Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 6: Analoge Filter. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik

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1 Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 6: Analoge Filter Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Sommersemester 25

2 Inhaltsverzeichnis Inhalt Inhaltsverzeichnis 6 Analoge Filter 3 6. Motivation Frequenzselektives Übertragungssystem Approximations-Verfahren Butterworth Tschebyscheff Cauer Frequenztransformation Realisierung Passive Filter Aktive Filter Ausblick Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-2

3 6 Analoge Filter Inhalt 6 Analoge Filter 6. Motivation Abschluss der Behandlung kontinuierlicher Signale und Systeme Anwendungsbeispiel zum Einsatz der Systemtheorie Entwurf sog. frequenzselektiver Übertragungssysteme Einsatz zur Bandbegrenzung (zwecks Übertragung) Nachverarbeitung (Audio- und Videosignale) Modulation (s. nächstes Semester, NAT 2) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-3

4 6.2 Frequenzselektives Übertragungssystem Inhalt 6.2 Frequenzselektives Übertragungssystem Forderung an selektive Filter: Durchlassbereich (DB, a D, ω D ), Sperrbereich (SB, a S, ω S ) und Übergangsbereich (ÜB). Prototyp: Idealer Tiefpass: IH(j )I IH(j )I D ( ) D S D D S ( ) Eigenschaften: Durchlassbereich für ω ω D, Sperrbereich sonst, kein Übergangsbereich. Impulsantwort: Verschobene si-funktion, nicht kausal, nicht realisierbar. Ansatz: Daher rationale Funktion finden, die den idealen Tiefpass annähert (approximiert). Kompromisse im Dämpfungsverlauf Toleranzschema. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-4

5 6.2 Frequenzselektives Übertragungssystem Inhalt Dämpfungsforderung (TP): a(ω) a D für ω < ω D im DB a(ω) a S für ω > ω S im SB () IH(j ) - D a( )/db a S DB SB DB SB S a D D S D S IH(j ) /db -a D DB D S SB K(j ) K S DB SB -a S K D D S Lösung mit Hilfe der charakteristischen Funktion K(s) bzw. K(jω). Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-5

6 6.2 Frequenzselektives Übertragungssystem Inhalt Definition für K(jω): H(jω) 2 = Damit folgt für die Dämpfung des Filters und für die charakteristische Funktion gilt + K(jω) 2 (2) a(ω) = 2 lg H(jω) = lg( + K(jω) 2 ) (3) K(jω) =,a(ω). (4) Merke: Dämpfung a(ω) und charakteristische Funktion K(jω) haben ähnliches Verhalten; K(jω) lässt sich aber besser approximieren! a(ω = ) = K(jω) = a(ω D ) = a D K(jω) = K D =.a D a(ω S ) = a S K(jω) = K S =.a S (5) a(ω ) K(jω). Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-6

7 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt 6.3. Butterworth 6.3 Approximations-Verfahren IK(j )I großes n Ansatz mit charakteristischer Funktion: K(s) = K D s N (6) K D D = kleines n Normierte Durchlassgrenzfrequenz ω D = liefert unabhängig von N den gleichen Wert: Üblicherweise ist K D =, dann ist K(jω D ) = K(j) = K D (7) a(ω D ) = lg( + KD 2 ) = 3dB. (8) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-7

8 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Berechnung der Filterordnung N (ohne Herleitung): Butterworth-Filter. bis 4. Ordnung: H (s) = H 2 (s) = H 3 (s) = H 4 (s) = Merke: In der Übertragungsfunktion des Butterworth-Filters ist das Zählerpolynom immer eine Konstante: N lg K S/K D lg ω S /ω D (9) s + () s 2 + 2s + () s 3 + 2s 2 + 2s + (2) (s 2 +,848s + )(s 2 +,765s + ). (3) N(s) =. ( allg. H(s) = N(s) ) D(s) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-8

9 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Merke: Das Butterworth-Filter besitzt nur Pole, keine Nullstellen! Die Polstellen liegen auf einem Kreis: Butterworth Filter N = Im{s} Re{s} Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-9

10 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Betrag Dämpfung H(jω) *log ( H(jω) ) Phase 3 Gruppenlaufzeit φ(ω) 6 τ G (ω) ω 2 2 ω Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6 -

11 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Tschebyscheff Ansatz für die charakteristische Funktion: IK(j )I K(jω) = K D T n (jω) (4) T n (jω) = cos[n u(jω)] (5) u(jω) = arccos jω jω D (6) K S K D D S Der Tschebyscheff-Entwurf liefert eine Variation (ripple) im Durchlassbereich! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6 -

12 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Die charakteristische Funktion verwendet im Kern Tschebyscheff-Polynome: T n (x) = cos(n arccosx) (7) Für n = gilt T (x) = cos = und für n = gilt T (x) = cos(arccos x) = x. Weitere Tschebyscheff-Polynome mit Hilfe der Rekursionsformel: T m+ (x) = 2xT m (x) T m (x) (8) Ermittlung der benötigten Ordnung N (ohne Herleitung): N arcosh(k S/K D ) arcosh(ω S /ω D ) (9) Durch Ausmultiplizieren aller Pole wird das Nennerpolynom von H(s) = N(s) D(s) gewonnen. Das Zählerpolynom ist wiederum eine Konstante, die aus H() bestimmt werden kann: N(s) D(s) s=! = H() (2) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-2

13 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Merke: Das Tschebyscheff-Filter besitzt nur Pole, keine Nullstellen! Die Polstellen liegen auf einer Ellipse: 3 Tschebycheff Filter N = 5 2 Im{s} Re{s} Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-3

14 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Betrag 8 Dämpfung H(jω) *log ( H(jω) ) Phase 5 Gruppenlaufzeit 2 4 φ(ω) 4 τ G (ω) ω 2 2 ω Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-4

15 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Cauer Der Cauer- (oder elliptische) Entwurf verwendet im Kern Jakobische elliptische Funktionen R N (ξ,x). Umsetzung z.b. mit Matlab: ellip, ellipord. Er liefert eine Variation (ripple) in Durchlass- und Sperrbereich! Damit wird eine Realisierung mit minimal möglicher Ordnung N erreicht. K(j ) K S K D D S M. Lutovac et al.: Filter Design for Signal Processing, Prentice Hall, 2. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-5

16 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Merke: Das Cauer-Filter besitzt Pole und Nullstellen! Die Polstellen liegen auf einer Ellipse (s. Tschebyscheff-Filter, Kap ); die Nullstellen liegen auf der jω-achse im Sperrbereich: Cauer Filter N = 4 5 Im{s} Re{s} Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-6

17 6.3 Approximations-Verfahren Inhalt Betrag Dämpfung H(jω) *log ( H(jω) ) Phase 5 Gruppenlaufzeit φ(ω) 2 τ G (ω) ω ω Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-7

18 6.4 Frequenztransformation Inhalt 6.4 Frequenztransformation Bisher: Approximation von Tiefpassfunktionen betrachtet. Jetzt: Die Durchlass- und Sperrbereiche können mit Hilfe der Frequenztransformation in andere Frequenzbereiche verschoben werden, um den Übertragungscharakter zu verändern: Tiefpass-Hochpass-Transformation (TH-HP) Tiefpass-Bandpass-Transformation (TH-BP) Tiefpass-Bandsperre-Transformation (TH-BS) H( ) /db H( ) /db H( ) /db H( ) /db D Dn u o u o TP HP BP BS Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-8

19 6.4 Frequenztransformation Inhalt Tabelle der wichtigsten Frequenztransformationen: Typ Transformation Eckfrequenzen Bedeutung TP-TP s ω D s ω Dn ω Dn neue TP-Grenzfrequenz TP-HP s ω D ω Dn s ω Dn neue HP-Grenzfrequenz TP-BP s ω D s 2 + ω u ω o s(ω o ω u ) TP-BS s ω D s(ω o ω u ) s 2 + ω u ω u ) ω u, ω o ω u, ω o untere/obere Grenzfrequenz untere/obere Grenzfrequenz Merke: Bei der TP/HP-Transformation bleibt die Ordnung erhalten; bei der BP/BS-Transformation hingegen verdoppelt sich die Ordnung (s s 2 )! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-9

20 6.4 Frequenztransformation Inhalt Beispiel: TP-BP-Transformation Gegeben: Butterworth-Tiefpass. Ordnung Bekannte Transformation: Lösung: H(s) = H(s) = s ω D s 2 + ω u ω o s(ω o ω u ) ω D s + ω D (2) (22) s ω D + = s 2 +ω uω o + (23) s(ω o ω u) = s(ω o ω u ) s 2 + (ω o ω u )s + ω u ω o. (24) In dieser Form werden die Filterentwürfe in vielen Anwendungen (Matlab o. ä.) realisiert! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-2

21 6.5 Realisierung Inhalt 6.5. Passive Filter Passive TP-Netzwerke. Ordnung 6.5 Realisierung a) R b) L U E C U A U E R U A Bild a) Bild b) H(s) = + scr = H s s s H(s) = R sl + R = H s (25) s s mit H = und s = /RC. mit H = und s = R/L. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-2

22 6.5 Realisierung Inhalt Aktive Filter Technologische Erwägungen: Spulen sind aufwändig in der Herstellung, teuer, großes Volumen, nicht integrierbar. Daher besser Operationsverstärker (OP), R und C verwenden. Kaskadenfilter: Kettenschaltung von Filterstufen, jede Stufe hat eine Übertragungsfunktion erster oder zweiter Ordnung. U E H (s) H 2 (s) Hp (s) U A Gesamt-Übertragungsfunktion: H(s) = U A(s) p U E (s) = i= H i (s) mit H i (s) = a 2s 2 + a s + a b 2 s 2 + b s + b. (26) Im Falle von a 2 = und b 2 = liegt eine Übertragungsfunktion. Ordnung vor. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-22

23 6.5 Realisierung Inhalt Beispiel: Aktive Filterstufe. Ordnung Filterstufe mit invertierender Gleichspannungsverstärkung: C C a) b) j R R U E - + U A j Übertragungsfunktion mit H(s) = U A(s) U E (s) = H + st (27) + st H = R R, T = R C, T = R C. (28) Pol und Nullstelle sind unabhängig voneinander einstellbar und liegen immer auf der negativ reellen Achse (minimalphasiges Netzwerk). Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-23

24 6.6 Ausblick Inhalt 6.6 Ausblick Bisher: Behandlung kontinuierlicher Signale im ZB und FB Nächster Termin: Übergang zu zeitdiskreten Signalen Prinzip der Abtastung Abtasttheorem Rekonstruktion von zeitkontinuierlichen Signalen Ende von NAT. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 6-24