Formelsammlung Mathematik Fachoberschule Jahrgangsstufe 12 Hochtaunusschule Oberursel. Philipp Maurer in Zusammenarbeit mit StR A.

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Laura Abel
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1 Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe 12 Hoctunusscule Oeusel Pilipp Mue in Zusmmeneit mit StR A. Käme Stnd: 20. Feu 2014

2 Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe 12 Inltsvezeicnis 1 Mtemtisce Gundlgen Potenzgesetze Binomisce Fomeln Beecnung n Deiecken Tigonometie Stz des Pytgos Gnztionle Funktionen Geden Nomlfom Steigungsdeieck und Steigungswinkel Funktionen zweiten Gdes Sceitelpunktfom Qudtisce Egänzung zu Bestimmung de Sceitelpunktfom pq-fomel Fomel Vogeensweise Sustitution: Lösen iqudtisce Gleicungen Kuvendiskussion Steen gegen ± Symmetien Aleitungsegeln (Potenzegel, Poduktegel, Quotientenegel, Kettenegel) Extemwete Wendepunkte Tngenten Nomle Steigungswinkel Scnittwinkel Astnd zwiscen zwei Punkten Rekonstuktion 6 5 Extemwetufgen 6 6 Integlecnung Integieen Vogeensweise Fläce zwiscen zwei Funktionen Geometisce Figuen Inlt und Umfng eene Figuen Volumen und Oefläce von Köpen Pilipp Mue in Zusmmeneit mit StR A. Käme Seite 1

3 Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe 12 1 Mtemtisce Gundlgen 1.1 Potenzgesetze x 0 = 1 x = 1 x x 1 = x x x = x + x = x x = x x (x ) = x (x y) = x y ( x y ) = x y 1.2 Binomisce Fomeln 1. inomisce Fomel: (+) 2 = inomisce Fomel: ( ) 2 = inomisce Fomel: (+) ( ) = Beecnung n Deiecken A α c C. B 2.1 Tigonometie Sinus sin(α) = Gegenktete Hypotenuse = c Kosinus cos(α) = Anktete Hypotenuse = c Tngens tn(α) = Gegenktete Anktete = 2.2 Stz des Pytgos = c 2 Pilipp Mue in Zusmmeneit mit StR A. Käme Seite 2

4 Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe 12 3 Gnztionle Funktionen 3.1 Geden Nomlfom f(x) = m x Steigungsdeieck und Steigungswinkel P 2 P 1 x 2-x 1 y 2-y 1 Steigung: m = y x = y2 y1 x 2 x 1 Steigungswinkel: α = ctn(m) 3.2 Funktionen zweiten Gdes Sceitelpunktfom f(x) = (x x s ) 2 +y s Steckung/Stucung x s x-wet des Sceitelpunktes y s y-wet des Sceitelpunktes Qudtisce Egänzung zu Bestimmung de Sceitelpunktfom Gegeene qudtisce Funktion y = x 2 +x+c Ausklmmen des Leitkoeffizienten y = ( ( x 2 + x) +c Qudtisce Egänzung y = x 2 + x+( ) 2 ( 2 ) 2 ) 2 +c (x+ ) 2 ( Bildung des Qudts y = [ 2 ) 2 ] 2 +c Ausmultiplizieen y = ( ) x c 2 Sceitelpunktfom de Funktion y = ( ) ) x+ 2 + (c 2 ( ) 4 Alesen des Sceitelpunkts S 2 2 c pq-fomel Fomel 0 = x 2 +p x+q x 1/2 = p 2 ± (p 2) 2 q Vogeensweise Funktion zweiten Gdes f(x) = x 2 +x+c Esten Fkto duc teilen f(x) = x 2 + x+ c f(x) = 0 setzen 0 = x 2 + x+ c ( In pq-fomel einsetzen x 1/2 = ) 2 2 ± 2 c 3.4 Sustitution: Lösen iqudtisce Gleicungen Funktion vieten Gedes f(x) = x 4 + x 2 +c z estimmen z = x 2 in f(x) einsetzen f(z) = z 2 + z +c Nullsetzen und mit pq-fomel weite ecnen f(z) = 0 Wuzel de Egenisse de pq-fomel zieen x 1/2 = ± z 1 x 3/4 = ± z 2 Pilipp Mue in Zusmmeneit mit StR A. Käme Seite 3

5 Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe Kuvendiskussion Steen gegen ± Betctet wid ieei nu de öcste Exponent und sein Vofkto x n positiv negtiv n gede fü x gegen + f(x) get gegen + fü x gegen + f(x) get gegen fü x gegen f(x) get gegen + fü x gegen f(x) get gegen n ungede fü x gegen + f(x) get gegen + fü x gegen + f(x) get gegen fü x gegen f(x) get gegen fü x gegen f(x) get gegen Symmetien Acsensymmetie: Alle Exponenten gede f(x) = f(-x) Punktsymmetie: Alle Exponenten ungede f(x) = -f(-x) Aleitungsegeln (Potenzegel, Poduktegel, Quotientenegel, Kettenegel) Potenzegel f(x) = x n f (x) = n x n 1 Poduktegel f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x)+u(x) v (x) Quotientenegel f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) (v(x)) 2 Kettenegel f(x) = u(v(x)) f (x) = u (v(x)) v (x) Pilipp Mue in Zusmmeneit mit StR A. Käme Seite 4

6 Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe Extemwete Bilde f (x) Nullstelle(n) von f (x) sucen f (x) = 0 x 0 =... notwendige Bedingung: ( Steigung = 0) Nullstelle(n) von f (x) in f(x) einsetzen, um die y-wete de Extemwete zu estimmen (f(x 0 ) =...) ineicende Bedingung: f (x) 0 Emitteln o x 0 ein Hoc- ode Tiefpunkt ist, indem x 0 in f (x) eingesetzt wid: 1. f (x) > 0 Tiefpunkt (lokles Minimum) 2. f (x) < 0 Hocpunkt (lokles Mximum) 3. f (x) = 0 Sttelpunkt Wendepunkte Vogeen wie ei Extemweten. Bedingungen sind lledings etws geändet: notwendige Bedingung: f (x) = 0 ineicende Bedingung: f (x) 0 1. Aleitungen ilden (is f (x)) 2. Nullstellen sucen notwendige Bedingung Wendepunkt f (x) = 0 x 1/2/3/ Einsetzen de Nullstellen in f(x) y 1/2/3/ ineicende Bedingung x 1/2/3/... einsetzen 5. Einzeicnen 6. uf Plusiilität püfen Pilipp Mue in Zusmmeneit mit StR A. Käme Seite 5

7 Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe Tngenten Definition: Gede die im Beüpunkt die identisce Steigung wie die Funktion t Nomlfom eine Geden y = m x+ 1. Aleitung ilden und x einsetzen m = f (x) Punkt (duc den die Tngente get) in Nomlfom einsetzen y p = m x p + = y p m x p 3.7 Nomle Definition: Gede, die im Scnittpunkt die Funktion im Recten Winkel (90 ) scneidet Est die Tngente estimmen (siee Tngente) und dnn mit m 2 = 1 m 1 die Nomle estimmen. 3.8 Steigungswinkel m = f (x) fü x den Punkt einsetzen m = tnα α = ctnm 3.9 Scnittwinkel m estimmen wie eim Steigungswinkel α = ctnm 1 ctnm Astnd zwiscen zwei Punkten 2 = ( x) 2 +( y) 2 2 = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 4 Rekonstuktion Funktionsnstz vom Gd n ufstellen f(x) = x n + x n Aleitungen emitteln f (x) und f (x) Bedingung fomulieen i.d.r. n+1 Bedingungen f(x) fü Funktionswete f (x) fü Steigung und Extem f (x) fü Kümmung und Wendepunkte Wete einsetzen Gleicungssystem ufstellen Gleicungssystem lösen z.b. Einsetzvefen ode Guss-Jodn 5 Extemwetufgen HB Huptedingung ufstellen Funktion fü zu optimieende Göße fomulieen NB Neenedingung ufstellen Rndedingung / Einscänkung Zielfunktion emitteln NB in HB einsetzen, so dss diese nu von eine Vile ängt Extemwet estimmen f (x) = 0 und f (x) 0 lle gesucten Gößen emitteln einsetzen in HB / NB Kontolle des Egenisses 6 Integlecnung 6.1 Integieen f(x) = x n F(x) = n+1 xn Vogeensweise f(x)dx = [F(x)] = F() F() 6.3 Fläce zwiscen zwei Funktionen f 1(x)dx f 2(x)dx = [f 1(x) f 2 (x)]dx Hinweis: Integtion de Teilfläce duc scittweise Integtion üe die Scnittpunkte von f 1 und f 2 Pilipp Mue in Zusmmeneit mit StR A. Käme Seite 6

8 Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe 12 7 Geometisce Figuen 7.1 Inlt und Umfng eene Figuen Qudt Recteck Deieck Pllelogmm g Inlt: A = 2 Inlt: A = Inlt: A = 1 2 g Inlt: A = Umfng: U = 4 Umfng: U = 2+2 Umfng: U = ++c Umfng: U = 2+2 Keis Keisusscnitt Tpez gleicseitiges Deieck α Inlt: A = π 2 Inlt: A = π 2 α 360 Inlt: A = + 2 Höe: = 1 2 g 3 α Umfng: U = 2π Bogen: = 2π Volumen und Oefläce von Köpen Wüfel Qude Zylinde c Volumen: V = 3 Volumen: V = c Volumen: V = π 2 Oefläce: O = 6 2 Oefläce: O = 2 (+c+c) Oefläce: O = 2π( +) Pymide Kegel Kugel g g g G Volumen: V = 1 3 G Volumen: V = 1 3 π2 Volumen: V = 4 3 π 3 Oefläce: Summe de Inlte de Oefläce: O = π( +s) Oefläce: O = 4π 2 Gundfläce und de Seitenfläce Pilipp Mue in Zusmmeneit mit StR A. Käme Seite 7

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