4.4 Nachfrageänderungen durch Preisänderung: Die Slutsky-Gleichung

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1 Prof. Dr. Frank Stehling AVWL 3 SS Komarative Statik Nachfrageänderungen durch Preisänderung: Die Slutsky-Gleichung Wie schon in der ersten Abb. von Abschnitt 4. grafisch veranschaulicht wurde, führt die (isolierte) Erhöhung (Senkung) des Preises des Gutes zu einer Verschiebung der nutzenotimalen Nachfrage nach Gut von x * = A zu x * : x / x* x* x * x * / / x Dieser Gesamt-Preiseffekt von x * zu x *, der die Größe x * x * hat, kann gedanklich zerlegt werden in zwei Effekte:. Substitutionseffekt: Die Preiserhöhung (Preissenkung) von bewirkt eine Veränderung der Preisverhältnisse /, also eine Veränderung der relativen Preise: ei einer Erhöhung von wird das Gut gegenüber dem Gut relativ teurer, bei einer Senkung wird Gut gegenüber Gut relativ billiger. Auch wenn der Haushalt die mit der Preiserhöhung einhergehende Absenkung seines Realeinkommens durch eine Anhebung seines udgets ausgeglichen bekäme, würde er wegen der Erhöhung des relativen Preises von Gut gegenüber Gut vom Gut weniger nachfragen; d.h. es ergibt sich ein Substitutionseffekt durch die Änderung der relativen Preise. Dieser Substitutionseffekt stellt sich grafisch so dar: x / C Substitutionseffekt = x* x* = A x * x C * x * / / x

2 Prof. Dr. Frank Stehling AVWL 3 SS Komarative Statik 5 Das Nutzenotimum bei Ausgleich der Realeinkommenseinbuße und mit dem neuen relativen Preis / liegt im Punkt C; es ist also gegeben durch das Otimum, das der Haushalt bei diesem neuen Preisverhältnis auf der alten Isonutzenlinie erreichen kann. Der Substitutionseffekt ist also gegeben durch die Differenz x C * - x * < 0 (Substitutionseffekt). Einkommenseffekt: Die Preiserhöhung (Preissenkung) bewirkt eine Veränderung der Konsummöglichkeiten durch die Veränderung des Realeinkommens: Eine Preiserhöhung von bewirkt (bei konstantem udget und konstantem Preis ) eine Einschränkung der Konsummöglichkeiten, eine Preissenkung eine Erweiterung der Konsummöglichkeiten. Dieser (reine) Einkommenseffekt entsricht grafisch der ewegung von C zu D in der obigen Abbildung: x / C Substitutionseffekt D = x* x* = A Einkommenseffekt x * x C * x * / / x ei Konstanthalten des (neuen) relativen Preises wird das udget (gedanklich) wieder auf das Niveau abgesenkt, so dass der Otimalunkt x* = D erreicht wird. Die Höhe des (reinen) Einkommenseffekts (bezogen auf Gut ) ist damit die Differenz x * - x C * (Einkommenseffekt) Er ist in diesem Fall negativ. Der Gesamteffekt der Preisveränderung von Gut lässt sich damit aufslitten in die Summe von Substitutions- und Einkommenseffekt: Gesamteffekt = x * x * = (x C * - x *) + (x * - x C *) = = Substitutionseffekt + Einkommenseffekt

3 Prof. Dr. Frank Stehling AVWL 3 SS Komarative Statik 5 Grafisch: x / C Substitutionseffekt D = x* x* = A x * x C * x * / / x Einkommenseffekt Gesamteffekt Die sogenannten Slutsky-Gleichungen drücken diesen Sachverhalt analytisch aus (sie sind nach E. Slutsky (russ. Mathematiker, Statistiker und Ökonom; ) benannt, der diesen Sachverhalt als erster systematisch untersucht und diese Gleichungen abgeleitet hat. Zu ihrer Ableitung (hier nur für den Fall zweier Güter) erinnern wir uns (s. 3. Ka.), dass die (Marshallschen) Nachfragefunktionen die Abhängigkeit der Nachfrage nach Gut i im Haushaltsotimum von den Preisen und sowie dem udget angeben. Für das Gut ist also: x * = n (,,) Dabei ist also x * (zusammen mit dem entsrechenden x *) Lösung des Otimierungsroblems u(x,x ) max. unter der Nebenbedingung x + x = (P) wobei wir wie früher voraussetzen wollen, dass die Nutzenfunktion u streng monoton wachsend und streng konkav ist. Die Otimalwerte x * und x * von (P) sind dann eindeutig bestimmt. Im Unterschied dazu gibt die komensierte (also Hickssche) Nachfragefunktion nach Gut die Abhängigkeit der Nachfrage nach Gut, die bei minimaler Gesamtausgabe das Nutzenniveau u sichert, von eben diesem Nutzenniveau u und den geltenden Preisen und an: x ** = n kom (,, u ),

4 Prof. Dr. Frank Stehling AVWL 3 SS Komarative Statik 53 wobei also x ** (zusammen mit dem entsrechenden x **) Lösung des Otimierungsroblems x + x min. unter der Nebenbedingung u(x,x ) = u (P) ist. Wählt man nun als u in (P) das Nutzenotimum u* von (P), so muss die komensierte Nachfrage x ** gerade gleich der nutzenmaximalen Nachfragemenge x * aus (P) sein, d.h. es ist x * = n (,,) = x ** = n kom (,,u*) (4.3) Angenommen nämlich, es wäre x * x **, so wäre das Nutzenniveau u* beim Preissystem, erreichbar mit der minimalen Ausgabe min. Für diese müsste dann definitionsgemäß gelten: min = x ** + x **, denn auch mit dem udget wird das Nutzenniveau u* beim Preissystem, erreicht (und zwar mit x * und x *). Wäre nun sogar > min, so bedeutete dies, dass u* auch mit einem geringeren udget als erreichbar wäre (nämlich mit min ). Das kann aber nicht sein, weil die Nutzenfunktion u als streng monoton wachsend vorausgesetzt wurde und u* ja gerade der mit maximal erreichbare Nutzen (bei den Preisen und ) ist. Also muss sein. = min Dann muss aber auch x * = x ** (und x * = x **) sein, denn x * und x * sind (wegen der strengen Konkavität der Nutzenfunktion u) die eindeutigen Lösungen von (P). Also gilt tatsächlich (4.3). Setzt man in (4.3) nun = x * + x * ein, so erhält man die Gleichung n (,, x * + x *) = n kom (,, u*) (4.4) Differenziert man diese Gleichung artiell nach, so liefert dies mit der Kettenregel oder n(,, ) n(, +, ) n x * = kom (,, u*)

5 Prof. Dr. Frank Stehling AVWL 3 SS Komarative Statik 54 n(,, ) n = kom (,, u*) n(,, ) x * (4.5) Diese Slutsky-Gleichung (4.5) besagt: Die Änderung der Nachfrage nach Gut durch eine Preisänderung dieses Gutes setzt sich zusammen aus der Änderung der Nachfrage nach diesem Gut auf Veränderung nur von dessen Preis hin bei konstant gehaltenem Nutzenniveau u* (d.i. also der Substitutionseffekt) und der Nachfrageänderung durch die Realeinkommensveränderung (Einkommenseffekt). eisiel: Für die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion Ka. die Nachfragefunktionen (x, x ) = x x u mit 0<< hatten wir im 3. und n n ( (,,,) = (4.6),) = ( ) ermittelt (Hinweis: Setze in dem eisiel von S. 33: β = - und γ = 0). Ferner hatten wir ebenfalls im 3. Ka. die zugehörigen komensierten Nachfragefunktionen ermittelt als: und kom n = (,,u) u (4.7) n kom (,,u) = u Aus (4.6) erhält man damit den Gesamt-Preiseffekt als n = () Der Einkommenseffekt ist (ebenfalls aus (4.6)): x * x * = = n = () () > 0

6 Prof. Dr. Frank Stehling AVWL 3 SS Komarative Statik 55 und der Substitutionseffekt (aus (4.7) mit u * wegen (4.6) und nach einigen Umformungen)): = (x *) (x *) = ( ) (( ) ) kom n = ( ) u *( ) ( )( ) = ( )( ) Hieraus lässt sich einfach verifizieren, dass der Gesamt-Preiseffekt tatsächlich gleich der Summe aus Einkommens- und Substitutionseffekt ist, wie die Slutsky-Gleichung aussagt. Die Slutsky-Gleichung lässt sich auch für den Fall von irgend n Gütern verallgemeinern, auch für Nachfrageveränderungen eines Gutes i infolge von Preisänderungen eines anderen Gutes k.