auf die entsprechende Kreisfrequenz w. Die Berechnung des aktiven Tiefpassfilters 1. Ordnung (Bild 6) erfolgt mit den folgenden Gleichungen: Der Wert a 1 ist aus Tabelle 1 für die Filterkoeffizienten der optimierten Frequenzgänge zu entnehmen. Hier wurde a 1 = 1 eingesetzt. Die Grenzfrequenz fg wird entsprechend der Anwendung gewählt, der Wert V 0 ist die Verstärkung bei f = 0. Ordnung Filterkoeffizienten Filtertyp a1 1. Ordnung Tabelle 1: Filterkoeffizienten für optimierte Frequenzgänge b1 alle Typen Achtung! Tabelle 1 beinhaltet nur die Koeffizienten für die Filter 1. Ordnung und stellt nur einen Grundauszug der nachfolgenden Berechnungstabellen dar. Beispiel: Ein aktives Tiefpassfilter 1.Ordnung soll eine Grenzfrequenz von f g = 1 khz aufweisen und es steht ein Kondensator mit C 2 = 10 nf zur Verfügung. Wie groß sind die Widerstandswerte R 1 und R 2? In der Berechnung von R 1 wurde die Verstärkung V 0 = 1 gewählt. Beide Widerstandswerte sind aus der E96-Reihe (1% Toleranz). Die Eingangsspannung beträgt U 1s = 2 V und stellt man den Funktionsgenerator auf f = 1 khz ein, misst man mit dem Oszilloskop eine Ausgangsspannung von U 2s = 1,4 V. Wichtig hierbei ist, dass die Eingänge des Wobblers nicht angeschlossen sind, d.h. man muss die Verbindungen unbedingt lösen. Es ergibt sich eine Dämpfung von Aktiver Hochpass 1. Ordnung Betreibt man ein passives Hochpassfilter mit einer Gleichspannung, hat der Kondensator einen kapazitiven Blindwiderstand, der praktisch unendlich ist. Am Ausgang der Schaltung misst man eine Spannung von U a = 0 V. Mit zunehmender Frequenz wird der kapazitive Blindwiderstand geringer und die Ausgangsspannung steigt. Die Ausgangsspannung für einen passiven Hochpass 1.Ordnung lässt sich berechnen nach Mit zunehmender Frequenz nimmt die Ausgangsspannung U 2 zu, wenn die Amplitude der Eingangsspannung U 1 als konstant betrachtet wird. Aus diesem Verhalten lässt sich ein aktives Hochpassfilter 1.Ordnung realisieren, wie Bild 7 zeigt. Am Eingang befindet sich der Kondensator C 1 als frequenzabhängiger Blindwiderstand und in der Gegenkopplung der Widerstand R 2. Legt man eine Gleichspannung (Frequenz Null) an den Differentiator, wird der Ausgang nur einen kurzen Impuls erzeugen, der von null nach unendlich und dann sofort wieder nach null zurückgeht. Der Kondensator C 1 und der Widerstand R 2 errechnen sich aus Der Faktor a 1 ist der Filterkoeffizient und ist aus Tabelle 1 für optimierte Frequenzgänge zu entnehmen. Die Grenzfrequenz f g wird entsprechend der Anwendung gewählt, der Wert V ist die Verstärkung für f Þ. Die Eingangsspannung beträgt U 1 = 2 V und stellt man den Funktionsgenerator auf f = 100 Hz ein, misst man mit dem Oszilloskop eine Ausgangsspannung von U 2 = 20 mv. Es ergibt sich eine Dämpfung von Aktive Tiefpassfilter 2. Ordnung mit Zweifachgegenkopplung Bei der Realisierung von aktiven Tiefpassfiltern 2.Ordnung unterscheidet man in der Praxis zwischen der Betriebsart mittels Gegenkopplung und Mitkopplung. Bild 8 zeigt die Schaltung mit einer Zweifachgegenkopplung. In dieser Schaltung erkennt man, dass der Widerstand R 1 am Eingang mit dem Kondensator C 2 den ersten Tiefpass bildet. Der zweite Tiefpass wird durch den Kondensator C 1 in Verbindung mit dem Widerstand R 2 realisiert. Für die Schaltung sind nur wenige Bauelemente notwendig und der Wert für die Grenzfrequenz lässt sich über den Einsteller (statt Widerstand R 3) bestimmen. Die Berechnung der einzelnen Bauelemente ist recht kompliziert. Der Rechenaufwand reduziert sich jedoch auf ein Minimum, wenn R 1 = R 2 = R und C 1 = C 2 = C ist. Die Grenzfrequenz berechnet sich für diesen Fall 5/14

6 Für die Berechnung der beiden Kondensatoren gelten folgende Gleichungen: Durch die Koeffizienten a 1 und b 1 lassen sich die gewünschten Filtertypen nach Bessel, Butterworth und Tschebyscheff berechnen. Die erforderlichen Werte sind in Tabelle 2 aufgelistet. Ordnung Filterkoeffizienten Filtertyp a 1 b 1 1. Ordnung alle Typen 2. Ordnung 1,2872 1,3617 1,4142 1,3614 1,3022 1,1813 1,0650 0,4142 0,6180 1,3827 1,5515 1,7775 1,9305 Tabelle 2: Filterkoeffizienten für optimierte Frequenzgänge Anmerkung: KR = Filter (Gauß) mit kritischer Dämpfung BE = Bessel-Filter BU = Butterworth-Filter T 1/2 = Tschebyscheff-Filter mit 0,5 db Welligkeit T 1 = Tschebyscheff-Filter mit 1 db Welligkeit T 2 = Tschebyscheff-Filter mit 2 db Welligkeit T 3 = Tschebyscheff-Filter mit 3 db Welligkeit Beispiel: Die Tiefpassschaltung aus Bild 8 soll einen Bessel-Filter darstellen. Die Werte für R 1, R 2 und R 3 betragen 10 kw. Die Schaltung soll eine Grenzfrequenz von f g = 100 Hz aufweisen. Die Werte der beiden Kondensatoren C 1 und C 2 sind zu bestimmen. Es folgt: KR BE BU T1/2 T1 T2 T 3 Die Kondensatorwerte sind aus der E24-Reihe. Die Eingangsspannung beträgt U 1 = 2 V und stellt man den Funktionsgenerator auf f = 100 Hz ein, misst man mit dem Oszilloskop eine Ausgangsspannung von U 2 = 0,95 V. Es ergibt sich eine Dämpfung von Erhöht man die Eingangsfrequenz auf f = 1 khz, misst man eine Ausgangsspannung von U 2 = 10 mv. Es ergibt sich eine Dämpfung von Durch eine Frequenzänderung um eine Dekade von f = 100 Hz auf f = 1 khz erhält man ein Wert von -40 db pro Dekade, denn man hat ein Tiefpassfilter 2. Ordnung. Beispiel: Die Tiefpassschaltung aus Bild 8 soll für ein Tschebyscheff-Filter mit einer Welligkeit von w = 3 db modifiziert werden. Die Werte für R 1, R 2 und R 3 betragen 10 kw. Die Schaltung soll eine Grenzfrequenz von f g = 1 khz aufweisen. Die Werte der beiden Kondensatoren C 1 und C 2 sind zu bestimmen. Es folgt: Die Kondensatorwerte sind aus der E24-Reihe. Die Schaltung von Bild 9 lässt sich für die anderen Filterschaltungen einfach dimensionieren, da man die Werte für die Widerstände und Kondensatoren einfach ändern kann. Aktive Tiefpassfilter höherer Ordnung Tiefpassfilter höherer Ordnung lassen sich relativ einfach realisieren. Schaltet man vor die Schaltung aus Bild 8 einen passiven Tiefpass, erhält man einen Tiefpass 3. Ordnung. Schaltet man zwei Tiefpassfilter von Bild 8 hintereinander, kommt man zur 4. Ordnung. Filter höherer Ordnung sind also nicht getrennt zu behandeln, sondern gemeinsam, da jedes Polynom in s durch Faktorisierung in eine quadratische Form gebracht werden kann. Die Zerlegung eines ungeraden Polynoms liefert zusätzlich noch einen Ausdruck 1. Ordnung. Ein Tiefpassfilter 5. Ordnung hat z.b. folgende Übertragungsfunktion: wobei alle ans-werte als Konstanten zu betrachten sind. Man kann den Nenner jetzt zerlegen in was genau dem Ausdruck entspricht. Dieser Ausdruck kommt physikalisch einer Reihenschaltung von zwei Filtern 2. Ordnung und einem Filter 1. Ordnung gleich. Diese Darstellung vereinfacht den Entwurfsprozess und erlaubt eine übersichtliche Betrachtung. 6/14

7 Nun ist es möglich, auch die ausgefallensten Filter zu entwerfen. In der Praxis beschränkt man sich jedoch normalerweise auf eine gewisse Anzahl von Möglichkeiten, die nach den Funktionen Butterworth, Tschebyscheff und Bessel definiert sind. Bei den aktiven Tiefpassfiltern kann man zwischen einer Zweifachgegenkopplung und einer Einfachmitkopplung unterscheiden. Für die Berechnung des Beispiels von Bild 10 wird eine Einfachgegenkopplung eingesetzt. Für die Berechnung der Bauelemente eines Tiefpassfilters gibt es mehrere Gleichungen, wie Tabelle 3 zeigt. Die Tabelle wurde auch auf Induktivitäten erweitert, die man in der Praxis kaum verwendet. Gegeben: L, C, R, V = 1 R 1, R 2 und C 1, C 2 C 1 = C 2 = C und R 1, R 2 R 1 = R 2 = R und C 1, C 2 R 1 = R 2 = R und C 1 = C 2 = C Tabelle 3: Gleichungssysteme zur Berechnung der Bauelemente für einen Tiefpass mit Widerstand, Kondensator und Spule Wichtig bei der Berechnung der Bauelemente nach Tabelle 3 ist zuerst die Bestimmung von a. Danach ist noch eine Größe frei wählbar, um die Kreisfrequenz w g bzw. Grenzfrequenz f g festzulegen. Wenn man mit einem Verstärkungsfaktor von V = 1 arbeitet, sind die Berechnungen am einfachsten durchzuführen. Dieser Fall ist bis auf a = 2 jedoch ausgeschlossen, wenn beide Widerstände bzw. Kondensatoren identisch sind. Ein Tiefpass 2. Ordnung mit entsprechender Grenzfrequenz und beliebiger Dämpfung ist als Grundeinheit für Filterschaltungen höherer Ordnung anzusehen. Da bei den aktiven Filterschaltungen die einzelnen Stufen durch die eingesetzten Operationsverstärker gegenseitig entkoppelt werden können und sich dadurch nicht mehr beeinflussen, lassen sich Filter höherer Ordnung durch eine Reihenschaltung einzelner Filterelemente einfach verwirklichen. Ordnung Filterkoeffizienten Filtertyp a 1 b 1 a 2 b 2 1. Ordnung alle Typen 2. Ordnung 3. Ordnung 4. Ordnung 1,2872 1,3617 1,4142 1,3614 1,3022 1,1813 1,0650 0,5098 0,7560 1,8636 2,2156 2,7994 3,3496 0,8700 1,3397 1,8478 2,6282 2,5904 2,4025 2,1853 0,4142 0,6180 1,3827 1,5515 1,7775 1,9305 0,1892 0,4889 3,4341 4,1301 4,9862 5,5339 Tabelle 4: Filterkoeffizienten für optimierte Frequenzgänge. Anmerkung: KR = Filter (Gauß) mit kritischer Dämpfung BE = Bessel-Filter BU = Butterworth-Filter T 1/2 = Tschebyscheff-Filter mit 0,5 db Welligkeit T 1 = Tschebyscheff-Filter mit 1 db Welligkeit T 2 = Tschebyscheff-Filter mit 2 db Welligkeit T 3 = Tschebyscheff-Filter mit 3 db Welligkeit In der Tabelle 4 sind die Filterkoeffizienten bis zur 4. Ordnung aufgelistet. 1,0197 0,9996 0,6402 0,5442 0,4300 0,3559 0,8700 0,7743 0,7654 0,3648 0,3039 0,2374 0,1964 0,2599 0,4722 1,1931 1,2057 1,2036 1,1923 0,1982 0,3890 1,1509 1,1697 1,1896 1,2009 Beispiel: Der Tiefpass von Bild 8 soll als Butterworth-Filter 2. Ordnung mit einer Grenzfrequenz von f g = 100 Hz arbeiten. Welche Kapazität müssen die beiden Kondensatoren aufweisen, wenn die Bedingung R 1 = R 2 = R = 10 kw erfüllt ist? KR BE BU T1/2 T1 T2 T 3 KR BE BU T1/2 T1 T2 T 3 KR BE BU T1/2 T1 T2 T 3 Die Werte der beiden Koeffizienten a 1 und b 2 sind unter Beachtung des Filtertyps aus Tabelle 4 entnommen. Die Eingangsspannung beträgt U 1 = 2 V und stellt man den Funktionsgenerator auf f = 10 Hz ein, misst man mit dem Oszilloskop eine Ausgangsspannung von U 2 = 30 V. Es ergibt sich eine Dämpfung von Es tritt keine Dämpfung, sondern eine Verstärkung auf. Erhöht man die Eingangsfrequenz auf f = 100 Hz, misst man eine Ausgangsspannung von U 2 = 3 V. Dies ergibt eine Dämpfung von 7/14

8 Aktives Tiefpassfilter 3. Ordnung Die Schaltung von Bild 10 lässt sich durch einen passiven RC-Tiefpass erweitern, wie Bild 11 zeigt. Schaltet man vor den Tiefpass 2.Ordnung einen RC-Tiefpass, erhöht man die Ordnungszahl und erhält ein Tiefpassfilter 3.Ordnung. Beispiel: Der Tiefpass von Bild 11 soll als Tschebyscheff-Filter 3.Ordnung bei einer 3-dB-Welligkeit im Durchlassbereich mit einer Grenzfrequenz von f g = 100 Hz arbeiten. Welche Kapazität müssen die drei Kondensatoren aufweisen, wenn die Bedingung R 1 = R 2 = R 3 = R = 10 kw erfüllt ist? Die Werte der Koeffizienten a 1, a 2 und b 2 sind aus Tabelle 4 entnommen. Die Eingangsspannung beträgt U 1 = 2 V und stellt man den Funktionsgenerator auf f = 10 Hz ein, misst man mit dem Oszilloskop eine Ausgangsspannung von U 2 = 3,8 V. Wichtig hierbei ist, dass die Eingänge des Wobblers nicht angeschlossen sind, d.h. man muss die Verbindungen unbedingt lösen. Es ergibt sich eine Dämpfung von Verringert man die Eingangsfrequenz auf f = 100 Hz, misst man eine Ausgangsspannung von U 2 = 200 mv. Es ergibt sich eine Dämpfung von Durch eine Frequenzänderung um eine Dekade von f = 10 Hz auf f = 100 Hz erhält man einen Wert von 20 db pro Dekade. Aktives Tiefpassfilter 4.Ordnung Wenn man ein Tiefpassfilter 4.Ordnung benötigt, schaltet man zwei Tiefpassfilter 2.Ordnung in Reihe und erhält die Schaltung von Bild 12. Beispiel: Der Tiefpass soll als Bessel-Filter 4.Ordnung mit einer Grenzfrequenz von f g = 100 Hz arbeiten. Welche Kapazität müssen die vier Kondensatoren aufweisen, wenn die Bedingung R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R = 10 kw erfüllt ist? Die Werte der Koeffizienten a 1, a 2, b 1 und b 2 sind aus Tabelle 4 entnommen. Autor: Dipl.-Ing. Herbert Bernstein Herbert Bernstein Gysisstr. 9 München Deutschland Tel: Fax: /14

9 Bild 1: Messung eines Tiefpassfilters 1. Ordnung mit einem virtuellen Speicheroszilloskop Bild 2: Oszilloskop und Funktionsgenerator 9/14

10 Bild 3: Messung eines Tiefpassfilters 1. Ordnung mit einem virtuellen Bode-Plotter Bild 4: Schaltung eines passiven Hochpassfilters mit der Übertragungskennlinie 10/14

11 Bild 5: Schaltung eines passiven Tiefpassfilters 3.Ordnung Bild 6: Aktives RC-Tiefpassfilter 1.Ordnung 11/14

12 Bild 7: Aktives Hochpassfilter 1. Ordnung Bild 8: Tiefpassfilter 2. Ordnung nach Bessel mit Zweifachgegenkopplung für eine Grenzfrequenz von fg = 100 Hz 12/14

13 Bild 9: Tiefpassfilter 2. Ordnung nach Tschebyscheff mit Welligkeit w = 3 db Bild 10: Tiefpass 2. Ordnung mit Einfachgegenkopplung 13/14

14 Bild 11: Tiefpass 3. Ordnung mit Einfachgegenkopplung Bild 12: Schaltung eines Tiefpassfilters 4.Ordnung Rechtliche Hinweise Diese Kundenlösung ( Kundenlösung ) wurde von einem Kunden von National Instruments ( NI ) entwickelt. DIESE KUNDENLÖSUNG WIRD IM IST-ZUSTAND ZUR VERFÜGUNG GESTELLT UND NI ÜBERNIMMT KEINERLEI GARANTIEN. AUSFÜHRLICHERE ERLÄUTERUNGEN ZU ANDEREN EINSCHRÄNKUNGEN ENTNEHMEN SIE BITTE DEN NUTZUNGSBEDINGUNGEN FÜR NI.COM. 14/14