Formelsammlung Signale & Systeme (ET054)

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1 Formelammlung Signale & Syteme (ET054) DGL Mache(n) auftellen und nur Abhängigkeiten zur Auganggröße übrig laen. Bauelemente it = ut ut=i t it =c u t ut= 1 C i t dt Allgemein it = 1 L ut dt ut=l it a 0 yt a 1 ẏt a 2 ÿt a n y n t =b 0 xtb 1 ẋtb 2 ẍtb n x n t DGL Beipiele C-Tiefpa t ; yt=u C t ẏt 1 C H = 1 1 C C-Hochpa yt =xt t ; yt=u t ẏt 1 C H = yt =ẋt 1 C L-Tiefpa t ; yt=u t L ẏt yt=x t H = 1 L 1 L-Hochpa t ; yt=u L t ẏt L yt=ẋt H = L LC-eihen-Schwingkrei t ; yt=u L t ÿt L ẏt 1 LC H = 2 2 L 1 LC yt =ẍt LC-Parallel-Schwingkrei xt =i ge t; yt=ut C ÿt 1 ẏt 1 yt =ẋt L H = 2 C 1 1 L Formelammlung Signale & Syteme ET054 Seite 1

2 Laplace-Tranformation a f t a F ḟ t F f 0 f t 2 F f 0 ḟ 0 Allgemein n 1 f n t n F k=0 f k 0 n k 1 a 0 Y a 1 Y a 2 2 Y a n n Y = b 0 X b 1 X b 2 2 X b n n X Übertragungfunktion H = Y X = b 0b 1 b 2 2 b n n a 0 a 1 a 2 2 a n n Linearitätatz Superpoition it möglich. a 1 f 1 ta 2 f 2 t a 1 F 1 a 2 F 2 Verchiebungatz Zeitbereich: f t T F e T Bildbereich: f t e St Ähnlichkeitatz f at 1 a F a Faltungatz F S a0 f 1 t f 2 t F 1 F 2 Fourier-Tranformation Die Fourier-Tranformierte entpricht der von Laplace multipliziert mit e t. Sie it damit gleich der Laplace-Tranformierten, augewertet auf der imaginären Ache ( LT: = j ; FT: =0 ). Zuammenhang X = [ xt e t ] e j t dt Komplexe Form der Fourier-eihe (periodiche Signale dikrete Linienpektrum) X t= c k e jk t k = Fourier-Tranformation (nichtperiodiche Signale kontinuierliche Spektrum) X = xt e j t dt Verchiebung Betrag de Spektrum bleibt gleich, aber zuätzliche Phaendrehung entteht Zeitfunktion wird komplex. Beipiel: Verchiebung w : X j w xt e j t t 0 mit c k = 1 2 xt e jk 0t dt T 0 T 0 2 c=, 2, 1,0,1,2, Formelammlung Signale & Syteme ET054 Seite 2

3 Pol-Nulltellen-Schema Zähler und Nenner von H ind in Polynomform dartellbar: H = b m N1 N2 Nm a n P1 P2 Pn = b m a n m i =1 n i=1 N i Pi N i : komplexe Koord. der Nulltellen P i : komplexe Koord. der Poltellen Tiefpa Soll auch tiefe Frequenzen ( =0 ) durchlaen (keine Nulltelle bei =0 ), hohe werden hingegen gedämpft. nm. Hochpa Tiefe Frequenzen, inbeondere =0, ollen geperrt werden. Dewegen eine Nulltelle bei =0. Hohe Frequenzen werden durchgelaen: n=m. Bandpa Entteht au eine Tiefpa durch Frequenzverchiebung, d.h. der Durchlabereich wird in ichtung höherer Frequenzen verchoben. eale Sytem haben konj. kompl. Frequenzganz, wewegen da Schema ymmetriche zur -Ache it. nm Bandperre Bei Sperrfrequenz tritt mind. eine Nulltelle auf. Hohe werden durchgelaen, darum n=m. Allpa Der Amplitudengang oll kontant ein und lediglich die Phae gedreht werden. Die Beträge, nicht die Stellen elbt, der Null- und Poltellen müen ich al paarweie kürzen. LT-Syteme Ändert nur Amplitude und Phae der Eingangignale. m Augangignal können alo nur Frequenzen enthalten ein, die ebenfall in den Eingangignalen enthalten ind. Bechreibung (tatich) Mit algebraichen Gleichungen mit reellen Koeffizienten. Enthalten keine Energiepeicher wie nduktivitäten oder Kondenatoren. Bechreibung (dynamich) lineare DGL mit reellen Koeffizienten Laplace Bildbereich H Fourier Frequenzbereich H j mpulantwort ht Eigenchaften Gedächtni: hängt yt auch von vorherigen Werten von xt ab? Kaualität: yt reagiert ert auf xt Linearität: erlaubt ind ntegration, Differentiation, ntegral-tranformationen, Addition, Verzögerung, Multiplikation mit einer Kontanten (nicht Funktion!) Zeitvarianz (mit Superpoition prüfen!) Stabilität: BBO Formelammlung Signale & Syteme ET054 Seite 3

4 Bodediagramm Graphiche Dartellung de Frequenzgange eine Sytem, da hierbei au ech Grundbauteinen zuammengeetzt wird. 1. DGL auftellen 2. Laplace tranformieren 3. Übertragungfunktion: H = Y X 4. Frequenzgang: j 5. Konjugiert komplex erweitern um {H j } und {H j } zu erhalten Beipiel: H = 1 10 H j = 1 j 10 1 j H j = 10 j j = 10 j Konzept: Eckfrequenzen einzeichnen j =0 kein Pol/keine Nulltelle: Phae 0 Pol: Phae -90 Nulltelle: Phae +90 mehrfache Pole/Nulltelle mehrfachen Phaenwinkel gerade Linie bi 0,1 Eckfrequenz jeder Pol ubtrahiert 90, jede Nulltelle addiert 90 über den Bereich 0,1 bi 10 Eckfrequenz Ecken um 6 (oder Vielfachen davon) abrunden Beipiele Die Eckfrequenz timmt nicht mit dem Beipiel oben überein! Amplitudengang H j = 2 2 Konzept: Eckfrequenzen einzeichnen j =0 kein Pol/keine Nulltelle: Steigung 0 Pol: Steigung -20dB/Dekade Nulltelle: Steigung 20dB/Dekade mehrfache Pole/Nulltelle mehrfache Steigung gerade Linie bi zur Eckfrequenz jeder weitere Pol: Steigung um 20dB/Dekade verringern jede weitere Nulltelle: Steigung um 20dB/Dekade erhöhen Ecken um ±3dB (oder Vielfachen davon) abrunden Phaengang arg {H j }= arctan {H j {H j } (Bilder: wikimedia.org) Formelammlung Signale & Syteme ET054 Seite 4

5 Digitale Signale Shannon'che Abtattheorem f a f max Abtatung Multiplikation mit Diractofolge. x a t= xt t nt n = T : Abtat-Periodendauer Quantiierung Bei der A/D-Wandlung ergeben ich Abtatwerte mit endlicher Genauigkeit um diee mit definierter Wortlänge (z.b. 16 Bit) peichern zu können. Aliaing Wird da Abtattheorem nicht erfüllt, o kommt e zur Überlappung der ich periodich wiederholenden Frequenzbänder. FTA f = x[nt a ] e j2 f nt a n= Spektrum it periodich und kontinuierlich. FTA T x [nt a ]= T 2 T f e j2 f nt a df Spektrum Wiederholt ich periodich mit der Abtatfrequenz f a auf der Frequenzache (wird mit Tiefpäen nach der D/A-Wandlung weggefiltert). f = 1 T a x f k f a k= LTD-Syteme Dikrete Faltung Da Augangignal ergibt ich au einer Faltung der dikreten mpulantwort mit dem Eingangignal. y[n]= m[m] h[n m] m= Entpricht im Grunde der Multiplikation zweier Signale. Z-Tranformation Entprechend der Laplace-Tranformation zeitkontinierlicher Syteme. H z= k i=0 k 1 i=1 b i z i a i z i Differenzengleichung Analog zur Differentialgleichung bei zeitkontinuierlichen Sytemen. y[n]=b 0 x [n]b 1 x[n 1]b k x [n k] a 1 y[n 1]a 2 y[n 2]a n y[n k ] Formelammlung Signale & Syteme ET054 Seite 5