TECHNISCHE MATHEMATIK. Formelsammlung Auszug aus Tabellenbuch Kraftfahrzeugtechnik Verfasser: G. P. Boscaini

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1 GEWERBLICH - INDUSTRIELLE BERUFSFACHSCHULE BERN BERUFSGRUPPE CARROSSERIETECHNIK TECHNISCHE MATHEMATIK Formelsammlung Auszug aus Tabellenbuch Kraftfahrzeugtechnik Verfasser: G. P. Boscaini CARROSSIER SPENGLEREI CARROSSIERIN SPENGLEREI Name und Vorname:

2 Inhaltsverzeichnis Formelsammlung (Auszug aus Tabellenbuch Kraftfahrzeugtechnik) Seite Themen TB S.: 1 Gestreckte Länge 1 Winkel- und Zeitumrechung Längenteilung Gebogene Längen Lehrsatz des Pythagoras 3 Geradlinig begrenzte Flächen 4 Kreisförmig oder bogenförmig begrenzte Flächen 5 Volumen gleichdicker Körer 6 Abgestumfte Körer 6 Dichte, Masse 7 Kraft 7 Gleichförmige Geschwindigkeit 7 Umfangsgeschwindigkeit 8 Schnittgeschwindigkeit 8 Beschleunigung, Verzögerung 9 Anhalteweg, Reaktionsweg, Bremsweg 9 Arbeit 10 Energie (Potenzielle Energie, Energie der ruhe 10 Kinetische Energie, Bewegungsenergie 10 Leistung 11 Wirkungsgrad 11 Drehmoment 1 Hebelgesetz 1 Horizontaler Schwerunktabstand 13 Achskräfte, Auflagerkräfte 13 Festigkeit: Zugbeansruchung / Druckbeansruchung 14 Flächenressung 14 Scherbeansruchung 15 Druck 15 Hydrostatischer Druck 15 Hydraulik: Flüssigkeitsdruck 16 Hydraulische Presse 16 Gasentnahme aus Gasflaschen 17 Längenausdehnung 17 Raumausdehnung 18 Ohmsches Gesetz 18 Elektrische Leistung 18 Elektrische Arbeit 19 Reihenschaltung 19 Parallelschaltung

3 1.0 Formelsammlung Für ein erfolgreiches Reüssieren beim Qualifikationsverfahren ist es wichtig, dass die Grundlagen zum fachlichen Rechnen in einer Formelsammlung übersichtlich dargestellt sind. Das Kaitel Mathematik im «Tabellenbuch Kraftfahrzeugtechnik» enthält für den Berufsschulunterricht bzw. für die meisten Lernenden eine überbordende Menge an Formeln, es wirkt eher verwirrend als erklärend. Diese Formelsammlung bekämft dieses Übel und kann die Lernenden in der «Technischen Mathematik» bestens unterstützen. Gestreckte Länge (auf der neutralen Linie berechnet) Blechstärke s < 3 mm Neutrale Linie = Innenkante Biegeradius 1, 5 s Scharfkantig rechnen Blechstärke s > 3 mm Neutrale Linie = 1 s Winkel- und Zeitumrechung in Dezimalzahl und zurück mit Hilfe eines Beisiels: 15 4'= = 15,4 0,6 = 0+ 0,6 60' = 036' 15 h 4 min = 15 h h = 15,4 h 0,6 h = 0 h + 0,6 60 min = 0 h 36 min gibb giibo 1

4 Längenteilungen TB S.: Teilung Lochabstand Teilungszahl n Lochzahl Teilungslänge L L = ( n 1) n = L + 1 L = ( n 1) L = ( n + 1) n = L 1 L = ( n + 1) = π d n n = π d L = U = n L = U = π d Gebogene Längen TB S.: Kreisumfang U = π d d = U π Kreisbogenlänge l B = π d α 360 α = 360 l B π d ( ) d = 360 l B π α ( ) Ellisenumfang ( D + d) U = π D = U π d d = U π D Lehrsatz des Pythagoras TB S.: c = a + b a= c b b = c a gibb giibo

5 Geradlinig begrenzte Flächen TB S.: A = l U = 4 l l = A e = l A = l b U = 4 l l = A b b = A l A = l b U = l + b ( ) l = A b = A b l l = U b b = U l e = l + b A = l b U = l + l 1 ( ) l = A b l = U l 1 b = A l l 1 = U l A = l b U = Summe aller Seiten l = A b b = A l ( ) A = l + l 1 b U = Summe aller Seiten l 1 = b = A b A l 1 + l ( ) l l = A b l 1 gibb giibo 3

6 Kreisförmig oder bogenförmig begrenzte Flächen TB S.: A = π d 4 U = d π d = 4 A π A = π 4 ( D d ) D = d + 4 A π d = D 4 A π A = l B r A = π d α ( ) U = l B + r l B = A r l B = π d α 360 r = A l B A = π D d 4 U = π D + d ( ) D = 4 A π d ( ) d = ( 4 A π D) Eckabschnitt A = r 0,15 gibb giibo 4

7 Volumen gleichdicker Körer TB S.: V = l 3 A M = 4 A A M = 4 l A O = 6 A A O = 6 l l = 3 V V = A h A = V h h = V A V = π d h 4 V = A h d = 4 A ( π h) h = ( 4 V π d ) A = V h h = V A V = π ( D d ) h 4 V = ( A A 1 ) h V = V V 1 V = A h 4 V h = ( π ( D d ) D = d = d + 4 V π h ( ) D 4 V π h ( ) gibb giibo 5

8 Abgestumfte Körer TB S.: V = A m h ( A m = A + A g d) V = A m h ( A m = A + A g d) A m = π ( D + d ) s Dichte, Masse TB S.: Zusammengehörende Einheiten: ρ Dichte in g cm 3 kg dm 3 t m 3 m Masse in g kg t V Volumen in cm 3 dm 3 m 3 Dichte von Gasen werden immer in kg/m 3 angegeben! m = V ρ ρ = m V V = m ρ Stoffwerte siehe TB S.: gibb giibo 6

9 Kraft TB S.: F = m a m = F a a = F m F m a Kraft: N Masse: kg Beschleunigung: m/s Verzögerung: m/s F G = m g m = F G g g = 9,81 m/s F G m g Gewichtskraft: N Masse: kg Fallbeschleunigung: m/s Gleichförmige Geschwindigkeit, Durchschnittsgeschwindigkeit TB S.: v = s t t = s v s = v t v s t Geschwindigkeit: m/s, km/h Weg: m, km Zeit: s, h v in m/s 3,6 = km/h v in km/h = m/s 3,6 Umfangsgeschwindigkeit TB S.: π d n v = v d = π n ( ) 60 v n = ( π d) v d n Umfangsgeschwindigkeit: m/s Kreisdurchmesser: m Drehzahl: 1/min, min -1 gibb giibo 7

10 Schnittgeschwindigkeit TB S.: π d n v = v d = π n ( ) 1000 v n = π d ( ) v d n Schnittgeschwindigkeit: m/min Durchmesser: mm Drehzahl: 1/min, min -1 Beschleunigung aus dem Stand oder Verzögerung bis zum Stand TB S.: Beschleunigung Verzgerung a in m/s a = v t a = v ( s) a = s t Endgeschwindigkeit Anfangsgeschwindigkeit v in m/s v = a t v = s t v = a s Beschleunigungszeit Verzgerungszeit (Bremszeit) t in s t = v a t = s v t = s a Beschleunigungsweg Verzgerungsweg (Bremsweg) s in m s = v t s = v ( a) s = a t gibb giibo 8

11 Anhalteweg, Reaktionsweg, Bremsweg (v in m/s) TB S.: Anhalteweg s A in m s = s + s s A = v t R + v A R ( a) s A = v t R + a t s A = v t R + t Reaktionsweg s R in m s R = s A s s R = v t R s R = v ( t A t) s R = v t A s Bremsweg s in m s = s s s = v A R ( a) s = a t s = v t Anhaltezeit t A in s t = t + t t A = t R + v A R a t A = t R + s t = t + s A R a v Reaktionszeit t R in s t R = t A t t R = s R v t R = t A s t = t s R A a v Bremszeit t in s t = t t t = v A R a t = s t = s a v Arbeit TB S.: W = F s F = W s W F s Arbeit: Nm, J, Ws Kraft: N Kraftweg: m s = W F gibb giibo 9

12 Energie (Potenzielle Energie, Energie der Ruhe TB S.: W = F s F = W s s = W F W F, F G s Potenzielle Energie: Nm, J, Ws Kraft: N Gewichtskraft: N Kraftweg: m Kinetische Energie, Bewegungsenergie TB S.: W k = m v m = W k v W K m v Kinetische Energie: Nm, J, Ws Masse: kg Geschwindigkeit: m/s v = W k m Leistung TB S.: P = W t P = F s t P = F v F = P t s P W t F s v Leistung: W, Nm/s, J/s Arbeit: Ws, Nm, J Zeit: s Kraft: N Kraftweg: m Geschwindigkeit: m/s F = P v W = P t s = P t F v = P F t = W P gibb giibo 10

13 Wirkungsgrad TB S.: W v = W zu W ab η = W ab W zu W ab = η W zu W zu = W ab η P v = P zu P ab η = P ab P zu W v W ab W zu P v P ab P zu η η ges η 1 η Energieverlust: Nm, Ws, J Abgegebene Arbeit: Nm, Ws, J Zugeführte Arbeit: Nm, Ws, J Verlustleitung: W, kw Abgegebene Leistung: W, kw Zugeführte Leistung: W, kw Wirkungsgrad Gesamtwirkungsgrad Einzelwirkungsgrad P ab = η P zu P zu = P ab η η ges = η 1 η η 3 Drehmoment TB S.: M = F r F = M r M F r Drehmoment: Nm Kraft: N Hebelarm: m r = M F gibb giibo 11

14 Hebelgesetz TB S.: F 1 = F r r 1 F = F 1 r 1 r r 1 = F r F 1 r = F 1 r 1 F i F = F 1 F i r = r r 1 F 1, F r 1, r i F i r Kraft: N Wirksamer Hebelarm: m, mm Kraftübersetzung Hebelarmübersetzung Horizontaler Schwerunktabstand TB S.: G = m g G = F 1 + F l = l 1 + l l 1 = F l G l = F 1 l G l l 1 l m G F 1 F S g Radstand: mm Vorderachse-Schwerlinie: mm Hinterachse-Schwerlinie: mm Fahrzeugmasse: kg Gewichtskraft des Fahrzeugs: N Vorderachskraft: N Hinterachskraft: N Schwerunkt Fallbeschleunigung: 9,81 m/s gibb giibo 1

15 Achskräfte, Auflagerkräfte TB S.: G = m g F 1 = G l l F = G l 1 l G = F 1 + F F 1 = G F F = G F 1 l 1 = F l G l = F 1 l G l = l 1 + l G m g l l 1 l F 1 F S Gewichtskraft des Fahrzeugs: N Fahrzeugmasse: kg Fallbeschleunigung: 9,81 m/s Radstand: mm Vorderachse-Schwerlinie: mm Hinterachse-Schwerlinie: mm Vorderachskraft: N Hinterachskraft: N Schwerunkt Festigkeit: Zugbeansruchung / Druckbeansruchung TB S.: F = σ S S = F σ F S σ Zugkraft: N Querschnitt: mm Sannung: N/mm σ = F S gibb giibo 13

16 Flächenressung TB S.: = F A F = A F A Flächenressung: N/cm Druckkraft: N Berührungsfläche: cm A = F Scherbeansruchung TB S.: F = τ S S = F τ F S τ Scherkraft: N Querschnitt: mm Schersannung: N/mm τ = F S gibb giibo 14

17 Druck TB S.: = F A F = A F A Druck: N/cm Kraft: N Fläche: cm A = F Hydrostatischer Druck TB S.: = ρ g h h = ( ρ g) h g ρ Hydrostatischer Druck: N/cm Höhe der Flüssigkeitssäule: m Fallbeschleunigung: 9,81 m/s Dichte der Flüssigkeit: kg/m 3 100'000 N/m = 100'000 Pa = 1 bar Hydraulik: Flüssigkeitsdruck TB S.: = F N A = 4 F N ( π d ) F N = A F N A d Flüssigkeitsdruck: N/cm Höhe der Flüssigkeitssäule: m Kolbenfläche: cm Kolbendurchmesser: cm F N = π d 4 A = F N d = 4 F N π ( ) gibb giibo 15

18 Hydraulische Presse TB S.: = F 1 A 1 = F A F 1 = A 1 F = A A 1 = F 1 F 1 F A 1 A d 1 d s 1 s i hyd Flüssigkeitsdruck: N/cm Kraft am Pumenkolben: N Kraft am Arbeitskolben: N Fläche Pumenkolbens: cm Fläche Arbeitskolben: cm Durchmesser Pumenkolben: cm Durchmesser Arbeitskolben: cm Weg Pumenkolben: cm Weg Arbeitskolben: cm Hydraulische Übersetzung A = F i hyd = F 1 F i hyd = A 1 A i hyd = d 1 d i hyd = s s 1 Gasentnahme aus Gasflaschen TB S.: V G = V F V F = V G = V G V F ( ) V = V F 1 V F = V 1 ( ) 1 = V V F + = 1 V V F V G V F 1 V Gasvolumen: l (Liter) Flaschen-, Behältervolumen: l Gasdruck: bar Gasdruck vor Entnahme: bar Gasdruck nach Entnahme: bar Gasverbrauch: l gibb giibo 16

19 Längenausdehnung TB S.: l = l 1 α T l T = ( l 1 α) Lnge nach Erwrmung: l = l 1 + l Lnge nach Abkhlung: l = l 1 l l 1 Länge vor Erwärmung: m Länge vor Abkühlung: m l Länge nach Erwärmung: m Länge nach Abkühlung: m l Längendifferenz: m Τ Temeraturdifferenz: K α Längenausdehnungszahl: 1/K Stoffwerte siehe TB S.: Raumausdehnung fester, flüssiger und gasförmiger Stoffe TB S.: V 1 V = V 1 γ T T = V V ( V 1 γ ) V Volumen nach Erwrmu Τ V = V 1 + V γ Volumen nach Abkhlun V = V 1 l Volumen vor Erwärmung: dm 3 Volumen vor Abkühlung: dm 3 Volumen nach Erwärmung: dm 3 Volumen nach Abkühlung: dm 3 Volumendifferenz: dm 3 Temeraturdifferenz: K Volumenausdehnungszahl (Raumausdehnungszahl): 1/K Stoffwerte siehe TB S.: Volumenausdehnungszahl (Raumausdehnungszahl) für feste Stoffe: γ = 3 α γ = 1 Volumenausdehnungszahl (Raumausdehnungszahl) für Gase: 73 gibb giibo 17

20 Ohmsches Gesetz TB S.: I = U R U = I R I U R Stromstärke: A Sannung: V Widerstand: Ω R = U I Elektrische Leistung TB S.: P = U I P = I R P = U R P I U R Leistung: W Stromstärke: A Sannung: V Widerstand: Ω U = P I U = P R I = P U I = P R R = U P R = P I Elektrische Arbeit TB S.: W = P t W = U I t P = W t W P I U t Arbeit: Ws, Wh, kwh Leistung: W, kw Stromstärke: A Sannung: V Zeit: s, h t = W P gibb giibo 18

21 Reihenschaltung TB S.: I = I 1 = I = I 3 = U = U 1 + U + U 3 + R = R 1 + R + R 3 + I U R Stromstärke: A Sannung: V Widerstand: Ω Parallelschaltung TB S.: I = I 1 + I + I 3 + U = U 1 = U = U 3 = 1 R = R 1 R R 3 I U R Stromstärke: A Sannung: V Widerstand: Ω gibb giibo 19